„Potenz (Mathematik)“ – Versionsunterschied

Positive Potenzen graphisch

Negative Potenzen graphisch

Das Potenzieren ist wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach zunächst eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor immer wieder mit dem vorherigen Ergebnis multipliziert:

${\begin{matrix}\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a} &=a^{b}\\{b\ \mathrm {Faktoren} }\end{matrix}}$

Man spricht von „$a$ hoch $b$“ (bei $a^{2}$ auch von „$a$ (zum) Quadrat“ oder bei $a^{3}$ von „$a$ (zum) Kubik“). $a$ nennt man die Basis (Grundzahl) und $b$ den Exponenten (Hochzahl). Das Ergebnis ist der Wert der Potenz. Hierbei ist $a$ eine reelle und $b$ – nach obiger Definition vorläufig – eine natürliche Zahl. Ist $b=0$, so wird $a^{0}=1$ festgelegt. Mit analytischen Methoden kann man im Fall positiver Basis $a$ Potenzen mit beliebigem reellem Exponenten $b$ definieren.

Ergänzende Definition

Die folgende Definition erleichtert die Behandlung mancher Sonderfälle: Die Potenzschreibweise bedeutet „Multipliziere die Zahl 1 mit der Grundzahl so oft, wie die Hochzahl angibt“, also

${\begin{matrix}1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a} &=&a^{b}\\{b\ \mathrm {Multiplikationen} }\end{matrix}}$

Die Hochzahl 0 heißt einfach, dass die 1 keinmal multipliziert wird (egal womit) und alleine stehen bleibt (Ergebnis 1). Negative Hochzahlen bedeuten, dass man die zur Multiplikation inverse Operation (Division) durchführen soll. Also „Dividiere die Zahl 1 durch die Grundzahl so oft, wie die Hochzahl angibt“. Diese Definition entspricht der Vorstellung von der Multiplikation als einer wiederholten Addition mit stets dem gleichen Summanden wie im Beispiel $3\cdot 4=0+4+4+4$.

Abweichende Schreibweisen

Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist (zum Beispiel in einem ASCII-Text), verwendet man oft a^b, gelegentlich auch a**b (beispielsweise in Fortran oder Perl).

Definition

Ganzzahlige Exponenten

Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ wird definiert

$a^{-n}:=\left({\frac {1}{a}}\right)^{n},\quad a\neq 0$

Die analoge Definition wird auch in allgemeinerem Kontext angewandt, wann immer eine Multiplikation und inverse Elemente zur Verfügung stehen, beispielsweise bei invertierbaren Matrizen.

Rationale Exponenten

Sind $n$ und $m$ ganze Zahlen ($n\neq 0$), sowie $a$ eine positive, reelle Zahl, dann definiert man:

$a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$

Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen mit ungeraden Exponenten zulässt, kann die Definition auf negative Basen $a$ und rationale Exponenten erweitern, wenn der Nenner des Exponenten ungerade ist. Dann gilt beispielsweise $(-27)^{1/3}=-3$. Das Potenzgesetz $(a^{r})^{s}=a^{rs}$ gilt dann jedoch nur noch, wenn der Nenner von $s$ ebenfalls ungerade ist, zum Beispiel ist

$-3=(-27)^{1/3}=(-27)^{2/6}\neq ((-27)^{2})^{1/6}=3.$

Für negative Basen $a\!$ ist diese Funktion $a^{q}:q\mapsto a^{q}$ aber unstetig; beispielsweise ist $(-1)^{0}=1$ aber $(-1)^{\frac {1}{2k+1}}=-1$. Eine stetige Fortsetzung auf die reellen Zahlen ist also nur für positive Basen möglich.

Reelle Exponenten

Für positive reelle Zahlen $a\!$ ist die Funktion $a^{q}:\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$, $q\mapsto a^{q}$ stetig und lässt sich auf die reellen Zahlen fortsetzen; das Potenzieren mit beliebigen reellen Exponenten lässt sich als diese stetige Fortsetzung oder äquivalent als

$a^{b}:=\exp(b\cdot \ln a)$

definieren. Dabei ist $\exp$ die Exponentialfunktion und $\ln$ der natürliche Logarithmus.

