Umkreis und Benutzer:Pixelfire/Sichtertabelle: Unterschied zwischen den Seiten

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Version vom 21. September 2011, 05:58 Uhr

Jahr	Monat	Sichtungen
2011	9	14
2011	8	77
2011	7	2
2010	12	1
2010	11	1
2010	8	1
2009	3	2
2008	10	1
2008	8	1
2008	7	1
2008	6	3
2008	5	5
Average	/ Monat	9.08333333333
Total	-	109

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+{| class="wikitable"
-In der ebenen [[Geometrie]] ist ein '''Umkreis''' ein [[Kreis (Geometrie)|Kreis]], der durch alle [[Punkt (Geometrie)|Eckpunkte]] eines [[Vieleck]]s (eines Polygons) geht.
+!Jahr
+!Monat
-Nicht für jedes Polygon existiert ein solcher Umkreis. Allgemein besitzt ein [[konvex]]es Polygon genau dann einen Umkreis, wenn sich die [[Seitensymmetrale|Mittelsenkrechten]] aller Seiten in einem Punkt schneiden. In diesem Fall ist der gemeinsame Punkt der Mittelpunkt des Umkreises.
+!Sichtungen
+|-
-[[Bild:UmkreisVieleck.png|center]]
+| 2011
+| 9
-Jedes [[Dreieck]] besitzt einen Umkreis (siehe unten). Für [[Viereck]]e, Fünfecke usw. gilt dies im Allgemeinen nicht mehr. Vierecke, die einen Umkreis haben, werden [[Sehnenviereck]]e genannt. Spezialfälle sind das [[gleichschenkelig]]e [[Trapez (Mathematik)|Trapez]], das [[Rechteck]] und das [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]].
+| 14
+|-
-Unabhängig von der Eckenzahl hat jedes regelmäßige Vieleck einen Umkreis. Für den Umkreisradius eines regelmäßigen <math>n</math>-Ecks mit der Seitenlänge <math>a</math> gilt:
+| 2011
-:<math>R = \frac{a}{2 \sin\frac{180^\circ}{n}}</math>
+| 8
+| 77
-== Umkreis eines Dreiecks ==
+|-
-{{Mehrfacheintrag|Kreise am Dreieck|--[[Benutzer:W!B:|W!B:]] 22:16, 6. Mai 2006 (CEST)|}}
+| 2011
-Der Mittelpunkt des Umkreises in einem Dreieck ist der Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten des Dreiecks, der so genannte Umkreismittelpunkt des Dreiecks.
+| 7
+| 2
-Dass für jedes beliebige Dreieck ein Umkreis existiert, lässt sich folgendermaßen begründen: Alle Punkte der Mittelsenkrechten zu [AB] sind von A und B gleich weit entfernt. Entsprechend haben die Punkte der Mittelsenkrechten zu [BC] übereinstimmende Entfernungen von B und C. Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist also von allen drei Ecken (A, B und C) gleich weit entfernt. Er muss also auch auf der dritten Mittelsenkrechten liegen. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der durch eine Ecke des Dreiecks geht, so müssen auch die anderen Ecken auf diesem Kreis liegen.
+|-
+| 2010
-[[Bild:UmkreisDreieck.png|center]]
+| 12
+| 1
-Für spitzwinklige Dreiecke liegt der Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks. Beim rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse zugleich Umkreismittelpunkt (siehe [[Satz des Thales]]). Im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks (mit einem Winkel über 90°) befindet sich der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.
+|-
+| 2010
-{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" align="center"
+| 11
-|----
+| 1
-! bgcolor="#c0c0ff" colspan="2" align="center" | Umkreismittelpunkt eines Dreiecks (<math>X_3</math>)
-|----
+|-
+| 2010
-! align="left" | [[Trilineare Koordinaten]]
+| 8
-| <math>\cos\alpha \, : \, \cos\beta \, : \, \cos\gamma</math><br>
+| 1
-<math>= a(b^2+c^2-a^2) \, : \, b(c^2+a^2-b^2) \, : \, c(a^2+b^2-c^2)</math>
-|----
+|-
+| 2009
-! align="left" | [[Baryzentrische Koordinaten]]
+| 3
-| <math>\sin(2\alpha) \, : \, \sin(2\beta) \, : \, \sin(2\gamma)</math>
+| 2
+|-
+| 2008
+| 10
+| 1
+|-
+| 2008
+| 8
+| 1
+|-
+| 2008
+| 7
+| 1
+|-
+| 2008
+| 6
+| 3
+|-
+| 2008
+| 5
+| 5
+|-
+| Average
+| / Monat
+| 9.08333333333
+|-
+| Total
+| -
+| 109
 |}
-Der Umkreisradius eines Dreiecks lässt sich mit folgenden Formeln berechnen:
-:<math>R = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{b}{2\sin\beta} = \frac{c}{2\sin\gamma}</math>
-:<math>R = \frac{abc}{4A}</math>
-Dabei stehen die Bezeichnungen <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> für die Seitenlängen und <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math> für die Größen der Innenwinkel. <math>A</math> bezeichnet den Flächeninhalt des Dreiecks, der sich mit Hilfe der [[Heronische Formel|heronischen Formel]] berechnen lässt.
-Der Umkreismittelpunkt liegt wie der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt auf der [[Eulersche Gerade|eulerschen Geraden]].
-== Sprachliches Mittel "im Umkreis" ==
-Im geographischen Sinn wird häufig von einem Umkreis gesprochen. Gemeint ist dann der Radius eines Kreises um einen Punkt, nicht der Durchmesser des Kreises. Beispiel: "Das Gebiet im Umkreis von 10 km um den Reaktor Tschernobyl wurde evakuiert." Der damit gemeinte Kreis hat einen Radius von 10 Kilometern und einen Durchmesser von 20 Kilometern.
-== Verwandte Begriffe ==
-Der Umkreis ist neben dem [[Inkreis]] und den drei [[Ankreis]]en der bekannteste unter den [[Kreise am Dreieck|besonderen Kreisen]] der [[Dreiecksgeometrie]].
-Überträgt man die Definition des Umkreises auf den (dreidimensionalen) [[Raum]], so erhält man den Begriff der [[Umkugel]], also einer [[Kugel]], auf der alle Eckpunkte eines gegebenen [[Polyeder]]s (Vielflächners) liegen.
-== Weblinks ==
-*http://de.wikipedia.org/upload/0/00/Umkreis.png Umkreis eines regulären Sechsecks
-*http://blk.mat.uni-bayreuth.de/~thomas/geosem/dreipkt/1_1.htm Umkreis eines Dreiecks – farbig
-*http://www.walter-fendt.de/m14d/umkreis.htm Umkreis-Konstruktion wird Schritt für Schritt vorgeführt
-[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
-[[en:Circumcircle]]
-[[es:Circuncentro]]
-[[fr:Cercle circonscrit]]
-[[it:Circumcerchio]]
-[[nl:Omgeschreven cirkel]]
-[[zh:外接圓]]