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Goldener Schnitt und Korfantów: Unterschied zwischen den Seiten

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Der '''Goldene Schnitt''' ([[Latein|lat.]] ''sectio aurea'') ist ein bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen oder [[Physikalische Größe|Größen]]. Es beträgt etwa 1,618:1. Streckenverhältnisse im Goldenen Schnitt werden in der [[Kunst]] und [[Architektur]] oft als ideale [[Proportion]] und als Inbegriff von [[Ästhetik]] und [[Harmonie]] angesehen. Darüber hinaus tritt dieses Verhältnis auch in der [[Natur]] in Erscheinung und zeichnet sich durch eine Reihe interessanter [[Mathematik|mathematischer]] Eigenschaften aus. Weitere verwendete Bezeichnungen sind '''stetige Teilung''' und '''göttliche Teilung''' ([[Latein|lat.]] ''proportio divina'').
|Ort = Korfantów
|Wappen = [[Bild:Herb_Korfantowa.svg|100px|Wappen von Korfantów]]
|Woiwodschaft = Oppeln
|Powiat = Nysa
|Powiat_link = Nyski
|KreisfreieStadt =
|Fläche =
|Koordinate_Breitengrad = 50
|Koordinate_Breitenminute = 30
|Koordinate_Breitensekunde =
|Koordinate_Längengrad = 17
|Koordinate_Längenminute = 36
|Koordinate_Längensekunde =
|Höhe =
|Einwohner = 1.916
|EinwohnerDatum = 30. Juni 2005
|Postleitzahl = 48-317
|Telefonvorwahl = 77
|KFZ-Kennzeichen = ONY
|Wirtschaftszweige =
|Straßen =
|Schienen =
|Flughafen = [[Flughafen Breslau|Breslau]]
|GemeindeArt = [[Stadt- und Landgemeinde]]
|Gemeindegliederung =
|GemeindeFläche = 179,78
|GemeindeEinwohner = 9.876
|GemeindeEinwohnerDatum = 30. Juni 2005
|Bürgermeister = Zdzisław Martyna
|BürgermeisterDatum = 2007
|AnschriftStraße = Rynek 4
|AnschriftOrt = 48-317 Korfantów
|Webpräsenz = www.korfantow.pl
|TERYT = 5162307034
}}
'''Korfantów''' (deutsch ''Friedland in Oberschlesien'') ist eine Stadt mit 1.916 Einwohnern (2005) in Polen. Sie liegt 22 Kilometer östlich von [[Nysa]] (Neisse) am rechten Ufer der [[Steinau (Fluss)|Steinau]] und gehört dem [[Powiat Nyski]] in der [[Woiwodschaft Oppeln]] an.


== Geschichte ==
[[Bild:Goldener_Schnitt_Streckenteilung.png|thumb|right|270px|Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes: ''a'' verhält sich zu ''b'' wie ''a+b'' zu ''a''.]]


Der Zeitpunkt der Stadtgründung ist ebenso unbekannt wie die des nordöstlich gelegenen Dorfes Friedland. 1323 ist ein Heinrich von Friedland urkundlich belegt. Im Jahre 1327 wurde Friedland ein Teil Böhmens.
== Definitionen und Grundeigenschaften ==
Die Ersterwähnung der Kirche zu ''Hurthlanth'' im Jahre 1335 ist zugleich auch der erste schriftliche Nachweis über die Stadt.
{| align="right"
|valign="top"|[[Bild:Rechteck_GoldenerSchnitt.gif|thumb|190px|Das Rechteck mit den Seiten ''a'' und ''b'' entspricht genau dann dem Goldenen Schnitt, wenn das auch für das Rechteck mit den Seiten ''a''+''b'' und ''a'' der Fall ist. Ein Goldenes Rechteck lässt sich daher stets in ein kleineres, ebenfalls Goldenes, und ein Quadrat zerlegen ([[:Bild:Animation_GoldenerSchnitt.gif|animierte Darstellung]]).]]
|}
*Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren (siehe Abbildung). Dieses Verhältnis wird meist mit dem griechischen Buchstaben Φ ([[Phi]]) bezeichnet. Bezeichnet man die längere Strecke mit ''a'' und die kürzere mit ''b'', dann gilt damit


Friedland hatte in seiner Geschichte viele Grundherren. Darunter waren die [[Schaffgotsch]] als Besitzer in der Zeit von 1535 bis 1594, unter denen die [[Reformation]] durchgeführt wurde. Heinrich Wencel von Nowagk machte dies 1629 mit der [[Gegenreformation]] rückgängig. Den Nowagk folgten ab 1670 die Grafen von Burghauß.
:: <math>\frac{a}{b}= \frac{a+b}{a}</math>
1825 erfolgte ein Umbau und die Vergrößerung des aus dem Jahre 1616 stammenden Schlosses, um das ein Landschaftspark angelegt wurde.


1885 erbte Carl Graf von Pückler Friedland und nannte sich fortan ''von Pückler-Burghauß''.
:Daraus ergibt sich für das Verhältnis ''a'' zu ''b'' (siehe unten)


Seit 1742 gehörte die Stadt Friedland zu Preußen und ihr wurde das Stadtrecht wegen Unbedeutsamkeit entzogen. 1816 wurde Friedland Teil des [[Landkreis Falkenberg O.S.|Landkreises Falkenberg]].
:: <math>\Phi = \frac{a}{b}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}618033988\dots</math>


1867 erhielt der Markt Friedland die Stadtrechte zurück und das Dorf Friedland wurde eingemeindet. 1928 wurde auch der Gutsbezirk ein Teil der Stadt.
* Φ ist eine [[irrationale Zahl]], das heißt sie lässt sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen. Es zeigt sich, dass sie in einem bestimmten Sinne die irrationalste aller Zahlen ist (siehe unten). Das bedeutet, dass sie sich vergleichsweise schlecht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen annähern lässt, ein Umstand, der wesentlich zu ihrer Bedeutung in der Natur und möglicherweise auch in der Kunst beiträgt.


1909 erfolgte die Weihe des Neubaus der Dreifaltigkeitskirche. Der katholische Pfarrer Valentin Wojciech ist 1920 zum [[Bistum Breslau|Breslau]]er Weihbischof ernannt worden.
* Subtrahiert man die kürzere der beiden Strecken von der längeren, so erhält man eine noch kürzere Strecke, zu der die mittlere der drei Strecken wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht. Das folgt unmittelbar aus der obigen Definition, wenn man ausgehend von der Strecke ''a''+''b'' die Strecke ''b'' abzieht. Die Bezeichnung ''stetige Teilung'' bezieht sich auf den Umstand, dass dieser Vorgang beliebig oft wiederholbar ist und dabei stets das selbe Verhältnis liefert.


Zu Beginn des 20. Jahrhundert siedelte sich eine Maschinenfabrik an. Ansonsten war die Leichtindustrie vorherrschend, es gab Gardinen- und Spitzenwebereien, eine Schuhfabrik, außerdem ein Sägewerk, eine Ziegelei und eine Drahtzaunfabrik.
* Ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, bezeichnet man als '''Goldenes Rechteck'''. Ebenso nennt man [[Dreieck#Das gleichschenklige Dreieck|gleichschenklige Dreiecke]], bei denen zwei Seiten in diesem Verhältnis stehen, '''Goldene Dreiecke'''.


Im [[Zweiter Weltkrieg|Zweiten Weltkrieg]] wurde Friedland bombardiert und erlitt Zerstörungen. Die Michaeliskapelle auf dem Friedhof brannte nieder und auch das Schloss wurde stark beschädigt.
[[Bild:Goldener_Winkel.png|thumb|right|115px|Der Goldene Winkel Ψ≈137,5°]]


1945 wurde die Stadt polnisch und verlor das Stadtrecht erneut. Die deutschen Bewohner wurden 1946 vertrieben und polnische Vertriebene aus den an die [[UdSSR]] gefallenen Gebieten angesiedelt. Friedland wurde nach dem polnischen Freischärler und Politiker [[Wojciech Korfanty]], der die Stadt niemals betreten hatte, in ''Korfantów'' umbenannt.
* Eine bedeutende Rolle spielt der so genannte '''Goldene Winkel''' Ψ ([[Psi]]). Man erhält ihn, wenn man die 360° des Vollkreises im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt. Bezeichnet man den kleineren dieser Winkel als Ψ<sub>1</sub> und den größeren als Ψ<sub>2</sub>, so ergibt sich


Seit 1993 ist Korfantów wieder eine Stadt und hat eine Städtepartnerschaft mit dem [[Friedland (Mecklenburg)|mecklenburgischen Friedland]].
::<math>\Psi_2 = \frac{360^\circ}{\Phi} \approx 222{,}5^\circ </math>


=== Einwohnerentwicklung ===
:Da sich Winkel kleiner als 180° für die Praxis als handlicher erweisen, wird gewöhnlich der kleinere Winkel Ψ<sub>1</sub> als Goldener Winkel Ψ bezeichnet, das heißt

::<math>\Psi = 360^\circ - \frac{360^\circ}{\Phi} \approx 137{,}5^\circ </math>

* In einem engen Zusammenhang zum Goldenen Schnitt steht die unendliche [[Folge (Mathematik)|Zahlenfolge]] der [[Fibonacci-Folge|Fibonacci-Zahlen]]

::0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...,

:die auf Leonardo da Pisa, genannt [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]] (13. Jahrhundert), zurückgeht. Die jeweils nächste Zahl in dieser Folge erhält man als Summe der beiden vorangehenden. Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen strebt gegen den Goldenen Schnitt, ein Umstand, der bereits [[Johannes Kepler]] bekannt war.

