Logarithmierte Rendite

Die logarithmierte Rendite (auch stetige Rendite genannt) ist eine finanzmathematische Größe, die vor allem im Risikomanagement bei der Berechnung von Volatilitäten (z. B. im klassischen Black-Scholes-Modell der Optionspreisbewertung) eine Rolle spielt.

Mathematische Definition

Die logarithmierte Rendite ist der natürliche Logarithmus der Rendite (prozentuale Veränderung des Wertes) in der Periode. Die logarithmierte Rendite aufeinanderfolgender Perioden kumuliert sich durch Addition.

Die logarithmierte Rendite $r(t_{i},T)$ lässt sich durch folgende Formel ausdrücken:

$r(t_{i},T)=\ln \left[S(t_{i}+T)\right]-\ln \left[S(t_{i})\right]$

Hierbei ist $T$ die Zeit, über die die Rendite bestimmt wird, und $S(t_{i})$ der zeitstetige Preis.

Bei einer erwarteten Rendite $r(t_{i},T)$ und einem gegebenen Kapital $K(t_{i})$ rechnet sich dann die erwartete Kapitalwert in der Folgeperiode als:

$K(t_{i}+T)=K(t_{i})*e^{r(t_{i},T)}$

Dieses Rechnungsmodell gilt nicht nur für Renditen, sondern beliebigen Veränderungs- bzw. Wachstumsraten.

Hintergrund

Ein Hauptgrund für die Verwendung logarithmierter Renditen liegt darin, dass diese (im Gegensatz zu den eigentlichen Renditen) auf der gesamten Menge der reellen Zahlen definiert sind, während „normale“ (sprich: diskrete) Renditen links durch den Wert 0 bzw. einen Verlust von 100 % begrenzt sind. Dadurch kann die empirische Verteilung der Renditen zum Beispiel besser durch die Normalverteilung approximiert werden, wobei die empirische Verteilung der Renditen jedoch üblicherweise von der Normalverteilung abweicht.

Siehe auch

Random Walk

Weblinks

• Berechnung Volatilität unter Nutzung logarithmierte Rendite
• Optionsbewertung (PDF-Datei; 430 kB)