„Eigenwerte und Eigenvektoren“ – Versionsunterschied

Die Begriffe Eigenwert und Eigenvektor treten immer gemeinsam in der Linearen Algebra auf. Die im folgenden beschriebene mathematische Problemstellung nennt sich spezielles Eigenwertproblem.

Eigenvektoren eines linearen Operators (etwa durch eine Matrix dargestellt) sind Vektoren, auf welche die Anwendung des Operators (etwa die Multiplikation mit der Matrix) ein skalares Vielfaches ihrer selbst ergeben. Den entsprechenden Skalar nennt man Eigenwert. Obwohl der Nullvektor diese Eigenschaft für jeden Skalar erfüllt, wird er nicht als Eigenvektor bezeichnet.

Ist A eine n×n-Matrix, so heißt ${\vec {x}}\not =0$ ein Eigenvektor der Dimension n zum Eigenwert $\lambda$, wenn gilt:

$A\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot {\vec {x}}$

Berechnung der Eigenwerte

Die Eigenwerte lassen sich durch Lösung folgender Gleichung bestimmen, wobei det(M) die Determinante einer n×n-Matrix M und E die n×n-Einheitsmatrix bezeichnet:

$\det(A-\lambda \cdot E)=0$

Die Auflösung der Determinante liefert ein Polynom n-ten Grades in λ, das charakteristische Polynom (Siehe dort zur Herleitung). Dessen Auflösung liefert die n Eigenwerte λ₁, ..., λ_n.

$\alpha _{n}\lambda ^{n}+\alpha _{n-1}\lambda ^{n-1}+...+\alpha _{1}\lambda +\alpha _{0}=0$

Gleiche Eigenwerte fasst man zusammen, so dass sich k (≤ n) Eigenwerte λ₁, ..., λ_k mit ihren Vielfachheiten v_i ergeben.(Bsp: λ₁ = 1, λ₂ = 1, λ₃ = 2 dann besteht eine Vielfachheit für λ₁ von 2 und λ₂ von 1)

Kennt man die Eigenwerte und ihre Vielfachheiten, kann man die Jordansche Normalform der Matrix erstellen.

Eigenwerte können auch komplex sein.

Die Eigenwerte sind nach ihrem Erfinder dem deutschen Mathematiker Nikolaus Eigen (1711-1742) benannt.

Zahlenbeispiel

Gegeben ist die quadratische Matrix A: $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&2&-1\\2&-1&1\\2&-1&3\end{pmatrix}}$

Subtraktion der mit Lambda multiplizierten Einheitsmatrix von A:

$det(A-\lambda \cdot E)=det{\begin{pmatrix}0-\lambda &2&-1\\2&-1-\lambda &1\\2&-1&3-\lambda \end{pmatrix}}$

Ausrechnen der Determinante: $det(A-\lambda E)=(0-\lambda )(-1-\lambda )(3-\lambda )+4+2-(2\lambda +2+\lambda +12-4\lambda )$ $=-\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+4\lambda -8$ $=-(\lambda -2)(\lambda -2)(\lambda +2)$

Es ergeben sich die Eigenwerte: $\lambda _{1}=-2,$   $\lambda _{2}=2.$ Der Eigenwert 2 hat algebraische Vielfachheit 2, da er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Berechnung der Eigenvektoren

Für einen Eigenwert λ lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung

$(A-\lambda \cdot E)\cdot {\vec {e}}=0$

bestimmen. Die Eigenvektoren spannen einen Raum auf, dessen Dimension mit geometrischer Vielfachheit des Eigenwertes bezeichnet wird. Für einen Eigenwert λ der geometrischen Vielfachheit v lassen sich also Eigenvektoren e₁, ..., e_v finden, so dass die Menge aller Eigenvektoren zu λ gleich der Menge der Linearkombinationen von e₁, ..., e_v ist. e₁, ..., e_v heißt dann Basis von Eigenvektoren zum Eigenwert λ.

Die geometrische Vielfachheit ist immer kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit.

Berechnung der Eigenwerte großer Matrizen

Während die Lösung des char. Polynoms für Matrizen der Dimension 3 schon nicht so einfach ist, wird es für große Matrizen nahezu unmöglich. Hierzu gibt es Verfahren, die sowohl von der numerischen Stabilität her als auch vom Rechenaufwand wesentlich besser sind. Dazu gehören

• die Potenzmethode,
• die QR-Zerlegung,
• der QZ-Algorithmus,
• sowie spezielle Methoden für symmetrische Matrizen.

Online-Tool zum Berechnen von Eigenwerten etc. auch großer Matrizen

Praktische Beispiele

Durch Lösung eines Eigenwertproblems berechnet man

• Eigenfrequenzen, Eigenformen und ggf. auch Dämpfungscharakteristik eines schwingfähigen Systems,
• Knicklast eines Knickstabs,
• Beulversagen eines leeren Rohres unter Außendruck,
• Die Hauptkomponenten einer Punktmenge, z.B. zur Kompression von Bildern oder Bestimmung von Faktoren in der Psychologie. (Principal Component Analysis).
• Hauptspannungen in der Festigkeitslehre: Umrechnung der Spannungen in ein Kordinatensystem, in dem es keine Schubspannungen gibt,
• Hauptträgheitsachsen eines unsymmetrischen Querschnitts, um einen Balken (Träger o.dgl.) in diesen beiden Richtungen unabhängig voneinander zu berechnen,
• vielfältige andere technische Problemstellungen, die mit der jeweils anders definierten Stabilität eines Systems zu tun haben.