Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den aus der linearen Algebra bekannten Begriff der normalen Matrix. Ist $X$ ein Hilbertraum, so heißt ein Operator $A\in {\mathcal {L}}(X)$ normal, falls er mit seiner Adjungierten $A^{\ast }$ kommutiert, d.h. wenn

$AA^{\ast }=A^{\ast }A$ .

Dabei bezeichnet ${\mathcal {L}}(X,Y)$ die Menge aller stetigen linearen Abbildungen von $X$ nach $Y$ und ${\mathcal {L}}(X):={\mathcal {L}}(X,X)$ die Menge der stetigen Endomorphismen von $X$.

Eigenschaften

Sei $A\in {\mathcal {L}}(X)$ ein normaler Operator. Dann gilt:

• $\|Ax\|=\|A^{\ast }x\|$ für alle $x\in X$
• Operatornorm = Spektralradius, d.h.: $\|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}$
• Die von $A$ erzeugte C^*-Algebra und die von $A$ erzeugte von Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
• Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich für normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
• Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die endlichen-dimensionalen Fall $\{0\}$ ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart1986, 3-519-22206-X.