Fraktal und Beinhaus von Douaumont: Unterschied zwischen den Seiten
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Im '''Beinhaus von [[Fort Douaumont|Douaumont]]''' nahe [[Verdun]] werden die Knochen von 130.000 nicht identifizierten französischen und deutschen Soldaten der [[Schlacht um Verdun]] aufbewahrt. |
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[[Bild:Mandelbrot-Menge_farbig.png|thumb|220px|right|Berühmtes Fraktal: die [[Mandelbrot-Menge]]]] |
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'''Fraktal''' (Adjektiv oder Substantiv) ist ein von [[Benoit Mandelbrot]] ([[1975]]) geprägter Begriff (lat. ''fractus'': gebrochen, von ''frangere'': brechen, in Stücke zerbrechen), der natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische [[Muster]] bezeichnet, die einen hohen Grad von [[Skaleninvarianz]] bzw. [[Selbstähnlichkeit]] aufweisen. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten Figuren. |
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Die Knochenkammern, die sich im Untergeschoss befinden, sind an der Hinterseite des Gebäudes von außen durch Fensterscheiben einsehbar. |
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Durch ihren Formenreichtum und dem damit verbundenen ästhetischen Reiz spielen sie in der [[Computerkunst]] eine gewisse Rolle. Ferner werden sie bei der computergestützten Simulation formenreicher Strukturen wie beispielsweise realitätsnaher Landschaften eingesetzt. |
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Vor dem Beinhaus befindet sich der berühmte Friedhof mit 15.000 französischen Soldaten aus aller Herren Länder. Neben christlichen Kreuzen gibt es ein Feld mit Gräbern, auf denen muslimische Kreuze die Religion der dort Begrabenen zeigen. |
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Mandelbrot benutzte den Begriff der verallgemeinerten [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] nach [[Felix Hausdorff|Hausdorff]] und stellte fest, dass fraktale Gebilde eine nicht-ganzzahligen Dimension, aufweisen. Sie wird auch als fraktale Dimension bezeichnet. Daher führte er folgende Definition ein: |
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Im Jahre [[1984]] trafen sich der französische Präsident [[François Mitterrand]] und der deutsche Kanzler [[Helmut Kohl]] zu einer großen Versöhnungsfeier. |
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:Ein Fraktal ist eine Menge, deren [[Hausdorff-Besikowitsch Dimension]] kleiner ist als ihre [[topologische Dimension]]. |
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Besteht ein Fraktal aus einer bestimmten Anzahl von verkleinerten Kopien seiner selbst, und ist dieser Verkleinerungsfaktor für alle Kopien der selbe, dann gilt für die Hausdorff-Dimension <math>D</math> |
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:<math> D = \frac{\log(\mbox{Anzahl selbstähnlicher Teile})} |
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{\log(\mbox{Verkleinerungsfaktor})} </math> |
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==Beispiele== |
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Linie, Quadrat, [[Koch-Kurve|Koch'sche Schneeflocke]], ... |
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Die Selbstähnlichkeit muss nicht perfekt sein, wie die erfolgreiche Anwendung der Methoden der [[Fraktale Geometrie|fraktalen Geometrie]] auf natürliche Gebilde wie Bäume, Wolken, Küstenlinien, etc. zeigen. Die genannten Objekte sind in mehr oder weniger starkem Maß selbstähnlich strukturiert (ein Baumzweig sieht ungefähr so aus wie ein verkleinerter Baum), die Ähnlichkeit ist jedoch nicht streng, sondern [[Stochastik|stochastisch]]. Im Gegensatz zu Formen der [[euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]], die bei einer Vergrößerung oft flacher und flacher und damit einfacher werden (z.B. Kreis), können bei Fraktalen immer komplexere und neue Details auftauchen. |
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Mandelbrot fand heraus, dass kein Fraktal in der Ebene eine Dimension größer als [[Eulersche Zahl|e]] haben kann. ''(?)'' |
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Fraktale Muster werden oft durch [[Rekursion|rekursive]] Operationen erzeugt. Auch einfache Erzeugungsregeln ergeben nach wenigen Rekursionsschritten schon komplexe Muster. |
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[[Bild:Fraktaler_Baum.png|Fraktaler Baum]] |
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Ein künstlich erzeugter Baum. Siehe [http://www-lehre.informatik.uni-osnabrueck.de/~cg/2000/skript/8_8_Beispiel_Applet_zu.html Applet]. |
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Ein Fraktal im dreidimensionalen Raum ist der [[Menger-Schwamm]]. |
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Ein weiteres Fraktal ist das [[Newton-Fraktal]]: |
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|[[Bild:FRACT008.GIF|256px]] |
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|} |
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Es wird über das Newton-Verfahren, das zur Nullstellenberechnung verwendet wird, berechnet. |
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== Verfahren zur Erzeugung von Fraktalen == |
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Fraktale können auf viele verschiedene Arten erzeugt werden, doch alle Verfahren beinhalten ein rekursives Vorgehen. Mögliche Verfahren sind: |
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* Die [[Iteration]] von Funktionen ist die einfachste und bekannteste Art, Fraktale zu erzeugen; die [[Mandelbrot-Menge]] entsteht so. Eine besondere Form dieses Verfahrens sind [[Iteriertes Funktionen-System|IFS]]–Fraktale ([[Iteriertes Funktionen-System|Iterierte Funktionensysteme]]), bei denen mehrere Funktionen kombiniert werden. So lassen sich natürliche Gebilde erstellen. |
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* [[dynamisches System|Dynamische Systeme]] erzeugen fraktale Gebilde, so genannte [[seltsamer Attraktor|seltsame Attraktoren]]. |
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* [[Lindenmayer-Systeme|L-Systeme]], die auf wiederholter Textersetzung beruhen, eigenen sich sehr gut zur Modellierung natürlicher Gebilde wie Pflanzen und Zellstrukturen. |
