„Erste Variation“ – Versionsunterschied

In der angewandten Mathematik und in der Variationsrechnung, ist die erste Variation des Funktionals J(y) definiert als

$\delta J(y)(h)=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0},$

wobei $J(y):X\rightarrow \mathbb {R}$ ein Funktional, sowie $y,h\in X$ Funktionen im Funktionenraum $X$, und ε ein Skalar ist (gesprochen: die erste Variation von J nach y).

Alternative Definition

Eine alternative Definition, welche auch häufiger in der theoretischen Physik, vor allem aber in der Feldtheorie anzutreffen ist, lautet wie folgt:

Sei ${\mathcal {D}}(\Omega )$ ein Raum von Testfunktionen über $\Omega$ und

$F\colon M\rightarrow \mathbb {K} \quad {\mbox{wobei}}\quad \mathbb {K} =\mathbb {R} \ {\mbox{oder}}\ \mathbb {K} =\mathbb {C}$

ein lineares Funktional.

Die erste Variation (manchmal auch als Funktionalableitung bezeichnet) ${\delta F}/{\delta \varphi }$ von F ist definiert als jene Distribution aus ${\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$ welche

$\left\langle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (x)}},f(x)\right\rangle =\int {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (x')}}f(x')dx'=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon f(x)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}=\left.{\frac {d}{d\epsilon }}F[\varphi +\epsilon f]\right|_{\epsilon =0}\quad \forall f\in {\mathcal {D}}(\Omega )$

erfüllt. Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines Gradienten, wobei durch die Notation ${\frac {\delta }{\delta \varphi (x)}}$ ausgedrückt werden soll, dass die Ableitung in Richtung einer Testunktion $\varphi (x)\in {\mathcal {D}}(\Omega )$ stattfindet.

Eigenschaften

1. Die erste Variation ist eine lineare Abbildung:

   Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\deltaF“): {\displaystyle \delta(F(y)+\alpha G(y))(h) = \deltaF(y)(h) + \alpha\deltaG(y)(h)\quad\forall\alpha\in\mathcal{K}, \forall F,G\in{\mathcal D}^\prime(\Omega)}

2. Für ein Produkt aus Funktionalen $F(y)=G(y)H(y)$ gilt die Produktregel:

   $\delta F(y)(h)=\delta G(y)(h)\ H(y)+G(y)\ \delta H(y)(h)$

Beispiel

Die erste Variation von

$J(y)=\int _{a}^{b}yy'dx.$

Nach der Definition oben ist,

${\begin{aligned}\delta J(y)(h)&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(y+\varepsilon h)(y^{\prime }+\varepsilon h^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _{a}^{b}{\frac {d}{d\varepsilon }}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h+2\varepsilon hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h)\ dx\end{aligned}}$

Siehe auch

• Hamiltonsches Prinzip
• Euler-Lagrange-Gleichung
• Variation
• Totale Ableitung
• Fréchet-Ableitung
• Gâteaux-Differential

Weblinks

• Exampleproblems.com hat mehr Beispiele.