Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Definition

Ist $X$ ein Hilbertraum, so heißt ein Operator $A\in {\mathcal {L}}(X)$ normal, falls er mit seinem adjungierten Operator $A^{\ast }$ kommutiert, also wenn

$AA^{\ast }=A^{\ast }A$

gilt.

Dabei bezeichnet ${\mathcal {L}}(X)$ die Menge aller stetigen Endomorphismen von $X$. Selbstadjungierte und unitäre Operatoren sind offenbar normal.

Eigenschaften

Sei $A\in {\mathcal {L}}(X)$ ein normaler Operator. Dann gilt:

• $\|Ax\|=\|A^{\ast }x\|$ für alle $x\in X$
• $\|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|$ für alle $x\in X$
• Die Operatornorm von $A$ ist gleich dem Spektralradius: $\|A\|=\sup\{|\lambda |\colon \lambda \in \sigma (A)\}.$ Dabei bezeichnet $\sigma (A)$ das Spektrum von $A$.
• Die von $A$ erzeugte C^*-Algebra und die von $A$ erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
• Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
• Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall $\{0\}$ ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
• Ein beschränkter Operator $A$ in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in $A=W_{1}+i\,W_{2}$ mit dem „Realteil" $W_{1}={\tfrac {1}{2}}(A+A^{\ast })$ und dem „Imaginärteil“ $W_{2}={\tfrac {1}{2i}}(A-A^{\ast }).$ Dabei sind die Operatoren $W_{i}$ selbstadjungiert. $A$ ist genau dann normal, wenn $W_{1}W_{2}=W_{2}W_{1}$.

Verwandte Begriffe

Ein Operator $A\in {\mathcal {L}}(X)$ heißt

• quasinormal, falls $A\,\!$ mit $A^{\ast }A$ vertauscht, das heißt $AA^{\ast }A=A^{\ast }AA$.
• subnormal, falls es einen Hilbertraum $Y$ gibt, so dass $X$ Unterraum von $Y$ ist, und einen normalen Operator $B\in {\mathcal {L}}(Y)$, so dass $B(X)\subset X$ und $A=B|_{X}\,\!$
• hyponormal, falls $\|A^{\ast }x\|\leq \|Ax\|$ für alle $x\in X$.
• paranormal, falls $\|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|$ für alle $x\in X$.
• normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d.h.: $\|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}$.

Es gelten folgende Implikationen:

normal $\Rightarrow$ quasinormal $\Rightarrow$ subnormal $\Rightarrow$ hyponormal $\Rightarrow$ paranormal $\Rightarrow$ normaloid.

Unbeschränkte Operatoren

Verallgemeinerung

Ein unbeschränkter Operator $A:D(A)\subseteq X\to X$ mit Definitionsbereich $D(A)$ heißt normal falls

$\|Ax\|=\|A^{\ast }x\|,\qquad \forall x\in D(A)=D(A^{\ast })$

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgmeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren der Quantenmechanik sind normal, denn für diese gilt $A^{\ast }=A$.

Ein Gegenbeispiel

Der folgende Absatz zeigt, dass es in der Quantenmechanik wichtige Operatoren gibt, die nicht normal sind:

In der Quantenmechanik spielen die sog. Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren, $a^{\pm }\,,$ eine große Rolle. Sie treten als sog. „Leiter-Operatoren“ schon beim elementarsten Problem der Quantenmechanik, dem sogenannten harmonischen Oszillator, auf. Sie sind wichtige Beispiele für nicht-normale Operatoren, und im Gegensatz zu den „normalen Operatoren“ sind die Erzeugungsoperatoren tatsächlich  nicht  diagonalisierbar, was aber nicht leicht zu beweisen ist. Sie sind zwar von derselben Form wie gerade angegeben und deshalb auf den ersten Blick „normal“: $a^{\pm }:=w_{1}\mp i\,w_{2}\,,$ mit $w_{i}={w_{i}}^{\ast }\,.$ Aber die Operatoren $w_{1}\,\,(\propto x)$ und $w_{2}\,\,(\propto p)$ sind im Gegensatz zu $W_{1}$ und $W_{2}$  nicht  miteinander vertauschbar, weil Orts- und Impulsoperator  nicht  miteinander kommutieren: $xp-px=i\hbar \cdot Id.\,,$ mit dem Identitätsoperator $Id.$ und der reduzierten Planckschen Konstante $\hbar =h/(2\pi )\,.$ In der Tat gilt abweichend von der Forderung an „normale Operatoren“ für die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren nicht $a^{-}a^{+}\,-\,a^{+}a^{-}=0\,,$ sondern $a^{-}a^{+}\,-\,a^{+}a^{-}=1\,.$

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5. (freie Online-Version)