Weiden in der Medizingeschichte und Diskussion:Differenzengleichung: Unterschied zwischen den Seiten

Deltastoß

IMHO ist der Deltastoß so definiert, dass er bei x=0 den Wert $\infty$ hat und das Integral über ihn den Wert 1 (so steht es auch im entsprechenden Artikel). Habe ich was falsch verstanden, oder warum tauchen hier immer wieder andere Werte auf (1, undefiniert, ...)? Pstaudt-fischbach 00:32, 25. Nov. 2006 (CET)

Guten Tag. Dann steht in dem Artikel Stuß (es sollte "Anschauliche Nicht-Definition" heißen). Man kann sich, unter Einhaltung aller Sicherheitsvorkehrungen, einen "Delta-Stoß", d.h. eine Dirac-Distribution, so vorstellen, aber auf keinen Fall definieren. Hier ist übrigens die nullte Basisfolge gemeint, d.h. eine Folge mit ganzzahligen Indizes, die im Index Null den Wert Eins hat und sonst Null ist.--LutzL 08:39, 27. Nov. 2006 (CET)

Hmmmm, der Artikel Delta-Distribution ist eine Weiterleitung von Dirac-Impuls und hier [1] oder z. B. in

• DeVries, Paul L.: Computerphysik, Spektrum, Akad. Verl., 1995, ISBN 3-86025-336-0

steht die gleiche stussige Definition auf Seite 301. Oder liegt das jetzt am Übergang vom Kontinuierlichen ins Diskrete, dass die Delta-Funktion plötzlich nicht mehr gegen $\infty$ strebt sondern nicht mehr definiert ist? Pstaudt-fischbach 00:51, 28. Nov. 2006 (CET)

Das grundlegende Problem ist, dass die Delta-Distribution keine Funktion ist, sondern eine Distribution. Sie ist über ihr Integral definiert. Ein Funktionswert unendlich ist unsinnig, da unendlich kein Element von $\mathbb {R}$ ist. Nichtsdestotrotz ist solch eine Vorstellung zum Verständnis hilfreich. --Squizzz 01:30, 28. Nov. 2006 (CET)

Mit Delta-Dirac-wasweissich wird das Einselement der Faltung (als Multiplikation betrachtet) bezeichnet. Für kontinuierliche, absolut integrable Funktionen gibt es ein solches Einselement nicht, aber beliebige Annäherungen daran, z.B. Rechteckfunktionen wie auf der angegebene Webseite. Diese Näherungen sind umso besser, je schmaler und höher sie sind. Die Fortsetzung ins unendliche ist in diesem Rahmen nicht möglich, aber anschaulich einleuchtend. Korrekt ist sie nur für temperierte Distributionen, in welchen obige Funktionen enthalten sind und auf denen auch die Faltung definiert ist. --- Für Folgen ist alles einfacher, da die nullte Basisfolge das Einselement der Faltung schon ist, jede weitere Basisfolge wirkt unter Faltung als Verschiebung.--LutzL 09:02, 28. Nov. 2006 (CET)

Diskrete Signale werd im allgemeinen mit gewichteten Knoecker-Deltas zu diskreten Zeitpunkten modelliert. Das hat den Vorteil, das mann immer noch drüber inttegrieren kann und trotzdem sinnvlle Ergebnisse erhält. Die Höhe von 1 beim knoecker-Delta ergibt sich damit. Probiers mal bei der Rekursionsgleichung mit nem unendlichen Eingang;) --Zemy 18:14, 25. Jul. 2007 (CEST)

Vielen Dank für eure Erklärungen! Sicher werden sie im Laufe der Zeit nicht nur mir sondern auch anderen im Sinne von Diderot ein Lichtlein der Erkenntnis anzünden. Pstaudt-fischbach 22:22, 28. Nov. 2006 (CET)

Neue Diskussion

1) Die beiden angegebenen Formeln für a(z) sind nicht identisch, sondern Kehrwerte voneinander

2) Bei diskreten Funktionen hat der Deltastoß an der Stelle 0 den Wert 1, ist also sehr wohl definiert.

3) Die angegebene Reihenentwicklung ist falsch !

(nicht signierter Beitrag von 139.30.30.193 (Diskussion) 14:47, 11. Jan. 2008)

Hallo IP. Bitte sorge dafür, dass Deine Beiträge lesbar und auffindbar sind. Das erfordert ein minimales Verständnis des Wiki-Markups. Benutze zur Kontrolle auch die Vorschau. Weiterhin wäre es nett, wenn Du Deine Beiträge mit Datumsstempel signierst.--LutzL 10:59, 14. Jan. 2008 (CET)

Ok, ist korrigiert. Für die meisten Seltsamkeiten war ich nicht verantwortlich, für die falsche Reihenentwicklung vielleicht.--LutzL 11:15, 14. Jan. 2008 (CET)

Bildbeschreibung fehlt bei [[Bild:Dzgl_z.png]]

Der Artikel enthält ein Bild, dem eine Bildbeschreibung fehlt, überprüfe bitte, ob es sinnvoll ist, diese zu ergänzen. Gerade für blinde Benutzer ist diese Information sehr wichtig. Wenn du dich auskennst, dann statte bitte das Bild mit einer aussagekräftigen Bildbeschreibung aus. Suche dazu nach der Textstelle [[Bild:Dzgl_z.png]] und ergänze sie.

Wenn du eine fehlende Bildbeschreibung ergänzen willst, kannst du im Zuge der Bearbeitung folgende Punkte prüfen:

• Namensraum Datei: Bilder sollte im Namensraum Datei liegen. Bitte ändere die alten Bezeichnungen Bild: und Image: in Datei:.
• Skalierung: Außerhalb von Infoboxen sollten keine festen Bildbreiten (zum Beispiel 100px) verwendet werden. Für den Fließtext im Artikelnamensraum gibt es Thumbnails in Verbindung mit der automatischen Skalierung. Um ein Bild/eine Grafik in besonderen Fällen dennoch größer oder kleiner darzustellen, kann der „upright“-Parameter verwendet werden. Damit erfolgt eine prozentuale Skalierung, die sich an den Benutzereinstellungen orientiert. --SpBot 22:07, 1. Mär. 2009 (CET)

Differenzengleichungen in der Ökonomie

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Differenzengleichung&diff=next&oldid=14354972 : Man geht dabei davon aus, dass z.B. das Bruttoinlandsprodukt sich auf einem bestimmten Pfad hin zu einem langfristigen Gleichgewicht entwickelt in dem alle Kapazitäten ausgelastet sind. Je nach Lösung der Differenzengleichung ergibt sich der Entwicklungspfad als asymptotischer Verlauf oder als schwingender Verlauf (in etwa Kosinus-Kurven).

