American Motors Corporation und Quadratur des Kreises: Unterschied zwischen den Seiten

Das Quadrat und der Kreis haben den gleichen Flächeninhalt.

Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, nur mit Lineal und Zirkel aus einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren. Sie ist äquivalent zur so genannten Rektifikation des Kreises, also der Konstruktion einer geraden Strecke die dem Kreisumfang entspricht.

Das Problem lässt sich bis in die Anfänge der Geometrie zurückverfolgen und beschäftigte jahrhundertelang führende Mathematiker. Im Jahr 1882 bewies der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann, dass diese Aufgabe unlösbar ist.

Geschichte

Siehe auch: Hauptartikel Kreiszahl

Vorgeschichte

Ägyptische Musterlösung nach Papyrus Rhind

Bereits in den altorientalischen Hochkulturen gab es Verfahren zur Berechnung von Kreisflächen. Im Problem 50 des Papyrus Rhind etwa wird als Fläche des Kreises vom Durchmesser 9 das Quadrat der Seitenlänge 8 angegeben, was einem recht genauen Wert für die Kreiszahl 3¹³/₈₁ = 3,16… entspricht. Derartige Musterlösungen waren aus der Praxis gewonnen und für die Praxis bestimmt, es gab keine weitergehenden theoretischen Überlegungen, insbesondere wurde kein Unterschied zwischen exakter Lösung und Näherung gemacht.

Eine deduktive Vorgehensweise in der Mathematik, bei der durch Beweise gestützte Sätze die Musteraufgaben ersetzen, entwickelte sich ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. in Griechenland. Ansatzweise war sie schon bei Thales von Milet, deutlicher bei Pythagoras von Samos und der von ihm gegründeten Schule der Pythagoreer zu erkennen. Grundbegriff der pythagoreischen Weltanschauung waren die Natürlichen Zahlen durch deren Verhältnisse die gesamte Welt zu erklären sein sollte. Mit der gemeinhin Hippasos von Metapont zugeschriebene Entdeckung inkommensurabler Strecken in der Mitte des 5. Jahrhunderts wurde die ganzzahlige Arithmetik der Pythagoreer in Zweifel gezogen: offenbar gab es konstruierbare Objekte (beispielsweise die Diagonale eines Quadrats), die nicht als ganzzahliges Verhältnis darstellbar waren. Als Folge dieser Entdeckung trat die Arithmetik zugunsten der Geometrie in den Hintergrund, Gleichungen mußten jetzt geometrisch gelöst werden, etwa durch Aneinanderlegung von Figuren und Überführung verschiedener Figuren in Rechtecke oder Quadrate. Aus dieser Zeit, dem späten 5. Jahrhundert, stammen die drei klassischen Konstruktionsprobleme der antiken Mathematik, neben der Quadratur des Kreises noch die Aufgabe der Dreiteilung des Winkels und das Delische Problem der Verdoppelung des Würfels.

Frühe Arbeiten

Als einer der ersten soll dem griechischen Schriftsteller Plutarch zufolge der Philosoph Anaxagoras „im Gefängnis die Quadratur des Kreises aufgeschrieben (oder: gezeichnet, altgr. Vorlage:Polytonisch) “ haben, nähere Angaben zu Anaxagoras' Konstruktion macht Plutarch nicht. Ein Gefängnisaufenthalt des Anaxagoras wäre auf etwa 430 v. Chr. zu datieren, als der Philosoph in Athen wegen Gottlosigkeit angeklagt war und schließlich fliehen mußte. Ausführlichere Quellen zu den Anfängen der Forschung sind hauptsächlich spätantike Kommentare zu Werken des Aristoteles, Schriften also, die mit einer zeitlichen Distanz von rund 900 Jahren entstanden sind. Dementsprechend unsicher sind zeitliche Reihenfolge und genaue Gedankengänge der ersten Ansätze. Die wichtigsten Arbeiten des 5. Jahrhunderts stammen von Hippokrates von Chios, Antiphon, Bryson von Herakleia und Hippias von Elis.

