„Masse-Feder-System“ – Versionsunterschied

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Masse-Feder-System beschreibt eine allgemeine Klasse von Systemen, die mathematisch so beschrieben werden, wie ein System aus Massen, die durch Federn miteinander gekoppelt sind und optional dämpfende Elemente enthalten. In einem solchen System kann Energie entweder als kinetische Energie in der Bewegung der Massen (proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit) gespeichert sein oder als potentielle Energie in der Auslenkung der Federn aus ihrer Ruheposition (proportional zur Auslenkung). Die kinetische Energie kann zusätzlich durch ein Dämpfungselement dissipiert werden, das mit einer Kraft proportional zur Geschwindigkeit der Bewegung ihr entgegengesetzt wirkt.

Mathematische Beschreibung

Die allgemeinste mathematische Beschreibung eines Masse-Feder-Systems mit $\textstyle N$ Elementen, die jeweils $\textstyle D$ Freiheitsgrade haben, lautet:

$\forall _{i=1}^{N}\forall _{d=1}^{D}:{\frac {d^{2}x_{i,d}}{dt^{2}}}=\sum _{k=0}^{D}F_{i,d,k}x_{i,k}+\sum _{k=0}^{D}D_{i,d,k}{\frac {dx_{i,k}}{dt}}+\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{D}\sum _{l=1}^{D}F_{ij,kl}(x_{i,k}-x_{j,l})+\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{D}\sum _{l=1}^{D}D_{ij,kl}{\frac {d}{dt}}(x_{i,k}-x_{j,l})+\mathrm {const}$

Dabei sind $\textstyle i$ und $\textstyle j$ Zählvariable für die Elemente, $\textstyle d$, $\textstyle k$ und $\textstyle l$ Zählvariablen für die Freiheitsgrade, und $\textstyle F_{i,dk}$ die Federkonstanten für die Auslenkung von Element $\textstyle i$ im Freiheitsgrad $\textstyle k$, $\textstyle F_{ij,kl}$ die Federkonstanten der Kopplung zwischen Element $\textstyle i$ und $\textstyle j$ bei Auslenkung im Freiheitsgrad $\textstyle k$ und $\textstyle l$, sowie $\textstyle D_{ij,kl}$ die Dämpfungskonstanten zwischen Element $\textstyle i$ und $\textstyle j$ bezüglich der Relativgeschwindigkeiten im Freiheitsgrad $\textstyle k$ und $\textstyle l$. Der konstante Term $\textstyle \mathrm {const}$ beschreibt ein optionales bestehendes externes homogenes Feld. In realen Systemen sind die gilt diese Beschreibung exakt für $\textstyle k=l=d$ und näherungsweise für kleine Auslenkungen $\textstyle k,l\neq d$.

Anwendungen

Federpendel

→ Hauptartikel: Federpendel

Das Federpendel ist ein Masse-Feder-System, das aus einer einzelnen Masse, Feder, und einem optionalen Dämpfungselement besteht ($\textstyle N=1$).

gekoppelte Harmomische Oszillatoren

→ Hauptartikel: Harmonischer Oszillator

Die allgemeine mathematische Beschreibung von Masse-Feder-Systemen kann genutzt werden um gekoppelte harmonische Oszillatoren zu beschreiben.

Bahntechnik

→ Hauptartikel: Masse-Feder-System (Bahntechnik)

In der Bahntechnik werden Masse-Feder-Systeme im Unterbau von Gleisen zur Minderung von Erschütterungen eingesetzt, indem Massen, Elastizitäten und Dämpfungseigenschaften der eingesetzten Baustoffe und -elemente so gewählt werden, dass eine weitgehende Entkopplung des Unterbaus von den Schwingungen der passierenden Züge erreicht wird.

Computergrafik

→ Hauptartikel: Masse-Feder-System (Computergrafik)

Bei der Modellierung der Danamik eines elastischen Körpers in der Computergrafik wird der kontinuierlich Körper durch ein System aus vielen Massen, Federn und Dämpfungselementen ersetzt, deren Verhalten dann einfacher berechnet werden kann als mit Methoden der Kontinuumsmechanik.