Rechenregeln

Das Wort „nichtnegativ“ bedeutet im folgenden „positiv oder null“; mit „alle $a$“ ist „alle reellen oder komplexen Zahlen $a$“ gemeint.

$a^{0}=1$	für alle $a$ (Anmerkungen zu "Null hoch Null" siehe unten)
$a^{-s}={\frac {1}{a^{s}}}$	für $a\neq 0$ und beliebige ganze Zahlen $s$; oder
	für positive $a$ und alle $s$.
$a^{r+s}=a^{r}\cdot a^{s}$	für alle $a$ und nichtnegative ganze Zahlen $r$ und $s$; oder
	für alle $a\neq 0$ und beliebige ganze Zahlen $r$ und $s$; oder
	für positive $a$ und alle $r$ und $s$.
$a^{r-s}={\frac {a^{r}}{a^{s}}}$	für alle $a\neq 0$ und beliebige ganze Zahlen $r$ und $s$; oder
	für positive $a$ und alle $r$ und $s$.
$(a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}$	für alle $a$ und nichtnegative ganze Zahlen $r$ und $s$; oder
	für alle $a\neq 0$ und beliebige ganze Zahlen $r$ und $s$; oder
	für positive $a$ und beliebige reelle Zahlen $r$ und $s$.
Man beachte: Die vorstehende Regel ist beispielsweise für $a=-1$, $r=2$ und $s={\frac {1}{2}}$ nicht anwendbar, obwohl keine undefinierten Ausdrücke auftreten: $((-1)^{2})^{\frac {1}{2}}=1\neq -1=(-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}.$
$(a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}$	für alle $a,b$ und nichtnegative ganze Zahlen $r$; oder
	für alle $a,b\neq 0$ und beliebige ganze Zahlen $r$; oder
	für positive $a,b$ und alle $r$.
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}$	für alle $a,b\neq 0$ und beliebige ganze Zahlen $r$; oder
	für positive $a,b$ und alle $r$.

Bis auf die Ausnahme $(a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}$ gelten die Regeln, „wann immer alle Ausdrücke definiert sind“; die genannten Bedingungen decken teilweise nicht alle Möglichkeiten ab.

Das Potenzieren ist weder kommutativ, denn beispielsweise gilt $2^{3}=8\not =9=3^{2}$, noch assoziativ, denn beispielsweise gilt $\left(3^{1}\right)^{3}=27\neq 3=3^{\left(1^{3}\right)}$.

Die Schreibweise $a^{b^{c}}$ ohne Klammern bedeutet $a^{(b^{c})}$.

Potenzen komplexer Zahlen

Ist $a+b\mathrm {i} =r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi }$ mit reellen Zahlen $a$, $b$, $r>0$ und $\varphi$, dann gilt für ganze Zahlen $n$

$(a+b\;i)^{n}=(r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi })^{n}=r^{n}\cdot e^{\mathrm {i} \;n\varphi }=r^{n}\cdot {\big (}{\cos(n\varphi )+\mathrm {i} \sin(n\varphi )}{\big )}$

Insbesondere gilt

$|z^{n}|=|z|^{n}$ für $z\in \mathbb {C} ^{\times },n\in \mathbb {Z}$.

Potenzen beliebiger komplexer Zahlen mit beliebigen reellen oder sogar komplexen Exponenten lassen sich zwar durch die Formel $a^{z}:=\exp(z\cdot \ln a)$ definieren. Es gibt dabei jedoch Probleme, weil der Logarithmus keine eindeutig bestimmte Fortsetzung auf ganz $\mathbb {C} ^{\times }$ besitzt. Für positive reelle Basen $a$ gibt es diese Probleme jedoch nicht (s. Anm. 1 unten), und es gilt beispielsweise

• $a^{z+w}=a^{z}\cdot a^{w}$
• $(a\cdot b)^{z}=a^{z}\cdot b^{z}$
• $|a^{z}|=a^{\operatorname {Re} z}$

für $a,b>0$ und $z,w\in \mathbb {C}$.