== Geometrisches ==

=== Vergleich mit anderen Teilungsverhältnissen ===

Ein möglicher Grund für die Beliebtheit des Goldenen Schnittes ist in seinem hohen Grad an Irrationalität zu sehen. Das bedeutet, dass er sich von allen Verhältnissen kleiner ganzer Zahlen, wie beispielsweise 2&nbsp;:&nbsp;3 oder 3&nbsp;:&nbsp;4, deutlich abhebt, was in bestimmten ästhetischen Zusammenhängen erwünscht sein kann. Möglicherweise wurde und wird er oft auch unbewusst und ohne exakte Maßkontrolle intuitiv gewählt, um solche rationalen Längenverhältnisse zu meiden.

Die folgende Abbildung vergleicht verschiedene Rechtecke mit prominenten Seitenverhältnissen in der Umgebung von Φ. Angegeben ist jeweils das Verhältnis von Höhe zu Breite und der entsprechende Zahlenfaktor:

[[Bild:Goldener Schnitt Rechtecke Aspect ratio compare6.png]]

Typische Einsatzgebiete (von links nach rechts):

*4&nbsp;:&nbsp;3 - Traditionelles Fernsehformat. In der Regel auch bei [[Computermonitor]]en (z.&nbsp;B. 1024&nbsp;×&nbsp;768 [[Pixel]]). Dieses Format geht zurück auf [[Thomas Alva Edison]], der 1889 das Format des klassischen Filmbildes ([[35-mm-Film]]) auf 24&nbsp;×&nbsp;18 mm festlegte.
*√<span style="text-decoration:overline;">2</span>&nbsp;:&nbsp;1 - Das Seitenverhältnis beim [[Papierformat|DIN-A4-Blatt]] und verwandten [[DIN]]-Maßen. Bei einer Halbierung durch einen Schnitt, der die längeren Seiten des Rechtecks halbiert, entstehen wiederum Rechtecke mit dem selben Seitenverhältnis.
*3&nbsp;:&nbsp;2 - Seitenverhältnis beim [[Kleinbildfilm]] (36&nbsp;mm&nbsp;×&nbsp;24&nbsp;mm).
*[[Φ]]&nbsp;:&nbsp;1 - Seitenverhältnis im Goldenen Schnitt. Hier [[Approximation|approximiert]] durch 144&nbsp;×&nbsp;89 Pixel mit einem theoretischen Fehler von nur 5·10<sup>-5</sup>. Die beiden benachbarten Rechtecke weisen Seitenverhältnisse von aufeinander folgenden [[Fibonacci-Zahlen]] auf und approximieren daher ebenfalls den Goldenen Schnitt vergleichsweise gut.
*5&nbsp;:&nbsp;3 - Findet neben dem noch breiteren 1&nbsp;:&nbsp;1,85 als [[Kinoformat]] Verwendung.
*16&nbsp;:&nbsp;9 - [[Breitbildfernsehen]].

=== Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ===

In der Geometrie betrachtet man [[Konstruktion (Mathematik)|Konstruktionsverfahren]], die nur mit [[Zirkel (Gerät)|Zirkel]] und [[Lineal]] auskommen. Für die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes gibt es eine Fülle derartiger Verfahren. Hier seien exemplarisch einige erwähnt..

{|

|[[Bild:Goldener_Schnitt_Konstr_beliebt.png|thumb|right|161px|Beliebtes Konstruktionsverfahren]]
* Das folgende Verfahren ist wegen seiner Einfachheit beliebt.
*# Errichte auf der Strecke AB im Punkt B eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
*#Der Kreis um C mit dem [[Radius]] BC schneidet die Verbindung AC im Punkt D.
*#Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

|---

|[[Bild:Goldener_Schnitt_Konstr_Euklid.png|thumb|right|164px|Verfahren nach Euklid]]
* Die folgende Vorschrift geht auf [[Euklid]] zurück.
*# Errichte auf der Strecke AB im Punkt A eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
*#Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verlängerung von AC im Punkt D.
*#Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Bei diesen beiden Beispielen spricht man von einer ''inneren Teilung'' der Ausgangsstrecke AB.

|---

|[[Bild:Goldener_Schnitt_Konstr_äußere Teilung.png|thumb|right|132px|Verfahren mit „äußerer Teilung“]]
*Im Folgenden zwei Beispiele für eine ''äußere Teilung'', bei der der zu konstruierende Punkt außerhalb der Ausgangsstrecke liegt.
*#Errichte auf der Strecke AS im Punkt S eine Senkrechte der Länge AS mit dem Endpunkt C.
*#Konstruiere die Mitte M der Strecke AS.
*#Der Kreis um M mit dem Radius MC schneidet die Verlängerung von AS im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

|---

|[[Bild:Goldener_Schnitt_Konstr_1982.png|thumb|right|172px|Konstruktion nach Odom]]
*Das folgende Konstruktionsverfahren wurde erst 1982 von dem amerikanischen Mathematiker [[George Odom]] entdeckt.
*#Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck.
*#Konstruiere den [[Umkreis]], also den Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verläuft.
*#Halbiere zwei Seiten des Dreiecks in den Punkten A und S.
*#Die Verlängerung von AS schneidet den Kreis im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

:Beginnt man mit der Strecke AS, so ist zunächst das Dreieck zu konstruieren, was in mehreren Schritten problemlos möglich ist.


{| border=1 cellspacing="1" cellpadding="3" bgcolor=#DDEEFF width="400" align="center"
|- bgcolor=white align="center"
| bgcolor=#BBCCFF align="center" | '''Jahr''' || 1783 || 1825 || 1905 || 1939 || 1958 || 2002
|-bgcolor=white align="center"
| bgcolor=#BBCCFF align="center" | '''Einwohnerzahl''' || 684 || 757 || 2.074 || 1.895 || 932 || 1.995
|-
<br style="clear:both" />
|}
|}
<!-- bitte NICHT jedes Jahr was zu finden ist aufnehmen! .. alle 5 oder 10 Jahre sollte reichen außer es ist gravierendes passiert! -->


=== Pentagramm ===
== Gmina ==
''Hauptartikel:'' [[Pentagramm]]
[[Bild:Golden ratio - Pentagram.svg|thumb|right|Pentagramm]]
[[Bild:Knot of a paperstrip with the golden ratio.jpg|thumb|right|Faltet man einen Papierstreifen nach Art eines [[Überhandknoten]]s, so entstehen Strecken im Verhältnis des Goldenen Schnittes.]]
Das Pentagramm, eines der ältesten [[Magie|magischen]] Symbole der [[Kulturgeschichte]], steht in einer besonders engen Beziehung zum Goldenen Schnitt.


Die [[Stadt- und Landgemeinde]] (''gmina miejsko-wiejska'') Korfantów umfasst ein Gebiet von 179,78&nbsp;km², auf dem 9.876 Menschen (2005) leben. Dazu gehören folgende Ortschaften:
Zu jeder Strecke und Teilstrecke im Pentagramm findet sich ein Partner, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht. In der Abbildung sind alle drei möglichen Streckenpaare jeweils blau (längere Strecke) und orange (kürzere Strecke) markiert. Sie lassen sich über das oben beschriebene Verfahren der ''stetigen Teilung'' nacheinander erzeugen. Im Prinzip ist es in das verkleinerte Pentagramm fortsetzbar, das man in das innere Fünfeck zeichnen könnte, und damit auch in alle weiteren. Stünden die beiden Strecken in einem Verhältnis ganzer Zahlen, müsste dieses Verfahren der fortgesetzten Subtraktion irgendwann Null ergeben und damit abbrechen. Die Betrachtung des Pentagramms zeigt aber anschaulich, dass das nicht der Fall ist.
* Borek (''Leopoldsdorf'')

* Gryżów (''Griesau'')
Für den Beweis, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt, beachte man, dass neben den vielen Strecken, die aus offensichtlichen Symmetriegründen gleich lang sind, auch CD=CC' gilt. Ursache ist, dass das Dreieck DCC' zwei gleiche Winkel besitzt, wie man durch Parallelverschiebung der Strecke CC' erkennen kann, und daher gleichschenklig ist. Nach dem Strahlensatz gilt:
* Jegielnica (''Juglitz'')

* Kuropas (''Korpiz'', 1936–45: ''Korndorf'')
:<math> \frac{AB}{BB'} = \frac{AC}{CC'} </math>
* Korfantów (''Friedland O.S.'')