Klingt plausibel, ist mir aber neu. Üblicherweise ist ja immer eine weitere Steigerung des BIPs und keine Sättigung das Ziel. Hat da wer Quellen dazu? --NeoUrfahraner 07:41, 8. Jan. 2011 (CET)

Hallo ich sitze gerade vor dem Buch: "Einführung in die Wirtschaftsmathematik" von Hülsmann, Gamerith Leopold-Wildburger und Steindl. (4. Auflage) Scheint zu stimmen! Ich habe Rechnungen aber leider noch nicht verstanden und kann daher nicht genauer darauf eingehen. aber es sollte die Frage beantworten. mfg --Red0Eye 20:51, 10. Mär. 2011 (CET)

stabilitätsaussagen

Ich gehe davon aus, dass eine numerische Stabilitätsanalysetheorie speziell für Differenzengleichungen existiert. Sie ist eine Grundlage für die Bewertung von Fixpunktverfahren. Kann jemand etwas einbetten? (nicht signierter Beitrag von 88.78.126.28 (Diskussion) 15:46, 4. Mär. 2014 (CET))

unverständlich - Beispiel

Hallo zusammen. Meiner Meinung nach ist das alles noch ein wenig unverständlich. Wie wäre es, wenn ein Beispiel für

$x_{n}=f(n,x_{n-1},x_{n-2},\dotsc ,x_{n-k})\,$

eingeführt würde? 77.11.160.164 19:23, 14. Jun. 2014 (CEST)

Neufassung des bestehenden Artikels „Differenzengleichung"

• Der bisher bestehende Artikel „Differenzengleichungen“ enthält mit Ausnahme eines einführenden Satzes so gut wie keine Informationen zum Thema, obwohl die Differenzengleichung in der numerischen Mathematik eine fundamentale Basis darstellt, die ganze Fachbücher füllen kann.

Ich habe mir erlaubt, das Thema Differenzengleichung der einfachsten Methoden der „Euler-Streckenzug-Verfahren“ ausführlich darzustellen, dass es für den Leser mit Interesse an der Systemtheorie und Regelungstechnik verstanden wird und für Simulationen am PC angewendet werden kann.

Industrielle dynamische Systeme verhalten sich selten linear, deshalb sind einige Hinweise zur Berechnung mit Kombinationen linearer und nichtlinearer Verfahren gegeben. Weil nichtlineare Systeme Unikate sind, werden kommerziell erwerbbare bekannte Rechenprogramme für bestimmte Übertragungssysteme nicht weiterhelfen. Für Anwender, die schnell das Verhalten eines linearen dynamischen Systems berechnen und analysieren möchten, können auch ohne Besitz eines kommerziellen Programmes mit dem Euler-Verfahren zu einem guten und genauen Ergebnis kommen.

• Noch weniger Verständnis habe ich für den Abschnitt „Übertragungsfunktion“, wobei hier die z-Übertragungsfunktion gemeint ist. Hier sind einige Gleichungen aufgestellt, ohne die Bedeutung, den Sinn und Zweck zu erklären. Die Anwendung der z-Transformation hat in der Digitaltechnik für abgetastete kontinuierliche Signale eine Bedeutung. Sie macht die Zusammenführung von abgetasteten Signalen und Differenzengleichungen zu z-Übertragungsfunktionen berechenbar. Die bisher bestehenden und nicht dokumentierten Gleichungen habe ich nicht übernommen, sondern knapp die Grundlagen der Anwendung und Hinweise zur Weiterführung des Themas gegeben.

• Den bestehenden kurzen Abschnitt „Differenzengleichungen in der Ökonomie“ habe ich übernommen.

Leider ist der Artikel groß geworden. Kürzungen bedeuten Informationsverlust.

Falls Unklarheiten bestehen, bitte ich um Hinweise. --HeinrichKü (Diskussion) 09:52, 27. Dez. 2016 (CET)

Begriffsklärung zu mathematischen Folgen, numerisches Berechnungsbeispiel der Kapitalentwicklung

Begriffsklärung zu Folgebegriffen k

• Als Folge wird in der Mathematik als eine Auflistung von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten als Folgeglieder bezeichnet. Für die numerische Berechnung von dynamischen Systemen bestehen die Folgeglieder aus Differenzengleichungen.

Die von mir bezeichneten Folgegleichungen sind demnach Folgeglieder, die Differenzengleichungen beinhalten.

• Der Begriff „Folgegleichungen“ bei der Tabellenkalkulation existiert meines Wissens nicht.

• Mit Hilfe von Differenzengleichungen kann die Ausgangsfolge $Y_{k}$ aus einer beliebigen Eingangsfolge $U_{k}$ berechnet werden. Ausgangsfolgewerte $Y_{k}$ und Eingangsfolgewerte $U_{k}$ sind Zahlenwerte.

Die in einer Folge durch Einbeziehung vorheriger berechneter „Ausgangsfolgewerte“ - je nach Ordnung der Differenzengleichung - wird die Differenzengleichung rekursiv.

Jedes lineare zeitdiskrete System kann im Zeitbereich durch eine rekursive Differenzengleichung berechnet werden.

• Tabelle Kapitalentwicklung

Die dargestellte Tabelle im Artikel ist falsch, weil sie nicht das Folgeglied zum Zeitpunkt $k_{0}$ mit $t=0$ beginnt. Deshalb ist auch keine Übereinstimmung mit der Zinseszinsformel gegeben. Am 13.5.2020 hatte ich die vom Benutzer Wolny1 geänderte Tabelle gelöscht. Es kann nicht sein, dass das gleiche Ergebnis für 19 und 20 Jahre herauskommt.

Diese schon früher von mir erstellte Tabelle mit Ergebnis steht in Übereinstimmung mit der Zinseszinsformel

Beispiel einer numerischen Berechnung der Kapitalentwicklung mit Zinseszins

Modell: Differenzengleichungen vom Typ $y_{(k+1)}=f(y_{(k)})$

Bei der Zinseszinsberechnung handelt es sich um eine konstante Zunahme der jährlichen Zinsen bezogen auf den jeweiligen aktuellen angesparten Betrag einer Folge. Die Kapitalentwicklung vom Anfangskapital über die folgenden Jahre nimmt einen progressiven Verlauf.

Variante der numerischen Berechnung nach HeinrichKü stimmt mit der Zinseszinsformel überein!
Das Verständnis dieser numerischen Berechnung erfolgt durch direkte Anwendung der Differenzengleichung.

