Linearform

Die Linearform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit eine lineare Abbildung von einem Vektorraum $V$ über dem Körper $K$ in ebendiesen Körper $K$:

$f:V\to K$

Eine Linearform $f:V\to K$ genügt den beiden folgenden Bedingungen, die ganz allgemein eine lineare Abbildung kennzeichnen: für alle $x,y$ aus $V$ und alle $\alpha$ aus $K$ gilt:

1. $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (Additivität);
2. $f(\alpha x)=\alpha f(x)$ (Homogenität).

Die Menge aller Linearformen über einem gegebenen Vektorraum $V$ bildet dessen Dualraum $V^{*}$.

Verwandte Begriffe

Wenn man Bedingung 2 in $f(\alpha x)=\alpha ^{*}f(x)$ ändert, wobei $\alpha ^{*}$ das komplex Konjugierte von $\alpha$ bezeichnet, erhält man eine Semilinearform.

Eine Abbildung, die linear oder semilinear in mehr als einem Argument ist, ist eine Sesquilinearform, eine Bilinearform, oder allgemein eine Multilinearform.

Linearform als Tensor

Eine Linearform $f$ ist ein kovarianter Tensor erster Stufe; man nennt sie deshalb manchmal auch 1-Form. 1-Formen bilden die Grundlage für die Einführung von Differentialformen.