* Kużnica Ligocka (''Ellguth-Hammer'')
Ersetzt man AC=AB+BC und beachtet die Gleichheit der auftretenden Teilstücke, so erhält man genau die obige Definitionsgleichung für den Goldenen Schnitt.
* Myszowice (''Mauschwitz'', 1936–45: ''Mauschdorf'')

* Niesiebędowice (''Nussdorf'')
=== Goldene Spirale ===
* Piechocice (''Piechotzutz'', 1936–45: ''Bauerngrund'')
[[bild:Goldene Spirale.png|thumb|right|144px|Goldene Spirale]]
* Pleśnica (''Plieschnitz'', ''Plieschratz'', 1936–45: ''Fuchsberg'')
Ein Goldenes Rechteck lässt sich in ein [[Quadrat]] und ein weiteres Goldenes Rechteck zerlegen. Durch wiederholte Teilung erhält man eine Figur, in die sich eine [[logarithmische Spirale]] einzeichnen lässt, die '''Goldene Spirale'''. Sie wird oft, wie in nebenstehender Abbildung, durch eine Folge von Viertelkreisen approximiert. Ihr Radius ändert sich bei jeder 90°-Drehung um den Faktor Φ.
* Przechód (''Psychod'', 1936–45: ''Waldfurt'')

* Przydroże Małe (''Klein Schnellendorf'')
Die [[schnecken]]förmigen Kalkgehäuse einiger Tierarten haben eine ähnliche Steigung, wie beispielsweise das des [[Perlboote|Nautilus]]. Bei den meisten dieser Tierarten ist die Steigung jedoch eher geringer.
* Przydroże Wielkie (''Groß Schnellendorf'')

* Puszyna (''Puschine'', 1936–45: ''Erlenburg'')
=== Goldener Schnitt im Ikosaeder ===
* Rączka (''Rainisch'')
[[Bild:Ikosaeder.jpg|thumb|right|150px|Drei Goldene Rechtecke im [[Ikosaeder]]]]
* Rynarcice (''Rennersdorf'')
Die 12 Ecken des [[Ikosaeder]]s bilden die Ecken von drei gleich großen, senkrecht aufeinanderstehenden [[Rechteck]]en mit gemeinsamem Mittelpunkt und mit den Seitenverhältnissen des Goldenen Schnittes. Die Anordnung der drei Rechtecke heißt auch Goldener-Schnitt-Stuhl.
* Rzymkowice (''Ringwitz'')

* Ścinawa Mała (''Steinau O.S.'')
== Historisches ==
* Ścinawa Nyska (''Steinsdorf'')

* Stara Jamka (bis 1918: ''Polnisch Jamke'', dann ''Jamke'', 1936–45: ''Heinrichshof O.S.'')
[[Hippasos]] von Metapont (um 450 v. Chr.), der dem Geheimbund der [[Pythagoreer]] angehörte, entdeckte bei seinen Untersuchungen am Fünfeck, dass das Verhältnis von Kantenlänge zu Diagonale nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist. Dieses Ergebnis stand im Widerspruch zu der Überzeugung der Pythagoreer, dass die Welt sich vollständig durch ganze Zahlen beschreiben lässt. Ironischerweise fand sich nun die Widerlegung dieser Ansicht ausgerechnet im [[Pentagramm]], dem Symbol der Pythagoreer. Hippasos entdeckte damit das Phänomen der [[Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]] anhand der [[Inkommensurabilität (Mathematik)|Inkommensurabilität]] von Strecken, sowie zwei Größen, die im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen. Unbestätigten Berichten zufolge verbreitete er seine Entdeckung entgegen den Regeln seines Geheimbundes in der Öffentlichkeit und wurde daher zur Strafe ertränkt.
* Węża (''Prockendorf'')

* Wielkie Łąki (''Hillersdorf'')
Die erste genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes stammt von [[Euklid]] (um 300 v. Chr.), der darauf über seine Untersuchungen an den [[Platonischer Körper|platonischen Körpern]] und dem Fünfeck beziehungsweise dem Pentagramm stieß. Seine Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde später als „proportio habens medium et duo extrema“ übersetzt, was heute als „Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ bezeichnet wird.
* Włodary (''Volkmannsdorf'')

* Włostowa (''Floste'')
[[Bild:Vitruvian.jpg|thumb|Menschliche Proportionen nach [[Vitruv]] von [[Leonardo da Vinci]] (1492)]]
Später beschäftigte sich der [[Franziskaner]]mönch [[Luca Pacioli|Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro]] (1445 - 1514), der an der Universität von [[Perugia]] Mathematik lehrte, mit Euklids Arbeiten. Er nannte diese Streckenteilung ''Göttliche Teilung'', was sich auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit den fünf platonischen Körpern bezog, zu deren Konstruktion der Goldene Schnitt ein wichtiges Hilfsmittel darstellt. Sein gleichnamiges Werk „De Divina Proportione“ von 1509 besteht aus drei unabhängigen Büchern. Bei dem ersten handelt es sich um eine rein mathematische Abhandlung, die jedoch keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt. Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften des Römers [[Vitruv]] aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. zur Architektur, in denen Vitruv die Proportionen des menschlichen Körpers als Vorlage für Architektur darstellt. Dieses Buch enthält eine Studie von [[Leonardo da Vinci]] (1451-1519) über den vitruvischen Menschen. Das Verhältnis von Quadratseite zu Kreisradius in diesem berühmten Bild entspricht mit einer Abweichung von 1,7% dem Goldenen Schnitt, der jedoch im zugehörigen Buch gar nicht erwähnt wird. Darüber hinaus würde man diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht erwarten.

In Abhandlungen verschiedener Autoren im 19. Jahrhunderten insbesondere von dem Philosophen [[Adolf Zeising]] ([[#Literatur|Lit.]]: Zeising, 1854) wurden diese beiden Schriften zu der These kombiniert, Pacioli hätte in der „De Divina Proportione” in Zusammenarbeit mit Leonardo da Vinci einen Zusammenhang zwischen Kunst und Goldenem Schnitt hergestellt und damit seine Wiederentdeckung für die [[Malerei]] der [[Renaissance]] begründet. Zeising war von der Existenz eines Naturgesetzes der Ästhetik überzeugt, dessen Basis der Goldene Schnitt sein müsse. Er suchte und fand den Goldenen Schnitt überall. Seine Schriften verbreiteten sich rasch und begründeten eine wahre Euphorie bezüglich des Goldenen Schnitts. Andererseits zeigt eine Literaturanalyse, dass vor Zeising niemand in den Werken der Antike oder Renaissance den Goldenen Schnitt zu erkennen glaubte. Entsprechende Funde sind daher heute unter Kunsthistorikern eher umstritten.

Die Bezeichnung ''Goldener Schnitt'' wurde erstmals 1835, nur wenige Jahre zuvor, von [[Martin Ohm]] (1792-1872; Bruder von [[Georg Simon Ohm]]) in einem Lehrbuch der Mathematik verwendet ([[#Literatur|Lit.]]: Ohm, 1835). Auch die Bezeichnung ''sectio aurea'' entstand erst in dieser Zeit.

[[Gustav Theodor Fechner]], ein Begründer der experimentellen Psychologie, stellte 1876 bei Untersuchungen mit Versuchpersonen anhand von Rechtecken in der Tat eine Präferenz für den Goldenen Schnitt fest ([[#Literatur|Lit.]]: Fechner, 1876). Die Ergebnisse bei der Streckenteilung und bei Ellipsen fielen jedoch anders aus. Neuzeitliche Untersuchungen zeigen, dass das Ergebnis solcher Experimente stark vom Kontext der Darbietung abhängt. Fechner fand ferner bei Vermessungen von Bildern in verschiedenen Museen Europas, dass die Seitenverhältnisse im Hochformat im Mittel etwa 4:5 und im Querformat etwa 4:3 betragen und sich damit deutlich vom Goldenen Schnitt unterscheiden.

