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Integralrechnung und Krolloper: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Image:Kroll-Oper 1900.jpg|thumb|240px|Kroll-Oper Berlin um 1900]]
Die '''Integralrechnung''' ist neben der [[Differentialrechnung]] der wichtigste Zweig der [[Mathematik|mathematischen]] Disziplin [[Analysis]]. Sie beschäftigt sich anschaulich gesprochen mit der Berechnung von Flächen unter einem [[Funktionsgraph]]en oder Flächen, die zwischen zwei oder mehreren Funktionsgraphen eingeschlossen sind.
Die '''Krolloper''' - auch als ''Krollscher Wintergarten'' bezeichnet - war ein von dem Restaurantbesitzer [[Joseph Kroll]] gegründetes, von [[1843]]-[[1844]] durch [[Ludwig Persius]] und [[Carl Ferdinand Langhans]] erbautes und am [[15. Februar]] [[1844]] eröffnetes [[Opernhaus]] in [[Berlin]]. Es lag am damaligen Kaiserplatz, dem heutigen Platz der Republik, gegenüber dem (später erbauten) Reichstagsgebäude.


Ursprünglich führte das Haus [[Marionette]]n-Aufführungen und volkstümliche Konzerte auf, später dann auch [[Opera buffa|Komische Oper]]n und [[Operette]]n. Die ''Krolloper'' wurde [[1886]] vom Hoftheater übernommen, in ''Neues Königliches Opernhaus'' umbenannt, [[1914]] zerstört und [[1920]]-[[1923]] neu aufgebaut. Am [[1. Januar]] [[1924]] wurde das inzwischen zur [[Staatsoper Unter den Linden|Staatsoper]] gehörende Haus als ''Staatsoper am Platz der Republik'' (Platz der Republik 7) wiedereröffnet; das Haus verfügte über 2.100 Sitze.
Mit der Operation '''Integration''' ordnet man einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] für einen gegebenen Integrationsbereich ihr '''Integral''' zu. Das Integral wird im zweidimensionalen [[Koordinatensystem]] elementar als die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse gedeutet. Je nachdem, ob der Integrationsbereich endlich oder unendlich ist, heißt das Integral bestimmt oder unbestimmt (bzw. uneigentlich).


[[1927]] trennte sich das Haus unter Leitung von [[Otto Klemperer]] wieder von der Staatsoper (Neueröffnung am [[19. November]] [[1927]]); als [[Dirigent]]en arbeiteten [[Alexander von Zemlinsky]] und [[Fritz Zweig]], als [[Regisseur]]e [[Ernst Legal]], [[Gustaf Gründgens]] und [[Hans Curjel]] sowie [[Ewald Dülberg]], [[Lászlo Moholy-Nagy]], [[Teo Otto]] und [[Oskar Schlemmer]] als [[Bühnenbildner]] an der Krolloper. [[1927]]-[[1928]] wurde der ''Kroll-Festsaal'' von [[Oskar Kaufmann]] erbaut (vgl. [http://www.archinform.de/projekte/10870.htm]).
Der '''Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung''', auch [[Fundamentalsatz der Analysis]] genannt, besagt, dass Integrale aus [[Stammfunktion]]en berechnet werden können. Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion wird auch deren '''Unbestimmtes Integral''' genannt.


Aus wirtschaftlichen und politischen Gründen musste das Opernhaus in den 1930er Jahren schließen.
Integration ist die [[Glossar mathematischer Attribute#invers|inverse]] Operation (d.h. Gegenteil) zur Differentiation, sie bestimmt die Stammfunktion als die Inverse der [[Ableitung]]. Im Gegensatz zur Differentiation existiert für die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender [[Algorithmus]]. Integration erfordert trainiertes Raten, Benutzung spezieller Umformungen ([[Integration durch Substitution]], '''Partielle Integration''') oder/und Nachschlagen in einer [[Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen|Tabelle]]. Oft erfolgt die Integration auch nur näherungsweise als so genannte [[Numerische Quadratur|numerische Quadratur]]. In der [[Technik]] benützt man zur Integration bzw. Flächenbestimmung so genannte [[Planimeter]], bei welchen die Summierung der Flächenelemente kontinuierlich erfolgt. Der Zahlenwert der so bestimmten Fläche kann an einem Zählwerk abgelesen werden, welches zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit mit einem [[Nonius]] versehen ist.


