„Diskussion:Diskrete Fourier-Transformation“ – Versionsunterschied

ist eine DFT nicht vielmehr eine FT einer diskreten Funktion bzw. Folge, wobei das Ergebnis eine Reihe und kein Integral ist?

Der größte Teil kann nach IR Spektroskopie oder Fourier Transform IR verschoben werden. --Braunbaer 17:36, 22. Aug 2003 (CEST)

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Spielt das verlinkte Wort "komplex" auf die Komplexitätstheorie (wie jetzt verlinkt) oder auf die komplexen Zahlen an? Blubbalutsch 23:00, 12. Mär 2004 (CET)

Es scheint sich um die Komplexität im Sinne der Komplexitätstheorie zu handeln, da ihre Anzahl bestimmt wird. Dies geht jedoch aus dem Artikel so nicht eindeutig hervor. Da ich kein Mathegenie bin (übliche Ausrede, wenn man sagen soll, ob 6/17 oder 8/21 der größere Bruch ist), überlasse ich diese Änderung jemandem, der sich mit sowas auskennt. --SirJective 22:10, 13. Mär 2004 (CET)

Anmerkung aufgegriffen und eingefügt(es handelt sich um komplexe Zahlen. Der Zusammenhang zur Komplexitätstheorie erschließt sich nur über Algorithmen im Allgemeinen). Der Eintrag Fourier-Transformation bedarf einer umfassenden Zusammenschau... Anton 14:58, 14. Mär 2004 (CET)

Es handelt sich hierbei um komplexe Zahlen. Warum ist das Ergebnis einer DFT (bzw. FFT) komplex?
Weil sich mit den komplexen Zahlen auch die Phase bzw. der Winkel einer Schwingung darstellen lässt. Man kann von der komplexen Darstellung durch Real- und Imaginärteil auch leicht auf die Betrags/Phasendarstellung umrechnen. Für die Visualisierung von Audiomaterial in einer Frequenzdarstellung wird der Betrag sehr wichtig sein, wenn man von der Frequenzdarstellung wieder auf die Samples zurückrechnet (mit Hilfe der inversen FT) ist auch die Phase wichtig. WhyLee 21:35, 29.06.2004 (CET)

Ich darf folgendes anmerken: Es ist verwunderlich, dass man eine reelle Ausgangsfunktion hat und dann ein komplexwertiges Spektrum erhält. Das Wundern lässt nach, wenn man sich klar macht, dass auch die Ausgangsfunktion komplexwertig ist, oder, besser gesagt, dass jeder Messwert einen zweidimensionalen Vektor darstellt. Lediglich ist es so, dass die zweite Komponente Null ist. Nun übergibt man ja an den Algorithmus in der Regel zwei Arrays, wobei eines "genullt" wird, was aber nicht bedeutet "nicht existent". Nach der Transformation erhält man dann die Sinus- und Cosinus-Anteile, die ja sehr wohl auch Null sein können. Hat man allerdings den Fall, dass die Zeitfunktion definitiv immer einen Komplexwert Null hat, kann man einen Trick anwenden: Man verteilt nach einer bestimmten Regel die Ausgangswerte in die beiden Arrays und rechnet so, als wäre die Zeitfunktion komplex mit der Hälfte der Messwerte. Im Ergebnis erhält man dann wiederum die Sinus und Cosinusanteile. Wieso entsteht dabei aber kein Informationsverlust? Beispiel: 1024 reelle Messwerte, 1024 Werte 0 ergeben 1024 Sinus und 1024 Cosinuswerte. Packt man die 1024 reelen Werte in zwei Felder a 512 (real- und imaginärteil) entstehen auch nur 512 Sinus- und Cosinuswerte. Nun, es ist so, dass bei einem Zeitsignal Imaginärteil 0 eine Sinus/Cosinus-Signale entsteht, das symmetrisch/antisymmetrisch ist. Damit sind also im Spektrum nur 2* 512 Werte unabhängig wählbar, die restlichen ergeben sich aus der Symmetriebetrachtung. Daher geht keine Information verloren. Die Nullbedingung des Imaginärteils transformiert sich in die Symmetriebedingung der Frequenzanteile. RaiNa 14:37, 3. Aug 2004 (CEST)

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Das Abtasttheorem stellt kein Problem für die DFT an sich dar, sondern für die Interpretation der entstehenden Spektren. Ich habe den Artikel so moderat wie möglich geändert. Eigentlich halte ich die Erklärung des Abtasttheorems an dieser Stelle für überflüssig, der Link genügt meiner Meinung nach. --Quintilis 07:44, 11. Apr 2004 (CEST)

Schade, dass Du Dich auf moderat beschränkt hast. Z.B. weiß ich mit Weitere auftretende Effekte wenig anzufangen, die Anwendungen kommen zu kurz, die Rechenbeispiele könnten im Detail interpretiert werden... Anton 12:21, 11. Apr 2004 (CEST)

Danke an Quintilis für die Überarbeitung!. Anm.:
Das Zeitsignal liegt nur zu diskreten Zeitpunkten vor. Zeitsignal-> Signal
Das Zeitsignal hat eine endliche Länge. Zeitsignal -> Zeitintervall
Anton 22:24, 11. Apr 2004 (CEST)

habe aus Zeitintervall Signal gemacht, wegen Verwechslungsgefahr mit Abtastintervall.
Abtastintervall habe ich zur Verbesserung der Eindeutigkeit auch gleich rausgeschmissen.--Quintilis 23:12, 11. Apr 2004 (CEST)

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In den Fourier-Artikeln wird von Oberwellen, Obertönen und Oberschwingungen geschrieben, sollte man das evtl. vereinheitlichen?

