„Krümmungskreis“ – Versionsunterschied

Datei:OsculatingCircle.png

Krümmungskreis einer Kurve C im Punkt P

Ein Beispiel: Der Krümmungskreis einer Normalparabel in ihrem Scheitelpunt hat den Radius 0,5

Der Krümmungskreis zu einem bestimmten Punkte $P=\left(x_{0}/y_{0}\right)$ einer ebenen Kurve C ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert.

Sein Radius (der Krümmungsradius) ist der Kehrwert der Krümmung der Kurve in $\left(x_{0}/y_{0}\right)$, seine Tangente in diesem Punkt stimmt mit der Tangente der Kurve überein.

Hinweis: Die Beispielzeichnungen legen nahe, dass der Krümmungskreis stets auf einer Seite der Kurve liegt. Dies ist jedoch nur dann der Fall, wenn die Krümmung der Kurve an dem entsprechenden Punkt ein Extremum hat. Da die Krümmung des Krümmungskreises konstant ist, verläuft eine Kurve mit sich ändernder Krümmung in der Regel auf einer Seite des Berührpunktes innerhalb, auf der anderen außerhalb ihres Krümmungskreises.

Der Mittelpunkt des Krümmungskreises (der Krümmungsmittelpunkt) kann aufgefasst werden als Grenzlage des Schnittpunktes zweier Normalen zu der Kurve, wenn die Kurvenpunkte, zu denen die Normalen gehören, aufeinander zu streben:

t1, t2,... sind die Tangenten, n1, n2,... sind die Normalen in den Punkten P1, P2,... Die Punkte P1, P2,... nähern sich dem Scheitelpunkt S. Die Schnittpunkte K1, K2,... nähern sich dem Krümmungsmittelpunkt K

Ist die Kurve in der Parameterdarstellung ${\vec {x}}(t)\,=\,{\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}\,$ gegeben, so ist sein Radius

$\mathbf {r} ={\frac {(x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2})^{(3/2)}}{x_{1}'(t)x_{2}''(t)-x_{1}''(t)x_{2}'(t)}}$,

Der Mittelpunkt $\left(u/v\right)$des Krümmungskreises hat dann die Koordinaten

$\mathbf {u} =x_{1}-{\frac {x_{2}'(t)(x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2})}{x_{1}'(t)x_{2}''(t)-x_{1}''(t)x_{2}'(t)}}$ und

$\mathbf {v} =x_{2}+{\frac {x_{1}'(t)(x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2})}{x_{1}'(t)x_{2}''(t)-x_{1}''(t)x_{2}'(t)}}$.