[[Image:Krolloper.gif|250px|thumb|<small>Hitler nimmt in der Krolloper Ovationen entgegen nach „friedlicher“ Besetzung Österreichs.</small>]]
== Bestimmtes Integral ==
[[Bild:Integral as region under curve.png|thumb|Anschauliche Darstellung des Integrals als Flächeninhalt unter einer Kurve]]
Die Integralrechnung entstand aus dem Problem, die Fläche zwischen dem [[Funktionsgraph|Graph]]en einer reellwertigen [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] ''f''(''x'') und der [[x-Achse|''x''-Achse]] im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] von ''a'' bis ''b'' zu berechnen. Falls die Fläche sinnvoll bestimmt werden kann, nennt man die Funktion im Intervall integrierbar. Die reelle Zahl '''''S''''', die die Größe der Fläche angibt, heißt dann das '''bestimmte Integral''' von ''f''(''x'') über dem Intervall:
:<math>S = \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x</math>


Nach dem [[Reichstagsbrand]] im Jahr [[1933]] diente die Krolloper als Sitz des deutschen Parlaments; am [[23. März]] [[1933]] wurde hier gegen die Stimmen der [[SPD]] unter Führung von [[Otto Wels]] (die [[KPD]]-Abgeordneten waren bereits ausgeschlossen worden) durch den [[Reichstag]] das [[Ermächtigungsgesetz]] verabschiedet, am [[1. September]] [[1939]] durch [[Adolf Hitler]] der Beginn des [[Zweiter Weltkrieg|Zweiten Weltkriegs]] verkündet und am [[26. April]] [[1942]] die letzte Reichstagssitzung durchgeführt. Das Gebäude wurde durch einen Bombenangriff am [[22. November]] [[1943]] zerstört, wie auch das Gebäude der [[Deutschen Oper Berlin]].
Der Flächeninhalt ist „orientiert“, das heißt falls der Graph der Funktion unterhalb der ''x''-Achse liegt, ist der Wert des bestimmten Integrals negativ. Das Integral wechselt ebenfalls das Vorzeichen, wenn die untere und obere Integrationsgrenze vertauscht werden. Wenn eine Nullstelle im zu untersuchenden Intervall vorliegt, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern stellt nur noch eine Rechenregel dar. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen ''x''-Achse und Graph der Funktion, so muss das Integral aufgeteilt werden.


[[1951]] wurde die Ruine gesprengt und bis [[1957]] abgetragen.
Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine [[Treppenfunktion]].
Die Fläche wird durch die Summe der einzelnen [[Rechteck]]e unter den einzelnen „Treppenstufen“ angenähert. Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Wert jedes Teilintervalls als Höhe der Stufe wählen.
Dies sind die nach dem deutschen [[Mathematiker]] [[Bernhard Riemann]] bezeichneten „Riemann-Summen“. Wählt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das [[Supremum]] der Funktion als Zwischenwert, so ergibt sich die Obersumme, mit dem [[Supremum|Infimum]] die Untersumme.


''Siehe auch:'' [[Portal Musik]], [[Oper]], [[Geschichte der Oper]], [[Opernhaus]], [[Staatsoper Unter den Linden]]
Die Differenz zwischen Ober- und Untersumme läßt sich durch das Produkt aus der – ebenfalls von Riemann eingeführten – [[totalen Variation]] und der maximalen Intervalllänge in der Zerlegung abschätzen. Somit konvergieren die Riemannschen Zwischensummen gegen einen ''bestimmtes Integral'' genannten Wert, wenn die Breite der Rechtecke gegen Null strebt und die totale Variation endlich ist.


== Bedeutende Uraufführungen ==
Dieser [[Grenzwert]] kann nicht für alle Funktionen oder Integralgrenzen explizit berechnet werden.
* [[1929]]: [[Paul Hindemith]]: ''Neues vom Tage''

* [[1930]]: [[Arnold Schönberg]]: ''Begleitmusik zu einer Lichtspielszene''
Funktionen beschränkter totaler Variation sind alle stetigen und stückweise stetigen, sowie alle monotonen Funktionen. Umgekehrt kann man zeigen, dass es für solche Funktionen nur abzählbar viele
Unstetigkeitsstellen geben kann, und dass deren Anzahl für jede Sprunghöhe endlich ist.

===Notation===

Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Miterfinder der Differential- und Integralrechnung, [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], zurück. Das Integralzeichen ist aus dem Buchstaben ''S'' für lateinisch ''summa'' abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation ''f''(''x'')&nbsp;d''x'' deutet an, wie sich das Integral aus Streifen der Höhe ''f''(''x'') und der [[Infinitesimalzahl|infinitesimalen]] Breite d''x'' zusammensetzt. Dieses d''x'' wird '''[[Differential (Mathematik)|Differential]]''' genannt. Es kommt auch in der Leibniz'schen Ableitungsnotation d''f''/d''x'' vor und wird in der Theorie der [[Differentialform]]en verallgemeinert.

Der Begriff ''Integral'' für diese Art der Flächenberechnung geht auf [[Johann Bernoulli]] zurück.

