„Cantors zweites Diagonalargument“ – Versionsunterschied

Cantors zweites Diagonalargument ist ein mathematischer Beweis dafür, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist, und allgemeiner, dass die Abbildungen einer Menge nach {0,1} sowie die Potenzmenge einer Menge mächtiger als diese Menge sind. Der Mathematiker Georg Cantor fand diesen Beweis im Jahr 1877 und gab die beiden Verallgemeinerungen 1891 und 1899 an.

Mit seinem ersten Diagonalargument zeigte Cantor, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, er gab eine umkehrbar eindeutige Abbildung (eine Bijektion) zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der rationalen Zahlen an. Diese Abbildung erlaubt es anschaulich, alle rationalen Zahlen in einer unendlichen Folge anzuordnen.

Durch Widerspruch zeigte er, dass es für die reellen Zahlen keine solche Folge gibt, d. h. keine Bijektion zu den natürlichen Zahlen.

Dieser Beweis ist nicht Cantors erster Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis wurde 1874, drei Jahre vor seinem Diagonalargument, veröffentlicht. Der erste Beweis arbeitet mit anderen Eigenschaften der reellen Zahlen und kommt ganz ohne ein Zahlensystem aus.

Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

Sei $(z_{i})$ irgendeine Folge reeller Zahlen im offenen Intervall $(0,1)$. Wir werden zeigen, dass es mindestens eine reelle Zahl in diesem Intervall gibt, die nicht in der Folge $(z_{i})$ vorkommt. Da diese Argumentation für jede beliebige Folge $(z_{i})$ gilt, kann es keine Folge geben, die alle reellen Zahlen im Intervall $(0,1)$ enthält.

Die Zahlen in dieser als gegeben vorausgesetzten Folge sehen in ihrer Dezimalbruch-Entwicklung so aus:

$z_{1}=0,{\underline {a_{11}}}\ a_{12}\ a_{13}\ldots$

$z_{2}=0,a_{21}\ {\underline {a_{22}}}\ a_{23}\ldots$

$z_{3}=0,a_{31}\ a_{32}\ {\underline {a_{33}}}\ldots$

$z_{4}=\ldots$

$\vdots$

Hier sind die $z_{i}$ reelle Zahlen und die $a_{ij}$ Dezimalstellen dieser reellen Zahlen. Die Diagonalelemente sind hervorgehoben, aus diesen konstruieren wir eine neue Zahl

$x=0,x_{1}x_{2}x_{3}\ldots ;\qquad$

Jede Zahl $z_{i}$ der Folge definiert auf folgende Weise eine Dezimalstelle $x_{i}$ von $x$.

Wenn $a_{11}=5$ ist, setzen wir $x_{1}=4$, sonst $x_{1}=5$. Mit dieser Definition ist sichergestellt, dass $x$ eine andere Zahl ist als $z_{1}$.

Wenn $a_{22}=5$ ist, setzen wir $x_{2}=4$, sonst $x_{2}=5$. Damit gilt $x\neq z_{2}$.

Allgemein legen wir für jede natürliche Zahl $i$ fest:

Wenn $a_{ii}=5$ ist, setzen wir $x_{i}=4$, sonst $x_{i}=5$. Damit gilt $x\neq z_{i}$.

So gehen wir durch die ganze Folge und erhalten eine Zahl $x$, die sich von allen Zahlen in der Folge unterscheidet und die größer als 0 und kleiner als 1 ist. Diese Zahl nennt man die Diagonalzahl, die der Folge $(z_{i})$ zugeordnet wird.

Die Folge $(z_{i})$ enthält also nicht alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Wählt man eine andere Folge, erhält man möglicherweise eine andere Diagonalzahl, aber wir haben bewiesen: Für jede Folge von Zahlen zwischen 0 und 1 gibt es eine Zahl zwischen 0 und 1, die nicht in dieser Folge enthalten ist. Deshalb enthält keine Folge alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Das Intervall $(0,1)$ ist deshalb nicht gleichmächtig zu $\mathbb {N}$. Da es eine Bijektion zwischen $(0,1)$ und $\mathbb {R}$ gibt, beispielsweise $x\mapsto \tan(\pi (x-1/2))$, ist auch $\mathbb {R}$ nicht gleichmächtig zu $\mathbb {N}$.

Aus der Information $\mathbb {N} \subset \mathbb {R}$ erhält man abschließend die Aussage, dass sowohl $(0,1)$ als auch $\mathbb {R}$ überabzählbar sind.

Verallgemeinerung: Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge

Mit einer allgemeineren Form des obigen Beweises zeigte Cantor, dass die Potenzmenge einer beliebigen Menge mächtiger als diese Menge ist. Genauer zeigte er: Es gibt keine surjektive Abbildung von $A$ auf ${\mathcal {P}}(A)$. Diese Aussage wird auch Satz von Cantor genannt.

Im älteren Beweis von 1891 zeigte Cantor die größere Mächtigkeit der Abbildungen von $A$ nach $\{0,1\}$, die bijektiv auf die Teilmengen von $A$, also auf die Potenzmenge, abgebildet werden können. Den Zusammenhang zum Beweis von $|\mathbb {N} |<|\mathbb {R} |$ kann man – ungefähr – erkennen, wenn man Teilmengen $X\subset \mathbb {N}$ als Folge von 0en und 1en schreibt (für $n\not \in X$ bzw. $n\in X$) und diese als Ziffernentwicklung interpretiert. Dann entspricht $M$ der Diagonalzahl.

Standpunkt der Konstruktivisten

Auf Kritik gestoßen ist Cantors Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen durch das zweite Diagonalverfahren bei Leopold Kronecker, Hermann Weyl , L.E.J. Brouwer, Henri Poincaré und Ludwig Wittgenstein. Konstruktivisten deuten das Cantorsche Diagonalverfahren anders als Cantor. Es wird selbst als Zahlenkonstruktionsverfahren verstanden indem nicht irgendeine Ordnung gewählt wird, sondern eine konkrete Ordnung (eine bestimmte Folge) der abzählbaren Ausgangsmenge vorausgesetzt wird. Die durch das Diagonalverfahren entdeckte Eigenschaft wird von konstruktiven Mathematikern als Offenheit oder als Indefinitheit (Paul Lorenzen, Christian Thiel) der Mengen reeller Zahlen angesehen und nicht als die Überabzählbarkeit einer Menge. So wie man etwa die Menge der ganzen Zahlen zur Menge der rationalen Zahlen erweitern kann, so könne man auch die algebraischen Zahlen durch algebraische Hüllen über neue Diagonalzahlen oder transzendente Zahlen erweitern und erhält so immer größere abzählbare Mengen reeller Zahlen.