Die „Möndchen des Hippokrates“: Die Fläche des grauen „Möndchens“ entspricht der des rechtwinkligen Dreiecks ABC

Die Überführung von Dreiecken in Rechtecke, von Rechtecken in Quadrate oder die Addition zweier Quadrate war mit den bekannten geometrischen Sätzen bereits damals elementar zu bewältigen. Die grundlegende Frage, ob auch krummlinig begrenzte Flächen exakt in Quadrate überführt werden können, konnte um 440 v. Chr. von Hippokrates von Chios positiv beantwortet werden. Ausgehend von dem bei ihm noch als Axiom benutzten Satz, daß sich die Flächen ähnlicher Kreissegmente wie die Quadrate über ihren Sehnen verhalten, gelang es Hippokrates, von Kreisbögen begrenzte Flächen, die so genannten „Möndchen des Hippokrates“, zu quadrieren. Seine weiteren Versuche, auf diese Weise die Quadratur des Kreises zu erreichen, scheiterten daran, daß sich nur bestimmte Möndchen – zum Beispiel die über der Seite des Quadrats, nicht jedoch die über der Seite eines regelmäßigen Sechsecks – in geradlinig begrenzte Figuren überführen lassen.

Da Dreiecke (und damit beliebige Vielecke) in ein Quadrat übergeführt werden konnten, war ein zweiter Ansatz, ein dem Kreis flächengleiches Polygon zu konstruieren. Antiphon hatte die Idee, den Kreis durch einbeschriebene Vielecke anzunähern. Bryson von Herakleia verfeinerte dieses Vorgehen, indem er den Kreis zusätzlich durch umbeschriebene Vielecke näherte und einen Zwischenwert bildete.

Hippias von Elis entwickelte etwa 425 v. Chr. zur Lösung der Winkeldreiteilung eine Kurve, die mechanisch durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung erzeugt wurde. Gut hundert Jahre später entdeckte Deinostratos, daß mit Hilfe dieser Kurve, der so genannten Quadratrix, die Strecke der Länge $2/\pi$ – und damit mit Hilfe weiterer elementarer Konstruktionen ein Quadrat der Fläche $\pi$ – konstruiert werden kann. Da die Quadratrix selbst jedoch eine so genannte transzendente Kurve, also nicht mit Zirkel und Lineal zu erzeugen ist, war die Lösung im strengen Sinne damit nicht erreicht.

Archimedes

Kreisquadratur mit Hilfe der Spirale: A bezeichne den Punkt der Spirale um den Ursprung O, den sie nach der ersten Umdrehung erreicht. Die Tangente an die Spirale in diesem Punkt schneide die Senkrechte zu OA in B. Nach Archimedes ist die Strecke BO gleich dem Umfang des Kreises mit Radius OA, die Fläche des roten Kreises also gleich der Fläche des blauen Dreiecks.

Eine ausführliche Abhandlung mit dem Titel Kreismessung ist von Archimedes überliefert. Archimedes beweist in dieser Arbeit drei grundlegende Sätze:

1. Die Fläche eines Kreises ist gleich der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Kreisradius als der einen und dem Kreisumfang als der anderen Kathete. Berechnen lässt sich die Kreisfläche also als ½ · Radius · Umfang.
2. Die Fläche eines Kreises verhält sich zum Quadrat seines Durchmessers nahezu wie ¹¹/₁₄.
3. Der Umfang eines Kreises ist größer als 3¹⁰/₇₁ und kleiner als 3¹/₇ des Durchmessers.

Mit dem ersten Satz ist das Problem der Quadratur des Kreises auf die Frage nach der Konstruierbarkeit des Umfangs eines Kreises aus dem vorgegebenen Radius und damit auf die Konstruierbarkeit von $\pi$ zurückgeführt. Im dritten Satz gibt Archimedes gleich eine ebenso einfache wie genaue Näherung dieser Zahl, nämlich ²²/₇, ein Wert, der für praktische Zwecke noch heute Verwendung findet. Der zweite Satz ist ein einfaches Korollar aus den beiden anderen; daß sich die Fläche eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält war bereits Euklid bekannt, Archimedes gibt hier den Wert der Proportionalitätskonstanten an.