Anfang des 20. Jahrhunderts fanden die Schriften des Rumänen [[Matila Costiescu Ghyka]] (1927) zum Goldenen Schnitt Beachtung, der den religiösen Aspekt von Pacioli mit dem ästhetischen von Zeising verband. Er interpretierte den Goldenen Schnitt als fundamentales Geheimnis des Universums und führte dazu vor allem Beispiele in der Natur an.

Ende des 20. Jahrhunderts suchte die Kunsthistorikerin [[Marguerite Neveux]] mit röntgenanalytischen Verfahren unter der Farbe von Originalgemälden, die angeblich den Goldenen Schnitt enthalten, vergeblich nach entsprechenden Markierungen oder Konstruktionsspuren ([[#Literatur|Lit.]]: Neveux, 1995).

== Architektur ==

[[Bild:ParthenonGoldenRatio.png|thumb|260px|[[Parthenon]]-Tempel mit fünf angenommenen Goldenen Rechtecken angeordnet nach Art einer Goldenen Spirale.]]

Frühe Hinweise auf die vermutlich unbewusste Verwendung des Goldenen Schnittes stammen aus der Architektur. Die Schriften des griechischen Geschichtsschreibers [[Herodot]] zur [[Cheops-Pyramide]] werden gelegentlich dahingehend ausgelegt, dass die Höhe der Seitenfläche zur Hälfte der Basiskante im Verhältnis des Goldenen Schnittes stünde. Die entsprechende Textstelle ist jedoch nicht eindeutig interpretierbar. Andererseits wird auch die These vertreten, dass das Verhältnis 2:π für Pyramidenhöhe zu Basiskante die tatsächlichen Maße noch besser widerspiegele. Der Unterschied beider Thesen beträgt 1,0 [[Promille]].

Viele Werke der griechischen Antike werden als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen wie beispielsweise die Vorderfront des [[447 v. Chr.|447]]–[[432 v. Chr.]] unter [[Perikles]] erbauten [[Parthenon]]-Tempels auf der [[Akropolis (Athen)|Athener Akropolis]]. Da zu diesen Werken keine Pläne überliefert sind, ist nicht bekannt, ob diese Proportionen bewusst oder intuitiv gewählt wurden.

Auch in späteren Epochen finden sich zahlreiche Beispiele der goldenen Proportionen, wie beispielsweise der [[Dom Santa Maria del Fiore|Dom von Florenz]], die [[Notre Dame de Paris|Notre Dame]] in Paris oder die [[Torhalle Lorsch|Torhalle]] in [[Lorsch]] ([[770|770 n. Chr.]])

Es gibt jedoch keinen empirischen Nachweis für eine signifikant größere Häufigkeit des Goldenen Schnittes in diesen Epochen im Vergleich zu anderen Teilungsverhältnissen. Ebenso fehlen historische Belege für eine absichtliche Verwendung des Goldenen Schnitts.

Der [[Architekt]] und Maler [[Le Corbusier]] (1887–1965) entwickelte ab 1940 ein einheitliches Maßsystem basierend auf den menschlichen Maßen und dem Goldenen Schnitt. Er veröffentlichte es 1949 in seiner Schrift ''Der [[Modulor]]'', die zu den bedeutendsten Schriften der [[Architekturgeschichte]] beziehungsweise -theorie gezählt wird. Bereits 1934 wurde ihm für die Anwendung mathematischer Ordnungsprinzipien von der [[Universität Zürich]] der Titel ''doctor honoris causa'' der mathematischen Wissenschaften verliehen.

== Kunst ==

Inwieweit die Verwendung des Goldenen Schnittes in der Kunst zu besonders ästhetischen Ergebnissen führt, ist letztlich eine Frage der jeweils herrschenden Kunstauffassung. Für die generelle These, dass diese Proportion besonders ansprechend und harmonisch empfunden wird, gibt es keine gesicherten Belege. Viele [[Künstler]] setzten den Goldenen Schnitt bewusst ein, bei vielen Werken wurden Kunsthistoriker erst im Nachhinein fündig. Diese Befunde sind jedoch angesichts der Fülle von Kandidaten für den Goldenen Schnitt, wie man sie beispielsweise in einem reich strukturierten Gemälde finden kann, oft umstritten.

So werden zahlreichen [[Skulptur]]en griechischer [[Bildhauer]], wie der [[Apollo von Belvedere]], der [[Leochares]] (um 325 v. Chr.) zugeschrieben wird, oder Werke von [[Phidias]] (5. Jhd. v. Chr.) als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen. Auf letzteren bezieht sich auch die heute oft übliche Bezeichnung Φ für den Goldenen Schnitt, die von dem amerikanischen Mathematiker [[Mark Barr]] eingeführt wurde. Die ebenfalls gelegentlich verwendete Bezeichnung τ bezieht sich dagegen auf das griechische Wort „tome” für „Schnitt”.

Der Goldene Schnitt wird auch in vielen Gemälden der Renaissance vermutet, wie bei [[Raffael]], [[Leonardo da Vinci]] und [[Albrecht Dürer]], zum Beispiel bei Dürers Selbstbildnis von 1500 und seinem Kupferstich [[Melencolia I]] von 1514.

[[Künstler]] der Neuzeit, die den Goldenen Schnitt bewusst einsetzten, sind beispielsweise [[Pieter Cornelis Mondrian|Mondrian]], [[Paul Signac]] und [[Georges Seurat]], [[Hergé]] oder auch die Künstler der [[Section d'Or]].

Auch in der [[Fotografie]] wird der Goldene Schnitt zur Bildgestaltung eingesetzt, wie beispielsweise von dem französischen [[Fotograf]] [[Henri Cartier-Bresson]].

Im [[Buchdruck]] wurde früher gelegentlich die Nutzfläche einer Seite, der so genannte [[Satzspiegel]], so positioniert, dass das Verhältnis von Bundsteg zu Kopfsteg zu Außensteg zu Fußsteg sich wie 2:3:5:8 verhielt. Diese Wahl von Fibonacci-Zahlen approximiert den Goldenen Schnitt.

Künstler und [[Handwerker]] benutzten im 19. Jahrhundert zur Konstruktion beziehungsweise zur Überprüfung des Goldenen Schnittes oft einen so genannten ''Goldenen Zirkel''. Er bestand oft aus einem [[Zirkel (Gerät)|Zirkel]], dessen beide Schenkel x-förmig nach oben zu einem zweiten Zirkel verlängert waren, und dessen Schenkellängen so gewählt waren, dass das Verhältnis der beiden eingestellten Abschnitte den Goldenen Schnitt bildete. Andere Instrumente hatten die Form eines [[Pantograf|Storchschnabels]].

== Musik ==

=== Intervalle ===

In der [[Musik]] werden [[Ton (Musik)|Töne]] als [[Konsonanz|konsonant]] empfunden, wenn das Verhältnis ihrer [[Frequenz|Schwingungsfrequenzen]] ein Bruch aus kleinen ganzen Zahlen ist. [[Tonleiter]]n mit irrationalen Schwingungsverhältnissen, wie beispielsweise dem des Goldenen Schnittes, spielen daher allenfalls in der [[Experimentelle Musik|experimentellen Musik]] oder in speziellen Kulturkreisen eine Rolle. Dass eine Annäherung dieses Verhältnisses zum Goldenen Schnitt hin nicht unbedingt zu einem [[Euphonie|wohlklingenden]] Intervall führt, lässt sich daran erkennen, dass unter den Tonintervallen, deren Schwingungsverhältnis aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen entspricht, höchstens die [[Quinte]] mit einem Schwingungsverhältnis von 3:2 herausragt. Die große Terz mit einem Schwingungsverhältnis von 5:4 wird schon als harmonischer empfunden als die große [[Sexte]] mit 5:3 und die kleine [[Sexte]] mit 8:5. Da ein Tonintervall im Goldenen Schnitt nur etwa 19 [[Cent (Musik)|Cent]] größer ist als eine kleinen Sexte, ist es für ein wenig geschultes Ohr nur schwer von dieser zu unterscheiden ({{Audio|Goldener_Schnitt.ogg|Audiobeispiel}}).

=== Komposition ===

Der Goldene Schnitt wird gelegentlich auch in Strukturkonzepten von Musikstücken vermutet. So hat der ungarische Musikwissenschaftler [[Ernö Lendvai]] versucht, den Goldenen Schnitt als wesentliches Gestaltungsprinzip der Werke [[Béla Bartók]]s nachzuweisen. Seiner Ansicht nach hat Bartók den Aufbau seiner Kompositionen so gestaltet, dass die Anzahl der Takte in einzelnen Formabschnitten Verhältnisse bilden, die den Goldenen Schnitt approximieren. Allerdings sind seine Berechnungen umstritten. Ferner gibt es für eine bewusste Verwendung des Goldenen Schnitts durch Bartók keine Belege.

