Tensorregression

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Als Tensorregression bezeichnet man in der Statistik ein Regressionsmodell basierend auf Tensoren, bei dem entweder der Regressor, der Regressand oder beides Tensoren sind. Tensorregressionen werden vor allem für hochdimensionale Daten verwendet, da Tensoren eine natürliche Darstellung solcher Daten sind. Bei hochdimensionalen Daten besitzt der Koeffiziententensor meistens einen viel höheren Rang als der Regressor und der Regressand, weshalb man - ähnlich wie bei der Regression mit reduziertem Rang - häufig die Annahme trifft, dass der Koeffiziententensor einen tiefen Rang basierend auf einer Tensorzerlegung besitzt. Bekannte solche Zerlegungen sind die Candecomp/Parafac-Zerlegung (CP), die Tucker-Zerlegung, die Tensor-Singulärwertzerlegung (t-SVD) und die Tensor-Train-Zerlegung (TT).

Tensorregression

In der allgemeinen Form sind Tensordaten $\{{\mathcal {X}}_{n},{\mathcal {Y}}_{n}\}_{1\leq n\leq N}$ gegeben, dann ist das Tensorregressionsmodell von der Form

{\mathcal {Y}}_{n}=f({\mathcal {X}}_{n},{\mathcal {B}})+{\mathcal {E}}_{n},

wobei ${\mathcal {Y}}_{n}\in \bigotimes _{i=1}^{M}\mathbb {R} ^{Q_{i}},{\mathcal {X}}_{n}\in \bigotimes _{i=1}^{L}\mathbb {R} ^{P_{i}},{\mathcal {B}},{\mathcal {E}}_{n}\in \bigotimes _{i=1}^{M}\mathbb {R} ^{Q_{i}}$ Tensoren sind.

Eine Möglichkeit, solche Modelle zu definieren ist durch die Häufig werden dabei klassische Regressionsmodelle

wie die bayesische Regression, verallgemeinerten linearen Modelle (GLMs)