„Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)“ – Versionsunterschied

In der ingenieurwissenschaftlichen Systemtheorie werden Gesetzmäßigkeiten naturwissenschaftlicher Abläufe und technischer Anordnungen abstrahiert. Die Analyse und mathematische Beschreibung dienen beispielsweise der Vorhersage des Verhaltens von Systemen. Die von Karl Küpfmüller formulierte „Systemtheorie der elektrischen Nachrichtentechnik“ lässt sich erweitern auf den Begriff der Kybernetik.

Mathematische Beschreibung von Systemen

System

Unter einem System wird ein mathematisches Modell verstanden, das in sehr allgemeiner Weise zur Beschreibung und zur Untersuchung technischer Prozesse verwendet wird. Komplexe Systeme bestehen aus Elementen (Teilsysteme) die miteinander in Verbindung stehen. Zum Beispiel ist der Regelkreis ein System, auch die Bestandteile des Regelkreises (Regler, Regelstrecke, usw.) selbst sind wiederum Systeme. Die Beziehungen der Teilsysteme zeigt der Signalflussplan in einer blockorientierten grafischen Darstellung. Es ist charakteristisch für Systeme, dass sie Ein- und Ausgangssignale besitzen. Alle Ausgangsgrößen hängen ursächlich (kausal) von den Eingangssignalen ab.

Die Eingangssignale von Systemen werden durch die Eigenschaften des Systems in Ausgangsgrößen überführt. Dieser Sachverhalt wird mathematisch folgendermaßen allgemein beschrieben:

Eingangsgröße:  x(t)
Ausgangsgröße:  y(t)
Transformation: T
         
$y(t)=T\{x(t)\}$

Die Transformation T ist beliebig, es kann beispielsweise ein nichtlinearer Zusammenhang vorliegen, der selbst zeitlicher Veränderung unterliegen kann. Das beschriebene System ist dann ein Nichtlineares zeitvariantes System. Eine lineare zeitinvariante Transformation (LZI-System) wird im Zeitbereich durch die Impulsantwort (auch Gewichtsfunktion) $g(t)$ vollständig beschrieben, die im Mehrgrößenfall eine Matrix der Impulsantworten ist. Man erhält den Ausgang aus dem Eingang durch Faltung der Gewichtsfunktion mit dem Eingangssignal,

$y(t)=g(t)\star x(t)$

wobei $\star$ den Faltungsoperator bezeichnet. Im Frequenzbereich ist die Gewichtsfunktion durch die sogenannte Übertragungsfunktion repräsentiert, die man durch Anwendung der Laplace-Transformation erhält.

Frequenzbereich

Die Funktionen des Zeitbereichs werden in Funktionen des Frequenzbereichs mit der komplexen Frequenz $s=\sigma +j\omega$ durch Anwendung der Laplace-Transformation transformiert. Symbolisch:

Zeitbereich            Frequenzbereich
Abhängig von t         Abhängig von $s$

x(t)             o-O   X(s)
y(t)             o-O   Y(s)
g(t)             o-O   G(s)

Im Frequenzbereich werden Integral- und Differentialoperatoren auf einfache Multiplikationen und Divisionen reduziert.

Eingangsgröße:                        X(s)
Ausgangsgröße:                        Y(s)
System / Übertragungsfunktion:        G(s)

$Y(s)=G(s)\cdot X(s)$

Beschreibungsmethoden

Lineare zeitinvariante Signale und Systeme werden im zeitkontinuierlichen Fall durch Differentialgleichungen und Übertragungsfunktionen auf Basis der Laplace-Transformation beschrieben. Im zeitdiskreten Fall – die Signale werden in in kurzen Zeitabständen abgetastet – werden stattdessen Differenzengleichungen bzw. im Frequenzbereich die Übertragungsfunktion aus der Z-Transformierten verwendet.

Des Weiteren können lineare und nichlineare Systeme, auch mit mehreren Ein- und Ausgängen im Zeitbereich mit der Zustandsraumdarstellung beschrieben werden. Dabei werden Vektor-Differentialgleichungen und - bei Abtastystemen - Vektor-Differenzengleichungen verwendet. Diese Gleichungen werden mit den Methoden der Matrizenrechnung behandelt.

Der wichtigste Teil der Systemtheorie ist die Theorie der linearen Systeme, die mathematisch besonders einfach ist. Bei linearen Systemen gilt das Superpositionsprinzip und das Verstärkungsprinzip. Daraus folgt beispielsweise unter schwachen Voraussetzungen, dass bei Eingabe eines sinusförmigen Signals am Ausgang wieder ein sinusförmiges Signal gleicher Frequenz erscheint, was es erlaubt, das lineare System im Frequenzbereich zu modellieren. Im Zeitbereich genügen im linearen Fall lineare Differentialgleichungen, um das System zu beschreiben.