Gegeben: Anfangswert = $K_{0}=1000$ € = Kapital am Anfang des Jahres $0$ Zinsfuß = $p=2$ Zinssatz = $i=2\ \%$ pro Jahr (am Jahresende) Laufzeit = $L=20$ Jahre Schrittweite = $h=1$ Jahr Gesucht: Differenzengleichung, Endkapital Differenzengleichung: $K_{(k+1)}=K_{(k)}+K_{(k)}\cdot i\cdot h$ Wachstumsfaktor: $K_{(k+1)}=K_{(k)}\cdot \left(1+{\frac {p}{100}}\right)=K_{(k)}\cdot 1{,}02$ Tabellarische Entwicklung der Folgeglieder: Gegeben: Anfangswert = Kapital $K_{0}$ = 1000 €; Zins: $p$ = 2 % pro Jahr am Jahresende, Laufzeit $L$ = 20 Jahre, Schrittweite $h$ = 1 Jahr. Gesucht: Differenzengleichung; Endkapital. Differenzengleichung aufgestellt: $y_{(k+1)}=y_{(k)}+y_{(k)}\cdot p\cdot h$ Wachstumsfaktor: $y_{(k+1)}=y_{(k)}\cdot (1+p/100)=1{,}02\cdot y_{(k)}$ Aktuelle Formelzeichen eingesetzt: $K_{(k+1)}=K_{(k)}+K_{(k)}\cdot p\cdot h\qquad {\text{Der Anfangswert von}}\ K_{(k)}=K_{(0)}=1000$ €. Tabellarische Entwicklung der Folgeglieder: Jahr h Kapital $y_{(k)}$ Kapital $y_{(k)}\cdot p\cdot h$ Kapital $y_{(k+1)}$ 0 1000 1000 * 0,02 * 0 1000 1 1000 1000 * 0,02 * 1 1020 2 1020 1020 * 0,02 * 1 1040,40 3 1040,40 1040 * 0,02 * 1 1061,208 19 1428,2462 1428,2462 * 0,02 * 1 1456,8112 20 1456,8112 1456,8112 * 0,02 * 1 1485,9474 Zum Vergleich, die Zinseszinsformel mit dem Zinssatz p und Anzahl n=20 (Jahre) der Zeiträume lautet: $K_{n}=K_{0}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{n}=1000\cdot (1+0{,}02)^{20}=1485{,}9474$ €. Variante nach Benutzer Wolny1 stimmt nicht mit der Zinseszinsformel überein. Für den richtigen Zinsbetrag werden nur 19 Jahre benötigt. Es werden für das Jahr 0 bereits Zinsen berechnet. $K_{(k+1)}$ wird exponentiell berechnet und ist damit keine Realisierung der gegebenen Differenzengleichung, die sich additiv zusammensetzt. Jahr k Kapital $K_{(k)}$ in € $K_{(k)}\cdot 1{,}02$ in € Kapital $K_{(k+1)}$ in € 0 $1000$ $1000\cdot 1{,}02$ $1000\cdot 1{,}02^{1}=1020$ 1 $1020$ $1020\cdot 1{,}02$ $1000\cdot 1{,}02^{2}=1040{,}40$ 2 $1040{,}40$ $1040{,}40\cdot 1{,}02$ $1000\cdot 1{,}02^{3}=1061{,}208$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ 19 $1000\cdot 1{,}02^{19}\approx 1456{,}81$ $1000\cdot 1{,}02^{19}\cdot 1{,}02$ $1000\cdot 1{,}02^{20}\approx 1485,95$ Die allgemeine Zinseszinsformel mit dem Zinsfuß $p$ pro Zeitraum, der Anzahl $n$ der Zeiträume und dem Kapital $K_{n}$ am Anfang des $n$-ten Zeitraums lautet also $K_{n}=K_{0}\cdot \left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{n}$ und ergibt dann für die Beispielwerte natürlich ebenfalls $K_{20}=1000\cdot (1+0{,}02)^{20}\approx 1485{,}95$. (nicht signierter Beitrag von HeinrichKü (Diskussion | Beiträge) 08:45, 5. Jul. 2020 (CEST))

--HeinrichKü (Diskussion) 10:00, 5. Jul. 2020 (CEST)

Hallo Heinrich! Fast alle Behauptungen über meine Version muss ich als falsch zurückweisen (insbesondere, dass „keine Übereinstimmung mit der Zinseszinsformel gegeben“ sei, dass bei mir „das gleiche Ergebnis für 19 und 20 Jahre“ herauskäme und dass „für den richtigen Zinsbetrag […] nur 19 Jahre benötigt“ würden). Details dazu später, denn ich habe Grund zur Annahme, dass ich die Gründe für dein Missverständnis im Wesentlichen erkannt habe (sodass sich Ausführlicheres zu den Einzelheiten vielleicht erübrigen wird):

Im ganzen Artikel wird dem Anfangsglied einer Folge der Index 0 (und nicht 1!) zugewiesen, am deutlichsten wird das in der Gleichung

$y_{(k)}=1{,}5^{k}\cdot y_{(0)}$

unmittelbar vor dem Unterabschnitt mit dem ersten hier zur Diskussion stehenden Beispiel (und dort schon genau so formatiert wie hier). Es kommt auch ganz klar in der von dir erwähnten Zinseszinsformel

$K_{n}=K_{0}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{n}$

zum Ausdruck. Meine Frage ist also: Kann es sein, dass du dir nicht hinreichend klar gemacht hast, dass wir unsere ersten (besser wohl: initialen) Folgeglieder stets mit 0 indizieren – und dass du irgendwo im Hinterkopf die (durchaus auch übliche) andere Variante hast, bei der das erste Glied mit 1 indiziert wird? Das würde jedenfalls einige deiner Behauptungen für mich erklären, die mir andernfalls ziemlich unverständlich blieben. Schauen wir uns das einmal anhand des von dir oben thematisierten Beispiels einer 20-jährigen Kapitalentwicklung näher an, wobei wir vielleicht ganz konkret den 1. Januar 2020 als Startdatum wählen wollen, um alles noch ein bisschen anschaulicher zu machen (eine Verkürzung der Laufzeit auf ein Jahr würde eine weitere Hilfe zur Veranschaulichung sein, aber so weit will ich vorerst noch nicht gehen):

Ich habe also bei der Bank am Beginn dieses Jahres 1000 € deponiert. Diesen Anfangswert wird das Kapital bis zum Jahreswechsel unverändert beibehalten, bis dann endlich zum Jahreswechsel (sagen wir präziser: zum Jahresende, womit das Kapital eine rechtsseitig stetige Treppenfunktion der Zeit wird) dem Kapital die ersten 20 € Zinsen zugeschlagen werden. Am Ende dieses (ersten Veranlagungs-) Jahres 2020 hat das Kapital also einen Wert von 1020 €, der sich erst wieder am Ende des nächsten Jahres, also am 31. Dezember 2021, um weitere 20,4 € erhöht. Eine Laufzeit von 20 Jahren bedeutet, dass das Kapital genau 20 Jahre lang liegen bleibt, also genau so lange, bis es am 31. Dezember 2039 zum 20. Mal um einen Zinsbetrag erhöht wird. Während dieser 20 Jahre der Veranlagung gibt es genau 21 verschiedene Kapitalwerte, nämlich die 20 Eurowerte $1000\cdot 1{,}02^{0}=1000,$ $1000\cdot 1{,}02^{1}=1020,$ $1000\cdot 1{,}02^{2}=1040{,}20,$ usw. bis zu $1000\cdot 1{,}02^{19}\approx 1456{,}81$, die jeweils genau ein Jahr lang Bestand haben, sowie den letzten (nur mehr punktuell am 31. Dezember 2039 gültigen) Wert von $1000\cdot 1{,}02^{20}\approx 1485{,}95$ am Ende des 20. Jahres nach Beginn der Veranlagung.

Soweit also die Beschreibung der Kapitalentwicklung als Treppenfunktion über einen Zeitraum von 20 Jahren. Der Übergang zur Folge geschieht durch Identifizieren der 21 verschiedenen Kapitalwerte mit 21 Gliedern einer Folge. Weil das erste Folgenglied $K_{(0)}$ und das zweite $K_{(1)}$ heißen soll, müssen wir offenbar zur Berechnung des Index bei den ersten zwanzig Werten die Jahreszahl der zugehörigen Treppenstufe um 2020 vermindern (was die 20 Indizes 0 bis 19 ergibt), während das Endkaptial den Index 20 erhält. Wir haben dann also

$K_{(k)}=1000\cdot 1{,}02^{k}$

für alle k von 0 bis 20, also insbesondere $K_{(20)}=1000\cdot 1{,}02^{20}$ für das Endkapital gemäß der Zinseszinsformel und $K_{(19)}=1000\cdot 1{,}02^{19}\neq K_{(20)}$. Weil sich diese Werte auch in meiner Tabelle finden (man braucht nur die Indizes im Tabellenkopf genau zu beachten!), sind damit alle drei einleitend zitierten Behauptungen eindeutig widerlegt.

Ich hoffe, damit eigentlich schon alles Nötige zur Klärung dargelegt zu haben. Falls nicht, kann ich natürlich auch noch Weiteres dazu oder auch zu anderen Aspekten beibringen – allerdings wohl erst morgen, weil ich jetzt schon sehr dringend für einige Stunden weg muss.