Anm. 1: Für den (komplexen) Logarithmus einer positiven reellen Basis gibt es viele Werte, die sich jeweils um $2\pi \mathrm {i}$ unterscheiden. Es kommt auf den Exponenten an: Ist er rational, so gibt es so viele Wurzeln, wie der ganzzahlige Nenner angibt. Z. B. gibt es bei einem Exponenten 1/4 vier (komplexe) Wurzeln:

$1^{1/4}=1$ oder $\mathrm {i}$ oder $-1$ oder $-\mathrm {i}$

Die Potenz i hoch i

Die Potenz $\mathrm {i} ^{\mathrm {i} }$ der imaginären Einheit kann man mit Hilfe der eulerschen Identität wie folgt berechnen: Setzt man $\pi /2$ in die Identität ein, erhält man

$e^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}}=\mathrm {i}$

Dies bedeutet aber gerade, dass $\mathrm {i} \pi /2$ eine Lösung der Gleichung

${\begin{matrix}e^{z}=\mathrm {i} \end{matrix}}$

ist und damit gilt nach Definition der Logarithmusfunktion (die sich vom Reellen ins Komplexe überträgt):

${\mbox{Ln}}(\mathrm {i} )=\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}$

(Ln mit großem L bezeichnet den Hauptwert, mehr dazu unten).

Die Definition der Potenz zweier komplexer Zahlen $z$ und $\omega$ lautet:

${\begin{matrix}z^{\omega }=e^{\omega \ln(z)}\end{matrix}}$

(wobei zu beachten ist, dass es sich hierbei nicht, wie im Reellen, um eine beweisbare Aussage handelt, sondern überhaupt erst eine Definition der komplexen Potenz darstellt). Möchte man nun die Potenz $\mathrm {i} ^{\mathrm {i} }$ berechnen, so erhält man also:

${\begin{matrix}\mathrm {i} ^{\mathrm {i} }=e^{\mathrm {i} \ln(\mathrm {i} )}\end{matrix}}$

Dies lässt sich mit dem Ergebnis von oben wie folgt schreiben:

$\mathrm {i} ^{\mathrm {i} }=e^{\mathrm {i} (\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}})}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx 0{,}207\,879\,576\,350\,76$

so dass sich erstaunlicherweise ein reeller Zahlenwert ergibt.

Weitere Lösungen

Wegen der $2\pi \mathrm {i}$-Periodizität der komplexen Exponentialfunktion sind auch alle Werte der Form

$\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}+2k\pi \cdot \mathrm {i}$ mit $k\in \mathbb {Z}$ Lösungen von $e^{z}=\mathrm {i}$, damit gilt also auch

$\ln(\mathrm {i} )=\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}+2k\pi \cdot \mathrm {i}$

womit sich für die hier behandelte Potenz der Wert

$\mathrm {i} ^{\mathrm {i} }=e^{\mathrm {i} \ln(\mathrm {i} )}=e^{\mathrm {i} (\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}+2k\pi \cdot \mathrm {i} )}=e^{-{\frac {\pi }{2}}+2k\pi }$ mit $k\in \mathbb {Z}$

ergibt, was zeigt, dass ihr in Wirklichkeit unendlich viele Werte (die jedoch alle reell sind!) zugeordnet werden, eine Eigenschaft, die die komplexe Potenz allgemein hat. Lediglich für den Hauptwert des Logarithmus, dessen Imaginärteil im Intervall $(-\pi ,\,\pi ]$ liegt, ergibt sich der oben berechnete Wert.

Besondere Potenzen

Im alltäglichen Leben werden die Zehnerpotenzen, also die Potenzen mit der Basis 10 (das sind 1, 10, 100, 1000,. ..) wohl am häufigsten verwendet. Sie bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems.

Zur digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Dualsystem mit der Basis 2 verwendet. Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind daher die Zweierpotenzen, also die Potenzen zur Basis 2 (das sind 1, 2, 4, 8, 16,. ..). Ein Kibibyte (abgekürzt KiB) entspricht $2^{10}=1024$ Bytes.

Für die Mathematik besonders wichtig sind die Potenzen mit der Basis $e\approx 2{,}71828$, der so genannten Eulerschen Zahl.

Anwendungsbeispiele von Zweierpotenzen

Zweierpotenzen entsprechen dem Prozess der wiederholten Verdoppelung. Das Anwachsen dieser Zahlenfolge überrascht bei Praxisbeispielen oft.

