„Kommutatorgruppe“ – Versionsunterschied

In der Mathematik bezeichnet die Kommutatorgruppe (oder Kommutator-Untergruppe) zu einer Gruppe $G$ diejenige Untergruppe, die von den Kommutatoren von $G$ erzeugt wird:

$K(G)=\langle \{[a,b]\ |\ a,b\in G\}\rangle ,\qquad [a,b]=aba^{-1}b^{-1}$

Die Kommutatorgruppe wird auch mit $[G,G]$ bezeichnet.

Im Allgemeinen ist die Menge aller Kommutatoren keine Untergruppe von $G$, die Passage erzeugt von in der Definition kann also nicht weggelassen werden.

Eigenschaften

$K(G)$ ist Normalteiler von $G$, da für alle $x\in G$ gilt: $x^{-1}[a,b]x=[x^{-1}ax,x^{-1}bx]$

Die Größe der Kommutatorgruppe wird als Maß für die Kommutativität einer Gruppe genommen. $G$ ist genau dann abelsch, wenn $K(G)=\{e\}$.

Die Faktorgruppe $G/K(G)$ ist stets abelsch, sie wird als Abelisierung der Gruppe bezeichnet. Für jeden Normalteiler $N$ gilt:

$G/N$ ist genau dann abelsch, wenn $K(G)\subseteq N$.

Das heißt, die Kommutatorgruppe ist der kleinste Normalteiler, für den die Faktorgruppe abelsch ist.

Beispiel

Es sei $S_{n}$ die symmetrische Gruppe und $A_{n}$ die alternierende Gruppe. Dann gilt:

• $K(S_{n})=A_{n}$ für $n\geq 2$
• $K(A_{n})=A_{n}$ für $n\geq 5$
• $K(A_{4})=V$, wobei $V$ die Kleinsche Vierergruppe bezeichnet
• $K(A_{3})=K(A_{2})=\{e\}$

Höhere Kommutatorgruppen

Das Bilden der Kommutatorgruppe lässt sich iterieren, man bezeichnet die $n$-te Kommutatorgruppe mit $K_{n}(G)$. Die rekursive Definition lautet:

1. $K_{0}(G):=G$
2. $K_{n+1}(G):=K(K_{n}(G))$

Eine Gruppe $G$ heißt auflösbar genau dann, wenn eine Kette von sukzessiven Normalteilern $G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \ldots \triangleright G_{n}=\{e\}$ (Subnormalreihe) existiert, so dass die Faktorgruppen $G_{k}/G_{k+1}$ abelsch sind. Die Konstruktion der iterierten Kommutatorgruppe liefert ein Kriterium für die Auflösbarkeit von $G$:

$G$ ist genau dann auflösbar, wenn es ein $n\in \mathbb {N}$ gibt mit $K_{n}(G)=\{e\}$

In der Tat ist die bei fortgesetzter Kommutatorbildung entstehende absteigende Reihe von Untergruppen oder eine Verfeinerung dieser Reihe äquivalent zu jeder solchen Subnormalreihe oder einer Verfeinerung derselben.

Der Zusammenhang zwischen den beiden äquivalenten Definitionen der Auflösbarkeit, über fortgesetzte Kommutatorenbildung einerseits und über eine Subnormalreihe andererseits sowie der Begriff der Subnormalreihe werden im Artikel „Reihe (Gruppentheorie)“ erläutert.

Beispiel

Die symmetrische Gruppe $S_{n}$ bzw. die alternierende Gruppe $A_{n}$ ist genau dann auflösbar, wenn $n<5$. Für $n\in \{2,3\}$ sieht man das sofort mit obigem Beispiel ein. Für $n=4$ gilt:

$K(S_{4})=A_{4}$, $K(A_{4})=V$, $K(V)=\{e\}$, da $V$ abelsch ist

Für $n\geq 5$ wird die Kette der iterierten Kommutatorgruppen stationär bei $A_{n}\neq \{e\}$, also ist dann weder $S_{n}$ noch $A_{n}$ auflösbar.