Gruß, Wolny1 (Diskussion) 18:34, 6. Jul. 2020 (CEST)

Nachtrag: Um meine obige Vermutung hinsichtlich der Anfangsindizes 0 bzw. 1 zu untermauern, ergänze ich (da ich jetzt wieder Zeit dazu habe) noch: In deiner obigen Tabelle …

Jahr h	Kapital $y_{(k)}$	Kapital $y_{(k)}\cdot p\cdot h$	Kapital $y_{(k+1)}$
0	1000	1000 * 0,02 * 0	1000
1	1000	1000 * 0,02 * 1	1020
2	1020	1020 * 0,02 * 1	1040,40
3	1040,40	1040 * 0,02 * 1	1061,208
19	1428,2462	1428,2462 * 0,02 * 1	1456,8112
20	1456,8112	1456,8112 * 0,02 * 1	1485,9474

… findet man (statt wie bei mir nur 21) 22 Folgenglieder $y_{(k)}$. Dass du innerhalb der Tabelle $y_{(k)}$ statt $K_{(k)}$ schreibst, ist eine hier nicht weiter wichtige andere Geschichte. Unterhalb deiner Kopfzeile befinden sich (anders als bei mir) 21 Datenzeilen, sodass also nicht jede Datenzeile einem Jahr der Laufzeit entsprechen kann, wie es die erste mit „Jahr h“ übertitelte Spalte jedoch suggeriert (und wie es wohl unzweifelhaft auch sinnvoll wäre). In deiner 2. Spalte findet man die 21 Kapitalwerte $y_{(0)}$ bis $y_{(20)},$ in der 4. Spalte die 21 Kapitalwerte $y_{(1)}$ bis $y_{(21)},$ insgesamt also die 22 Kapitalwerte $y_{(0)}$ bis $y_{(21)}.$ Dies ist nur möglich, weil bei dir mit $y_{(0)}=y_{(1)}$ zwei Kapitalwerte der unterschiedlichen Indizes 0 und 1 gleich sind (also eigentlich genau das, was du mir fälschlicherweise hinsichtlich der beiden Indizes 19 und 20 vorgeworfen hast). Würde man deine erste Datenzeile (in der im Wesentlichen $y_{(0)}=y_{(1)}=1000$ steht) ersatzlos streichen, wären wir (von Kleinigkeiten abgesehen) bei meiner Tabelle …

Jahr k	Kapital $K_{(k)}$ in €	$K_{(k)}\cdot 1{,}02$ in €	Kapital $K_{(k+1)}$ in €
0	$1000$	$1000\cdot 1{,}02$	$1000\cdot 1{,}02^{1}=1020$
1	$1020$	$1020\cdot 1{,}02$	$1000\cdot 1{,}02^{2}=1040{,}40$
2	$1040{,}40$	$1040{,}40\cdot 1{,}02$	$1000\cdot 1{,}02^{3}=1061{,}208$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
19	$1000\cdot 1{,}02^{19}\approx 1456{,}81$	$1000\cdot 1{,}02^{19}\cdot 1{,}02$	$1000\cdot 1{,}02^{20}\approx 1485,95$

… mit dem einzigen relevanten Unterschied, dass meine 21 Kapitalwerte $K_{(0)}$ bis $K_{(20)}$ heißen, während du dieselben 21 Werte $y_{(1)}$ bis $y_{(21)}$ nennst. So eine Indexverschiebung $k\mapsto k+1$ wäre an sich kein Problem, wenn sie klar als solche deklariert wäre.

Sie wird jedoch (natürlich ohne Absicht) verschleiert durch diese völlig unnötige Ergänzung der Tabelle um eine 21. Datenzeile an ihrem Anfang, in der sich eigentlich nur die Information $y_{(0)}=y_{(1)}$ befindet (ohne dass auch nur andeutungsweise gesagt würde, was – neben den 21 Werten $y_{(1)}$ bis $y_{(21)}$ – dieser 22. Wert $y_{(0)}$ bedeuten und/oder welchen Sinn er haben solle). Die Fragwürdigkeit eines solchen Vorgehens zeigt sich nicht zuletzt auch in der dadurch bedingten Notwendigkeit, die (eigentlich als Konstante anzusehende) Schrittweite $h$ als echte Variable einführen zu müssen (indem in deiner ersten Datenzeile $h=0$ (Jahre) gesetzt wird, während in allen anderen Zeilen $h=1$ (Jahr) gilt). Dass im Kopf deiner ersten Spalte mit „Jahr h“ der bei mir die 20 einzelnen Jahre der Laufzeit charakterisierende Index $k$ mit der Schrittweite (in Jahren) verwechselt wird (aus den Daten der ersten Spalte geht ja hervor, dass dort $h$ für dich die 21 verschiedenen Werte 0 bis 20 annimmt, während dasselbe $h$ in deiner dritten Spalte nur die Werte 0 und 1 annimmt), könnte meines Erachtens nach ein bedenkenswertes Zeichen des Unbehagens sein, das dich vielleicht bei der Erstellung deiner Tabelle beschlichen hat, wahrscheinlich ist es aber nur ein einfacher Tippfehler (ebenso wie die Überschrift im Kopf deiner dritten Spalte, wo es statt „Kapital“ eigentlich „Zinsen“, „Kapitalzuwachs“ oder Ähnliches heißen müsste, weshalb ich mich dort in meiner Tabelle auf den Term beschränkt habe, ohne ihm einen eigenen Namen zu geben).

Damit hoffe ich jetzt, das eingangs erwähnte Missverständnis hinreichend ausführlich beschrieben und dokumentiert zu haben, sodass du mir zustimmen kannst und wir die ganze Sache ad acta legen können.

Gruß, Wolny1 (Diskussion) 01:21, 7. Jul. 2020 (CEST)

Ich konnte Deiner sehr ausführlichen Argumentation nicht folgen. Für mich gilt, was auch für Banken gilt und was die Zinseszinsformel aussagt gemäß des Beispiels.

Egal wann ein Kapital innerhalb eines Jahres [im Jahr 0] angelegt wurde, nach einem Jahr im [Jahr 1] bringt es die ersten Zinsen. Im [Jahr 20] bringt es entsprechend der Zinseszinsformel oder in meiner tabellarischen Aufstellung der Folgeglieder das Endkapital 1485,9474. Bei Dir ist es das 19. Jahr für das Endkapital 1485,9474. --HeinrichKü (Diskussion) 10:00, 7. Jul. 2020 (CEST)

Nein, Heinrich, auch bei mir wird das Endkapital nicht im 19. Jahr erreicht, sondern genau am Ende des 20. Jahres. Du verwechselst vielleicht den Namen eines Jahres (das ist hier der Index $k$ des zugehörigen Folgengliedes $K_{k}$ und wie jeder Name reine Konvention) mit der Anzahl der seit dem Beginn der Veranlagung vollständig vergangenen Jahre (einer objektiven Zahl, die aber – je nachdem, welche Konvention für den Initialindex gewählt wird – auf verschiedene Arten vom Index $k$ des aktuellen Kapitalwertes $K_{k}$ abhängen wird).

