Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix (nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix genannt) ist die mehrdimensionale Erweiterung der aus der Schulmathematik bekannten eindimensionalen Ableitung. Genutzt wird sie z. B. in der näherungsweisen Berechnung/Approximation oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Die Jacobi-Matrix ist die $m\times n$ -Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen einer differenzierbaren Funktion

f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}\,\!

.

Sie bildet die Matrix-Darstellung der ersten Ableitung der Funktion $f$ .

Allgemein lautet die Jacobi-Matrix für $i=1,\ldots ,m$ und $j=1,\ldots ,n$

(\partial _{j}f_{i})

,

beziehungsweise in vektorieller Schreibweise mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \mathbf{x} = (x_j) = \begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \mathbf{f}^T(\mathbf{x}) = (f_i(\mathbf{x})) = \begin{pmatrix}f_1(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ f_m(\mathbf{x}) \end{pmatrix}}

{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\,

.

Für eine Funktion

\mathbf {f} (x,y,z)={\begin{pmatrix}f_{1}(x,y,z),f_{2}(x,y,z),f_{3}(x,y,z)\end{pmatrix}}\,

mit $n=m=3$ lautet sie zum Beispiel

J={\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}\partial f_{1}/\partial x&\partial f_{1}/\partial y&\partial f_{1}/\partial z\\\partial f_{2}/\partial x&\partial f_{2}/\partial y&\partial f_{2}/\partial z\\\partial f_{3}/\partial x&\partial f_{3}/\partial y&\partial f_{3}/\partial z\end{pmatrix}}\,

und kann, wenn man sie für einen Punkt $p$ ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von $f$ in der Nähe von $p$ verwendet werden:

f(x,y,z)\approx f(p_{x},p_{y},p_{z})+J_{p}\cdot {\begin{pmatrix}x-p_{x}\\y-p_{y}\\z-p_{z}\end{pmatrix}}\,

.

Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung.

Für $m=1$ entspricht die Jacobi-Matrix dem Gradienten von $f$ . Je nach Definition des Gradienten, der manchmal als Zeilenvektor und manchmal als Spaltenvektor definiert wird, unterscheidet sich jedoch in diesem Fall die Jacobi-Matrix als Zeilenvektor vom Gradienten.

Ein Beispiel für eine Rechnung mit der Jacobi-Matrix ist die Transformation in Polarkoordinaten.

Jacobideterminante

Die Determinante der Jacobi-Matrix spielt z. B. bei Transformationen von Integralen eine wichtige Rolle und wird Funktionaldeterminante genannt.

Für den Fall $m=n$ ist $f$ eine $n\times n$ -Abbildung und die Jacobi-Matrix ist quadratisch. Hierfür kann man dann die Jacobi-Determinante berechnen.

Diese Determinante gibt zu einem gegebenen Punkt wichtige Informationen über das Verhalten der Funktion $f$ in der Nähe dieses Punktes. Wenn beispielsweise die Jacobideterminante einer stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $p$ nicht null ist, so ist die Funktion in einer Umgebung von $p$ invertierbar. Weiterhin gilt, dass bei positiver Determinante in $p$ die Funktion ihre Orientierung beibehält und bei negativer Jacobideterminante die Orientierung umkehrt. Der absolute Wert der Determinante im Punkt $p$ gibt den Wert an, mit dem die Funktion in der Nähe von $f$ expandiert oder schrumpft.

Siehe auch