„Positive Operator Valued Probability Measure“ – Versionsunterschied

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Aktuelle Version vom 21. März 2021, 20:34 Uhr

Positive Operator Valued (Probability) Measure, abgekürzt als POVM, ist eine Beschreibung des quantenmechanischen Messprozesses in der Physik. Mathematisch gesehen ist ein POVM eine Art Wahrscheinlichkeitsmaß, dessen Werte positive Operatoren statt positiver Zahlen sind.

Definition

Ein POVM auf einem Messraum $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ ist eine Abbildung $\mu \colon {\mathcal {A}}\to B({\mathcal {H}})$ mit Werten in der Menge der beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraumes ${\mathcal {H}}$ , die folgenden drei Bedingungen genügt:

Für alle $A\in {\mathcal {A}}$ gilt $0\leq \mu (A)\leq \operatorname {id} _{\mathcal {H}}$ (hier bezeichnet $\operatorname {id} _{\mathcal {H}}$ die identische Abbildung auf dem Hilbertraum). Das heißt, $\mu (A)$ ist positiv und daher auch selbstadjungiert.
$\mu (\Omega )=\operatorname {id} _{\mathcal {H}}$ .
Für jede Folge paarweise disjunkter Mengen $(A_{n}\in {\mathcal {A}})_{n\in \mathbb {N} }$ gilt

\mu {\bigg (}\biguplus _{n=1}^{\infty }A_{n}{\bigg )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}),

wobei die unendliche Reihe im Sinne der starken Operatortopologie konvergiert.

Erläuterungen

Die Definition eines POVM steht in Analogie zu den Kolmogorow-Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie, wobei die Wahrscheinlichkeit durch einen positiven Operator statt durch eine positive reelle Zahl beschrieben wird. POVM verallgemeinern den Begriff des Spektralmaßes, der in der Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren auftritt.

Verwendung in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik treten POVM zur Beschreibung von allgemeineren Messungen auf. Hier hat man meistens eine diskrete Menge von sogenannten Effekten ${E}_{i}$ , die folgendes erfüllen:

$0\leq E_{i}\leq I$ , hier ist $I$ die Einheitsmatrix. Insbesondere sind die $E_{i}$ positiv semidefinit.
$\sum _{i}E_{i}=I$

Die $E_{i}$ beschreiben die verschiedenen Messergebnisse: Wenn das System im Zustand $\rho$ ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats $i$ gegeben durch $p_{i}=\operatorname {Tr} (\rho {E}_{i})$ .

Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer Von-Neumann-Messung (sog. projektive Messung), bei einer solchen sind die $E_{i}=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|$ Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen. Man kann jedoch jedes POVM als eine Von-Neumann-Messung auf einem erweiterten System (Originalsystem + Hilfssystem) auffassen.

Insbesondere für die Quanteninformationstheorie sind POVM bei der Zustandsunterscheidung nichtorthogonaler Zustände oder bei Abhörstrategien in der Quantenkryptographie relevant.

Literatur

Diane Martinez, Jody Trout: Asymptotic Spectral Measures, Quantum Mechanics, and E-theory. In: Communications in Mathematical Physics. Band 226, Nr. 1, 2002, S. 41–60, arxiv:math/0107091.