=== Instrumentenbau ===

Der Goldene Schnitt wird gelegentlich im [[Musikinstrumentenbau]] verwendet. Insbesondere beim [[Geigenbau]] soll er für besonders klangschöne Instrumente bürgen. So wird auch behauptet, dass der berühmte [[Geigenbauer]] [[Antonio Stradivari|Stradivari]] den Goldenen Schnitt verwendete, um die klanglich optimale Position der [[F-Loch|F-Löcher]] für seine [[Violine]]n zu berechnen.

== Biologie ==

=== Proportionen des menschlichen Körpers ===

Im 19. Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, der Goldene Schnitt sei ein göttliches Naturgesetz und in vielfacher Weise auch in den Proportionen des menschlichen Körpers realisiert. So nahm [[Adolf Zeising]] in seinem Buch über die Proportionen des menschlichen Körpers ([[#Literatur|Lit.]]: Zeising, 1854) an, dass der [[Nabel]] die Körpergröße im Verhältnis des Goldenen Schnitts teile, und der untere Abschnitt werde durch das [[Knie]] wiederum so geteilt. Ferner scheinen die Verhältnisse benachbarter Teile der Gliedmaßen wie beispielsweise bei Ober- und Unterarm sowie bei den Fingerknochen ungefähr in diesem Verhältnis zu stehen. Eine genaue Überprüfung ergibt jedoch Streuungen des Verhältnisses im 20-Prozent-Bereich. Oft enthält auch die Definition, wie beispielsweise die Länge eines Körperteils exakt zu bestimmen sei, eine gewisse Portion Willkür. Ferner fehlt dieser [[These]] bis heute eine wissenschaftliche Grundlage. Es dominiert daher weitgehend die Ansicht, dass diese Beobachtungen lediglich die Folge gezielter [[Selektion]] von benachbarten Paaren aus einer [[Menge]] von beliebigen Größen sind.

=== Botanik ===

{|
|[[Bild:Goldener_Schnitt_Blattstand.png|thumb|right|220px|Anordnung von Blättern im Abstand des Goldenen Winkels von oben betrachtet. Das Sonnenlicht wird optimal genutzt.]]

Das spektakulärste Beispiel für die Realisierung des Goldenen Schnitts in der Natur findet sich bei der Anordnung von [[Blatt (Pflanze)|Blättern]] ([[Phyllotaxis]]) und in [[Blütenstand|Blütenständen]] mancher [[Pflanzen]].
Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn man die beiden Blattwurzeln durch eine [[Parallelverschiebung]] eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung bringt. Es handelt sich um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°.

Beispiele sind die [[Sonnenblume]], [[Kohl]]arten, [[Kiefern]]nadel an jungen Ästen, [[Zapfen (Botanik)|Zapfen]], [[Agave]]n, viele [[Palme]]n- und [[Yucca]]arten und die Blütenblätter der [[Rosen|Rose]], um nur einige zu nennen.

Ursache ist das Bestreben dieser Pflanzen, ihre Blätter auf Abstand zu halten. Es wird vermutet, dass sie dazu an jeder Blattwurzel einen [[Inhibitor]] produziert, einen speziellen Wachstumshemmer, der im Pflanzenstamm vor allem nach oben, in geringerem Umfang aber auch in seitlicher Richtung [[Diffusion|diffundiert]]. Dabei bilden sich in verschiedene Richtungen bestimmte [[Konzentration]]sgefälle aus. Das nächste Blatt entwickelt sich an einer Stelle des Umfangs, wo die Konzentration minimal ist. Dabei stellt sich ein bestimmter Winkel zum Vorgänger ein. Würde dieser Winkel den Vollkreis im Verhältnis einer [[Rationale Zahl|rationalen Zahl]] ''m/n'' teilen, dann würde dieses Blatt genau in die gleiche Richtung wachsen wie dasjenige ''n'' Blätter zuvor. Der Beitrag dieses Blattes zur Konzentration des Inhibitors ist aber an dieser Stelle gerade maximal. Daher stellt sich ein Winkel mit einem Verhältnis ein, das alle rationalen Zahlen meidet. Die Zahl, die in diesem Sinne die [[Irrationale Zahl|irrationalste]] aller Zahlen ist, ist nun aber gerade der Goldene Schnitt (siehe unten). Da bisher kein solcher Inhibitor isoliert werden konnte, werden auch andere Hypothesen diskutiert, wie beispielsweise die Steuerung dieser Vorgänge in analoger Weise durch Konzentrationsverteilungen von Nährstoffen.

Der Nutzen für die Pflanze könnte darin bestehen, dass auf diese Weise von oben einfallendes [[Sonnenlicht]] (bzw. Wasser und Luft) optimal genutzt wird, eine Vermutung, die bereits Leonardo da Vinci äußerte, oder auch im effizienteren Transport der durch [[Photosynthese]] entstandenen [[Zucker]]lösung in [[Phloem]]-[[Leitbündel]]n nach unten. Die Wurzeln von Pflanzen weisen den Goldenen Winkel weniger deutlich auf. Bei anderen Pflanzen wiederum treten Blattspiralen mit anderen Stellungswinkeln zutage. So wird bei manchen [[Kakteen]]arten ein Winkel von 99,5° beobachtet, der mit der Variante der [[Fibonacci-Folge]] 1, 3, 4, 7, 11, ... korrespondiert. In [[Computersimulation]]en des Pflanzenwachstums lassen sich diese verschieden Verhaltensweisen durch geeignete Wahl der [[Diffusion]]skoeffizienten des Inhibitors provozieren.

[[Bild:Goldener_Schnitt_Fichtenzapfen.jpg|thumb|right|220px|Fichtenzapfen mit 5, 8 und 13 Fibonacci-Spiralen.]]
Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang so genannte [[Fibonacci-Spirale]]n aus. Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang des Pflanzenstammes besonders klein ist. Sie werden nicht von aufeinander folgenden Blättern gebildet, sondern von solchen im Abstand ''n'', wobei ''n'' eine Fibonacci-Zahl ist. Solche Blätter befinden sich in enger Nachbarschaft, denn das ''n''-fache des Goldenen Winkels Ψ ist ungefähr ein Vielfaches von 360° wegen

:<math>n \Psi = n \frac{360^\circ}{\Phi} \approx n \frac {m}{n} 360^\circ = m \,360^\circ </math>,

wobei ''m'' die nächst kleinere Fibonacci-Zahl zu ''n'' ist. Da jedes der Blätter zwischen diesen beiden zu einer anderen Spirale gehört, sind ''n'' Spiralen zu sehen. Ist ''n/m'' größer als Φ so ist das Verhältnis der beiden nächsten Fibonacci-Zahlen kleiner und umgekehrt. Daher sind in beide Richtungen Spiralen zu aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu sehen. Der Drehsinn der beiden Spiralentypen ist dem Zufall überlassen, sodass beide Möglichkeiten gleich häufig auftreten.

{| border=0 align=right
|-
|[[Bild:Goldener_Schnitt_Bluetenstand_Sonnenblume.jpg|thumb|220px|Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen.]]
|[[Bild:Goldener_Schnitt_Bluetenstand_Theorie.png|frame|Berechneter Blütenstand mit 1000 Samen im Goldenen Winkel. Es stellen sich 13, 21, 34 und 55 Fibonacci-Spiralen ein.]]
|}
Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen in Blütenständen, wie beispielsweise bei Sonnenblumen. Pflanzenarchitektonisch entsprechen den einzelnen [[Same (Pflanze)|Samen]] Blätter, wobei jedes einzelne einem eigenen Kreis um den Mittelpunkt des Blütenstandes zugeordnet werden kann, so als hätte man einen Pflanzenstamm mit seinen Blättern wie ein [[Teleskop]] zusammengeschoben. Wachtumstechnisch aufeinander folgende Samen liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben. Im äußeren Bereich von Sonnenblumen zählt man 34 und 55 Spiralen, bei größeren Exemplaren 55 und 89 oder sogar 89 und 144. Die Abweichung vom mathematischen Goldenen Winkel, die in diesem Fall nicht überschritten wird, beträgt weniger als 0,01 Prozent.

Der Goldene Schnitt lässt sich natürlich auch über radiärsymmetrische fünfzählige Blüten konstruieren wie beispielsweise bei der [[Glockenblume]], der [[Akelei]] und der (wilden) [[Heckenrose]]. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern nächster Nachbarn zu dem der übernächsten steht wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich in diesem Verhältnis. Das betrifft natürlich auch [[Seesterne]] und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie.

