Tensor electromagnètic

El tensor electromagnètic, tensor de camp electromagnètic o tensor d'intensitat de camp és un objecte matemàtic que descriu el camp electromagnètic d'un sistema físic dins la teoria de l'electromagnetisme clàssic de Maxwell. El tensor de camp es va utilitzar després de que Hermann Minkowski introduís la formulació del tensor quadridimensional de la relativitat especial. El tensor permet escriure algunes lleis físiques d'una manera molt concisa.

Descripció

Nota: En aquest article s'utilitza la notació tensorial d'índex abstracte

El tensor electromagnètic $F_{\alpha \beta }$ s'escriu habitualment en forma de matriu:

$F_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}$

on

E és el camp elèctric,

B és el camp magnètic, i

c és la velocitat de la llum.

Propietats

De la forma matricial del tensor de camp es dedueix fàcilment que el tensor electromagnètic satisfà les següents propietats:

• és antisimètric: $F^{\alpha \beta }\,=-F^{\beta \alpha }$
• és format per un nombre triangular de sis components idependents

Si hom fa un producte intern del tensor d'intensitat de camp es forma la invariància de Lorentz:

$F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)=\mathrm {invariant}$

El producte del tensor $F^{\alpha \beta }\,$ amb els seus tensors duals dóna el pseudoescalar invariant:

$\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }={\frac {2}{c}}\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right)=\mathrm {invariant} \,$

on   $\ \epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\,$ és un tensor unitari de quart ordre totalment antisimètric, conegut com Símbol de Levi-Civita. Noteu que

$\det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right)^{2}$

De manera més formal, el tensor electromagnètic pot ser escrit en termes de quadrivector potencial electromagnètic $A^{\alpha }\,$:

$F_{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial A_{\beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }$

On el quadrivector potencial és:

$A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {A}}\right)$ i la seva forma covariant es troba multiplicant per l'Espai de Minkowski $\eta \,$:

$A_{\alpha }\,=\eta _{\alpha \beta }A^{\beta }=\left({\frac {\phi }{c}},-{\vec {A}}\right)$