====Übliche mißverständliche Schreibweise====
Man schreibt üblicherweise symbolisch:
<center><math>F(x)=c +\int\limits_{a}^{x} f(u)du=\int f (x)
dx</math></center>
und läßt dabei die obere Grenze ''x'' fort, ebenso die untere
Grenze ''a'' (= const.) und die additive Konstante ''c''
und schreibt für die Integrationsvariable den Buchstaben ''x'', den man vermeiden sollte um eine Verwechslung mit der
oberen Grenze ''x'', der unabhängigen Veränderlichen in
''F(x)'' auszuschließen. Ein unbestimmtes Integral
''F(x)'' ist eine Funktion der oberen Grenze. Der
Integrationsvariablen sollte man deshalb einen anderen
Namen als dx, z.B. du oder dt geben, :<math>
\int\limits_{a}^{x} f(u)du</math>. Wie aus u ein
explizites x wieder wird bedarf eines ziemlich
ausgeklügelten Beweises nach Cauchy.

Courant, ''Vorlesungen über Differential und Integralrechnung 1'',S.118, Anhang zum zweiten Kapitel, §1., Springer, 1971

====Beispiel====
Die Genialität dieser Notation zeigt sich zum Beispiel darin, dass das multiplikativ zu lesende d''x'' stets garantiert, dass Integrale in der Physik dimensionsrichtig angesetzt werden. Zum Beispiel lautet die Definition der [[Energie]] ''E'' als Kraft ''F'' mal Weg ''s'' für wegabhängige Kräfte ''F''(''s''):
:<math>E=\int F(s)\,\mathrm{d}s
</math>
Wenn man weiß, dass ''s'' in ''m''
und ''F''
in ''N'' ge
messen wird, kann man sofort ablesen, dass ''E'' die Einheit ''Nm'' hat.

Überdies ist d''x'' eine [[Mnemotechnik|mnemotechnische]] Hilfe bei der [[Integration durch Substitution]].

====Integralzeichen als Klammer====
In der Elementarmathematik werden Integralzeichen und Differential meistens wie eine Klammer um die Integrandfunktion geschrieben. In anspruchsvollerem Kontext hat es Vorteile, das Differential ''vor'' den Integranden zu schreiben: mehrdimensionale Integrale werden so leichter lesbar, und man hebt hervor, dass das Integral ein [[linearer Operator]] ist. Jedenfalls gilt:
:<math>\int f(x)\,\mathrm{d}x = \int \mathrm{d}x\,f(x)</math>

===Verallgemeinerung: mehrdimensionale Integrale===

Den Integralbegriff kann man recht einfach für den Fall verallgemeinern, dass die Trägermenge, auf der die Integrandfunktion ''f'' operiert, nicht die Zahlengerade '''R''', sondern der ''n''-dimensionale [[Euklidischer Raum|Euklidische Raum]] '''R'''<sup>''n''</sup> ist. Mehrdimensionale Integrale über ein Volumen ''V'' darf man nach dem [[Satz von Fubini]] berechnen, indem man sie in beliebiger Reihenfolge in Integrale über die einzelnen Koordinaten aufspaltet, die nacheinander abzuarbeiten sind:
:<math>
\int_V \mathrm{d}^n r\,f \left(\vec{r} \right)
= \int \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z\, f\left(x,y,z\right) </math>

:::<math>= \int \mathrm{d}x \left(\int \mathrm{d}y \left(\int \mathrm{d}z\, f\left(x,y,z\right)\right)\right) </math>
Die Integrationsgrenzen der eindimensionalen Integrale in ''x'', ''y'' und ''z'' muss man aus der Begrenzung des Volumens ''V'' ermitteln.
In der [[Funktionalanalysis]] und theoretischen Physik lässt man mehrdimensionale Integrale am liebsten über den gesamten, unendlichen ''n''-dimensionalen Raum laufen; die Konvergenz der Integrale erreicht man, indem man in den Integranden eine [[Indikatorfunktion]] aufnimmt, die zum Beispiel außerhalb eines vorgegebenen Volumens ''V'' überall 0 ist.

===Verallgemeinerung: Integration in der komplexen Ebene===

In der [[Funktionentheorie]], also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer [[komplexe Zahl|komplexen]] Veränderlichen, genügt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben: denn zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch viele Wege miteinander verbunden werden. Deshalb ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsätzlich ein [[Kurvenintegral|Wegintegral]]. Für geschlossene Wege gilt der [[Residuensatz]], das wahrscheinlich erstaunlichste Resultat von [[Cauchy]]: das Integral entlang einem geschlossenen Weg hängt allein von den umschlossenen [[Singularität (Mathematik)|Singularitäten]] ab.