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-'''Positive operator valued (probability) measure''', abgekürzt als POVM, ist eine Beschreibung des [[Quantenmechanische Messung|quantenmechanischen Messprozesses]] in der Physik. Mathematisch gesehen ist ein POVM eine Art [[Wahrscheinlichkeitsmaß]], dessen Werte positive Operatoren statt positiver Zahlen sind.
+'''Positive Operator Valued (Probability) Measure''', abgekürzt als ''POVM'', ist eine Beschreibung des [[Quantenmechanische Messung|quantenmechanischen Messprozesses]] in der [[Physik]]. Mathematisch gesehen ist ein POVM eine Art [[Wahrscheinlichkeitsmaß]], dessen Werte [[Positiver Operator|positive Operatoren]] statt positiver Zahlen sind.
 == Definition ==
-Ein POVM auf einem [[Messraum]] <math>(\Omega, \mathcal{A})</math> ist eine [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]]
+Ein POVM auf einem [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] <math>(\Omega, \mathcal{A})</math> ist eine [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]]
-<math>\mu:\mathcal{A}\to B(\mathcal{H})</math> mit Werten in der Menge der beschränkten linearen [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] eines [[Hilbertraum]]es <math>\mathcal{H}</math>, die folgenden drei Bedingungen genügt:
+<math>\mu\colon\mathcal{A}\to B(\mathcal{H})</math> mit Werten in der Menge der beschränkten linearen [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] eines [[Hilbertraum]]es <math>\mathcal{H}</math>, die folgenden drei Bedingungen genügt:
-* Für alle <math>A\in \mathcal{A}</math> gilt <math>0\le \mu(A) \le \operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> (hier bezeichnet <math>\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> die [[Identische Abbildung]] auf dem Hilbertraum). Das heißt, <math>\mu(A)</math> ist positiv und daher auch [[selbstadjungiert]].
+* Für alle <math>A\in \mathcal{A}</math> gilt <math>0\le \mu(A) \le \operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> (hier bezeichnet <math>\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> die [[identische Abbildung]] auf dem Hilbertraum). Das heißt, <math>\mu(A)</math> ist positiv und daher auch [[selbstadjungiert]].
 * <math>\mu(\Omega)=\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math>.
 * Für jede Folge [[paarweise disjunkt]]er [[Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>(A_n\in \mathcal{A})_{n\in\mathbb{N}}</math> gilt
-:<math>\mu\bigg(\biguplus_{n=1}^\infty A_n\bigg)=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_n),</math>
+:<math>\mu\bigg(\biguplus_{n=1}^\infty A_n\bigg)=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n),</math>
-:wobei die unendliche [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] im Sinne der [[starke Operatortopologie|starken Operatortopologie]] konvergiert.
+:wobei die unendliche [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] im Sinne der [[Starke Operatortopologie|starken Operatortopologie]] konvergiert.
 == Erläuterungen ==
-Die Definition eines POVM steht in Analogie zu den [[Kolmogorow-Axiome#Axiome_von_Kolmogorow|Kolmogorow-Axiomen]] der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]], wobei die Wahrscheinlichkeit durch einen positiven Operator statt durch eine positive reelle Zahl beschrieben wird. POVM verallgemeinern den Begriff des [[Spektralmaß]]es, der in der Spektraltheorie [[selbstadjungiert]]er [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] auftritt.
+Die Definition eines POVM steht in Analogie zu den [[Kolmogorow-Axiome#Axiome von Kolmogorow|Kolmogorow-Axiomen]] der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]], wobei die Wahrscheinlichkeit durch einen positiven Operator statt durch eine positive reelle Zahl beschrieben wird. POVM verallgemeinern den Begriff des [[Spektralmaß]]es, der in der Spektraltheorie [[selbstadjungiert]]er [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] auftritt.
 === Verwendung in der Quantenmechanik ===
-In der [[Quantenmechanik]] treten POVM zur Beschreibung von allgemeineren Messungen auf. Hier hat man meistens eine diskrete Menge von sogenannten Effekten <math> {E}_i </math>,  die folgendes erfüllen:
+In der [[Quantenmechanik]] treten POVM zur Beschreibung von allgemeineren Messungen auf. Hier hat man meistens eine diskrete Menge von sogenannten Effekten <math> {E}_i </math>, die folgendes erfüllen:
-* <math>0\leq E_i \leq \mathbb{I}</math>, hier ist  <math>\mathbb{I}</math> die Einheitsmatrix. Insbesondere sind die <math>E_i</math> [[Semidefinit#Definitheit_von_Bilinearformen_und_Sesquilinearformen|positiv semidefinit]].
+* <math>0\leq E_i \leq I</math>, hier ist  <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]]. Insbesondere sind die <math>E_i</math> [[Semidefinit#Definitheit von Matrizen|positiv semidefinit]].
-* <math>\sum_i E_i =\mathbb{I}</math>
+* <math>\sum_i E_i = I</math>
-Die <math>E_i</math> beschreiben die verschiedenen Messergebnisse, wenn das System im Zustand <math>\rho</math>
+Die <math>E_i</math> beschreiben die verschiedenen Messergebnisse: Wenn das System im Zustand <math>\rho</math>
-ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats <math>i</math>  gegeben durch <math> p_i=Tr(\rho  {E}_i )</math>.
+ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats <math>i</math>  gegeben durch <math> p_i=\operatorname{Tr}(\rho  {E}_i )</math>.
-Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer [[quantenmechanische Messung|von-Neumann-Messung]] (sog. projektive Messung), bei einer solchen sind die <math>E_i = |\psi_i \rangle \langle \psi_i|</math> Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen. Man kann jedoch jedes POVM als eine von-Neumann-Messung auf einem erweiterten System (Originalsystem + Hilfssystem) auffassen.
+Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer [[Quantenmechanische Messung|Von-Neumann-Messung]] (sog. projektive Messung), bei einer solchen sind die <math>E_i = |\psi_i \rangle \langle \psi_i|</math> Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen. Man kann jedoch jedes POVM als eine Von-Neumann-Messung auf einem erweiterten System (Originalsystem + Hilfssystem) auffassen.
 Insbesondere für die Quanteninformationstheorie sind POVM bei der Zustandsunterscheidung nichtorthogonaler Zustände oder bei Abhörstrategien in der Quantenkryptographie relevant.
-== Weblinks ==
+== Literatur ==
+* {{Literatur
-* [http://gauss.dartmouth.edu/~jodyt/IPSI.2003.Trout.pdf Übersichtsartikel] (PDF-Datei; 159 kB)
+   |Autor=Diane Martinez, Jody Trout
+   |Titel=Asymptotic Spectral Measures, Quantum Mechanics, and E-theory
+   |Sammelwerk=Communications in Mathematical Physics
+   |Band=226
+   |Nummer=1
+   |Datum=2002
+   |Seiten=41–60
+   |arXiv=math/0107091}}
-[[Kategorie:Stochastik]]
 [[Kategorie:Quantenmechanik]]
+[[Kategorie:Maßtheorie]]
+[[Kategorie:Funktionalanalysis]]