Die Bären sind los (Fernsehserie) und Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi: Unterschied zwischen den Seiten

Zu den ersten historisch nachgewiesenen analytischen Darstellungen für die Kreiszahl $\pi$ zählt die Produktformel von Vieta aus dem Jahre 1593; sie ist ein unendliches Produkt mit geschachtelten Wurzeln.

Darstellungen von $\pi$

Formel von Vieta

Mit der durch

${\begin{aligned}a_{1}&:={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\\a_{n}&:={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+2a_{n-1}}}\qquad n\geq 2\end{aligned}}$

rekursiv definierten Zahlenfolge $a_{n}$ gilt:

$\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdots ={\frac {2}{\pi }}$

Ausgeschrieben mit den ersten Faktoren lautet das unendliche Produkt also:

${\frac {2}{\pi }}=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\cdot \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\cdot \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\right)\cdots$

Beziehung zur Darstellung nach Euler

Die Produktformel von Vieta ergibt sich als Spezialfall (setze $x={\tfrac {\pi }{2}}$) aus folgendem Resultat von Euler (s. Beweis unten):

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \frac{\sin(x)}x= \lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n \cos\left( \frac x{2^i} \right) = \cos\left(\frac{x}2\right)\cdot\cos\left(\frac{x}4\right) \cdot\cos\left(\frac{x}8\right)\cdots}

Insbesondere resultiert hieraus folgende alternative, direkte Darstellung für die Glieder der Zahlenfolge $a_{n}$ (s.o.):

$a_{n}=\cos \left({\frac {\pi }{2^{n+1}}}\right)\qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;n\geq 1$

Produktfreie Darstellung

Durch weitere Umformungen und Vereinfachungen erhält man aus der Produktformel von Vieta eine produktfreie Darstellung.

Definiere hierzu die rekursive Folge $b_{n}$

${\begin{aligned}b_{0}&:=0\\b_{n}&:={\sqrt {2+b_{n-1}}}\qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;n\geq 1\end{aligned}}$

sowie darauf aufbauend die Folge $c_{n}$ durch

$c_{n}=2^{n}{\sqrt {2-b_{n-1}}}$

Dann gilt:

$\lim _{n\to \infty }c_{n}=\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{(n-1)-\mathrm {fache} \;\;\mathrm {Schachtelung} }}}=\pi$

Die ersten Glieder der Folge $c_{n}$ lauten also:

${\begin{aligned}c_{1}&=2\cdot {\sqrt {2}}\\c_{2}&=4\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\\c_{2}&=8\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\end{aligned}}\vdots =\qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \vdots$

Beweise

Analytischer Beweis

Der im folgenden präsentierte Beweis basiert auf Additionstheoremen aus der Trigonometrie und einer elementaren Grenzwertbetrachtung:

Wegen

${\begin{aligned}\lim _{t\to 0}{\frac {\sin t}{t}}=1\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}2^{n}\cdot \sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)&=x\cdot \left({\frac {\sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}{\frac {x}{2^{n}}}}\right)\end{aligned}}$

hat man zunächst

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }2^{n}\cdot \sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)&=x\end{aligned}}$

Andererseits erhält man mit Hilfe der Verdopplungsformel für den Sinus induktiv:

${\begin{aligned}\sin x&=2\cdot \sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cos \left({\frac {x}{2}}\right)\\&=2\cdot \left(2\cdot \sin \left({\frac {x}{4}}\right)\cos \left({\frac {x}{4}}\right)\right)\cdot \cos \left({\frac {x}{2}}\right)=2^{2}\cdot \sin \left({\frac {x}{2^{2}}}\right)\cdot \prod _{i=1}^{2}\cos \left({\frac {x}{2^{i}}}\right)\\&\qquad \vdots \qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \vdots \\&=2^{n}\cdot \sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)\cdot \prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {x}{2^{i}}}\right)\end{aligned}}$

Zusammenfassen dieser beiden Aussagen führt auf folgende Darstellung, die auf Euler zurückgeht:

${\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {x}{2^{i}}}\right)\end{aligned}}$

Speziell für $x={\frac {\pi }{2}}$ erhält man hieraus:

${\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}&=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi }{2^{i+1}}}\right)\end{aligned}}$

Um den letzten Teil der behaupteten Darstellung zu gewinnen, muss man die Kosinus-Terme noch explizit ermitteln. Es wichtig zu betonen, dass man hierbei keine nähre Kenntnis über den exakten Verlauf der Kosinus-Funktion benötigt.

Man benötigt lediglich folgenden speziellen Wert des Kosinus (den man mittels elementarer geometrischer Überlegungen gewinnen kann):

$\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$

Alle weiteren Faktoren des Produktes erhält man durch sukzessives Anwenden der Halbierungsformeln für den Kosinus:

${\begin{aligned}\cos \left({\frac {\pi }{8}}\right)&={\sqrt {\frac {1+\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)}{2}}}&={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\\cos \left({\frac {\pi }{16}}\right)&={\sqrt {\frac {1+\cos \left({\frac {\pi }{8}}\right)}{2}}}&={\sqrt {\frac {1+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{2}}}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\end{aligned}}$

Induktiv folgt also die behauptete rekursive Darstellung für den $i$-ten Faktor des Produktes:

${\begin{aligned}\cos \left({\frac {\pi }{2^{i+1}}}\right)&={\sqrt {\frac {1+\cos \left({\frac {\pi }{2^{i}}}\right)}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+2\cos \left({\frac {\pi }{2^{i}}}\right)}}\end{aligned}}$

Siehe auch

• Vieta
• Berechnung von Pi
• Wurzel 2