Tensorregression

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Als Tensorregression bezeichnet man in der Statistik ein Regressionsmodell basierend auf Tensoren, bei dem entweder der Regressor, der Regressand oder beides Tensoren sind. Tensorregressionen werden vor allem für hochdimensionale Daten verwendet, da Tensoren eine natürliche Darstellung solcher Daten sind. Bei hochdimensionalen Daten besitzt der Koeffiziententensor meistens einen viel höheren Rang als der Regressor und der Regressand, weshalb man - ähnlich wie bei der Regression mit reduziertem Rang - häufig die Annahme trifft, dass der Koeffiziententensor einen tiefen Rang basierend auf einer Tensorzerlegung besitzt. Bekannte solche Zerlegungen sind die Candecomp/Parafac-Zerlegung (CP), die Tucker-Zerlegung, die Tensor-Singulärwertzerlegung (t-SVD) und die Tensor-Train-Zerlegung (TT).

Tensorregression

Im Artikel wird die Tensorregression auf den reellen Zahlen mit dem Tensorprodukt $\otimes :=\otimes _{\mathbb {R} }$ definiert, das Konzept lässt sich aber auch auf allgemeine Vektorräumen respektive Moduln definieren.

In der allgemeinen Form sind Tensordaten $\{{\mathcal {X}}_{n},{\mathcal {Y}}_{n}\}_{1\leq n\leq N}$ gegeben, dann ist das Tensorregressionsmodell von der Form

${\mathcal {Y}}_{n}=f({\mathcal {X}}_{n},{\mathcal {B}})+{\mathcal {E}}_{n},$

wobei

${\mathcal {Y}}_{n}\in \bigotimes _{i=1}^{M}\mathbb {R} ^{Q_{i}},\quad {\mathcal {X}}_{n}\in \bigotimes _{i=1}^{L}\mathbb {R} ^{P_{i}},\quad {\mathcal {B}},\quad {\mathcal {E}}_{n}\in \bigotimes _{i=1}^{M}\mathbb {R} ^{Q_{i}}$

Tensoren und $Q_{1},\dots ,Q_{M},P_{1},\dots ,P_{L}$ natürliche Zahlen sind.

Tensorzerlegungen

Für einen beliebigen Tensor $T$ sucht man eine Zerlegung eines Tensors ${\widehat {T}}$, welche $T$ am besten approximiert

${\mathcal {L}}(T)=\min \limits _{\widehat {T}}\|T-{\widehat {T}}\|_{F},$

wobei wir hier die Frobenius-Norm gewählt haben. Zwei populäre Wahlen sind die Candecomp/Parafec-Zerlegung (kurz CP-Zerlegung) und die Tucker-Zerlegung. Die Tucker-Zerlegung ist eine Form einer höher-dimensionalen Hauptkomponentenanalyse.

CP-Zerlegung

Sei $T\in \mathbb {R} ^{Q_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbb {R} ^{Q_{D}}$ ein Tensor. Eine CP-Zerlegung für ein $p\in \mathbb {N}$ ist eine Rang-$p$-Zerlegung von $T$ in Elementartensoren

$T=\sum \limits _{k=1}^{p}v_{k}^{(1)}\otimes \cdots \otimes v_{k}^{(D)},$

wobei $v_{k}^{(i)}=(v_{k,1}^{(i)},\dots ,v_{k,Q_{i}}^{(i)})^{T}\in \mathbb {R} ^{Q_{i}}$ Vektoren sind. Die minimale Zahl

$\operatorname {rank} (T)=\min \left\{p\in \mathbb {N} \colon T=\sum \limits _{k=1}^{p}v_{k}^{(1)}\otimes \cdots \otimes v_{k}^{(D)}\right\}$

nennt man den Rang von $T$ und er ist invariant unter Basiswechsel. Die Berechnung des Rangs ist jedoch NP-schwer. In der Praxis wählt man häufig normierte Vektoren

$T=\sum \limits _{k=1}^{p}\lambda _{k}v_{k}^{(1)}\otimes \cdots \otimes v_{k}^{(D)},$

mit Gewichtsvektor $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p})^{T}$.

Tucker-Zerlegung

Die Tucker-Zerlegung zerlegt einen Tensor $T\in \mathbb {R} ^{Q_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbb {R} ^{Q_{D}}$ in einen Kern-Tensor $G\in \mathbb {R} ^{R_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbb {R} ^{R_{D}}$ und $D$ Matrizen $A_{1},\dots ,A_{D}$ mit $A_{i}\in \mathbb {R} ^{Q_{i}\times R_{i}}$

$T=G\times A_{1}\times \cdots A_{D}.$

Die Parameter $(R_{1},\dots ,R_{D})$ nennt man Tucker-Ränge.

Regressionsmodelle

Eine Möglichkeit, solche Modelle zu definieren ist durch die Häufig werden dabei klassische Regressionsmodelle

wie die bayesische Regression, verallgemeinerten linearen Modelle (GLMs)