===Verallgemeinerung: Integration bei nichtendlicher totaler Variation===

Das oben beschriebene Verfahren wird als Riemann-Integration bezeichnet.
Das '''Riemann-Integral''' kann nicht
bei Integrandfunktionen unendlicher Schwankung, z.B. Funktionen mit [[Oszillation|oszillierenden]] [[Singularität (Mathematik)|Singularitäten]] wie <math> \sin\left(\frac1{x^2}\right)</math> oder der Indexfunktion der rationalen Zahlen im Intervall [0,1]
angewendet werden.
Deshalb wurden erweiterte Integralbegriffe von [[Henri Leon Lebesgue]] ([[Lebesgue-Integral]]), [[Thomas Jean Stieltjes]] und [[Alfred Haar]] eingeführt, die für stetige Integranden das Riemann-Integral
reproduzieren.

=== Uneigentliches Integral ===

Ein Sonderfall des bestimmten Integrals ist das uneigentliche Integral, bei dem die Fläche nicht an beiden Seiten begrenzt ist. Gesucht ist also:
:<math>A = \int_a^\infty f(x)\,\mathrm{d}x</math>
oder
:<math>A = \int_{-\infty}^b f(x)\,\mathrm{d}x</math>

Obwohl die eingeschlossene Fläche durch keine endliche Linie begrenzt ist, kann der Flächeninhalt bei geeigneten Funktionen durchaus endlich sein. Beispiele hierfür sind die [[Normalverteilung|Gaußsche Glockenkurve]] und die Funktion 1/''x''².

Für manche Funktionen (wie z.B. die erwähnte Gaußkurve) ist auch das beidseitig uneigentliche Integral definiert:
:<math>A = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x</math>

Andere uneigentliche Integrale entstehen, wenn die Funktion im Integrationsbereich [[Divergenz|divergiert]].
====Berechnung von uneigentlichen Integralen====
Uneigentliche Integrale kann man folgendermaßen berechnen:
* <math>\infty</math> durch eine Variable ersetzen, z.B. durch ''N''
* Integration wie üblich mit der neuen Integrationsgrenze ausführen.
* Den Limes der gefundenen Stammfunktion für n gegen <math>\infty</math> berechnen.
Also:
:<math>A = \int_a^\infty f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{N \to \infty} \int_a^N f(x)\,\mathrm{d}x</math>

== Unbestimmtes Integral ==

Es stellt sich heraus, dass die Integralrechnung sehr eng mit der [[Differentialrechnung]] zusammenhängt.

Eine [[Stammfunktion]] ''F''(''x'') einer Funktion ''f''(''x'') ist jede Funktion, deren [[Ableitung]] ''f''(''x'') ergibt. Da beim Differenzieren [[Addition|additive]] [[Konstante]]n wegfallen, gilt: Ist ''F''(''x'') eine Stammfunktion von ''f''(''x''), so ist es auch ''F''(''x'') + ''C'' mit beliebigem ''C'' aus den [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]]. Außer ''F''(''x'') + ''C'' gibt es keine weiteren Stammfunktionen zu ''f''(''x''), d.h. zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine additive Konstante.

Das '''unbestimmte Integral''' einer Funktion ''f''(''x'') ist nun die Menge aller Stammfunktionen von ''f''(''x''):
:<math>\int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C</math>

[[#Übliche mißverständliche Schreibweise|Übliche mißverständliche Schreibweise]]

== Zusammenhang - Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ==

Jede Funktion ''A''(''x''), die den Flächeninhalt unter der Kurve von einer festen Untergrenze ''a'' bis zur variablen Obergrenze ''x'' angibt, also
:<math>A(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t</math>
entspricht einer bestimmten Stammfunktion von ''f''(''x'').

Daraus ergibt sich, dass man jedes bestimmte Integral als eine [[Subtraktion|Differenz]] zweier Stammfunktionen der zu integrierenden Funktion berechnen kann, da die additiven Konstanten bei der Subtraktion wegfallen ([[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]):
:<math>\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>

Anschaulich kann man das so verstehen:

Das Integral liefert die Fläche unter der Funktionskurve. Die Ableitung des Integrals nach der oberen Grenze sagt also, wie stark sich die Fläche ändert, wenn die rechte Integrationsgrenze verschoben wird, relativ zur Größe der Verschiebung dieser Grenze.

Wenn man nun aber die obere Grenze um einen sehr kleinen Betrag verschiebt, dann ändert sich die Fläche um ein kleines Rechteck, dessen Breite die Verschiebung der Grenze, und dessen Höhe der Funktionswert an dieser Stelle ist. Dessen Flächeninhalt ist natürlich das Produkt der beiden Längen, und Division durch die Verschiebung (= die Breite des Rechtecks) ergibt dann gerade wieder den Funktionswert. Da also die Ableitung der Integralfunktion wieder die integrierte Funktion ergibt, ist die Integralfunktion per Definitionem eine Stammfunktion derselben.