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== Fraktale, die sich geometrisch konstruieren lassen == |
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{| |
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|[[Bild:Flocke.PNG|thumb|Kochsche Schneeflocke]] ||[[Bild:Pfeil.PNG|thumb|Pfeilspitzen-Fraktal]] ||[[Bild:Gc 3.PNG|thumb|Gosper-Kurve]] ||[[Bild:Pepl 3.PNG|thumb|Penta Plexity]] |
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|} |
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'' |
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{| border=1 |
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|Fraktal || L-System || Winkel || Strecken-Verhältnis |
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|- |
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|[[Drachenkurve]] |
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F -> R oder F -> L |
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R -> +R--L+ |
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L -> -R++L- |
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| 45° ||<math>1:1/\sqrt{2}</math> |
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|- |
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|[[Gosper-Kurve]] |
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| |
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F -> R oder F -> L |
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R -> R+L++L-R--RR-L+ |
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L -> -R+LL++L+R--R-L |
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| 60° ||<math>1:1/\sqrt{7}</math> |
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|- |
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|[[Hilbert-Kurve]] |
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|- |
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|[[Koch-Kurve]] |
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F |
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F -> F+F--F+F |
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| 60° ||1:1/3 |
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|- |
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|[[Peano-Kurve]] |
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|- |
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|[[Roger Penrose|Penta Plexity]] |
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| |
|||
F++F++F++F++F |
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F -> F++F++F|F-F++F |
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| 36° ||<math>1:1/\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2</math> |
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|- |
|||
|[[Sierpinski-Dreieck|Pfeilspitze]] |
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| |
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F -> R oder F -> L |
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R -> -L+R+L- |
|||
L -> +R-L-R+ |
|||
| 60° ||1:1/2 |
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|- |
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|[[Sierpinski-Dreieck]] |
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|- |
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|[[Sierpinski-Teppich]] |
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|} |
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*Erklärung des L-Systems: |
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Das ''optionale'', also nicht notwendige ''F'' wird im allgemeinen als Strecke beutzt, die durch eine Anweisungsfolge ersetzt wird. Wie das ''F'' meinen auch andere groß geschriebene Buchstaben wie ''R'' und ''L'' einen Streckenabschnitt, der ersetzt wird. ''+'' und ''-'' meinen einen bestimmten Winkel, der im Uhrzeigersinn, oder gegen den Uhrzeigersinn läuft. |
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**Beispiel Drachenkurve: |
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F -> R |
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R -> +R--L+ |
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L -> -R++L- |
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F ist eine einfache Strecke zwischen zwei Punkten. F -> R heißt, das die Strecke F durch R ersetzt wird. Dieser Schritt ist notwendig, da es zwei rekursive Ersetztungen R und L besitzt, die sich gegenseitig enthalten. Imweiteren wird wie folgt ersetzt: |
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R |
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+R--L+ |
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+(+R--L+)++(-R++L-)+ |
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+(+(+R--L+)--(-R++L-)+)++(-(+R--L+)++(-R++L-)-)+ |
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. |
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. |
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. |
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Ab einem bestimmten Abschnitt muß dieser Ersetzungsprozeß abgebrochen werden, um ein Grafik zu bekommen: |
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+(+(+r--l+)--(-r++l-)+)++(-(+r--l+)++(-r++l-)-)+ |
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Wobei r und l jeweils eine fest vorgegebene Strecke darstellen. |
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Auf das folgende Logo-Programm bezogen: |
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Das Äquivalent zu ''F-> R'': |
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to dragon :stufe :laenge |
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dcr :stufe :laenge |
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end |
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Das Äquivalent zu ''R -> +R--L+'': |
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to dcr :stufe :laenge |
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make "stufe :stufe - 1 |
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make "laenge :laenge / 1.41421 |
|||
if :stufe > 0 [rt 45 dcr :stufe :laenge lt 90 dcl :stufe :laenge rt 45] |
