„Hallsche Untergruppe“ – Versionsunterschied

Unter einer hallschen Untergruppe versteht man in der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Algebra, eine Untergruppe einer endlichen Gruppe, deren Mächtigkeit teilerfremd zu ihrem Index ist.

Sie sind benannt nach dem britischen Mathematiker Philip Hall.

Formale Definition

Sei $G$ eine endliche Gruppe, $U\leq G$.

$U$ heißt hallsch in $G:\iff 1\in ggT(\left|U\right|,\left|G:U\right|)$

Man beachte, dass diese Definition nur für endliche Gruppen sinnvoll ist, weil der Index und die Mächtigkeit einer Untergruppe einer unendlichen Gruppe nicht beide endlich sein müssen.

Beispiel: $(\mathbb {Z} ,+)$ ist eine unendliche Gruppe, die Menge $n\mathbb {Z}$ ist für jedes $n\in \mathbb {N}$ eine Untergruppe, nämlich die Gruppe der durch $n$ teilbaren Zahlen. Offenbar ist $n\mathbb {Z}$ nicht endlich, es ist aber $\left|\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \right|=n$, denn die Elemente dieser Gruppe sind genau die Restklassen modulo $n$, also die Reste, die beim Teilen durch $n$ möglich sind. Die Gruppe $\mathbb {Z} \times C_{2}$, das direkte Produkt von $(\mathbb {Z} ,+)$ mit einer zweielementigen zyklischen Gruppe hat die endliche Untergruppe ${0}\times C_{2}$, deren Index unendlich ist.

Beispiele

• Jede Sylowgruppe ist hallsch in der jeweiligen Gruppe
• Jede Gruppe ist hallsch in sich selbst
• Das Frobeniuskomplement einer Frobeniusgruppe ist hallsch in der Gruppe
• Die alternierende Gruppe vom Grad $n$ ist genau dann hallsch in der symmetrischen Gruppe vom Grad $n$, wenn $n\leq 3$

Bedeutung

Philip Hall hat gezeigt, dass für jede endliche auflösbare Gruppe $G$ und eine Menge von Primzahlen $\pi$ gilt:

(1) $G$ besitzt hallsche $\pi$-Untergruppen

(2) Je zwei solche Untergruppen sind konjugiert

(3) Jede $\pi$-Untergruppe von $G$ ist in einer hallschen $\pi$-Untergruppe von $G$ enthalten

Dabei ist eine $\pi$-Untergruppe von $G$ eine Gruppe, deren Ordnung alle Zahlen aus $\pi$ enthält.

Umgekehrt ist jede endliche Gruppe, die zu jeder Menge von Primzahlen $\pi$ eine entsprechende hallsche Untergruppe besitzt, auflösbar.