[[bild:Efeublatt.jpg|thumb|right|120px|Goldener Schnitt im Efeublatt]]
Darüber hinaus wird der Goldene Schnitt auch im Verhältnis der Längen aufeinander folgender Stängelabschnitte mancher Pflanzen vermutet wie beispielsweise bei der [[Pappeln|Pappel]]. Auch im [[Efeu]]blatt stehen die Blattachsen ''a'' und ''b'' (siehe Abbildung) ungefähr im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Diese Beispiele sind jedoch umstritten.

|}

== Astronomie ==

Seit langem ist bekannt, dass die Umlaufzeiten mancher [[Planet]]en und [[Mond (Trabant)|Monde]] in Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen wie beispielsweise [[Jupiter (Planet)|Jupiter]] und [[Saturn (Planet)|Saturn]] mit 2:5 oder die Jupitermonde [[Io (Mond)|Io]], [[Ganymed (Mond)|Ganymed]] und [[Europa (Jupitermond)|Europa]] mit 1:2:4. Solche Verhältnisse stabilisieren diese Bahnen langfristig gegen kleinere Störungen. Erst 1964 wurde entdeckt, dass auch hinreichend irrationale Verhältnisse, wie sie beispielsweise im Fall 1:Φ vorliegen würden, stabilisierend wirken können. Derartige Bahnen werden [[KAM-Bahn]]en genannt, wobei die drei Buchstaben für die Namen der Entdecker [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|Andrei Kolmogorow]], [[Vladimir Igorevich Arnold|V. I. Arnold]] und [[Jürgen Moser]] stehen.

== Physik ==

Der Goldene Schnitt tritt auch bei den [[Quasikristall]]en der [[Festkörperphysik]] in Erscheinung, die 1984 von [[D. Shechtman]] und seinen Kollegen entdeckt wurden. Dabei handelt es sich um Strukturen mit fünfzähliger [[Symmetrie]], aus denen sich aber, wie bereits Kepler erkannte, keine streng periodischen [[Kristallgitter]] aufbauen lassen, wie dies bei [[Kristall]]en üblich ist. Entsprechend groß war die Überraschung, als man bei [[Röntgenstrukturanalyse]]n [[Beugungsbild]]er mit fünfzähliger Symmetrie fand. Diese Quasikristalle bestehen strukturell aus zwei verschieden [[Rhomboeder|rhomboedrischen]] Grundbausteinen, mit denen man den Raum zwar lückenlos, jedoch ohne globale Periodizität füllen kann ([[Penrose-Parkettierung]]). Beide Rhomboeder setzten sich aus den gleichen [[raute]]nförmigen Seitenflächen zusammen, die jedoch unterschiedlich orientiert sind. Die Form dieser Rauten lässt sich nun dadurch definieren, dass ihre Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen.

== Mathematische Eigenschaften ==

=== Herleitung des Zahlenwertes ===

In der mathematischen Literatur bezeichnet man den Goldenen Schnitt mit <math>\Phi</math>, manchmal auch <math>\tau</math>. Aus der oben angegeben Definition folgt

: <math>\Phi = \frac{a}{b}= \frac{a+b}{a} = 1+\frac{b}{a} = 1+ \frac{1}{\Phi}</math>

und daraus die [[quadratische Gleichung]]

: <math>\Phi^2-\Phi-1 = 0 </math>

mit einer Lösung

: <math>\Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1{,}618033988749894848204586834365638\dots</math>

Die zweite Lösung <math>\bar \Phi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=1-\Phi=-{1\over\Phi}</math> der quadratischen Gleichung ist negativ. Etliche mathematische Zusammenhänge lassen sich unter gleichzeitiger Verwendung von <math>\Phi</math> und <math>\bar \Phi</math> in besonders symmetrischer Weise schreiben.

=== Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen ===

{| border=1 cellpadding=1 cellspacing=0 align=right
|- bgcolor="#efefef" align=center
!&nbsp;&nbsp;Nenner&nbsp;&nbsp;&nbsp;
!&nbsp;&nbsp;Zähler&nbsp;&nbsp;&nbsp;
!&nbsp;&nbsp;Verhältnis&nbsp;&nbsp;&nbsp;
!&nbsp;&nbsp;Abweichung&nbsp;&nbsp;<br>&nbsp;&nbsp;zu &Phi; in %&nbsp; &nbsp;
|- align=center
| 1
| 1
| 1,000000
| -38,1966
|- align=center
| 1
| 2
| 2,000000
| 23,6068
|- align=center
| 2
| 3
| 1,500000
| -7,2949
|- align=center
| 3
| 5
| 1,666667
| 3,00566
|- align=center
| 5
| 8
| 1,600000
| -1,11456
|- align=center
| 8
| 13
| 1,625000
| 0,43052
|- align=center
| 13
| 21
| 1,615385
| -0,16374
|- align=center
| 21
| 34
| 1,619048
| 0,06265
|- align=center
| 34
| 55
| 1,617647
| -0,02392
|- align=center
| 55
| 89
| 1,618182
| 0,00914
|- align=center
| 89
| 144
| 1,617977
| -0,00349
|- align=center
| 144
| 233
| 1,618056
| 0,00133
|}
Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der [[Fibonacci-Folge]] ''a<sub>n</sub>'' strebt gegen den Goldenen Schnitt (siehe Tabelle). Das legt das rekursive Bildungsgesetz <math>a_{n+1} = a_n+a_{n-1}</math> nahe. Danach gilt

:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a_n+a_{n-1}}{a_n} = 1+\frac{a_{n-1}}{a_n}</math>.

Sofern dieses Verhältnis gegen einen Grenzwert Φ konvergiert, muss daher für ihn gelten

:<math>\Phi= 1+\frac{1}{\Phi}</math>.

Diese Beziehung gilt aber gerade für den Goldenen Schnitt, wie der Vergleich mit der ersten Gleichung des vorangehenden Abschnitts zeigt. Diese Argumentation gilt auch für verallgemeinerte Fibonacci-Folgen mit zwei beliebigen Anfangsgliedern. Wie die Tabelle zeigt, sind die Brüche abwechselnd größer und kleiner als der Goldenen Schnitt.
Die Glieder der Fibonacci-Folge lassen sich auch über die Formel von [[Jacques Philippe Marie Binet|Binet]]

:<math>a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}(\Phi^n - \bar \Phi^n)</math>

mit <math>\bar \Phi = 1-\Phi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} </math> berechnen. Die Ganzzahligkeit der Folgenglieder ist dadurch gewährleistet, dass sich ungerade Potenzen von √5 stets aufheben.

=== Der Goldene Schnitt als irrationalste und nobelste aller Zahlen ===

Der Goldene Schnitt ist eine irrationale Zahl, das heißt er lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. In einem gewissen Sinne erweist er sich als die irrationalste aller Zahlen, eine Eigenschaft, die für seine Rolle in der Botanik und möglicherweise auch in der Kunst von Bedeutung ist. Diese Eigenschaft äußert sich darin, dass sich der Goldene Schnitt vergleichsweise schlecht durch rationale Zahlen [[Approximation|approximieren]] lässt. Das ist beispielsweise bei der ebenfalls irrationalen [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> anders. Sie lässt sich durch den Bruch 22/7 mit einer Abweichung von nur 0,04&nbsp;% approximieren. Einen derartig geringen Fehler würde man im allgemeinen erst bei einem sehr viel größeren Nenner erwarten.

Der Goldene Schnitt lässt sich direkt aus der Forderung nach maximaler Irrationalität konstruieren. Um das zu verstehen, betrachte man das folgende Verfahren zur Approximation beliebiger Zahlen durch einen Bruch am Beispiel der Zahl <math>\pi</math>. Wir zerlegen diese Zahl zunächst in ihren ganzzahligen Anteil und einen Rest, der kleiner als 1 ist: <math>\pi</math>&nbsp;=&nbsp;3&nbsp;+&nbsp;''Rest''. Der Kehrwert dieses Restes ist eine Zahl, die größer als 1 ist. Sie lässt sich daher wiederum zerlegen in einen ganzzahligen Anteil und einen Rest kleiner 1: <math>\pi</math>&nbsp;=&nbsp;3&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;(7&nbsp;+&nbsp;''Rest''). Verfährt man mit diesem Rest und allen folgenden ebenso, dann erhält man die so genannte unendliche [[Kettenbruch]]darstellung der Zahl <math>\pi</math>

: <math>\pi = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1 + \cdots}}}.</math>

Man kann nun zeigen, dass man die Brüche, mit denen man eine Zahl optimal approximieren kann, genau dann erhält, wenn man ihre [[Kettenbruch]]entwicklung an irgendeiner Stelle abbricht. Je nach Abbruchstelle erhält man auf diese Weise für <math>\pi</math> die Zahlen 3, 22/7, 333/106, 355/113, ..., die rasch gegen <math>\pi</math> streben. Für jeden einzelnen dieser Brüche gilt, dass es keinen Bruch mit einem kleineren Nenner gibt, der <math>\pi</math> besser approximiert.