Anwendung in der Regelungstechnik

Für die Regelungstechnik stellt die Systemtheorie mathematische Methoden zur Verfügung, die erlauben, die Wirkungen von Systemen aufeinander zu beschreiben und zu untersuchen. Besonders wichtig sind dabei geschlossene Wirkkreise, sogenannte Regelkreise. Diese sind unverzichtbare Bestandteile von modernen technischen Geräten, Maschinen und Anlagen und können mit Hilfe der Systemtheorie verstanden werden.

Anwendung in der Elektrotechnik

Eine Anwendung in der Elektrotechnik ist die Untersuchung elektrischer Netzwerke. Diese werden mit mathematischen Modellen abstrahiert und anschließend mit Methoden der Systemtheorie analysiert.

Beispiel

Datei:Tiefpass.PNG

Einfache RC-Glied-Schaltung (Tiefpassfilter)

Es wird mit der Hilfe der Systemtheorie eine RC-Glied-Schaltung untersucht.

Maschengleichung:

$U_{e}(t)-U_{a}(t)-U_{R}(t)=U_{e}(t)-U_{a}(t)-Ri(t)=0$

Bauteilgleichung:

$i(t)=C{\frac {dU_{a}}{dt}}$

Gruppierung:

$U_{e}(t)-U_{a}(t)-RC{\frac {dU_{a}}{dt}}=0$

$RC{\frac {dU_{a}}{dt}}=U_{e}(t)-U_{a}(t)$

${\frac {dU_{a}}{dt}}={\frac {1}{RC}}U_{e}(t)-{\frac {1}{RC}}U_{a}(t)$

Man findet eine Übertragungsfunktion mit Hilfe der Laplace-Transformation:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

${\mathcal {L}}\left\{{\frac {dU_{a}}{dt}}\right\}={\frac {1}{RC}}{\mathcal {L}}\left\{U_{e}(t)\right\}-{\frac {1}{RC}}{\mathcal {L}}\left\{U_{a}(t)\right\}$

$sU_{a}(s)-U_{a}(0-)={\frac {1}{RC}}U_{e}(s)-{\frac {1}{RC}}U_{a}(s)$

Annahme: Stromfluss nur in der Zeit $t>0$:

$U_{a}(0)=0$

$sU_{a}(s)={\frac {1}{RC}}U_{e}(s)-{\frac {1}{RC}}U_{a}(s)$

$sU_{a}(s)+{\frac {1}{RC}}U_{a}(s)={\frac {1}{RC}}U_{e}(s)$

$(s+{\frac {1}{RC}})U_{a}(s)={\frac {1}{RC}}U_{e}(s)$

$U_{a}(s)={\frac {\frac {1}{RC}}{(s+{\frac {1}{RC}})}}U_{e}(s)$

Die Übertragungsfunktion ist:

$G(s)={\frac {\frac {1}{RC}}{(s+{\frac {1}{RC}})}}$

Um die gesamte Gleichung für $U_{a}(s)$ lösen zu können, muss auch $U_{e}(s)$ im Bildbereich der Laplace-Transformation beschrieben werden:

$U_{a}(s)=G(s)U_{e}(s)$

$U_{e}(s)={\mathcal {L}}\left\{1\right\}U_{0}$

$U_{e}(s)={\frac {1}{s}}U_{0}$

$U_{a}(s)={\frac {\frac {1}{RC}}{(s+{\frac {1}{RC}})}}{\frac {1}{s}}U_{0}$

$U_{a}(s)={\frac {\frac {1}{RC}}{s(s+{\frac {1}{RC}})}}U_{0}$

Damit die inverse Laplace-Transformation mit den bekannten Korrespondenztabellen durchgeführt werden kann, muss die Gleichung umgeformt werden. Dafür verwendet man hier bspw. die Partialbruchzerlegung:

${\frac {1}{s(s+{\frac {1}{RC}})}}={\frac {A}{s+{\frac {1}{RC}}}}+{\frac {B}{s}}$

Man erkennt zwei einfache Nullstellen.

Das systematisch beschriebene RC-Glied ist ein einfacher Tiefpass 1. Ordnung. Diesen verwendet man beispielsweise in der Nachrichtentechnik um niedrige Frequenzen zu filtern.

Bezüge zu weiteren Gebieten

Die Systemtheorie der Ingenieurwissenschaften ist nicht nur auf technische Systeme anwendbar, sondern auch in verallgemeinertem Sinn gültig, siehe auch Systemtheorie im allgemeinen Sinne.

Siehe auch

• Systemidentifikation

Literatur

• Rolf Unbehauen, Systemtheorie Bd. 1, 8. korr. Auflage, Oldenbourg 2002, ISBN 3486259997
• Günter Ropohl, Eine Systemtheorie der Technik - Zur Grundlegung der allgemeinen Technologie, Carl Hanser Verlag 1979, ISBN 3-446-12801-8
• Gerhard Wunsch, Geschichte der Systemtheorie, Akademie-Verlag Berlin 1985