„Logarithmierte Rendite“ – Versionsunterschied

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Version vom 24. August 2020, 20:34 Uhr

Die logarithmierte Rendite (auch stetige Rendite genannt) ist eine finanzmathematische Größe, die vor allem im Risikomanagement bei der Berechnung von Volatilitäten (z. B. im klassischen Black-Scholes-Modell der Optionspreisbewertung) eine Rolle spielt.

Definition und Eigenschaften

Ist $r$ eine Rendite (also eine Verhältniszahl der Art ${\frac {Wertzuwachs}{Ausgangskapital}}$ ), so ist $\ln(1+r)$ die zugehörige logarithmierte Rendite.

Die logarithmierte Rendite ist also der natürliche Logarithmus des Verhältnisses Endkapital zu Ausgangskapital (oder allgemeiner auch Endwert zu Ausgangswert). Die logarithmierte Rendite aufeinanderfolgender Perioden kumuliert sich durch Addition.

Bei einer erwarteten logarithmierten Rendite $r(t,T)$ (Startzeitpunkt t und Zeitintervall T) für ein gegebenes Kapital $K(t)$ errechnet sich der erwartete Kapitalwert in der Folgeperiode als:

K(t+T)=K(t)\cdot e^{r(t,T)}

Dieses Rechnungsmodell gilt nicht nur für Renditen, sondern beliebigen Veränderungs- bzw. Wachstumsraten.

Hintergrund

Ein Hauptgrund für die Verwendung logarithmierter Renditen liegt darin, dass diese (im Gegensatz zu den eigentlichen Renditen) auf der gesamten Menge der reellen Zahlen definiert sind, während „normale“ (sprich: diskrete) Renditen links durch den Wert −1 bzw. einen Verlust von 100 % begrenzt sind. Dadurch kann die empirische Verteilung der Renditen zum Beispiel besser durch die Normalverteilung approximiert werden, wobei die empirische Verteilung der Renditen jedoch üblicherweise von der Normalverteilung abweicht.

Siehe auch

Random Walk

Weblinks

Berechnung Volatilität unter Nutzung logarithmierte Rendite
Optionsbewertung (PDF-Datei; 430 kB)

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 Die '''logarithmierte Rendite''' (auch '''stetige Rendite''' genannt) ist eine [[Finanzmathematik|finanzmathematische]] Größe, die vor allem im [[Risikomanagement]] bei der Berechnung von [[Volatilität]]en (z.&nbsp;B. im klassischen [[Black-Scholes-Modell]] der [[Option (Wirtschaft)|Optionspreisbewertung]]) eine Rolle spielt.
-== Mathematische Definition ==
+== Definition und Eigenschaften ==
+Ist <math>r</math> eine [[Rendite]] (also eine Verhältniszahl der Art <math>\frac{Wertzuwachs}{Ausgangskapital}</math>), so ist <math>\ln(1+r)</math> die zugehörige logarithmierte Rendite.
-Die logarithmierte Rendite ist der natürliche Logarithmus der Rendite (prozentuale Veränderung des Wertes) in der Periode. Die logarithmierte Rendite aufeinanderfolgender Perioden kumuliert sich durch Addition.
+Die logarithmierte Rendite ist also der natürliche Logarithmus des Verhältnisses Endkapital zu Ausgangskapital (oder allgemeiner auch Endwert zu Ausgangswert). Die logarithmierte Rendite aufeinanderfolgender Perioden kumuliert sich durch Addition.
+Bei einer erwarteten logarithmierten Rendite <math>r(t, T)</math> (Startzeitpunkt ''t'' und Zeitintervall ''T'') für ein gegebenes Kapital <math>K(t)</math> errechnet sich der erwartete Kapitalwert in der Folgeperiode als:
-Die logarithmierte Rendite <math>r(t_i,T)</math> lässt sich durch folgende Formel ausdrücken:
-:<math>r(t_i, T) = \ln\left[S(t_i+T)\right] - \ln\left[S(t_i)\right]</math>
+:<math>K(t+T) = K(t) \cdot e^{r(t, T)} </math>
-Hierbei ist <math>T</math> die Zeit, über die die [[Rendite]] bestimmt wird, und <math>S(t_i)</math> der zeitstetige Preis.
-Bei einer erwarteten logarithmierten Rendite <math>r(t_i, T)</math> und einem gegebenen Kapital <math>K(t_i)</math> rechnet sich dann der erwartete Kapitalwert in der Folgeperiode als:
-:<math>K(t_i+T) = K(t_i) \cdot e^{r(t_i, T)} </math>
 Dieses Rechnungsmodell gilt nicht nur für Renditen, sondern beliebigen [[Veränderungsrate|Veränderungs-]] bzw. [[Wachstumsrate|Wachstumsraten]].
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 == Hintergrund ==
-Ein Hauptgrund für die Verwendung logarithmierter Renditen liegt darin, dass diese (im Gegensatz zu den eigentlichen Renditen) auf der gesamten Menge der reellen Zahlen definiert sind, während „normale“ (sprich: diskrete) Renditen links durch den Wert 0 bzw. einen Verlust von 100 % begrenzt sind. Dadurch kann die empirische Verteilung der Renditen zum Beispiel besser durch die  [[Normalverteilung|Normalverteilung]] approximiert werden, wobei die empirische Verteilung der Renditen jedoch üblicherweise von der Normalverteilung abweicht.
+Ein Hauptgrund für die Verwendung logarithmierter Renditen liegt darin, dass diese (im Gegensatz zu den eigentlichen Renditen) auf der gesamten Menge der reellen Zahlen definiert sind, während „normale“ (sprich: diskrete) Renditen links durch den Wert −1 bzw. einen Verlust von 100 % begrenzt sind. Dadurch kann die empirische Verteilung der Renditen zum Beispiel besser durch die  [[Normalverteilung|Normalverteilung]] approximiert werden, wobei die empirische Verteilung der Renditen jedoch üblicherweise von der Normalverteilung abweicht.
 == Siehe auch==
-[[Random Walk]]
+* [[Random Walk]]
 == Weblinks ==
+* [http://www.deifin.de/thema002.htm Berechnung Volatilität unter Nutzung logarithmierte Rendite]
+* [http://www.vwl.uni-mannheim.de/mammen/Diplom_VWL.pdf Optionsbewertung] (PDF-Datei; 430&nbsp;kB)
-*[http://www.deifin.de/thema002.htm Berechnung Volatilität unter Nutzung logarithmierte Rendite]
-*[http://www.vwl.uni-mannheim.de/mammen/Diplom_VWL.pdf Optionsbewertung] (PDF-Datei; 430&nbsp;kB)
 [[Kategorie:Rendite]]