Gerichteter Graph

Ein gerichteter Graph.

Ein gerichteter Graph oder Digraph (von englisch directed graph) ist ein Paar $(V,E)$ mit:

• einer Menge $V$ von Knoten (englisch vertex/vertices, oft auch Ecken genannt)
• einer Menge $E$ geordneter Knotenpaare, die gerichtete Kanten (engl. directed edge/edges, manchmal auch Bögen) genannt werden.

Ein gewöhnlicher oder ungerichteter Graph besitzt im Unterschied eine ungeordnete Menge an Knotenpaaren, die als ungerichtete Kanten bezeichnet werden.

Ein gerichteter Graph ohne Mehrfachkanten und Schleifen wird einfacher Digraph (auch schlichter Digraph) genannt.

Grundbegriffe

Man sagt, dass eine gerichtete Kante $e=(x,y)$ von $x$ nach $y$ geht. Dabei ist $x$ der Fuß (oder Startknoten) und $y$ der Kopf (oder Endknoten) von $e$. Weiterhin gilt $y$ als der direkte Nachfolger von $x$ und $x$ als der direkte Vorgänger von $y$. Falls in einem Graphen von $x$ nach $y$ ein Pfad führt, gilt $y$ als ein Nachfolger von $x$ und $x$ als ein Vorgänger von $y$. Die Kante $(y,x)$ heißt umgedrehte oder invertierte Kante von $(x,y)$.

Ein gerichteter Graph G heißt symmetrisch, falls G zu jeder Kante auch die entsprechende invertierte Kante enthält. Ein ungerichteter Graph lässt sich einfach in einen symmetrischen gerichteten Graphen umwandeln, indem man jede Kante $\{x,y\}$ durch die zwei gerichteten Kanten $(x,y)$ und $(y,x)$ ersetzt.

Um die Orientierung eines einfachen ungerichteten Graphen zu erhalten, muss jeder Kante eine Richtung zugewiesen werden. Jeder auf diese Art konstruierte gerichtete Graph wird orientierter Graph genannt. Ein einfach gerichteter Graph darf, im Gegensatz zum orientierten Graphen, zwischen zwei Knoten Kanten in beide Richtungen enthalten.

Ein gewichteter Digraph ist ein Digraph, dessen Kanten Gewichte zugeordnet werden, wodurch man einen kantengewichteten Graphen erhält. Ein Digraph mit gewichteten Kanten wird in der Graphentheorie als Netzwerk bezeichnet.

Die Adjazenzmatrix eines Digraphen (mit Schleifen und Mehrfachkanten) ist eine ganzzahlige Matrix, deren Zeilen und Spalten den Knoten des Digraphen entsprechen. Ein Eintrag $a_{ij}$ außerhalb der Hauptdiagonalen gibt die Anzahl der Kanten vom Knoten i zum Knoten j an, und der Eintrag der Hauptdiagonalen $a_{ii}$ entspricht der Anzahl der Schleifen im Knoten i. Die Adjanzenzmatrix eines Digraphen ist bis auf Vertauschung von Zeilen und Spalten eindeutig.

Ein Digraph lässt sich auch durch eine Inzidenzmatrix repräsentieren.

Eingangs- und Ausgangsgrad

Digraph mit Knotenbeschriftung (Eingangs- und Ausgangsgrad).

→ Hauptartikel: Grad (Graphentheorie)#Gerichtete Graphen

Die Anzahl der direkten Vorgänger eines Knotens wird Eingangsgrad (auch Innengrad) und die Anzahl der direkten Nachfolger Ausgangsgrad (oder Außengrad) genannt.

Der Eingangsgrad eines Knotens $v$ in einem Graphen $G$ wird mit $d_{G}^{-}(v)$ und der Außengrad mit $d_{G}^{+}(v)$ bezeichnet. Ein Knoten mit $d_{G}^{-}(v)=0$ wird Quelle und ein Knoten mit $d_{G}^{+}(v)=0$ wird Senke genannt. Eine Senke heißt universelle Senke, falls sie eingehende Kanten von jedem anderen Knoten hat, falls also ihr Eingangsgrad gleich $\mid V\mid -1$ ist.

Für gerichtete Graphen ist die Summe aller Eingangsgrade gleich der Summe aller Ausgangsgrade, und beide gleich der Summe der gerichteten Kanten:

$\sum _{v\in V}d_{G}^{+}(v)=\sum _{v\in V}d_{G}^{-}(v)=|E|\,.$

Falls für alle Knoten $v\in V$ die Gleichung $d_{G}^{+}(v)=d_{G}^{-}(v)$ gilt, wird der Graph balancierter Digraph genannt.

Zusammenhang von Digraphen

→ Hauptartikel: Zusammenhang von Graphen

Ein gerichteter Graph $G$ heißt schwach zusammenhängend (oder nur zusammenhängend), falls der unterliegende Graph von $G$, den man mittels Ersetzung aller gerichteter Kanten durch ungerichtete erhält, ein zusammenhängender Graph ist. Ein gerichteter Graph heißt stark zusammenhängend oder stark, wenn je zwei seiner Knoten gegenseitig erreichbar sind. Ein maximaler stark zusammenhängender Untergraph von $G$ ist eine starke Komponente.

Klassen von Digraphen

Ein gerichteter azyklischer Graph oder azyklischer Digraph ist ein gerichteter Graph, der keinen gerichteten Kreis enthält. Spezialfälle gerichteter azyklischer Graphen sind Mehrfachbäume (je zwei gerichtete Pfade des Graphen, die vom selben Startknoten ausgehen, dürfen sich nicht im selben Endknoten treffen), orientierte Bäume oder Polybäume (Orientierung eines ungerichteten azyklischen Graphen) und Wurzelbäume (orientierte Bäume, bei denen alle Kanten des unterliegenden ungerichteten Baumes vom Wurzelknoten wegführen).

Ein Turnier ist eine Orientierung des vollständigen Graphen $K_{n}$.

Einfach gerichteter azyklischer Graph.

Turniergraph mit 4 Knoten.

Spezielle gerichtete Graphen

• Kautz-Graph

Literatur

• Jørgen Bang-Jensen, Gregory Gutin: Digraphs: Theory, Algorithms and Applications. Springer, 2000, ISBN 1-85233-268-9 (rhul.ac.uk). 
• John Adrian Bondy, U. S. R. Murty: Graph Theory with Applications. North-Holland, 1976, ISBN 0-444-19451-7. 
• Reinhard Diestel: Graph Theory. 3. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-26182-6. 
• Frank Harary, Robert Z. Norman, Dorwin Cartwright: Structural Models: An Introduction to the Theory of Directed Graphs. Wiley, New York 1965.