Im obigen Kettenbruch erscheint vor jedem Pluszeichen eine ganze Zahl. Je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist der Bruch, in dessen Nenner sie steht, und umso kleiner ist daher auch der Fehler, der entsteht, wenn der unendliche Kettenbruch vor diesem Bruch abgebrochen wird. Die größte Zahl im obigen Abschnitt des Kettenbruchs ist die 15. Das ist der Grund, warum 22/7 eine derart gute Approximation für <math>\pi</math> darstellt.

In Umkehrung dieser Argumentation folgt nun, dass die Approximation besonders schlecht ist, wenn die Zahl vor dem Pluszeichen besonders klein ist. Die kleinste zulässige Zahl dort ist aber die 1. Der Kettenbruch, der ausschließlich Einsen enthält, hält daher von allen rationalen Zahlen maximal Abstand und ist in diesem Sinn die irrationalste aller Zahlen.

Für den Goldenen Schnitt gilt nun aber Φ&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;1/Φ (siehe oben), woraus sich durch wiederholte Anwendung ergibt

:<math>\Phi = 1 + \frac{1}{\Phi} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\Phi}} = \cdots = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}}.</math>

Das heißt, der Goldene Schnitt &Phi; ist die irrationalste aller Zahlen. Bricht man diese Kettenbruchzerlegung an irgendeiner Stelle ab, so erhält man stets einen Bruch aus zwei aufeinanderfolgenden [[Fibonacci-Folge|Fibonacci-Zahlen]].

Zahlen, deren unendliche Kettenbruchdarstellung ab irgendeiner Stelle nur noch Einsen enthält, bezeichnet man als [[noble Zahl]]en. Der Goldene Schnitt ist damit auch die nobelste Zahl.

=== Weitere mathematische Eigenschaften ===

*Aus Φ<sup>2</sup> = 1 + Φ lässt sich folgende unendliche Kettenwurzel herleiten:
::<math>\Phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}</math>

*Das Quadrat Φ<sup>2</sup> = Φ + 1 und jede höhere ganzzahlige Potenz von Φ lassen sich als Summe aus einem Vielfachen von Φ und einem Vielfachen von 1 darstellen. Auf dieser Eigenschaft beruht die fundamentale Bedeutung des goldenen Schnitts für quasiperiodische Gitter (''siehe'' [[Quasikristall]]).

*In der [[Trigonometrie]] gilt unter anderem

::sin(π/10) = (Φ-1)/2
::sin(3π/10) = Φ/2

:Dabei lässt sich π/10 als die Hälfte des Winkels in der Spitze des [[Pentagramm]]s interpretieren und 3π/10 als die Hälfte des stumpfen Außenwinkels. Gelegentlich wird die Rolle des Goldenen Schnitts für das [[Fünfeck]] als vergleichbar bedeutend bezeichnet wie die der [[Kreiszahl]] π für den Kreis.

*Der goldene Schnitt lässt sich auch mit Hilfe der [[Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] und der [[Areasinus Hyperbolicus|hyperbolischen Areasinus-Funktion]] ausdrücken:

::<math>\Phi^{\pm1} = e^{\mathrm{arsinh} \pm\frac{1}{2}}</math>

*Der goldene Schnitt ist einer der 3 Eigenwerte des optimal vorkonditionierten Systems bei Anwendung des [[PMINRES]]-Verfahrens zur iterativen Lösung eines großen dünnbesetzten linearen Gleichungssystems.

== Informatik ==

Bei [[Hash-Funktion]]en werden Daten über einen sogenannten Schlüssel ''h(k)'' in eine [[Hashtabelle]] gespeichert. Ziel ist es, die Daten möglichst gleichmäßig verteilt in diese Tabelle einzutragen. Dafür entscheidend ist der berechnete Schlüssel. Folgt die Hash-Funktion der [[Multiplikative Methode|multiplikativen Methode]], also

:<math>h(k) = \mathrm{Floor}\left(m (k \varphi - \mathrm{Floor}(k \varphi)) \right)</math>

mit ''m'' als Größe der Hashtabelle und ''k'' als Datenindex, so bringt die Wahl von φ&nbsp;=&nbsp;Φ, also der Goldenen Schnitt, im Durchschnitt gute Ergebnisse in der Datenverteilung.

== Literatur ==
=== Historische Literatur ===
* Fra [[Luca Pacioli]]: ''Divina Proportione'' (Venedig 1509), hg. und übers. von Constantin Winterberg, Wien: Verlag Carl Graeser 1888 ''[http://www.literature.at/webinterface/library/ALO-BOOK_V01?objid=16478 Print on Demand]''.
* [[Martin Ohm]]: ''Lehrbuch der gesamten höhern Mathematik.'' Bd 2. Friedrich Volckmar, Leipzig 1835, 1837. (weniger abstrakt, mehr anschaulich)
* Adolf Zeising: ''Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers.'' Leipzig 1854.
* Adolf Zeising: ''Das Normalverhältniss der chemischen und morphologischen Proportionen.'' Rudolph Weigel, Leipzig 1856.
* [[Gustav Theodor Fechner]]: ''Zur experimentalen Ästhetik.'', Hirzel, Leipzig 1871. (Vorschule der Ästhetik)

=== Neuere Literatur ===
* [[Hans Walser]]: ''Der Goldene Schnitt.'' Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2004. ISBN 3937219005 (anschaulich geschriebenes Standardwerk des Basler Mathematikers)
* Dr. Ruben Stelzner: ''Der goldene Schnitt und das Mysterium der Schönheit.'' in: ''Tycho de Brahe Jahrbuch.'' Tycho-Brahe-Verl., Niefern-Öschelbronn 2005. ISBN 3-926347-28-7 {{ISSN|0177-168X}} (naturwissenschaftlich-philosophische Darstellung)
* P. H. Richter, H.-J. Scholz: ''[http://www-nonlinear.physik.uni-bremen.de/~prichter/pdfs/GoldenSchnitt.pdf Der Goldene Schnitt in der Natur].'' in: ''Ordnung aus dem Chaos.'' Hrsg. B.-O. Küppers. Serie Piper. Piper, München 1987, S.175-214. ISBN 3-492-10743-5
* Hans Walser: ''Der Goldene Schnitt.'' Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-8154-2511-5, ISBN 3-7281-2336-6
* Marguerite Neveux, H. E Huntley: ''Le nombre d’or – Radiographie d’un mythe.'' Seuil, Paris 1995. ISBN 2-02-025916-8
* [[Albrecht Beutelspacher]], Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt.'' Spektrum Akad. Verl., Heidelberg, Berlin - Oxford ²1996. ISBN 3-86025-404-9
* Roger Herz-Fischler: ''A mathematical History of the Golden Ratio.'' Dover Publications, New York 1998. ISBN 0-486-40007-7
* Jürgen Fredel: ''Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt.'' Lit Verlag, Hamburg 1998. ISBN 3-8258-3408-5 (Diss. Hamburg, 1993)
* Thomas Koshy: ''Fibonacci and Lucas Numbers with Applications.'' John Wiley & Sons, New York 2001, S.239-299. ISBN 0-471-39969-8
* Albert van der Schoot: ''Die Geschichte des goldenen Schnitts''. Frommann-Holzboog, Stuttgart - Bad Cannstatt 2005. ISBN 3-7728-2218-5
* S. King u. a.: ''On the mystery of the golden angle in phyllotaxis.'' in: ''Plant, cell & environment'' (PC & E). Blackwell, Oxford 27.2004,6 (Juni), S.685-96. {{ISSN|0140-7791}}
* Klaus Podirsky: ''Fremdkörper Erde - Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge und die Strukturbildung im Sonnensystem.'' Kontext. info3-Verlag 2004. ISBN 3-924391-29-7 (Die faszinierende These einer gemeinsamen Evolution von Kosmos, Erde und Mensch)