===Die additive Konstante C===

* Ein unbestimmtes Integral von f(x)
<center><math>\int\limits_{a}^{x} f(u)du=\Phi
(x)</math></center>
* Ein anderes unbestimmtes Integral von f(x)
<center><math>\int\limits_{\alpha}^{x}
f(u)du=\Psi (x)</math></center>
* Der Unterschied beider
<center><math>\Psi (x)-\Phi
(x)</math></center>
* ist ein bestimmtes Integral, da <math>\alpha</math> und a konstant sind, und somit eine Konstante<center><math>\int\limits_{\alpha}^{a}
f(u)du</math></center>
*oder <center><math>\Psi (x)=\Phi (x)+
\mathrm{const.};</math></center>
* Satz:
''Es ist''
<center><math>F_1 (x)- F_2 (x) = c,</math></center>
''d.h. die Differenz zweier verschiedener primitiver Funktionen ([[Stammfunktion]]en) ''<math>F_1 (x)</math> und
<math>F_2 (x)</math> zu <math>f(x)</math>'' ist stets eine Konstante. Wir erhalten also zu einer beliebigen primitiven Funktion (Stammfunktion) ''<math>F (x)</math> ''alle anderen in der Gestalt''
<center><math>F (x)+c,</math></center>'' bei ''geeigneter'' Wahl der Konstanten c. Umgekehrt stellt der Ausdruck ''<math>F_1
(x)=F(x)+c,</math>
''für jeden Wert der Konstanten c eine primitive Funktion (Stammfunktion) zu ''<math>f(x)</math>'' dar.''

== Eigenschaften des Integrals ==

In der formalen Sprache der Mathematik ist das Integral ein lineares [[Funktional]] über dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen.
Die [[Glossar mathematischer Attribute#linear|Linearität]] besagt, dass das Integral der Summe zweier Funktionen ''f''(''x'') und ''g''(''x'') genau der Summe der Integrale der Funktionen ist:

:<math>
\int\left(f(x) + g(x)\right) \,\mathrm{d}x
= \int f(x) \,\mathrm{d}x + \int g(x) \,\mathrm{d}x </math>

und dass das Integral des Vielfachen einer Funktion (Multiplikation mit einer Konstanten) das entsprechende Vielfache des Integrals ist:
:<math>
\int c\cdot f(x)\,\mathrm{d}x
= c \cdot \int f(x)\,\mathrm{d}x </math>

Eine wichtige Eigenschaft des bestimmten Integrals besteht darin, dass sich beim Vertauschen der Integrationsgrenzen das Vorzeichen ändert:
:<math>\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x = - \int_b^af(x)\,\mathrm{d}x</math>

Weitere Eigenschaften des Integrals:
* Integralform der [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]
* [[Mittelwertsatz der Integralrechnung]]

== Berechnung von Stammfunktionen ==

''siehe dazu den Artikel: [[Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen]]''

Im Gegensatz zur Berechnung der Ableitungsfunktion ist die Berechnung der Stammfunktion bei vielen Funktionen sehr schwierig oder nicht möglich.

Oft schlägt man Integrale in [[Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen|Tabellenwerken]] nach.

=== Partielle Integration ===

Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung.
:<math>(u \cdot v)' = u \cdot v' + u' \cdot v </math>

:<math>u' \cdot v = (u \cdot v)' - u \cdot v' </math>

:<math>\int u' \cdot v \,\mathrm{d}x
= \int (u \cdot v)' \,\mathrm{d}x
- \int u \cdot v' \,\mathrm{d}x </math>
:<math>\int u' \cdot v \,\mathrm{d}x
= u \cdot v - \int u \cdot v' \,\mathrm{d}x </math>

Folglich gilt:
:<math> \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x
= f(b)\cdot g(b) - f(a)\cdot g(a) - \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x </math>
oder das Selbe, wie man es in vielen Mathematikbüchern finden kann:
:<math> \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x
= [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x </math>


Diese Regel ist insbesondere dann von Vorteil, wenn durch Ableiten von ''f''(''x'') eine einfachere Funktion entsteht.

Beispiel:
:<math>\int_a^b x \cdot \ln \left(x \right) \,\mathrm{d}x</math>
Setzt man
:<math>f(x) = \ln \left(x\right) \,</math> und <math>g'(x)=x \,</math>,
so ist
:<math>f '(x) = {1 \over x} \,</math> und <math>g(x)={x^2 \over 2} \,</math>
und man erhält
:<math>\int_a^b x \cdot \ln \left( x\right) \,\mathrm{d}x
= {b^2 \over 2} \cdot \ln \left( b \right) - {a^2 \over 2} \cdot \ln \left(a\right)
- \int_a^b {x^2 \over 2} \cdot {1 \over x} \,\mathrm{d}x </math>

:::<math> = {b^2 \over 2} \cdot \left(\ln \left( b\right) - {1 \over 2} \right) - {a^2\over 2} \cdot \left(\ln \left( a \right) - {1 \over 2} \right) \;</math>


====Methoden der partiellen Integration====

Zur effektiven Nutzung der partiellen Integration gibt es verschiedene Standardtricks.
* Manchmal kann man es sich zunutze machen, daß nach mehreren Schritten der partiellen Integration das ursprüngliche Integral (wie ein [[Phönix_(Mythologie)|Phönix]] aus der Asche) aus den Überresten des Integrationsverfahrens auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens wiederkehrt, welches man dann durch [[Äquivalenzumformung]] mit dem ursprünglichen Integral auf der linken Seite zusammenfassen kann.

