„Jacobi-Matrix“ – Versionsunterschied

Die Jacobi-Matrix (auch Funktionalmatrix) dient zur näherungsweisen Berechnung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Sie ist die m × n-Matrix sämtlicher erster partiellen Ableitungen einer differenzierbaren Funktion

$f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}$

Als lineare Abbildung stellt sie die beste lineare Approximation einer differenzierbaren Funktion in einem gegebenen Punkt dar (siehe auch Taylor-Formel), und bildet damit die Matrix-Darstellung der 1. Ableitung dieser Funktion. Benannt wurde sie nach Carl Gustav Jacob Jacobi. Die Determinante der Jacobi-Matrix spielt z.B. bei Transformationen von Integralen eine wichtige Rolle und wird meist Funktionaldeterminante genannt.

Allgemein lautet die Jacobi-Matrix:

$((\partial _{k}f_{s}(x_{o}))_{s,k}$

für s=0,...,m-1, k=0,...,n-1.

Bei n = m = 3:

$f(x,y,z)={\begin{pmatrix}f_{1}(x,y,z)\\f_{2}(x,y,z)\\f_{3}(x,y,z)\end{pmatrix}}$

lautet sie:

$J={\frac {\partial f}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}\partial f_{1}/\partial x&\partial f_{1}/\partial y&\partial f_{1}/\partial z\\\partial f_{2}/\partial x&\partial f_{2}/\partial y&\partial f_{2}/\partial z\\\partial f_{3}/\partial x&\partial f_{3}/\partial y&\partial f_{3}/\partial z\end{pmatrix}}$

und kann, wenn man sie für einen Punkt p ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von f in der Nähe von p verwendet werden:

$f(x,y,z)\approx f(p_{x},p_{y},p_{z})+J_{p}\cdot {\begin{pmatrix}x-p_{x}\\y-p_{y}\\z-p_{z}\end{pmatrix}}$

Für m = 1 entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von f. Ein Beispiel für eine Rechnung mit der Jacobi-Matrix ist die Transformation in Polarkoordinaten

Siehe auch: Differentialrechnung, Matrixmultiplikation, Hesse-Matrix