Zum Beweis seiner Aussagen greift Archimedes die Brysonsche Idee der beliebigen Annäherung des Kreises durch ein- und umbeschriebene regelmäßige Vielecke auf. Ausgehend vom einbeschriebenen Sechseck und umbeschriebenen Dreieck gelangt Archimedes durch sukzessive Verdoppelung der Seitenzahl jeweils beim 96-Eck an. Eine geschickte Abschätzung der in den einzelnen Rechenschritten auftretenden Quadratwurzeln ergibt die in Satz 3 genannten Schranken.

In einer weiteren Arbeit Über Spiralen beschreibt Archimedes die Konstruktion der später nach ihm benannten Spirale, die ähnlich wie Hippias' Quadratrix durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung gewonnen wird. Er zeigt, daß durch das Anlegen der Tangente an diese Spirale der Umfang eines Kreises auf einer Geraden abgetragen werden kann. Auf die damit geleistete Quadratur des Kreises weisen spätere Kommentatoren hin, Archimedes selbst macht hierzu keine Aussage, denn wie bei der Quadratrix sind weder die Spirale selbst noch ihre Tangente mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Mittelalter

Die Kreisquadratur des Franco von Lüttich: Franco zerlegt den Kreis in 44 Sektoren, die er zu einem Rechteck zusammensetzt.

In Folge eines verstärkten Interesses für die antike Mathematik im christlichen Europa ab etwa dem 11. Jahrhundert entstanden etliche Abhandlungen über die Quadratur des Kreises, jedoch ohne dass dabei wesentliche Beiträge zur eigentlichen Lösung geleistet wurden. Als Rückschritt zu betrachten ist, dass im Mittelalter der Archimedische Näherungswert von ²²/₇ für die Kreiszahl lange Zeit als exakt galt.

Einer der ersten Autoren des Mittelalters der das Problem der Kreisquadratur wiederaufnahm war Franco von Lüttich. Um 1050 entstand sein Werk De quadratura circuli. Franco stellt darin zunächst drei Quadraturen vor, die er verwirft. Die ersten beiden geben für die Seitenlänge des Quadrates ⁷/₈ beziehungsweise für die Diagonale ¹⁰/₈ des Kreisdurchmessers an, was relativ schlechten Näherungen von 3¹/₁₆ und 3¹/₈ für $\pi$ entspricht. Der dritte Vorschlag wiederum setzt den Umfang des Quadrates dem Kreisumfang gleich, verlangt also die Rektifikation des letzteren.

Francos eigene Lösung geht von einem Kreis mit Durchmesser 14 aus. Dessen Fläche beträgt aus seiner Sicht genau 7² ‣ ²²/₇ = 154. Rechnerisch läßt sich nach Francos Argumentation kein flächengleiches Quadrat finden, da die Quadratwurzel aus ²²/₇ irrational ist, konstruktiv jedoch schon. Dazu zerlegt er den Kreis in 44 gleiche Sektoren, die er zu einem Rechteck der Seitenlängen 11 und 14 zusammenfügt. Den nötigen Kunstgriff, bei dem er die Kreissektoren durch rechtwinklige Dreiecke mit Katheten der Länge 1 und 7 ersetzt, erläutert Franco allerdings nicht. Problematisch ist auch sein nicht ganz geglückter Versuch, das Rechteck anschließend durch eine geeignete Zerlegung in ein Quadrat zu überführen. Offensichtlich war Franco das althergebrachte griechische Verfahren nicht geläufig .

Spätere Abhandlungen der Scholastik erschöpfen sich mehr oder minder in einer Abwägung der Argumente der bekannten Klassiker. Erst mit der Verbreitung lateinischer Übersetzungen der archimedischen Schriften im Spätmittelalter wurde der Wert ²²/₇ wieder als Näherung erkannt und nach neuen Lösungen des Problems gesucht, so beispielsweise von Nikolaus von Kues.

Beweis der Unmöglichkeit

Ferdinand von Lindemann gelang der Beweis, dass $\pi$ nicht algebraisch, sondern transzendent ist. Deshalb ist $\pi$ nicht konstruierbar und die Quadratur des Kreises unmöglich.

