Gruppencode

Ein Gruppencode ist ein Blockcode mit folgender Kodierungsvorschrift:

Es sind $m$ linear unabhängige Generatorworte $G_{1},\ldots ,G_{m}$ gegeben mit $G_{i}=\{g_{i1},\ldots ,g_{in}\}$.

Der binäre Gruppencode entsteht dann durch eine Linearkombination aus den $m$ Nutzbits der Codewortzeichens und den $m$ Generatorworten.

Gruppencodes erfüllen folgende Eigenschaften:

• Die Codewörter bilden eine Gruppe
• Bei einem binären Gruppencode ist die Distanzverteilung jeweils gleich für alle Codewörter und auch gleich der Gewichtsverteilung.

Beispiel: Gegeben seien die Generatorworte $G_{1},\ldots ,G_{4}$ mit

• $G_{1}=0000$
• $G_{2}=1100$
• $G_{3}=1010$
• $G_{4}=0011$

Man erkennt leicht, dass diese linear unabhängig sind.

Nun wird mit folgender Kodierungsvorschrift verfahren: Für ein zu kodierendes Symbol, z.B. $0111$, werden die Generatorworte modulo 2 addiert, für die im kodierenden Symbol eine 1 steht, also im Beispiel:

$CW_{i}=0\cdot G_{1}+1\cdot G_{2}+1\cdot G_{3}+1\cdot G_{4}\mod 2=1100+1010+0011\mod 2=0101$

Es ist zu beobachten, dass bei binären Gruppencodes Codewörter immer additiv invers zu sich selbst sind.

Jeder Gruppencode enthält den Nullvektor als gültiges Codewort. Das Gewicht eines Gruppencodes ist definiert als das kleinste Codewortgewicht (Hamming-Gewicht) außer dem des Nullvektors. Speziell bei binären Gruppencodes gilt, dass der Hamming-Abstand dem Gewicht des Codes entspricht.