Exzesscode
Der Exzesscode ist eine Binärkodierung, mit der sich vorzeichenbehaftete Zahlen binär repräsentieren lassen. Die Codierung basiert auf einer Wertebereichsverschiebung.
Üblicherweise werden positive Zahlen im Wertebereich 0 bis 2n-1 als n-stellige Binärzahlen wie folgt codiert (hier für den Wertebereich 0..7; Standardkodierung):
| dezimal abgebildet | binär abgebildet |
|---|---|
| 0 | 000 |
| 1 | 001 |
| 2 | 010 |
| 3 | 011 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
Um die binäre Darstellung von negativen Zahlen zu ermöglichen, wird hierbei der Wertebereich der Zahlen verschoben. Die Weite der Verschiebung ist immer k = ±(m - p), wobei m = 2n-1 und 0 <= p <= m ist. Man spricht daher auch von einem Exzess-k-Code. Die Exzess-0-Codierung entspricht der Standardcodierung (siehe oben).
Im Folgenden sind einige mögliche Exzess-k-Codes für binär dreistellige Zahlen angegeben.
| Codierung | Verschiebung | Code | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 | ||
| Exzess-0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Exzess-1 | 1 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Exzess-2 | 2 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Exzess-3 | 3 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Exzess-4 | 4 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Einen besonderen Stellenwert hat der Exzess-k-Code (also k = 2N-1, im Beispiel: Exzess-4). Er teilt den Wertebereich der Zahlen in zwei gleich große Hälften von negativen und nichtnegativen Zahlen. Bei binär vierstelligen Codes (Dezimal 0 bis 15) würde der Exzess-8-Code also die Zahlen von -8 bis 7 repräsentieren, bei fünfstelligen Codes wäre es der Exzess-16-Code und der Wertebereich von -16 bis 15. Man spricht im Fall k = 2N-1 auch kurz von der Exzess-Codierung, lässt den Zahlenwert k also weg.
Um eine Zahl a zu codieren, wählt man die kleinste Zahl b im Wertebereich und bildet die Differenz: d = |a - b|. Das Ergebnis wird dann wie üblich codiert.
Umgekehrt decodiert man eine Exzess-k-codierte Zahl, indem man sie zunächst nach der üblichen Codierung in eine Zahl umwandelt und dann die kleinste Zahl des Wertebereichs addiert.
Rechenbeispiel
Aufgabe: Codiere bei 8 Bits die Zahl -79 nunmehr in der Exzess-128-Codierung
Die Codelänge beträgt n = 8; also gilt für die übliche Binärdarstellung:
000000002 = 010
und
111111112 = 25510
Da die Zahl Exzess-128-codiert werden soll, verschiebt sich der Wertebereich auf:
00000000Exzess-128 = -12810
bzw.
11111111Exzess-128 = +12710
Codierung:
Die zu codierende Zahl ist a = -79. Die kleinste Zahl im Wertebereich ist b = -128 Die Differenz ist d = |-79 - (-128)| = 49 In der Standardcodierung ist d = 4910 = 001100012
Damit lautet die Lösung: a = -7910 = 00110001Exzess-128
Die Decodierung verläuft analog: 00110001 lässt sich nach der Standardcodierung zu 49 decodieren. Danach wird die kleinste Zahl des Wertebereichs addiert, hier -128, also: 49 - 128 = -79.
Anwendung
Exzesscode ist tolerant bezüglich binärer Addition/Subtraktion und lexikalischem Größenvergleich. Im IEEE 754-Standard zur Darstellung von Gleitkommazahlen wird der Exponent in einer Exzesscode-ähnlichen Form kodiert. Integerwerte werden allerdings im Rechenwerk moderner Hardware zumeist im Zweierkomplement verarbeitet.