Beispiel:
:<math>\int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x</math>
Setzt man
:<math>f(x) = \cos(x) \,</math> und <math>g'(x)= \sin(x) \,</math>,
so ergibt sich
:<math>f'(x) = - \sin(x) \,</math> und <math>g(x)= - \cos(x) \,</math>
und man erhält
:<math>\int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x = [- \cos^2(x)] - \int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x. </math>
Addiert man auf beiden Seiten der Gleichung das Ausgangsintegral, ergibt sich:
:<math>2 \int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x = - \cos^2(x) </math>
Dividiert man beide Seiten durch 2, so erhält man schließlich:
:<math> \int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x = - {1 \over 2} \cdot \cos^2(x) \,</math>

*Bei manchen Integralen bietet es sich an, für <math>g'(x) \,</math> einen Term zu wählen, der sich bei der Integration nicht oder nur unwesentlich verändert, beispielsweise die [[Exponentialfunktion]] oder die [[trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]]. Dann kann der andere Term "abgeräumt" werden.

Beispiel:
:<math>\int e^x \cdot (2-x^2) \,\mathrm{d}x</math>
Setzt man jedesmal
:<math>g'(x) = e^x \,</math> und für <math>f(x)\,</math> den übrigen Term unter dem Integral, so ergibt sich
:<math>\int e^x \cdot (2-x^2) \,\mathrm{d}x = </math>
:<math>= [e^x \cdot (2-x^2)] - \int e^x \cdot (-2x) \,\mathrm{d}x = </math>
:<math>= [e^x \cdot (2-x^2)] + [e^x \cdot 2x] - \int 2 \cdot e^x \,\mathrm{d}x = </math>
:<math>= [e^x \cdot (2-x^2)] + [e^x \cdot 2x] - [2 \cdot e^x] = \,</math>
:<math>= [e^x \cdot (2-x^2 +2x -2)] \,</math>
:<math>= [e^x \cdot (2x-x^2)] \,</math>

*Steht nur ein Term unter dem Integral, auf dessen Stammfunktion ohne Tabellenwerk nicht ohne weiteres zu schließen ist, kann man gelegentlich durch Einfügen des (unsichtbar vorhandenen) Faktors "1" partiell integrieren.

Beispiel:
:<math>\int \ln(x) \,\mathrm{d}x = \int 1 \cdot \ln(x) \,\mathrm{d}x </math>
Setzt man
:<math> f(x) = \ln(x) \,</math> und <math> g'(x) = 1\,</math>,
so erhält man
:<math> \int 1 \cdot \ln(x) \,\mathrm{d}x = </math>
:<math> = x \cdot \ln(x) - \int x \cdot {1 \over x} \,\mathrm{d}x = </math>
:<math> = x \cdot \ln(x) - x</math>.

=== [[Integration durch Substitution]] ===

Sei <math>f(x) = g( v(x) ) \cdot v'(x)</math> und ''G'' eine Stammfunktion von ''g'', so ist <math>F(x) = G( v(x) ) \,</math> eine Stammfunktion von ''f'', denn:
<blockquote>
{|
| <math> f(x) \,</math> || <math> = f( g(x) ), \,</math>
| &nbsp; <math> z \,</math> || <math> = g(x) \,</math>
|-
| || <math> = f( z ), \,</math>
| <math> \mathrm{d}z \,</math> || <math> = g'(x)\,\mathrm{d}x </math>
|}
</blockquote>
:<math>\int_a^b f( g(x) ) \cdot g'(x)\,\mathrm{d}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f( z ) \cdot g'(x) \frac{\,\mathrm{d}z}{g'(x)} = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\,\mathrm{d}z</math>

Das Erraten geeigneter Substitutionen ist vor allem Erfahrungssache.