== Weblinks ==
== Weblinks ==


* [http://www.korfantow.pl/ Website der Stadt]
* [http://www.marcus-frings.de/text-gs.htm Marcus Frings: ''Der Goldene Schnitt''] (kritische Analyse)
* [http://pl.wikipedia.org/wiki/Korfant%C3%B3w/ Website der Stadt - pl.Wikipedia]
* [http://www.marcus-frings.de/text-nnj.htm Marcus Frings: ''The Golden Section in Architectural Theory''] (kritische Analyse)
* [http://www.golden-section.eu Ruben Stelzner: ''Der Goldene Schnitt und das Mysterium der Schönheit'', (2002)]
* [http://www.math.smith.edu/~phyllo Der Goldene Schnitt in der Biologie] (englisch)
* [http://www.uwe-alfer.de/privat/privat_fib010.html Bilder zum Goldenen Schnitt in der Biologie]
* [http://www.dr-bernhard-peter.de/Goldsch/seite74.htm Bernhard Peter: ''Goldener Schnitt - Mathematik und Bedeutung in der Kunst''] (insbes. 34 verschiedene Konstruktionverfahren)
* [http://www.j-berkemeier.de/Spiralen.html Kleine Abhandlung über Spiralen, Fibonacci-Zahlen und den Goldenen Schnitt] (mit Onlineberechnung)
* [http://www.z4p.de/sep.upload_dl.php?id=118 Der Goldene Schnitt unter Einbeziehung von Beispielen aus Kunst, Architektur und der menschlichen Anatomie]
* [http://www.khg.bamberg.de/comenius/gold/inhgs.htm Projekt am Kaiser-Heinrich-Gymnasium Bamberg]
* [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html Ausführliche und gut lesbare Darstellung des Goldenen Schnittes und der Fibonacci-Zahlen] (englisch)
* [http://www.brefeld.homepage.t-online.de/goldener-schnitt.html DIN-Papier und Goldener Schnitt]

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== Siehe auch ==
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[[da:Det gyldne snit]]
[[ro:Korfantów]]
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[[el:Χρυσή τομή]]
[[en:Golden ratio]]
[[eo:Ora proporcio]]
[[es:Número áureo]]
[[et:Kuldlõige]]
[[fi:Kultainen leikkaus]]
[[fr:Nombre d'or]]
[[he:יחס הזהב]]
[[hr:Zlatni rez]]
[[hu:Aranymetszés]]
[[ia:Ration auree]]
[[it:Sezione aurea]]
[[ja:黄金比]]
[[ko:황금비]]
[[lmo:Nümar àuri]]
[[lt:Fi]]
[[nl:Gulden snede]]
[[no:Det gylne snitt]]
[[pl:Złoty podział]]
[[pt:Proporção áurea]]
[[ru:Золотое сечение]]
[[sk:Zlatý rez]]
[[sl:Zlati rez]]
[[sv:Gyllene snittet]]
[[th:อัตราส่วนทองคำ]]
[[tr:Altın oran]]
[[uk:Золотий перетин]]
[[zh:黄金分割]]

Version vom 27. Juni 2007, 10:36 Uhr

Korfantów
Wappen von Korfantów Koordinaten fehlen
Koordinaten fehlen
Basisdaten
Staat: Polen

Woiwodschaft: Oppeln
Powiat: Nysa
Geographische Lage: Koordinaten fehlen! Hilf mit.Koordinaten fehlen! Hilf mit.
Einwohner: Ungültiger Metadaten−Schlüssel 5162307034−URB
(Fehler: Ungültige Zeitangabe)
Postleitzahl: 48-317
Telefonvorwahl: (+48) 77
Kfz-Kennzeichen: ONY
Gmina
Fläche: class="hintergrundfarbe5" | Einwohner: *GemeindeTyp fehlt zur Ermittlung aus Parameter TERYT*
Bevölkerungsdichte: Fehler im Ausdruck: Unerwarteter Operator < Einw./km²
Gemeindenummer (GUS): 5162307034
Verwaltung (Stand: 2007)
Bürgermeister: Zdzisław Martyna
Adresse: Rynek 4
48-317 Korfantów
Webpräsenz: www.korfantow.pl

Korfantów (deutsch Friedland in Oberschlesien) ist eine Stadt mit 1.916 Einwohnern (2005) in Polen. Sie liegt 22 Kilometer östlich von Nysa (Neisse) am rechten Ufer der Steinau und gehört dem Powiat Nyski in der Woiwodschaft Oppeln an.

Geschichte

Der Zeitpunkt der Stadtgründung ist ebenso unbekannt wie die des nordöstlich gelegenen Dorfes Friedland. 1323 ist ein Heinrich von Friedland urkundlich belegt. Im Jahre 1327 wurde Friedland ein Teil Böhmens. Die Ersterwähnung der Kirche zu Hurthlanth im Jahre 1335 ist zugleich auch der erste schriftliche Nachweis über die Stadt.

Friedland hatte in seiner Geschichte viele Grundherren. Darunter waren die Schaffgotsch als Besitzer in der Zeit von 1535 bis 1594, unter denen die Reformation durchgeführt wurde. Heinrich Wencel von Nowagk machte dies 1629 mit der Gegenreformation rückgängig. Den Nowagk folgten ab 1670 die Grafen von Burghauß. 1825 erfolgte ein Umbau und die Vergrößerung des aus dem Jahre 1616 stammenden Schlosses, um das ein Landschaftspark angelegt wurde.

1885 erbte Carl Graf von Pückler Friedland und nannte sich fortan von Pückler-Burghauß.

Seit 1742 gehörte die Stadt Friedland zu Preußen und ihr wurde das Stadtrecht wegen Unbedeutsamkeit entzogen. 1816 wurde Friedland Teil des Landkreises Falkenberg.

1867 erhielt der Markt Friedland die Stadtrechte zurück und das Dorf Friedland wurde eingemeindet. 1928 wurde auch der Gutsbezirk ein Teil der Stadt.

1909 erfolgte die Weihe des Neubaus der Dreifaltigkeitskirche. Der katholische Pfarrer Valentin Wojciech ist 1920 zum Breslauer Weihbischof ernannt worden.

Zu Beginn des 20. Jahrhundert siedelte sich eine Maschinenfabrik an. Ansonsten war die Leichtindustrie vorherrschend, es gab Gardinen- und Spitzenwebereien, eine Schuhfabrik, außerdem ein Sägewerk, eine Ziegelei und eine Drahtzaunfabrik.

Im Zweiten Weltkrieg wurde Friedland bombardiert und erlitt Zerstörungen. Die Michaeliskapelle auf dem Friedhof brannte nieder und auch das Schloss wurde stark beschädigt.

1945 wurde die Stadt polnisch und verlor das Stadtrecht erneut. Die deutschen Bewohner wurden 1946 vertrieben und polnische Vertriebene aus den an die UdSSR gefallenen Gebieten angesiedelt. Friedland wurde nach dem polnischen Freischärler und Politiker Wojciech Korfanty, der die Stadt niemals betreten hatte, in Korfantów umbenannt.

Seit 1993 ist Korfantów wieder eine Stadt und hat eine Städtepartnerschaft mit dem mecklenburgischen Friedland.

Einwohnerentwicklung


Jahr 1783 1825 1905 1939 1958 2002
Einwohnerzahl 684 757 2.074 1.895 932 1.995

Gmina

Die Stadt- und Landgemeinde (gmina miejsko-wiejska) Korfantów umfasst ein Gebiet von 179,78 km², auf dem 9.876 Menschen (2005) leben. Dazu gehören folgende Ortschaften:

  • Borek (Leopoldsdorf)
  • Gryżów (Griesau)
  • Jegielnica (Juglitz)
  • Kuropas (Korpiz, 1936–45: Korndorf)
  • Korfantów (Friedland O.S.)
  • Kużnica Ligocka (Ellguth-Hammer)
  • Myszowice (Mauschwitz, 1936–45: Mauschdorf)
  • Niesiebędowice (Nussdorf)
  • Piechocice (Piechotzutz, 1936–45: Bauerngrund)
  • Pleśnica (Plieschnitz, Plieschratz, 1936–45: Fuchsberg)
  • Przechód (Psychod, 1936–45: Waldfurt)
  • Przydroże Małe (Klein Schnellendorf)
  • Przydroże Wielkie (Groß Schnellendorf)
  • Puszyna (Puschine, 1936–45: Erlenburg)
  • Rączka (Rainisch)
  • Rynarcice (Rennersdorf)
  • Rzymkowice (Ringwitz)
  • Ścinawa Mała (Steinau O.S.)
  • Ścinawa Nyska (Steinsdorf)
  • Stara Jamka (bis 1918: Polnisch Jamke, dann Jamke, 1936–45: Heinrichshof O.S.)
  • Węża (Prockendorf)
  • Wielkie Łąki (Hillersdorf)
  • Włodary (Volkmannsdorf)
  • Włostowa (Floste)
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