„Inverse Matrix“ – Versionsunterschied

Die inverse Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Die inverse Matrix $A^{-1}$ zu einer gegebenen quadratischen Matrix $A$ ist dadurch definiert, dass sie die Gleichung

$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E$

erfüllt, wobei $E$ die Einheitsmatrix ist. Sie ist also bezüglich der Matrixmultiplikation das inverse Element zu einer Matrix.

Nicht zu jeder quadratischen Matrix existiert eine Inverse. Ist dies jedoch der Fall, spricht man von einer invertierbaren oder regulären Matrix, andernfalls von einer singulären Matrix.

Die inverse Matrix kann zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet werden. Aus $Ax=b$ ergibt sich im Fall einer regulären Matrix die Lösung $x=A^{-1}b$.

Berechnung

Zur Berechnung der Inversen stehen zwei Möglichkeiten zur Verfügung: der Gauß-Jordan-Algorithmus und die Adjunkte. Insbesondere mittels der Adjunkte lassen sich prinzipiell Formeln für Matrizen mit festgelegtem Rang herleiten. Diese sind jedoch zu umfangreich um effizient eingesetzt werden zu können, so dass nur für 2x2- und 3x3-Matrizen gelegentlich die unten aufgeführten Formeln verwendet werden.

Gauß-Jordan-Algorithmus

Die Inverse einer Matrix kann berechnet werden, indem man den Gauß-Jordan-Algorithmus auf die Blockmatrix $(A|E)$ anwendet. Nach Durchführung des Algorithmus hat man eine Blockmatrix $(E|A^{-1})$, aus der man $A^{-1}$ direkt ablesen kann.

Beispiel:

Gesucht ist die Inverse zur Matrix

$A={\begin{pmatrix}1&2&0\\2&3&0\\3&4&1\end{pmatrix}}$

Die Blockmatrix $(A|E)$ lautet

${\begin{pmatrix}1&2&0&|&1&0&0\\2&3&0&|&0&1&0\\3&4&1&|&0&0&1\end{pmatrix}}$

Die Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus führt zur Matrix

${\begin{pmatrix}1&0&0&|&-3&2&0\\0&1&0&|&2&-1&0\\0&0&1&|&1&-2&1\end{pmatrix}}$

Daraus lässt sich die inverse Matrix direkt ablesen:

$A^{-1}={\begin{pmatrix}-3&2&0\\2&-1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}}$

Adjunkte

Mittels der Adjunkte und der Determinante einer Matrix berechnet sich deren Inverse nach folgender Formel:

$A^{-1}={\frac {\operatorname {adj} (A)}{\det(A)}}$

Daraus leiten sich für $2\times 2$- und $3\times 3$-Matrizen die folgende Formeln ab.

Formel für 2x2-Matrizen

$A^{-1}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{pmatrix}}$

Formel für 3x3-Matrizen

$A^{-1}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{pmatrix}ei-fh&-(di-fg)&dh-eg\\-(bi-ch)&ai-cg&-(ah-bg)\\bf-ce&-(af-cd)&ae-bd\end{pmatrix}}$

Weitere Testfälle

Ein klassischer Testfall für die Inversion einer Matrix bzw. die Auflösung eines linearen Gleichungssystems ist die Hilbert-Matrix.

Eigenschaften

Ist $\lambda$ ein Eigenwert der regulären Matrix $A$, so ist ${\frac {1}{\lambda }}$ ein Eigenwert der inversen Matrix von $A$.

Pseudoinverse

Eine Pseudoinverse einer $n\times m$-Matrix $A$ ist eine mit $A^{\dagger }$ bezeichnete $m\times n$-Matrix, welche die Bedingungen

$A\cdot A^{\dagger }\cdot A=A$ und $A^{\dagger }\cdot A\cdot A^{\dagger }=A^{\dagger }$ erfüllt.

Moore-Penrose Pseudoinverse

Insbesondere spricht man von der eindeutig bestimmten Moore-Penrose Pseudoinversen, wenn zusätzlich die beiden Bedingungen

$(A^{\dagger }\cdot A)^{H}=A^{\dagger }\cdot A$ und $(A\cdot A^{\dagger })^{H}=A\cdot A^{\dagger }$ erfüllt sind, wobei $A^{H}$ die hermitesch konjugierte Matrix zu einer Matrix $A$ ist.

Weblinks

• Berechnung einer inversen Matrix
• Tool zum Berechnen der inversen Matrix