Bei gewissen Integralen wie
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\mathrm{d}x</math>
kann man Winkelfunktionen und den trigonometrischen Pythagoras nutzen.
:<math>x = \sin \left( t \right) \qquad \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \cos \left( t \right) \right) </math>

:<math>\sqrt{1 - \left( \sin \left( t \right) \right)^2 } = \cos \left( t \right) </math>

:<math>\int \frac{1}{\cos \left(t\right)} \cdot \cos \left(t\right)\,\mathrm{d}t
= \int 1\,\mathrm{d}t = t + C</math>

:Es ist darauf zu achten, dass die Grenzen des Integrals nun nicht mehr für d''x'', sondern für d''t'' gelten. Erst nach Rücksubstitution gelten die Grenzen von d''x'' wieder:

:<math>= \arcsin \left( x \right) + C \qquad \left(x = \sin \left( t \right) \Leftrightarrow t = \arcsin \left( x \right) \right)</math>

== Spezialfälle der Substitution ==

==== Logarithmische Integration ====

Integrale mit der speziellen Form Zähler des Integranden ist Ableitung des Nenners können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden, was einen Spezialfall der Substituionsmethode darstellt:

:<math> \int \frac{f'(x)}{f(x)} \mathrm dx = \ln|f(x)| + C \quad \left( \forall f(x) \neq 0 \right)</math>

==== Lineare Substitution ====

Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden:

:<math>\int f(mx + n)\mathrm dx = \frac{1}{m}F(mx + n) + C \qquad \left( \forall~m \neq 0 \right)</math>

Für das bestimmte Integral gilt entsprechend

:<math>\int_a^b f(mx + n)\mathrm dx = \frac{1}{m}\int_{mb + n}^{ma + n}f(u)\mathrm du \qquad \left( \forall~m \neq 0 \right)</math>

=== Vereinfachung durch Partialbruchzerlegung ===

Bei gebrochenrationalen Funktionen führt häufig eine [[Polynomdivision]] oder eine [[Partialbruchzerlegung]] zu einer Umformung der Funktion, die es erlaubt eine der Integrationsregeln anzuwenden.

=== Numerische Quadratur ===

Oft ist es schwierig oder nicht möglich, eine Stammfunktion anzugeben. Allerdings reicht es in vielen Fällen auch aus, die Fläche näherungsweise zu berechnen. Verfahren zur [[Numerische Quadratur|numerischen Quadratur]] bauen auf einer Approximation der Funktion durch einfacher integrierbare Funktionen auf, zum Beispiel Polynome. Die [[Trapezregel]] oder auch die [[Simpsonsche Formel]] sind Beispiele dafür.

== Anwendungen der Integralrechnung ==

Zusätzlich zu Berechnung von Flächen hat die Integralrechung unter anderem folgende Anwendungsgebiete:

Berechnung
* von [[Volumen|Rauminhalten]]
* der [[Länge]] eines Kurvenbogens ([[Rektifikation (Mathematik)|Rektifikation]])
* von [[Oberfläche]]n
* des [[Mittelwert|Durchschnitt]]swertes von [[kontinuierlich]]en Funktionen.

<!-- TODO: Obige Punkte genauer ausfüheren -->

=== Beispiel für den Integralbegriff in der Physik ===
Ein physikalisches [[Phänomen]], an dem der Integralbegriff erklärt werden kann, ist
der [[Freier Fall|freie Fall]] eines [[Körper (Physik)|Körpers]] im [[Schwerefeld]] der [[Erde]]. Bekanntlich beträgt die [[Beschleunigung]] '''g''' des [[Freier Fall|freien Falls]] in [[Mitteleuropa]] ca. 9,81 <math>m/s^2</math>. Die [[Geschwindigkeit]] '''v''' eines Körpers zur Zeit '''t''' lässt sich daher durch die Formel

:<math>v = g \cdot t\,</math>

ausdrücken.

Nun soll aber die Wegstrecke '''l''' berechnet werden, die der fallende Körper innerhalb einer bestimmten Zeit '''T''' zurücklegt. Das Problem hierbei ist, dass die Geschwindigkeit '''v''' des Körpers mit der Zeit zunimmt. Um das Problem zu lösen, nimmt man an, dass für eine kurze Zeitspanne '''<math>\Delta t</math>''' die Geschwindigkeit '''v''', die sich aus der Zeit '''<math>g t</math>''' ergibt, konstant bleibt.

Die Zunahme der Wegstrecke innerhalb des kurzen Zeitraums '''<math>\Delta t</math>''' beträgt daher

:<math>\Delta l = g \cdot t\,\cdot\Delta t</math>

Die gesamte Wegstecke lässt sich daher als

:<math>l = \sum \left( g \cdot t \,\cdot\Delta t \right)</math>

ausdrücken.

Wenn man nun die Zeitdifferenz '''<math>\Delta t</math>''' gegen Null streben lässt, erhält man

:<math>l = \lim_{\Delta t \to 0} \left( \sum \left( g \cdot t \,\cdot \Delta t\right)\right) = \int_0^T \left( g \cdot t\,\mathrm{d}t\,\right) =\, \frac g 2 \cdot T^2</math>

Umgekehrt lässt sich aus der Bewegungsgleichung

:<math>l = \frac g 2 \cdot t^2\,</math>

durch Differenzieren die Gleichung

:<math>v = g \cdot t\,</math>

für die Geschwindigkeit und durch nochmaliges Differenzieren

:<math>a = g\,</math>

für die Beschleunigung herleiten.

