Funció d'Euler

Per altres significats, vegeu funció φ d'Euler o llista de temes anomenats en honor de Leonhard Euler.

En matemàtiques, la funció d'Euler ve donada per

$\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$

Fou anomenada en honor de Leonhard Euler, i és un exemple prototípic de sèries q, una forma modular, i proveeix l'exemple prototípic d'una relació entre combinatòria i anàlisi complexa.

Propietats

El coeficient $p(k)$ en l'expansió de sèrie de potències formals per $1/\phi (q)$ dona el nombre de totes les particions de k. Això és

${\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}$

on $p(k)$ és la funció de partició de k.

La identitat d'Euler és

$\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}$

Cal notar que $(3n^{2}-n)/2$ és un nombre pentagonal.

La funció d'Euler està relacionada amb la funció Dedekind eta mitjançant una identitat de Ramanujan:

$\phi (q)=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau )$

on $q=e^{2\pi i\tau }$ és el quadrat del nome.

Referències

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9