Ich hätte gerne versucht, dich noch mit elementareren Beispielen und einfacheren Worten zu überzeugen, bin aber jetzt (nicht wegen dir!) zu sehr frustiert von der aktuellen Entwicklung (seit Wruedt mitten in unserer Diskussion begonnen hat, an dem zu besprechenden Abschnitt herumzuwerkeln, um ihn wieder zu verschlimmbessern), als dass ich noch Lust hätte, meine Zeit hier weiter zu investieren. Ich klinke mich daher aus, behalte mir jedoch vor, nach erkennbarem Abschluss der Abschnittsveränderung (falls mein Zorn bis dahin hinreichend verraucht sein sollte) offensichtlich Falsches wieder durch Korrektes zu ersetzen oder den Abschnitt an die Qualitätskontrolle zu überweisen. Wahrscheinlicher (und sicherlich für alle Beteiligten nervenschonender, aber vermutlich nicht zum Wohle des Artikels) ist es jedoch, dass ich die Differenzengleichungen in Kürze einfach dauerhaft von meiner Beobachtungsliste nehmen werde.

Gruß, Wolny1 (Diskussion) 14:25, 8. Jul. 2020 (CEST)

Nummerierung der Folgeglieder mit Differenzengleichungen

Hallo @Wruedt:, als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung (Familie) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet.

Bei der numerischen Berechnung von dynamischen Systemen bestehen die Folgeglieder aus einer oder mehreren Differenzengleichungen, deren Berechnung Zahlenwerte bzw. Stützstellen ergeben.

Ich habe hunderte von dynamischen Systemen berechnet, deren Ergebnisse hinreichen überprüft wurde. Das nachfolgend geschilderte Problem der Nummerierung trat bei mir nicht auf, weil das erste Folgeglied mit t = 0 startete. Weitere Folgeglieder beziehen sich auf ein Vielfaches von Delta t.

Für das Verständnis der Anwendung von Differenzengleichungen sind Definitionen der Nummerierung der Folgeglieder erforderlich. Welche Nummer wird dem 1. Folgeglied bei Euler-Vorwärts und Euler Rückwärts zugeordnet?

Mögliche Zuordnung des 1. Folgegliedes ist:

• Für Euler-Vorwärts: t = 0: $y_{(k=0)}$ oder $y_{(k=1)}$
• Für Euler-Rückwärts bezieht sich das 1. Glied mit $y_{(k-1)}$ auf t < 0. Da kein Zahlenwert vorhanden ist, kann für $y_{(k-1)}$ 0 vorgegeben werden.

Das 1. Folgeglied ist $y_{(k)}$ und entspricht einem Wert > 0.

Was ist Deine grundsätzliche Meinung zur Nummerierung des 1. Folgegliedes für t = 0: $y_{(k=0)}$ oder $y_{(k=1)}$? Das müsste dann noch definiert werden. --HeinrichKü (Diskussion) 19:23, 7. Jul. 2020 (CEST)

Der neu berechnete Wert hat unabhängig vom Integrationsverfahren IMMER den Index k+1. Daran krankt der ganze Artikel insbesondere der Abschnitt Euler rückwärts. Der einzige Unterschied ist, dass der Funktionswert (y') an der neuen Stelle gebildet wird. Dann bekommt man entweder eine implizite Gleichung die iterativ gelöst werden muss, oder man macht einen Prädiktorschritt. Das Problem, dass man auf Werte t<0 zugreifen müsste stellt sich daher nicht.--Wruedt (Diskussion) 21:17, 7. Jul. 2020 (CEST)

Ich wurde nicht richtig verstanden. Für eine Ergänzung im Artikel zu Euler-Rückwärts: Meine grundsätzliche Frage bezog sich auf die Nummerierung des 1. Gliedes (Stützpunkt) einer Folge zum Zeitpunkt t=0, bei dem die Berechnung mit Differenzengleichungen startet. Sollte man für die Indizierung die Nummer 0 oder 1 zuordnen? Bisher wurde k = Null zugeordnet. Ist das richtig, bzw. verständlich? --HeinrichKü (Diskussion) 08:13, 8. Jul. 2020 (CEST)

Zum Zeitpunkt 0 wird ja noch nichts berechnet. Auf dem Index k=0 landet der Anfangswert. Der erste berechnete Wert wird bei Ordnung 1 k=1 zugeordnet.--Wruedt (Diskussion) 10:22, 8. Jul. 2020 (CEST)

Wenn ein Impuls u(t) zum Zeitpunkt t = 0 für die Dauer Delta t in ein lineares dynamisches System einfließt, muss dieser erfasst werden. Deshalb wird für alle linearen dynamischen Systeme die vereinfachte Differenzengleichung Euler-Rückwärts angewendet. Gilt nur für Systeme ohne Anfangswert. Das ist Stand der Technik.

Das werde ich demnächst noch in den Artikel einbringen. Daher auch meine Frage, welche Nummer sollte man für das 1. Glied einer Folge einsetzen, 0 oder 1. Ich berechne dynamische Systeme grundsätzlich mit Euler-Rückwärts. --HeinrichKü (Diskussion) 12:30, 8. Jul. 2020 (CEST)

Tabelle Bevölkerungswachstum

Die bestehende Darstellung im Artikel ist wieder missverständlich, was das Jahr 49 angeht. Für eine ordentliche Darstellung der Tabelle muss eine Zeile für das Jahr Null eingefügt werden, bei der keine Zunahme stattfindet. Erst im Jahr 1 beginnt die Zunahme. Dann erscheint auch das Ergebnis im Jahr 50 mit 142 Millionen.

Neuer Entwurf der tabellarischen Darstellung mit korrekter Darstellung aller Folgeglieder!

Zeit Jahr	Bevölkerung $B_{(k)}$ [Millionen]	Differenzengleichung $B_{(k+1)}=B_{(k)}+B_{(k)}\cdot 0{,}04\cdot h$ in Millionen	Bevölkerung $B_{(k+1)}$ Exponentialdarstellung [Millionen]
0	20	$20+20\cdot 0{,}04\cdot 0=20$	$20\cdot 1{,}04^{0}=20$
1	20	$20+20\cdot 0{,}04\cdot 1=20,8$	$20\cdot 1{,}04^{1}=20{,}8$
2	$20{,}8$	$20{,}8+20{,}8\cdot 0{,}04\cdot 1=21,632$	$20\cdot 1{,}04^{2}=21,632$
3	$21{,}632$	$21{,}632+21{,}632\cdot 0,04\cdot 1=22{,}497$	$20\cdot 1{,}04^{3}=22{,}497$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
49	131,411		$20\cdot 1{,}04^{49}=136,667$
50	$136{,}667$		$20\cdot 1{,}04^{50}=142,134$

$B_{(k+1)}-B_{(k)}=B_{(k)}\cdot a\cdot h=1{,}04\cdot B_{(k)}$. $\quad 1{,}04$ ist hier der Wachstumsfaktor.

--HeinrichKü (Diskussion) 15:51, 8. Jul. 2020 (CEST)

Diese Tabelle ist nicht korrekt. Im "Jahr 0" wird nichts gerechnet auch nicht mit Schrittweite 0, sondern es wird der Anfangswert eingetragen. Die Spalte B_k verwirrt nur. Also Zeile "Jahr 0" weg und Spalte B_k weg. Was zählt ist immer B_k+1=B_k*(1+a*h)--Wruedt (Diskussion) 20:27, 8. Jul. 2020 (CEST)

Tut mir leid, Dein Verständnis zur Differenzengleichung bezüglich der Startzeile ist falsch. Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Bevölkerungszahl 20 Millionen. Erst nach einem Zeitschritt und dann nach weiteren Zeitschritten vermehrt sich die Bevölkerung. Die von mir dargestellte zugehörige Grafik zeigt zum Zeitpunkt t = 0 den Startwert 20 Millionen. Anders kann es nach logischer Überlegung auch nicht sein. Ich vermute mal, Du hast keine Erfahrungen mit Differenzengleichungen und der tabellarischen Darstellung.