== Siehe auch ==
*[[Algebraische Integration]]
*[[Liste der Integrallösungen]]
*[[Mathematik für die Schule]]
*[[Portal Mathematik]]
*[[Riemannintegral]]
*[[Lebesgueintegral]]
*[[Stieltjesintegral]]
*[[Stochastische Integration]]
*[[Binomisches Integral]]
*[[d3x-Schreibweise]]


== Weblinks ==
== Weblinks ==
* http://www.mathe-online.at/galerie/int/int.html - Visualisierungen zum Thema Integral
* [http://www.luise-berlin.de/lexikon/mitte/k/Krolloper.htm Edition Luisenstadt: Krolloper]
* [http://www.bundestag.de/parlament/geschichte/parlhist/reise_5.html Deutscher Bundestag: Schauplätze - 1933 - Kroll-Oper]
* [http://www.andreas-praefcke.de/carthalia/germany/berlin_krolloper.htm Berlin: Kroll-Oper (engl.) - Postkartenmotive von der Krolloper]


[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Opernhaus]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Regierungsgebäude]]
[[Kategorie:Berlin (Kultur)]]
[[Kategorie:Berliner Bauwerk]]


{{Geokoordinate|52_31_7_N_13_22_14_E|52° 31' 7" N 13° 22' 14" O}}
[[cs:Integrál]]
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[[is:Heildun]]
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[[nl:Integraalrekening]]
[[pl:Całka]]
[[ro:Integrală]]
[[sv:Integral]]
[[vi:Tích phân]]
[[zh:积分]]

Version vom 14. Mai 2005, 18:29 Uhr

Kroll-Oper Berlin um 1900

Die Krolloper - auch als Krollscher Wintergarten bezeichnet - war ein von dem Restaurantbesitzer Joseph Kroll gegründetes, von 1843-1844 durch Ludwig Persius und Carl Ferdinand Langhans erbautes und am 15. Februar 1844 eröffnetes Opernhaus in Berlin. Es lag am damaligen Kaiserplatz, dem heutigen Platz der Republik, gegenüber dem (später erbauten) Reichstagsgebäude.

Ursprünglich führte das Haus Marionetten-Aufführungen und volkstümliche Konzerte auf, später dann auch Komische Opern und Operetten. Die Krolloper wurde 1886 vom Hoftheater übernommen, in Neues Königliches Opernhaus umbenannt, 1914 zerstört und 1920-1923 neu aufgebaut. Am 1. Januar 1924 wurde das inzwischen zur Staatsoper gehörende Haus als Staatsoper am Platz der Republik (Platz der Republik 7) wiedereröffnet; das Haus verfügte über 2.100 Sitze.

1927 trennte sich das Haus unter Leitung von Otto Klemperer wieder von der Staatsoper (Neueröffnung am 19. November 1927); als Dirigenten arbeiteten Alexander von Zemlinsky und Fritz Zweig, als Regisseure Ernst Legal, Gustaf Gründgens und Hans Curjel sowie Ewald Dülberg, Lászlo Moholy-Nagy, Teo Otto und Oskar Schlemmer als Bühnenbildner an der Krolloper. 1927-1928 wurde der Kroll-Festsaal von Oskar Kaufmann erbaut (vgl. [1]).

Aus wirtschaftlichen und politischen Gründen musste das Opernhaus in den 1930er Jahren schließen.

Datei:Krolloper.gif
Hitler nimmt in der Krolloper Ovationen entgegen nach „friedlicher“ Besetzung Österreichs.

Nach dem Reichstagsbrand im Jahr 1933 diente die Krolloper als Sitz des deutschen Parlaments; am 23. März 1933 wurde hier gegen die Stimmen der SPD unter Führung von Otto Wels (die KPD-Abgeordneten waren bereits ausgeschlossen worden) durch den Reichstag das Ermächtigungsgesetz verabschiedet, am 1. September 1939 durch Adolf Hitler der Beginn des Zweiten Weltkriegs verkündet und am 26. April 1942 die letzte Reichstagssitzung durchgeführt. Das Gebäude wurde durch einen Bombenangriff am 22. November 1943 zerstört, wie auch das Gebäude der Deutschen Oper Berlin.

1951 wurde die Ruine gesprengt und bis 1957 abgetragen.

Siehe auch: Portal Musik, Oper, Geschichte der Oper, Opernhaus, Staatsoper Unter den Linden

Bedeutende Uraufführungen

Vorlage:Geokoordinate

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