Lindemann griff in seiner Arbeit auf ein Ergebnis des französischen Mathematikers Charles Hermite zurück. Dieser hatte 1873 gezeigt, dass die eulersche Zahl e transzendent ist. Darauf aufbauend konnte Lindemann den so genannten Satz von Lindemann-Weierstraß beweisen, welcher besagt, dass für beliebige voneinander verschiedene algebraische Zahlen $z_{1},\dots ,z_{r}$ und für beliebige algebraische Zahlen $n_{1},\dots ,n_{r}$ die Gleichung

$\sum _{i=1}^{r}n_{i}e^{z_{i}}=0$

nur dann gelten kann, wenn alle $n_{k}$ den Wert Null haben. Insbesondere kann für keine von Null verschiedene algebraische Zahl z der Ausdruck $e^{z}$ eine rationale Zahl ergeben. Nach dieser Vorbereitung konnte Lindemann die Annahme, $\pi$ sei algebraisch, mit Hilfe der eulerschen Identität $e^{i\pi }=-1$ zum Widerspruch führen; $\pi$ musste somit transzendent sein.

Lindemanns Beweis für die Transzendenz von $\pi$ wurde in den folgenden Jahren und Jahrzehnten noch wesentlich vereinfacht, so etwa durch David Hilbert im Jahre 1893.

Fruchtlose Versuche

Seit der Antike haben viele bekannte Personen das Problem der Quadratur des Kreises zu lösen versucht. So beschäftigte es den politischen Philosophen Thomas Hobbes bis ins hohe Alter. Trotz Blamagen und Rückschlägen ließ er sich nicht von der Überzeugung abbringen, dutzende Male mit verschiedenen Methoden die Lösung gefunden zu haben.

Mathematik-Institute in aller Welt bekommen regelmäßig Post von »Kreisquadrierern«, die behaupten, das Problem gelöst zu haben, obwohl es bereits durch den Beweis der Unmöglichkeit als erledigt gilt. Manche Mathematiker, wie Dudley Underwood, sammeln solche Briefe, finden die elementaren Fehler darin und veröffentlichen sie als Unterhaltungsmathematik. Bei anderen nachweislich unlösbaren Problemen, z.B. der Dreiteilung des Winkels oder der Würfelverdoppelung, gibt es das gleiche Phänomen.

Näherungskonstruktionen

Babylonisches Verfahren nach Dürer (1525)

Näherungskonstruktion von Kochański (1685)

Näherungskonstruktion von Ramanujan (1913)

Loynes' Konstruktion (1961)

Obwohl eine exakte Lösung mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, gibt es Näherungskonstruktionen für die Kreisquadratur, die für viele Zwecke exakt genug sind. Einfache, schon in der Antike bekannte Verfahren geben ein ganzzahliges Verhältnis von Durchmesser oder Radius des Kreises zur Seite oder Diagonalen des Quadrates an. Neben der im Papyrus Rhind erwähnten Gleichsetzung des Kreises vom Durchmesser 8 mit dem Quadrat der Seitenlänge 9 war auch die des Kreises vom Durchmesser 8 mit dem Quadrat der Diagonalen 10 bekannt. Diese Konstruktion findet sich bei den Babyloniern und eventuell beim römischen Feldmesser Vitruv. Sie liefert den Wert 3¹/₈ für $\pi$. Um ein bequemes zeichnerisches Verfahren anzugeben nimmt Albrecht Dürer diese Konstruktion im Jahr 1525 in seinem Werk Vnderweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt wieder auf. Dürer ist sich dabei bewußt, dass es sich um eine reine Näherungslösung handelt, er schreibt explizit, dass eine exakte Lösung noch nicht gefunden sei:

„Vonnöten wäre zu wissen Quadratura circuli, das ist die Gleichheit eines Zirkels und eines Quadrates, also daß eines ebenso viel Inhalt hätte als das andere. Aber solches ist noch nicht von den Gelehrten demonstrirt. Mechanice, das ist beiläufig, also daß es im Werk nicht oder nur um ein kleines fehlt, mag diese Gleichheit also gemacht werden. Reiß eine Vierung und teile den Ortsstrich in zehn Teile und reiße danach einen Zirkelriß, dessen Durchmesser acht Teile haben soll, wie die Quadratur deren 10; wie ich das unten aufgerissen habe.“

Eine klassische und sehr genaue Näherungslösung ist die Näherungskonstruktion von Kochański, die der polnische Mathematiker Adam Adamandy Kochański im Jahr 1685 entdeckt hat. Sie kommt mit nur einer Zirkelöffnung aus. Mit ihr ergibt sich als Näherung $\pi \approx {\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3{,}141533.$

Im Jahr 1913 erschien eine Konstruktion des indischen Mathematikers S. A. Ramanujan, die auf der Näherung $\pi \approx 355/113$ beruht, einem Wert, der in Europa jedenfalls seit dem 17. Jahrhundert, in China schon seit dem 5. Jahrhundert bekannt war.