Ich nehme an, Du stellst das Grafikbild des Verlaufs der Bevölkerungswachstums nicht in Frage. Es ist das Ergebnis aller Folgeglieder ab t = 0.

Die Darstellung der Folgeglieder über die exponentielle Berechnung mit dem Wachstumsfaktor ist didaktisch ungünstig, weil damit die Vorstellung für das erste Folgeglied der Folge fehlt. Deshalb ist es besser, die ersten Folgeglieder nach der Differenzengleichung auszurechnen.

Übrigens gilt das gleiche Problem für das Beispiel der Kapitalentwicklung.

Damit wir weiterkommen, müssen wir wohl einen erfahrenen Mathematiker einschalten. Ich versuche es mal einen Mathematiker zu kontaktieren. --HeinrichKü (Diskussion) 09:43, 9. Jul. 2020 (CEST)

Das besteitet doch kein Mensch, dass in dem Beispiel für k=0 die Bevölkerung 20 Mio ist. Nur muss das niemand ausrechnen, da diese Zahl bekannt ist. Was interessiert ist die Zahl jeweils am Ende des Jahres. Das "Jahr 0" gibt es nicht.--Wruedt (Diskussion) 10:11, 9. Jul. 2020 (CEST)

• Dass das 1. Folgeglied nicht gerechnet werden muss, weil es jeder kennt, ist schlicht mathematischer Schummel.
• Du bestreitest, dass der Anfangswert für t = 0 für den Zeitraum Delta t das erste Glied der Folge ist. Die Grafikdarstellung bezieht sich aber auf alle Glieder der Folge. Wenn du die Grafik anerkennst, musst Du auch das Ergebnis des 1. Folgegliedes für Delta t mit 20 Millionen anerkennen.
• Die Probleme zu Deinem Verständnis kommen wohl daher, dass Du die tabellarische Darstellung der Folgeglieder mit den Differenzengleichung ablehnst. Statt dessen berechnest Du die Folgeglieder über den Wachstumsfaktor. Vorgebildete Interessenten für Differenzengleichungen sollen aber Differenzengleichungen für alle Folgen verstehen.
• Lass es mich bitte wissen, ob Du meinen Entwurf der Tabelle hier in der Diskussion, der alles enthält was wichtig ist, anerkennst. Wenn nicht, werde ich einen Mathematiker einschalten. --HeinrichKü (Diskussion) 11:58, 9. Jul. 2020 (CEST)

Natürlich ist der Anfangswert Teil der Folge. Er wird aber nicht berechnet. Wie man leicht erkennen kann werden erst die Glieder k+1 berechnet (Ordnug 1). Ich lehn auch nicht die "tabellarische" Darstellung ab. Aber es gibt eben nur eine Differenzengleichung. In jeder vernünftigen Programmiersprache kann man die z,B. als function definieren, die dann k mal aufgerufen wird. Dass man die Ergebnisse im Computer spaltenorientiert abspeichert ist auch normale Praxix. Hab's nicht nötig mir "Unverständnis" vorwerfen zu lassen und beende damit die Disk.--Wruedt (Diskussion) 12:08, 9. Jul. 2020 (CEST)

Überarbeiten

Der Artikel muss imo komplett überarbeitet werden. Seitenlange Auslassungen ohne ref, TF beim Euler rückwärts, "Berechnung" von Anfangswerten, Redundanzen zu vorhandenen Artikeln, ...--Wruedt (Diskussion) 10:01, 10. Jul. 2020 (CEST)

Implizites Euler-Streckenzugverfahren (Euler Rückwärts), (gekürzter Abschnitt)

Das implizite Euler-Verfahren wird für jeden Rechenschritt (Stützpunkt, Knoten) $y_{(k)},x_{(k)}$ für die Ableitung $y'(x)$ durch einen Rückwärts-Differenzenquotienten approximiert.

Der Rückwärts-Differenzenquotient für eine Funktion $y'=f(x,y)$ lautet:

$y'\approx {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y(x)-y(x-h)}{(x+h)-x}}:={\frac {y_{k}-y_{k-1}}{h}}$

Anwendung der Differenzengleichung „Euler Rückwärts“ für lineare dynamische Systeme ohne Anfangswertproblem

Wird eine Übertragungsfunktion eines linearen Systems in die zugehörige Differentialgleichung nach dem Laplace-Differentiationssatz überführt, entsteht durch Austausch des Differentialquotienten durch den Rückwärts-Differenzenquotienten die Differenzengleichung nach Euler-Rückwärts.

Nach Austausch der Differentialquotienten mit dem Rückwärts-Differenzenquotienten der Differentialgleichungen ergeben sich für verzögernd wirkende Systeme wie das I-Glied oder das PT1-Glied folgende typische Darstellung der Differenzengleichungen:

$\underbrace {y_{k}} =\underbrace {y_{k-1}} +\ \underbrace {h\cdot f(System,u_{k},T)} \qquad u_{k}=Eingangssignal,T=Zeitkonstante$.

Beispiel Differenzengleichung der Integration (I-Glied):

Die Übertragungsfunktion lautet:

$\ G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{T_{I}\cdot s}}$

Die zugehörige Differentialgleichung lautet:

$T_{I}\cdot {\dot {y}}(t)=u(t)$

Der Differenzenquotient wird an Stelle des Differentialquotienten ${\dot {y}}(t)$ eingesetzt:

$T_{I}\cdot {\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{\Delta t}}=u_{(k)}$

Damit lautet die nach $y_{(k)}$ umgestellte Differenzengleichung des I-Gliedes nach Euler-Rückwärts:

$y_{(k)}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}$

Der Benutzer @Wruedt: hat den den von mir geschriebenen vollen Abschnitt „Implizites Euler-Streckenzugverfahren (Euler-Rückwärts)“ gelöscht mit dem Kommentar: "Das hat mit Euler-Rückwärts gar nichts zu tun".

• Ich bitte um eine Erklärung für den Löschvorgang, obwohl Differenzengleichungen für die Berechnung linearer dynamischer Systeme nach dem Rückwärts-Differenzenquotienten entwickelt wurden und so auch als Verfahren „Euler-Rückwärts“ bezeichnet werden.
• Der mathematische Begriff des Rückwärts-Differenzenquotienten taucht jetzt im Artikel nicht mehr auf.
• Der als Hauptartikel bezeichnete Artikel Implizites Euler-Verfahren ist wenig geeignet, das Verständnis für die Anwendung von Differenzengleichungen in der Regelungstechnik (lineare dynamische Systeme) und Systemtheorie zu fördern.
• Das Bild "PT1-Glied" (nach Euler-Rückwärts) wird als Nonsens bezeichnet und wurde gelöscht. . Ich bin auf eine Erklärung gespannt. Ich werde das Bild nach der Erklärung wieder einfügen. --HeinrichKü (Diskussion) 09:57, 15. Jul. 2020 (CEST)

Die Begriffe vorwärts/rückwärts kann man z.B. ref #4 entnehmen. Bilder bei denen der Anfangswert überschrieben wird, oder die die Integration unter der Lösungskurve und nicht unter y' zeigen sind Nonsens. Das "Leiden" geht schon damit los, dass sowohl die Lösungskurve (y) als auch y' mit f(...) bezeichnet werden. IÜ kann alles was der Fachliteratur widerspricht (TF, kein ref) gelöscht werden.--Wruedt (Diskussion) 10:09, 15. Jul. 2020 (CEST)