Beispiel 1: Ein Blatt Papier lässt sich nur etwa 7 Mal auf die halbe Größe falten. Es hat dann 128 Lagen. Wenn man es (theoretisch) 42 Mal falten könnte, entspräche seine Dicke der Entfernung von der Erde zum Mond.

Beispiel 2: Jeder Mensch hat zwei biologische Eltern, vier Großeltern, acht Urgroßeltern, usw. Verfolgt man diesen Ahnenbaum 70 Generationen zurück (ins Jahr Christi Geburt), so stammt jeder heutige Mensch von $2^{70}=1.180.591.620.717.411.303.424$ Menschen aus dieser Zeit ab, was weit mehr als die damalige Weltbevölkerung ist.

Beispiel 3: Die Legende vom Erfinder des Schachspiels, der auf jedem Feld des Schachbrettes die Anzahl der Weizenkörner verdoppelte: Weizenkornlegende.

Bei Schneeballsystemen, zum Beispiel so genannten Schenkkreisen, werden zum Teil Systeme gestartet, die nicht nur eine Verdoppelung, sondern zum Beispiel eine Verachtfachung der neuen Mitglieder pro Schritt vorsehen. Solche Folgen wachsen derart schnell an, dass die Systeme bereits nach wenigen Schritten zwangsläufig kollabieren.

„Null hoch null“

In der oben gegebenen Definition wurde $a^{0}=1$ für alle $a$ gesetzt, also ist insbesondere

$0^{0}=1.$

Da $0^{x}$ für alle positiven $x$ den Wert 0 hat, wäre auch der Wert 0 denkbar. Wie die Festlegung, dass 1 keine Primzahl ist, ist die Festlegung des Wertes von $0^{0}$ ebenfalls keine Frage von wahr oder falsch, sondern von zweckmäßig oder unzweckmäßig.

„Null hoch null“ in der Mathematik

Bis Anfang des 19. Jahrhunderts haben Mathematiker anscheinend $0^{0}=1$ gesetzt, ohne diese Festlegung genauer zu hinterfragen. Augustin Louis Cauchy listete allerdings $0^{0}$ gemeinsam mit anderen Ausdrücken wie $0/0$ in einer Tabelle von unbestimmten Ausdrücken. Er wollte damit anscheinend darauf hinweisen, dass man zu jeder reellen Zahl $w\geq 0$ Funktionen $f,g$ so angeben kann, dass $f(a)=g(a)=0$ und

$\lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}=w$

Grenzwertargumente sind zur Festlegung von $0^{0}$ also ungeeignet.

1833 veröffentlichte Guillaume Libri eine Arbeit, in der er wenig überzeugende Argumente für $0^{0}=1$ präsentierte, die in der Folge kontrovers diskutiert wurden. Zur Verteidigung von Libri veröffentlichte August Ferdinand Möbius einen Beweis seines Lehrers Johann Friedrich Pfaff, der im Wesentlichen zeigte, dass $\lim _{x\to 0+}x^{x}=1$, und einen angeblichen Beweis für $\lim _{x\to 0+}f(x)^{g(x)}=1$ falls $\lim _{x\to 0+}f(x)=\lim _{x\to 0+}g(x)=0$. Dieser Beweis wurde durch das Gegenbeispiel $f(x)=e^{-1/x}$ und $g(x)=x$ rasch widerlegt. In der Folge verstummte die Kontroverse und in Analysislehrbüchern verbreitete sich immer mehr die Konvention, $0^{0}$ undefiniert zu lassen.

Donald Ervin Knuth erwähnte 1992 im American Mathematical Monthly die Geschichte der Kontroverse und lehnte die Schlussfolgerung entschieden ab, dass $0^{0}$ undefiniert gelassen wird. Wenn man $0^{0}=1$ nicht voraussetzen kann, verlangen viele mathematische Theoreme wie zum Beispiel der binomische Satz

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}$

eine Sonderbehandlung für die Fälle $x=0$ oder $y=0$ oder gleichzeitig $n=0$ und $x+y=0$.

Ebenso taucht der Ausdruck $0^{0}$ in der Potenzreihe für die Exponentialfunktion

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ an der Stelle $x=0$

oder in der Summenformel für die geometrische Reihe

$\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$ für $q=0$

auf. Auch hier ist die Konvention $0^{0}=1$ sinnvoll.