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Änderung der Berechnungsvorschrift für die DFT

Hallo. Ich würde gern die 2. Formel so abändern, daß die diskrete Eigenschaft der Transformation sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich zum Ausdruck kommt. Außerdem möchte ich einen weiteren Abschnitt speziell zur Spektralanalyse von abgetasteten Zeitsignalen einfügen, da das meiner Meinung nach oft gebraucht wird und immer wieder Fragen auftauchen (aus eigener Erfahrung). Ich bitte um Kommentare dazu, bevor ich anfange. --Amun1978 12:57, 4. Nov 2004 (CET)

Bloßstellung der DFT

Allo, mit der jetzigen Darstellung der DFT werden Lösungsmöglichkeiten nicht ausgeschlossen, die aber bei realen Problemen nicht gegeben sind. So halte ich es für notwendig, bei dem Satz "das Spektrum wird nur für diskrete Frequenzen berechnet", dies anschaulich mit Rasterspektrum oder auch mit Rasterfrequenzen zu bezeichnen. Insbesondere sollte klargestellt werden, dass die DFT auch nicht periodische exponentielle Anteile eines Signals in periodische sin/cos-Funktionen aufrastert. Weiterhin genügen mir die Hinweise auf ein periodisches Signal und dem Abtasttheorem auch nicht, dabei sollte auch darauf hingewiesen werden, dass im Signal enthaltene Infra- bzw. Ultrafrequenzen nicht Fourier-transformierbar sind. Die "Anwendungen Bearbeitung von Signalen" sollte stichwortartig weiter ausgeführt werden. Z.B. wäre eine Prädiktion einer Fourier-Transformierten zwar einfach durchzuführen, ergäbe allerdings wegen der bloßen Wiederholung des Signals leider keine neuen Informationen. Für die Lösung der hier andiskutierten Probleme kündige ich ein Buch an, mit dem Haupttitel: "Natürliche Signalanalyse" und dem Untertitel: "die natürliche Codierung brechen, prädizieren, filtern, wiedererkennen, übersetzen", Autor Manfred Stiebel,

Nur zu! Ich freue mich auf deine Verbesserungen des Artikels! Anton 22:51, 31. Jan 2005 (CET)

Fourier-Transformation mit Analysefenster (z.B. gleitende FT)

Als Konsequenz aus den letzten beiden Diskussionsbeiträgen möchte ich folgende Erweiterung zur Diskussion stellen:

Bei der Anwendung der Fourier-Transformation hat man es meist mit 2 Einschränkungen zu tun:

1. Diskrete Abtastwerte (wird hier behandelt)
2. Anwendung der Fourier-Transformation auf Signalausschnitte

Die Konsequenzen davon, dass man bei der praktischen Anwendung immer nur Ausschnitte aus den Signalen analysiert (statt von minus unendlich bis plus unendlich zu integrieren), wären dann zu beschreiben:

• Bei der Analyse eines Zeitabschnitts ergibt die Fourier-Transformation ein Ergebnis, als ob das Signal in dem Zeitfenster sich periodisch wiederholen würde (tut es aber in Wirklichkeit nicht).
• Die Fourier-Transformation von Signalen eines Zeitabschnitts ergibt Ergebnisse für Frequenzen, die einem Vielfachen von 1/<Länge des Zeitabschnitts> entsprechen. Im Original-Signal sind aber noch andere Frequenzen vorhanden.
• Zu diskutieren wäre die Auswirkung der Fehler, wenn man statt des gesamten Signals nur einen Zeitausschnitt betrachtet (Ergenis entspricht der Faltung des Spektrums des Original-Signals mit der Fourier-Transformierten des Analysefensters, siehe auch Si-Funktion)
• Bei der Betrachtung von Zeitabschnitten gilt eine Art "Unschärfe-Relation": Die erreichbare Frequenz-Auflösung ist umgekehrt proportional zur Länge des Zeitabschnitts.