Du hast die Differenzengleichungen für lineare Systeme ohne Anfangswertproblem umgeschrieben. Dann glaube ich gern, dass das gelöschte Bild nicht stimmt. Ich bin mir nicht ganz sicher: zum Verhalten des I-Gliedes und des PT1-Gliedes hat die Steigung anfangs den gleichen Gradienten. Bei der Gleichung des I-Gliedes ist das Eingangssignal für t = 0 u_k, beim PT1-Glied ist das Eingangssignal u_k+1. --HeinrichKü (Diskussion) 14:40, 15. Jul. 2020 (CEST)

Da es sich hier immer um Anfangswertprobleme handelt, find ich die Benennung "ohne Anfangswertproblem" missverständlich. Gemeint sind Anfangswerte 0. Bei der mathematischen Behandlung macht das aber keinen Unterschied. Bei der Offline-Simulation ist u für den neuen Zeitpunkt bekannt, also kann man u_k+1 zur Berechnung von y_k+1 einsetzen. Beim I-Glied wird's philosophisch. Man könnte auch (u_k+u_k+1)/2 nehmen.--Wruedt (Diskussion) 19:27, 15. Jul. 2020 (CEST)

Ganz generell aber die Frage, warum dermaßen viele Beispiele aus der Regelungstechnik herhalten müssen. Wie die Intro feststellt treten Differenzengleichungen in verschiedenen Wissensgebieten auf. Eine rauszuheben macht doch wenig Sinn. Wenn das alle machen würden wo würde das hinführen. Weiter sind fast nur lineare Beispiele drin, obwohl die Intro was anderes verspricht. Von Anwendungen außerhalb von DGL'n ist überhaupt nicht die Rede. Der Artikel sollte imo deutlich gekürzt werden. Der Abschntt #modifiertes Eulerverfahren gehört rausgeworfen, da TF. In dem Zusammenhang kann man natürlich alle möglichen "Förmelchen" hinwerfen, die alle was ähnliches produzieren. Belegt ist der Rückgriff auf alte Werte jedenfalls nicht. Und ob man das Integral von T_k nach T_k+1 dadurch besser annähern kann, wag ich mal zu bezweifeln. Die Krux bei den vielen Beispielen ist doch, dass man das bei den "primitiven" Testfunktionen (Sprung) kaum feststellen kann. Weiter ist ständig von einer analytischen Funktion die Rede. Eine geschlossenen Lösung gibt es in den seltesten Fällen. Die Referenz wäre die exakte Lösung, angenähert durch ein Mehrschrittverfahren. Ergo: Der Artikel sollte sich mehr dem eigentlichen Thema widmen, garniert mit einigen (wenigen) Beispielen.--Wruedt (Diskussion) 12:07, 16. Jul. 2020 (CEST)

Warum viele Beispiele aus der Regelungstechnik? Aus der Systemtheorie existieren 6 reguläre Systeme 1. und 2. Ordnung. Im Artikel werden als lineare dynamische Systeme 4 Übertragungsfunktionen G(s) 1. Ordnung dargestellt.

Aus den Übertragungsfunktionen können die zugehörigen Differenzialgleichungen ermittelt werden. Durch Austausch der Differenzialquotienten mit den Differenzenquotienten entsteht die Differenzengleichung.

Je nach Verwendung der Differenzenquotienten nach Euler-Vorw.-Rückw. entsteht die Differenzengleichung nach Euler-Vorw. oder Euler-Rückw..

Bei verzögernden oder integrierenden Systemen (PT1-Glied, I-Glied) beziehen sich die Differenzenquotienten auf Differenzen des Ausgangssignals y(k).

Bei differenzierenden Systemen (D-Glied und PD1-Glied) beziehen sich die Differenzenquotienten auf Differenzen des Eingangssignals u(k). Diese Feinheiten müssen schon dargestellt werden. --HeinrichKü (Diskussion) 15:18, 21. Jul. 2020 (CEST)

Definition

Die Definition ist meiner Ansicht nach zu eingeschränkt, es sollte auch explizit erwähnt werden, dass die k aus der Diskretisierung der Ortsvariablen (x) kommen. In Walz, Lexikon der Mathematik, Springer Spektrum, Artikel Differenzengleichung, werden sie über implizite Gleichungen, ohne Heraushebung von y_(k+n) definiert:

$F(x,y(x),\Delta y(x),\cdots ,\Delta ^{n}y(x))=0$

mit dem Differenzenoperator $\Delta$ wie in Differenzenrechnung. Das lässt sich wiederum auf

$G(x,y(x),y(x+1),\cdots ,y(x+n))=0$

reduzieren und ist von Bedeutung, da hier die Definition der Ordnung eine Besonderheit gegenüber Differentialgleichungen aufweist. Die n-te Ordnung besteht falls y(x) und y (x+n) ungleich Null, reduziert sich aber i.G. zu Differentialgleichungen, wenn man sie in die Form $G(x,y(x+m),\cdots ,y(x+n))$ bringen kann mit $1<m<n$, dann ist sie nur noch von Ordnung (n-m).--Claude J (Diskussion) 07:32, 18. Jul. 2020 (CEST)

Danke dass sich mal einer vom Fach meldet.--Wruedt (Diskussion) 09:08, 18. Jul. 2020 (CEST)

Differenzengleichungen als Funktion der Ober- und Untersumme

Das Bild ist falsch. Der Anfangswert y(0) ist vorgegeben und wird durch kein Integrationsverfahren auch immer überschrieben. Das was hier als Obersumme verkauft wird (y(k)=y(k-1)+u(k)*K) wird ab k=1 berechnet. Da bei der Inegration eines Rechtecks (Sprung) diese "Approximation" exakt ist, kommt auch die exakte Lösung raus. Bei der Formel y(k)=y(k-1)+u(k-1)*K ist's fast schon philosophisch was u(0) ist. Abgesehen davon, dass im allgemeinen Fall beide Näherungen gleich falsch sind, und es im echten Leben weder Sprünge noch delta-Funktionen gibt, frag ich mich warum man der trivialen Integration eines Rechtecks einen ganzen Abschnitt widmet. Wozu gibt es schließlich aufwändigere Integrationsverfahren mit Schrittweitensteuerung, wenn man alles mit Euler erledigen könnte.--Wruedt (Diskussion) 09:25, 25. Jul. 2020 (CEST)

Was hier berechnet wurde gilt für t = 0, k = 0 und ist das erste Glied der Folge der Schrittweite h. Nach Euler-Rückwärts ist dies die erste Rechenoperation. k ist im Artikel definiert als Folge 0, 1, 2, 3.... --12:24, 26. Jul. 2020 (CEST)

Ein Einheitssprung zum Zeitpunkt 0 ist gekennzeichnet durch die Wertefolge (delta t angenommen 0,1): (0,0; 0,1; 0.1,1; 0.2,1; ...). Dem Zeitpunkt 0 sind also 2 Punkte zugeordnet. Die Schrittweite von k=0 nach k=1 ist 0. Dh. zum Zeitpunkt 0 kann niemals was anderes rauskommen als die exakte Lösung nämlich 0.--Wruedt (Diskussion) 17:45, 25. Jul. 2020 (CEST)

Benutzer Wruedt hat den Differenzenquotient Euler-Rückwärts nicht begriffen, bzw. seinen Einsatz in die Differenzialgleichung. Das erste Glied der Folge ist eine Rechenoperation. Ein Einheitssprung ist für die gesamte Folge als Eingangssignal verfügbar. Eine Impulsfunktion dagegen startet bei t = 0 für die Dauer h und ist dann verschwunden. --HeinrichKü (Diskussion) 12:24, 26. Jul. 2020 (CEST)

Halt mich lieber an die Literatur, statt an deine "Förmelchen". Fakt ist dabei, dass ein Anfangswert niemals durch eine Rechenvorschrift überschrieben werden darf, sonst wär's schließlich kein Anfangswert. Der Unterschied zwischen Euler vorwärts/rückwärts ist ausschließlich die Intervallgrenze. Vorwärts: y_k+1=y_k+f(y_k, t_k). Rückwärts: y_k+1=y_k+f(y_k+1,t_k+1) (s. z.B. hier). Bei linearen Systemen kann auch die implizite Form nach y_k+1 aufgelöst werden.--Wruedt (Diskussion) 18:03, 28. Jul. 2020 (CEST)

Ich halte mich auch an die Fachliteratur und verfüge nicht über Förmelchen. Dieser Begriff dient dem Versuch zum lächerlich machen.