Eine einfachere und fast ebenso genaue Methode veröffentlichte Louis Loynes 1961. Sie beruht auf der Feststellung, dass der Flächeninhalt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Quadrat über der größeren Kathete ist, wenn sich die kleinere zur größeren Kathete verhält wie

${\sqrt {{\frac {4}{\pi }}-1}}=0{,}5227232\dots ,$

einem Wert, der sehr nahe an dem Bruch

${\frac {23}{44}}=0{,}5227272\dots$

liegt. Daraus ergibt sich eine einfache Näherung, indem man das (konstruierbare) rechtwinklige Dreieck mit dem Katheten-Verhältnis 23:44 zur Quadratur benutzt. Dies ergibt einen angenäherten Wert für die Kreiszahl von $\pi \approx {\frac {7744}{2465}}\approx 3{,}141582.$

Die Fläche des so konstruierten Quadrates ist etwas zu klein und beträgt ca. 99,99967 Prozent der Kreisfläche. Der Fehler ist also kleiner als 1/1000 Prozent. Oder anders formuliert: Erst ab einem Kreisradius von 30,86 cm unterscheiden sich die beiden Flächen um mehr als einen Quadratmillimeter.

Das Problem als Metapher

Die Nutzlosigkeit der Suche nach Lösungen hat die Quadratur des Kreises als Metapher bekannt gemacht. Der Ausdruck wird einerseits als Synonym für ein Unterfangen benutzt, das von vornherein zum Scheitern verurteilt ist. Andererseits bezeichnet man das Ergebnis großer Anstrengungen scherzhaft als Quadratur des Kreises, wenn es einem unglaublichen Wunder gleichkommt.

Literatur und Quellen

allgemein

• Eugen Beutel: Die Quadratur des Kreises. 2. Auflage. Teubner, Leipzig 1920. (Digitalisat)
• Moritz Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Teubner, Leipzig 1880-1908 (4 Bde.).
• Helmuth Gericke: Mathematik in Antike und Orient. Springer, Berlin 1984, ISBN 3-540-11647-8.
• Helmuth Gericke: Mathematik im Abendland. Springer, Berlin 1990, ISBN 3-540-51206-3.
• Klaus Mainzer: Geschichte der Geometrie. Bibliographisches Institut, Mannheim u.a. 1980, ISBN 3-411-01575-6.
• Jean-Étienne Montucla: Histoire des recherches sur la quadrature du cercle. Paris 1754. (Digitalisat der korrigierten Neuauflage 1831)

zur Transzendenz von $\pi$

• Ferdinand Lindemann: Über die Zahl $\pi$. In: Mathematische Annalen 20 (1882), S. 213 - 225.
• David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und $\pi$. In: Mathematische Annalen 43 (1893), S. 216 - 219.
• Paul Albert Gordan: Transcendenz von e und $\pi$. In: Mathematische Annalen 43 (1893), S. 222 - 224.
• Theodor Vahlen: Beweis des Lindemann'schen Satzes über die Exponentialfunction. In: Mathematische Annalen 53 (1900), S. 457 - 460.

Unterhaltungsmathematik

• Dudley Underwood: Mathematik zwischen Wahn und Witz. Trugschlüsse, falsche Beweise und die Bedeutung der Zahl 57 für die amerikanische Geschichte, Birkhäuser, Basel 1995, ISBN 3-7643-5145-4. (englischer Originaltitel: Mathematical cranks)

Weblinks

• Die Quadratur des Kreises als Näherung, Beispiele aus Architektur, Kunst und Esoterik, Historisches zur Zahl Pi und Näherungswerte für Pi