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Modulformen sind eine Klasse komplexer Funktionen , die in den mathematischen Teilgebieten der Funktionentheorie und Zahlentheorie betrachtet werden.
Es sei
H
=
{
τ
∈
C
∣
I
m
τ
>
0
}
{\displaystyle \mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} \,\tau >0\}}
die obere Halbebene .
Für eine ganze Zahl
k
{\displaystyle k}
meromorphe Funktion
f
{\displaystyle f}
Modulform vom Gewicht
k
{\displaystyle k}
f
(
a
z
+
b
c
z
+
d
)
=
(
c
z
+
d
)
k
f
(
z
)
{\displaystyle f\!\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}
z
∈
H
{\displaystyle z\in \mathbb {H} }
a
,
b
,
c
,
d
∈
Z
{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }
a
d
−
b
c
=
1
{\displaystyle ad-bc=1}
erfüllt und "meromorph im Unendlichen" ist: Das bedeutet, dass die Funktion
f
~
(
q
)
=
f
(
z
)
{\displaystyle {\tilde {f}}(q)=f(z)}
q
=
e
2
π
i
z
{\displaystyle q=\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} z}}
0
<
|
q
|
<
1
{\displaystyle 0<|q|<1}
bei
q
=
0
{\displaystyle q=0}
Man beachte, dass aus der ersten Bedingung
f
(
z
+
1
)
=
f
(
z
)
{\displaystyle f(z+1)=f(z)}
f
~
(
q
)
{\displaystyle {\tilde {f}}(q)}