Die Konsequenz bei der Analyse real vorkommender Signale mit Hilfe von Frequenz-Analysatoren:

• Man hat keine Chance, alle vorkommenden Frequenzen zu analysieren.
• Falls das Ergebnis eine zu geringe Frequenzauflösung ergibt, muss man die Länge des Anlysefensters vergrößern (und zur Vermeidung von Artefakten ggf. auch dessen Form)
• Aus der Analyse hintereinander folgender Zeitfenster erhält man ein zeitabhängiges, diskretes Spektrum (=>gleitende Fourier-Transformation) statt ein konstantes, kontinuierliches Spektrum bei unendlich langer Analyse.
• Die Darstellung als zeitabhängiges, diskretes Spektrum ist für viele Anwendungsfälle die günstigere Beschreibungsart (z.B. zum Beschreiben der Effekte des menschlichen Hörens und als Konsequenzdaraus: wie muss und darf man Musiksignale behandeln, damit sie vom Gehör als originalgetreu angesehen werden)

Viele Grüße Skyhead 01:11, 5. Feb 2005 (CET)

Diese Art der Zeitabhängigkeit wird anderswo als Filterbank bezeichnet, mit einem Subsampling-Faktor, der der Blocklänge entspricht. Sammelt man die "Gleichstromanteile" zu einem neuen Signal zusammen, so kann man auf dieses wieder die DFT anwenden. Rekursive Fortsetzung des ganzen ist die einfachste Variante eines "Subchannel Coders" wie er zur Diskreten Wavelet-Transformation gehört, hier das Haar-Wavelet. --LutzL 17:12, 7. Feb 2005 (CET)

Es stimmt, eine DFT über eine feste Fensterlänge ergibt eine Bandfilterbank; der Frequenzgang der einzelnen Bandfilter entspricht hierbei der Signum-Funktion.

Bei der DFT würde allerdings eine rekursive Anwendung auf die Ausgangssignale der "Bandfilter" keine großen Vorteile bringen; das Ergebnis entspräche lediglich einer DFT über den Gesamt-Zeitraum (<Fensterlänge der Einzel-DFT> * <Anzahl der benutzten DFT-Ergebnisse für die rekursive DFT>). Mit einer Ausnahme: Ungenauigkeiten wären bei der rekursiven Ausführung größer als bei der DFT über die Gesamt-Länge.

Im Gegensatz zur DFT ergibt die Wavelet-Trandformation nicht Bandfilter konstanter absoluter Breite, sondern Bandfilter mit frequenzabhängiger Bandbreite (beim Haar-Wavelet: Bandbreite jeweils 1 Oktave): Bei hohen Frequenzen sind die Bandfilter sehr breit, bei niedrigen sehr schmal. Die Breite der hochfrequenten Wavelet-Bandfilter ist hierbei unabhängig von der Fensterlänge. Lediglich das Ende der Rekursion wird von der Fensterlänge bestimmt. Nur die Bandbreite des Bandfilters für die niedrigste Frequenz stimmt zwischen DFT und Wavelet-Transformation überein.

Welche Beschreibungsart am günstigsten ist, hängt von der Anwendung ab. Bei akustischen Siganlen könnte die DFT Vorteile haben, bei Bildbearbeitung ggf. die Wavelet-Transformation

Skyhead 01:05, 9. Feb 2005 (CET)

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Nachdem hier einiges geschehen ist: Erweiterungen schön und gut, aber was hat die Fensterung der Fourier-Transformation mit diesem Artikel zu tun? Was haben Alias-Effekte mit der DFT zu tun? Die DFT ist ein Verfahren, eine endliche, gleichmäßig abgetastete Kollektion von Funktionswerten durch sin und cos verschiedener Frequenzen zu interpolieren mit der Zeilsetzung bzw. Eindeutigkeit erzwingenden Einschränkung, eine periodische Funktion herauszubekommen. Also werden nur Oberschwingungen einer Grundschwingung zugelassen. Mehr nicht.

Man kann blockweise DFT und gleitende DFT diskutieren, weil da sowas wie ein zeitaufgelöstes Frequenzspektrum rauskommt. Nachdem man das getan hat, kann man auch gesampelte Sinusfunktionen unpassender Frequenzen mit den auftretenden Alias-Effekten diskutieren und was sich daraus ergibt, wenn man z.B. blockweise DFT zur Analyse digitalisierter Musik verwenden will. Keinesfalls sollte man einem endlichen Signal, diskret oder kontinuierlich, allzu ernsthaft Frequenzen zuordnen. Dazu gibt es viel zu viele Fortsetzungsmöglichkeiten.

Die Beschreibung der Fensterung ist entweder mathematisch schwach oder unnötig kompliziert. Wie schon gesagt ergibt sich die Frage, was das an dieser Stelle zu suchen hat. In diesen hypotentischen Artikel Gefensterte Fourier-Transformation gehört auch eine überarbeitete Fassung des Leck-Effekts. Jedes endliche Signal kann periodisch fortgesetzt werden. Gemeint ist wohl, dass ein periodisches Signal mit der falschen Periode abgeschnitten wird, so dass in der periodischen Fortsetzung die ursprüngliche Periode nicht mehr vorkommt. An diesem Ort ist dieses Problem schon im "Alias-Effekt der Block-DFT" enthalten, z.B. mit Beispiel "Sinus mit Wellenlänge 387 auf 1024 Samples bei Abtastrequenz 1".

Die Beschreibung der Bandfilterbank ist unverständlich. Eine Filterbank, ob theoretisch oder praktisch, wirkt immer auf (potentiell) unendliche Signale. --LutzL 11:02, 1. Apr 2005 (CEST)