Quadratur des Kreises

Das Quadrat und der Kreis haben den gleichen Flächeninhalt.

Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, nur mit Lineal und Zirkel aus einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit dem selben Flächeninhalt zu konstruieren. Das Problem lässt sich bis in die Anfänge der Geometrie zurückverfolgen und beschäftigte jahrhundertelang führende Mathematiker, darunter auch Leonardo da Vinci. Im Jahr 1882 bewies der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann, dass diese Aufgabe unlösbar ist.

Beweis der Unmöglichkeit

Der Beweis, dass die Quadratur des Kreises unmöglich ist, ist nicht einfach und gelang Ferdinand von Lindemann auf indirekte Art: Für die Konstruktion der Seitenlänge des Quadrates würde man die Quadratwurzel der Zahl $\pi$ benötigen. Dies wäre erreichbar, wenn man in einem ersten Schritt die Zahl $\pi$ mit Lineal und Zirkel konstruieren könnte. Es sind jedoch nur algebraische Zahlen konstruierbar, also jene Zahlen die eine Lösung (Nullstelle) eines Polynoms beliebigen Grades mit rationalen Koeffizienten ist. Zahlen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent und sind nicht konstruierbar. Ferdinand von Lindemann gelang der Beweis, dass $\pi$ nicht algebraisch, sondern transzendent ist. Deshalb ist $\pi$ nicht konstruierbar und die Quadratur des Kreises unmöglich. Einen wesentlich eleganteren Beweis für die Transzendenz der Zahl $\pi$ veröffentlichte der berühmte Mathematiker David Hilbert im Jahre 1893.

Näherungskonstruktionen

Obwohl also eine exakte Lösung mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, gibt es Näherungskonstruktionen für die Kreisquadratur, die für viele Zwecke exakt genug sind. Eine bekannte Näherungslösung ist beispielsweise die Näherungskonstruktion des polnischen Jesuiten Adam Adamandy Kochański aus dem Jahre 1685.

Der Flächeninhalt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Quadrat über der größeren Kathete, wenn sich das Verhältnis der beiden Katheten zueinander verhält wie

$44:22{,}99982083\ldots$

Daraus ergibt sich eine einfache Näherung, indem man das (konstruierbare) rechtwinklige Dreieck mit dem Kathetenverhältnis 44: 23 zur Quadratur benutzt. Dies entspricht der Näherung

$\pi \approx {\frac {7744}{2465}}\approx 3{,}141582.$

Fruchtlose Versuche

Der mathematische Beweis, dass die Quadratur des Kreises unmöglich ist, hat viele Sonderlinge nicht daran gehindert, Jahre an Arbeit in dieses Problem zu stecken. Mathematik-Institute in aller Welt bekommen regelmäßig Post von »Kreisquadrierern«, die behaupten, das Problem gelöst zu haben, obwohl es bereits durch den Beweis der Unmöglichkeit als erledigt gilt. Manche Mathematiker, wie Dudley Underwood, sammeln solche Briefe, finden die elementaren Fehler darin und veröffentlichen sie als Unterhaltungsmathematik. Bei anderen nachweislich unlösbaren Problemen, z.B. der Dreiteilung des Winkels oder der Würfelverdoppelung, gibt es das gleiche Phänomen.

Inwiefern eine Quadratur des Kreises in einem gewissen Sinn der Mathematik doch möglich ist: Siehe Banach-Tarski-Paradoxon

Das Problem als Metapher

Die Nutzlosigkeit der Suche nach Lösungen hat die Quadratur des Kreises als Metapher bekannt gemacht. Der Ausdruck wird einerseits als Synonym für ein Unterfangen benutzt, das von vornherein zum Scheitern verurteilt ist. Andererseits bezeichnet man das Ergebnis großer Anstrengungen scherzhaft als Quadratur des Kreises, wenn es einem unglaublichen Wunder gleichkommt.

Weblinks

• Die Quadratur des Kreises als Näherung, Beispiele aus Architektur, Kunst und Esoterik, Historisches zur Zahl Pi und Näherungswerte für Pi

Literatur

• Dudley Underwood: Mathematik zwischen Wahn und Witz. Trugschlüsse, falsche Beweise und die Bedeutung der Zahl 57 für die amerikanische Geschichte, Birkhäuser 1995