„Monodromiesatz“ – Versionsunterschied

Versionsgeschichte interaktiv durchsuchen

[gesichtete Version]

← Zum vorherigen Versionsunterschied Zum nächsten Versionsunterschied →

Inhalt gelöscht Inhalt hinzugefügt

Inline

Version vom 27. Dezember 2018, 01:33 Uhr

Der Monodromiesatz ist ein wichtiger mathematischer Satz aus dem Gebiet der Funktionentheorie und beschreibt die Homotopie-Invarianz der analytischen Fortsetzung einer holomorphen Funktion.

Monodromiesatz

Es seien

$\alpha$ und ${\tilde {\alpha }}$ zwei homotope Wege in $\mathbb {C}$ (Menge der komplexen Zahlen),
$h:=h(t,\tau )$ eine Homotopie zwischen $\alpha$ und ${\tilde {\alpha }}$ ,
$K$ eine offene Kreisscheibe um den gemeinsamen Anfangspunkt von $\alpha$ und ${\tilde {\alpha }}$ ,
$f_{0}\colon K\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion auf der offenen Kreisscheibe $K$ in die Menge der komplexen Zahlen,
$K'$ eine weitere offene Kreisscheibe in $\mathbb {C}$ ,
$f_{1},{\tilde {f}}_{1}\colon K'\to \mathbb {C}$ zwei Funktionen auf $K'$ nach $\mathbb {C}$ .

Außerdem bezeichne $h_{\tau }:=h(\cdot ,\tau )$ den $\tau$ -ten Einzelweg der Homotopie $h$ .

Satz

Es sei $f_{0}$ längs eines jeden $h_{\tau }$ analytisch fortsetzbar, dann gilt: Entstehen $f_{1}$ und ${\tilde {f}}_{1}$ aus $f_{0}$ durch analytische Fortsetzung längs $\alpha$ bzw. ${\tilde {\alpha }}$ , so ist $f_{1}={\tilde {f}}_{1}$ .^[1]

Einzelnachweise

↑ Klaus Jänisch: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1980, ISBN 3-540-10032-6.

[jaenisch_einf_funk_theo_a2-1] Klaus Jänisch: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1980, ISBN 3-540-10032-6.

[1]

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 == Monodromiesatz ==
 Es seien
-* <math>\alpha</math> und <math>\tilde \alpha</math> zwei [[Homotopie|homotope]] [[Weg (Mathematik)|Weg]]e in <math>\C</math> ([[Komplexe Zahlen|Menge der komplexen Zahlen]]),
+* <math>\alpha</math> und <math>\tilde \alpha</math> zwei [[Homotopie|homotope]] [[Weg (Mathematik)|Weg]]e in <math>\Complex</math> ([[Komplexe Zahlen|Menge der komplexen Zahlen]]),
 * <math>h := h(t, \tau)</math> eine Homotopie zwischen <math>\alpha</math> und <math>\tilde \alpha</math>,
 * <math>K</math> eine [[Offene_Menge#Offene_Kugel|offene Kreisscheibe]] um den gemeinsamen Anfangspunkt von <math>\alpha</math> und <math>\tilde \alpha</math>,
-* <math>f_0\colon K \to \C</math> eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] auf der offenen Kreisscheibe <math>K</math> in die Menge der komplexen Zahlen,
+* <math>f_0\colon K \to \Complex</math> eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] auf der offenen Kreisscheibe <math>K</math> in die Menge der komplexen Zahlen,
-* <math>K'</math> eine weitere offene Kreisscheibe in <math>\C</math>,
+* <math>K'</math> eine weitere offene Kreisscheibe in <math>\Complex</math>,
-*<math>f_1, \tilde f_1\colon K' \to \C</math> zwei Funktionen auf <math>K'</math> nach <math>\C</math>.
+*<math>f_1, \tilde f_1\colon K' \to \Complex</math> zwei Funktionen auf <math>K'</math> nach <math>\Complex</math>.
 Außerdem bezeichne <math>h_\tau := h(\cdot, \tau)</math> den <math>\tau</math>-ten Einzelweg der Homotopie <math>h</math>.