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if :stufe = 0 [rt 45 fd :laenge lt 90 fd :laenge rt 45] |
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end |
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Das Äquivalent zu L -> ''-R++L-'': |
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to dcl :stufe :laenge |
|||
make "stufe :stufe - 1 |
|||
make "laenge :laenge / 1.41421 |
|||
if :stufe > 0 [lt 45 dcr :stufe :laenge rt 90 dcl :stufe :laenge lt 45] |
|||
if :stufe = 0 [lt 45 fd :laenge rt 90 fd :laenge lt 45] |
|||
end |
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== Fraktale in der Natur == |
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Sehr leicht kann man Fraktale auch in der Natur und im täglichen Leben beobachten. Sofort fällt einem die fraktale Struktur bei der grünen Blumenkohlzüchtung [[Romanesco]] und bei [[Farne]]n in das Auge. Auch bei bestimmten Bäumen kann man eine fraktale Struktur erkennen. Dabei erstreckt sich die Selbstähnlichkeit meist über 3-5 Skalen. |
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== Literatur == |
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* [[Herbert Voß]]: ''Chaos und Fraktale selbst programmieren'', franzis', ISBN 3-772-37003-9 |
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* [[Horst Halling]] / [[Rolf Möller]]: ''Mathematik fürs Auge - Eine Einführung in die Welt der Fraktale'', Spektrum, ISBN 3-860-25427-8 |
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* [[Benoit Mandelbrot|Benoît B. Mandelbrot]]: ''Die fraktale Geometrie der Natur'', Birkhäuser, ISBN 3-764-32646-8 |
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* [[Heinz-Otto Peitgen]], [[Peter H. Richter]]: ''The Beauty of Fractals. Images of Complex Dynamical Systems'', Springer, ISBN 0-387-15851-0 bzw. ISBN 3-540-15851-0 |
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* [[Heinz-Otto Peitgen]], [[Dietmar Saupe]]: ''The Science of Fractal Images'', ISBN 0-387-96608-0 |
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==Siehe auch== |
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[[Chaostheorie]], [[Mandelbrot-Menge|Apfelmännchen]], [[Julia-Menge]], [[Chaos-Spiel]], [[Menger-Schwamm]], [[Lindenmayer-Systeme]], [[Digitale Kunst]] |
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== Weblinks == |
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{{commons|Fractal}} |
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*http://www.fractalcenter.de/ |
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* [http://home.t-online.de/home/Siegfried.Beyer/ Fraktale und andere Themen der Computergraphik] |
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* [http://www.meden.demon.co.uk/Fractals/ Liste von benannten Fraktalen], englisch |
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* [http://www.mathcurve.com/fractals/gosper/gosper.shtml Gospersches Fraktal] |
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* [http://www.game-face.de/article.php3?id_article=21 Programmierung] |
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* [http://frac.samurajdata.se Verschiedene Fraktale mit Möglichkeiten zur beliebigen Einfärbung, Iterierung und zum hineinzoomen] |
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===Computerprogramme=== |
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* [http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html FractInt, für viele Plattformen] |
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* [http://www.gnu.org/software/xaos/xaos.html XaoS - der Fraktal-Navigator im GNU-Projekt], letzte Version von 1997 |
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* [http://www.wackerart.de/fractal.html Fraktal Generator] Java-Plugin erforderlich |
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* [http://www.pk-applets.de/fra/newton/newton.html Applet für Newton-Fraktale] |
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* [http://www.apophysis.org Fraktalgenerator mit vielen Bearbeitungsmöglichkeiten] |
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[[Kategorie:Computerkunst]] |
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[[Kategorie:Analysis]] |
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[[Kategorie:Geometrie]] |
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[[bg:Фрактал]] |
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[[ca:Fractal]] |
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[[da:Fraktal]] |
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[[en:Fractal]] |
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[[eo:Fraktalo]] |
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[[es:Fractal]] |
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[[fa:برخال]] |
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[[fi:Fraktaali]] |
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[[fr:Fractale]] |
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[[he:פרקטל]] |
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[[ja:フラクタル]] |
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[[nl:Fractal]] |
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[[pl:Fraktal]] |
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[[sl:Fraktal]] |
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[[sv:Fraktal]] |
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[[th:แฟร็กทัล]] |
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Version vom 25. November 2004, 14:32 Uhr
Im Beinhaus von Douaumont nahe Verdun werden die Knochen von 130.000 nicht identifizierten französischen und deutschen Soldaten der Schlacht um Verdun aufbewahrt.
Die Knochenkammern, die sich im Untergeschoss befinden, sind an der Hinterseite des Gebäudes von außen durch Fensterscheiben einsehbar.
Vor dem Beinhaus befindet sich der berühmte Friedhof mit 15.000 französischen Soldaten aus aller Herren Länder. Neben christlichen Kreuzen gibt es ein Feld mit Gräbern, auf denen muslimische Kreuze die Religion der dort Begrabenen zeigen. Im Jahre 1984 trafen sich der französische Präsident François Mitterrand und der deutsche Kanzler Helmut Kohl zu einer großen Versöhnungsfeier.