„Benutzer:Kassbohm/Dynamik des Dynamischen Segelflugs“ – Versionsunterschied

Im Dynamischen (Segel-)Flug sammelt das Flugzeug Energie aus einer Windscherung. Eine Energiebilanz lässt erkennen, wodurch ein Flugzeug Energie gewinnen bzw. nutzbar machen kann. Die Energiebilanz wird im Folgenden mit Hilfe der Impulsbilanz hergeleitet.

Basis und äußere Kräfte

$\mathbf {e} _{i}$ sei eine am Boden fixierte Orthonormalbasis mit $\mathbf {e} _{3}$ nach oben zeigend. Der Ortsvektor zum Flugzeug, welches als Massepunkt beschrieben wird, sei beschrieben mit Koordinaten (x,y,z) in Bezug auf diese Basis.

Einzige äußere Last sei die Gewichtskraft, die proportional zur Masse und zur Erdbeschleunigung g ist.

Dann gilt

$\mathbf {g} =-g\mathbf {e} _{3}$

und für den Geschwindigkeitsvektor ggü. Grund

$\mathbf {v} ={\dot {x}}\mathbf {e} _{1}+{\dot {y}}\mathbf {e} _{2}+{\dot {z}}\mathbf {e} _{3}$

Und daraus folgt

$\mathbf {g} \cdot \mathbf {v} =-g{\dot {z}}$

Wind und Impulsbilanz

Das Flugzeug (der Massepunkt) habe die Masse m. v sei der Vektor der Geschwindigkeit des Flugzeugs ggü. Grund. w sei der Vektor der Geschwindigkeit des Windes ggü. Grund, und u sei der Vektor der Geschwindigkeit des Flugzeugs ggü. Luft. Dann gilt

$\mathbf {v} =\mathbf {w} +\mathbf {u}$

Der Vektor der spezifischen Auftriebskraft A (Einheit N/kg) sei senkrecht zur Anströmung. Dann ist

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} =0$

Die Widerstandskraft sei neben dem Auftrieb und der Gewichtskraft die einzige äußere Kraft, die am Flugzeug angreift. Der Vektor der spezifischen Widerstandskraft W sei parallel zur Anströmung u. Dann gilt nach Newtons zweitem Gesetz

$m{\dot {\mathbf {v} }}=m\mathbf {A} +m\mathbf {W} +m\mathbf {g}$

Die letzte Gleichung beschreibt die zeitliche Änderung des Impulses. Interessanter als die Impulsbilanz ist aber die Energiebilanz für ein Flugzeug.

Energiebilanz

Um eine Energiegleichung zu gewinnen, wird die letzte Gleichung skalar mit u multipliziert und es wird eingesetzt, dass $\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} =0$. Es folgt

${\dot {\mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\mathbf {W} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {g} \cdot \mathbf {u}$

Einsetzen der ersten Gleichung liefert

$({\dot {\mathbf {w} }}+{\dot {\mathbf {u} }})\cdot \mathbf {u} \mathbf {=} \mathbf {W} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {g} \cdot (\mathbf {v} -\mathbf {w} )$

Dies eingesetzt in die Energiegleichung liefert

${\dot {\mathbf {u} }}\cdot \mathbf {u} +g{\dot {z}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {u} -\mathbf {g} \cdot \mathbf {w} -{\dot {\mathbf {w} }}\cdot \mathbf {u}$

Anwendung der Produktregel rückwärts ergibt

$({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +gz){\dot {}}={\color {red}{\mathbf {W} \cdot \mathbf {u} }}-{\color {green}{\mathbf {g} \cdot \mathbf {w} }}-{\color {blue}{{\dot {\mathbf {w} }}\cdot \mathbf {u} }}$ Auf der linken Seite der Gleichung steht die zeitliche Änderung der spezifischen Energie des Flugzeugs. Diese Energie wird auch von Variometern in Segelflugzeugen gemessen. Die zeitliche Veränderung dieser Energie wird durch diedrei Terme auf der rechten Seite beeinflusst: Der rote Term ist die spezifische Leistung aufgrund des Widerstands. Dieser Term ist immer negativ. Der grüne Term ist die spezifische Leistung aus Auf- bzw. Abwind. Bei Aufwind ist $-\mathbf {g} \cdot \mathbf {w} >0$, d.h. Aufwinde erhöhen die Energie des Flugzeugs. Der blaue Term ist die spezifische Leistung aufgrund zunehmenden Gegenwinds, denn zunehmender Gegenwind bedeutet $-{\dot {\mathbf {w} }}\cdot \mathbf {u} >0$.