Mètode rectangular

En càlcul integral, el mètode rectangular utilitza una aproximació a una integral definida, a base de calcular l'àrea d'una sèrie de rectangles. En càlcul numèric, aquest mètode, en general ha estat superat per altres mètodes més sofisticats de integració numèrica.

Ja sia la cantonada esquerra o la dreta o el centre de la cara superior del rectangle, pertanyen al gràfic de la funció, la base se situa al damunt de l'eix x. La aproximació es calcula sumant les àrees (base multiplicada pe l'alçada, un valor de la funció) dels n dels rectangles que omplen l'espai entre els dos valors de x entre els que es vol calcular la integral indefinida.

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(a+i'\Delta x)\Delta x\quad {\mbox{ on }}\Delta x={\frac {b-a}{n}}\;,\;i'={\begin{cases}i-1&{\mbox{punt esquerra.}}\\i-{\frac {1}{2}}&{\mbox{punt central.}}\\i&{\mbox{punt dret.}}\end{cases}}$

La necessitat de $a+i'\Delta x$ sorgeix quan a és diferent de zero, donat que la posició del primer rectangle no està a $f(i'\Delta x)$ sinó a $f(a+i'\Delta x)$. A mesura que n es fa gran, la aproximació es fa mes exacta. De fet, el límit de la aproximació quan n tendeix a infinit és exactament igual a la integral definida.

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(a+i'\Delta x)\Delta x$

Això és cert independentment de quin i' es faci servir. Però la aproximació del punt mig tendeix a ser més exacte per a valors finits de n.

Fitxer:RightRiemann.png Aproximació emprant el cantó dret

Aproximació emprant el punt mig

Fitxer:LeftRiemann.png Aproximació emprant el cantó esquerra

Error

L'error d'aproximació quant es fa servir el valor del punt mig disminueix en proporció del cub de l'amplada del rectangle:

$\int _{a}^{a+h}f(x)\,dx=hf(a+h/2)+{\frac {h^{3}}{24}}f''(\xi )$

Per algun $\xi \in (a,a+h)$.

Vegeu també

• Mètode del punt mig per resoldre equacions diferencials ordinàries
• Mètode trapezial
• Mètode de Simpson