• Die Herleitung der Differenzengleichung für das PT1-Glied lautet wie folgt mit dem Euler-Rückwärts-Differenzenquozienten:

Der Differenzialquotient der Differenzialgleichung wird durch den Differenzenquotient Euler-Rückwärts ersetzt mit folgendem Ansatz:

${\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{\Delta t}}+{\frac {1}{T_{1}}}\cdot y_{(k)}={\frac {K_{PT}}{T_{1}}}\cdot u_{(k)}$

• Für die Auflösung der Gleichung stehen nur die abhängigen Variablen y_k und y_k-1 und u_k zur Verfügung.

Also wird die Gleichung nach y_(k) aufgelöst.

$y_{(k)}+{\frac {\Delta t}{T_{1}}}\cdot y_{(k)}=y_{(k-1)}+{\frac {K_{PT}\cdot \Delta t}{T_{1}}}\cdot u_{(k)}$

Damit lautet die Differenzengleichung des PT1-Gliedes nach Euler Rückwärts:

$y_{(k)}={\frac {T_{1}}{T_{1}+\Delta t}}\cdot y_{(k-1)}+{\frac {\Delta t\cdot K_{PT}}{T_{1}+\Delta t}}\cdot u_{(k)}$

Zu diesem Ergebnis kommt auch Prof. Dipl.-Ing. Manfred Ottens, FH Berlin.

Differenzengleichung des PT1-Gliedes in vereinfachter Schreibweise mit identischer mathematischer Funktion:

Wie man zu dieser Form der Differenzengleichung kommt, habe ich noch nicht untersucht. Die Identität habe ich festgestellt.

$y_{(k)}=y_{(k-1)}+(K_{PT}\cdot u_{(k)}-y_{(k-1)})\cdot {\frac {\Delta t}{T_{1}+\Delta t}}$

Die Eigenheit dieser Berechnung mit Euler-Rück ist die Tatsache, dass die Funktion mit einem Anfangswert beginnt. Damit ergibt sich die "Obersume". Du hättest meine früheren Ausführungen mal lesen sollen, bevor du sie gelöscht hast. Ich hoffe, dass das Verfahren von Differenzialgleichen zu Differenzengleichungen mit Euler-Rückwärts für immer klar ist. --HeinrichKü (Diskussion) 10:26, 29. Jul. 2020 (CEST)

Wenn du dann noch mitteilen könntest wo der Index k beginnt, wär's nett.--Wruedt (Diskussion) 11:35, 29. Jul. 2020 (CEST)

Im Artikel wurde die Nummerierung der Folgeglieder mit k definiert. Für t = 0, ist k = 0, 1, 2, 3 … definiert. Ich war mir nicht ganz wohl dabei und spreche lieber bei t = 0 vom 1. Folgeglied mit der Dauer h und 2. Folgeglied …, um Missverständnisse zu vermeiden.

Ich habe diesen Abschnitt (ohne Einleitung) mit den Differenzengleichungen Euler-Rück auch zu der Qualitätssicherungsseite gebracht, weil ich hoffe, dass Mathematiker sich mal fachlich äußern. --HeinrichKü (Diskussion) 14:01, 29. Jul. 2020 (CEST)

Könnest du bitte klipp und klar mal sagen wann k bei deiner Formel beginnt und warum links vom Gleichheitszeichen y_k steht und nicht y_k+1 wie es eigentlich sein müsste. Per Definition ist y_0 bei 1. Ordnung dem Anfangswert zugeordnet. Es wäre manches leichter, wenn man sich an die üblichen Konventionen bzw. Definitionen halten würde.--Wruedt (Diskussion) 17:12, 29. Jul. 2020 (CEST)

Es tut mir leid, du möchtest den Vorwärts-Differenzenquotienten nach Art des Rückwärts-Differenzenquotienten einfügen, was natürlich Unsinn ist. Der Rückwärts-Differenzenquotient lautet nun mal unbestritten:

${\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{\Delta t}}$

Y_k steht als Variable rechenbar zur Verfügung. y_k-1 kann nur Null sein. y_k mit k = 0 ist die Nummerierung des 1. Folgegliedes, weil die Folge mit k = 0, 1, 2, 3… so definiert wurde.

Ich bin nicht der Einzige, der so denkt. Rechteck-Annäherung mit der linken Intervall-Grenze definiert einen Anfangswert y_(0) > 0, zur Zeit t = 0 und k = 0 für das 1. Folgeglied. y_k. Auch in dem Fachbuch Lutz-Wendt: „Taschenbuch der Regelungstechnik“ Auflage 2007 ist das (sichtbar, aber nicht so zufriedenstellend für mich) dargestellt.

Im dem Umfangreichen Skript FH Berlin, Systemtheorie, ist ein PT1-Glied berechnet und Zeile für Zeile mit k = 0, t = 0 mit einem Anfangswert y_(0) = 0,333, für 6 Folgewerte dargestellt.

Fazit: Euler Rückwärts lässt keine andere Deutung für Differenzengleichungen von linearen Differenzialgleichungen für y_(0) > 0 zu. --HeinrichKü (Diskussion) 10:18, 30. Jul. 2020 (CEST)

Das ist TF und daher nicht verhandelbar. Bei linearen Systemen kann y'=f(x,y) sowieso nach y_k+1 aufgelöst werden. y_k-1 für k=0 gibt es nicht. Man muss bei linearen Systemen bei der Rechtecknäherung für's Integral noch nicht mal den Differenzenquotienten bemühen. Aus der Definition der Differenzengleichung: y_k+1=y_k+h*f(y_k+1, t_k+1) folgt durch Auflösung nach y_k+1 für jedes lineare System die passende Differenzengleichung.--Wruedt (Diskussion) 11:08, 30. Jul. 2020 (CEST)

Eine vernünftige Auslegung der Abkürzung für TF ist unter Google nicht zu finden.

y_k-1 gilt für t < 0, da nicht bekannt, wird y_k-1 gleich Null (nicht k(0)) gesetzt. Es geht um lineare Differenzialgleichungen. Stellst du den Rückwärts-Differenzenquotient in Frage? Vorwärts- und Rückwärts-Differenzenquotienten sind Bestandteil der Differenzenmethode. Wenn du das in Frage stellst, können wir nicht weiter diskutieren und du wendest dich gegen die Fachliteratur. --HeinrichKü (Diskussion) 12:50, 30. Jul. 2020 (CEST)