Die Konvention $0^{0}=1$ ist also aus praktischen Gründen sinnvoll, weil sie die Formulierung vieler mathematischer Ausdrücke vereinfacht. $0^{0}=1$ per Definition bedeutet aber keineswegs, dass die Funktion $x^{y}$ an der Stelle $x=y=0$ stetig wäre.

„Null hoch null“ in der Informatik

Die Frage nach dem Wert von „Null hoch null“ spielt in der Informatik insbesondere bei der Standardisierung von Programmiersprachen eine Rolle. Lange Zeit wurde das allerdings nicht beachtet, ältere Sprachnormen legen anscheinend kein bestimmtes Verhalten fest; Taschenrechner verhalten sich ebenfalls unterschiedlich und liefern üblicherweise 1, Error oder unbestimmt als Ergebnis.

William Kahan, der Hauptarchitekt des Standards IEEE 754 für binäre Gleitkommazahlen, empfahl für Zwecke der numerischen Mathematik $0^{0}=1$ zu wählen. Diese Konvention setzt sich anscheinend in der Informatik durch, so definieren der C99-Standard im Anhang F.9.4.4 sowie die Programmiersprache Java, dass pow(0.0,0.0)=1.

Literatur zu „Null hoch null“

• Cauchy, Augustin-Louis. Analyse algébrique. Die Tabelle mit den unbestimmten Ausdrücken ist auf Seite 69.
• Kahan, W. Branch Cuts for Complex Elementary Functions or Much Ado about Nothing's Sign Bit, in The State of the Art in Numerical Analysis, editors A. Iserles and M. J. D. Powell, Clarendon Press, Oxford, pp. 165–212.
• Knuth, Donald Ervin. Two notes on notation. AMM 99 no. 5 (May 1992), 403–422. Preprint (als TeX-Quelltext) auf der Homepage von Knuth. Die Geschichte der Kontroverse ist auf Seite 6 des Preprints.
• Libri, Guillaume. Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 10 (1833), 303–316.
• Möbius, August Ferdinand. Beweis der Gleichung $0^{0}=1$, nach J. F. Pfaff. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 12 (1834), 134–136.

Umkehrfunktionen

Da das Kommutativgesetz beim Potenzieren nicht gilt, gibt es zwei Umkehrrechenarten:

• das Wurzelziehen, um Gleichungen der Bauart $x^{a}=b$ zu lösen
• das Logarithmieren für Gleichungen des Typs $a^{x}=b$.

Verallgemeinerungen

Allgemeinere Basen

Allgemein gibt es Potenzen mit nichtnegativen ganzzahligen Exponenten in jedem Monoid $M$, und es gelten die Potenzgesetze

• $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$
• $(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$
• $(a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}$, falls $a$ und $b$ vertauschen, d. h. wenn $ab=ba$ gilt.

(Überall $a,b\in M;m,n\in \mathbb {N} _{0}$.)

Ist $a$ ein invertierbares Element, so kann man mittels

$a^{-n}=(a^{-1})^{n}$ für $n\in \mathbb {N}$

Potenzen mit beliebigen ganzzahligen Exponenten definieren. Die Rechenregeln gelten analog. Im Fall abelscher Gruppen besagen sie, dass durch die Potenzierung die Struktur eines $\mathbb {Z}$-Moduls induziert wird.

Allgemeinere Exponenten

Allgemeinere Exponenten wie Matrizen werden meist nur im Zusammenhang mit der Basis $e$, also als Werte der verallgemeinerten Exponentialfunktion betrachtet.

Darüberhinaus wird die Potenzschreibweise gelegentlich auch für andere natürliche Fortsetzungen verwendet. So werden beispielsweise in der algebraischen Zahlentheorie gelegentlich Potenzen von Elementen von (topologischen) Galoisgruppen mit Exponenten in Vervollständigungen von $\mathbb {Z}$ betrachtet; es handelt sich dann um die jeweils eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung der Abbildung

$\mathbb {Z} \to G,\quad n\mapsto g^{n}.$

Siehe auch

• Exponentialfunktion
• Binomische Formeln
• geometrische Reihe
• Potenzfunktion
• Potenzturm