„Satz von Schwarz“ – Versionsunterschied

Der Satz von Schwarz (nach Hermann Amandus Schwarz; wird auch Satz von Clairaut genannt; oder auch Young-Theorem) ist ein Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er besagt, dass bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen die Reihenfolge, in der die partiellen Differentiationen (Ableitungen) nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden, nicht entscheidend für das Ergebnis ist.

Tatsächlich leitet er zusätzlich aus der Existenz der beispielsweise partiellen ersten Ableitungen und einer partiellen zweiten Ableitung die Existenz und den Wert einer weiteren partiellen zweiten Ableitung her.

Der Satz von Schwarz ist nicht zu verwechseln mit dem Schwarzschen Lemma.

Aussage

Sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge sowie $f\colon U\to \mathbb {R}$ mindestens $k$-mal partiell differenzierbar und sind alle $k$-ten partiellen Ableitungen in $U$ zumindest noch stetig, so ist $f$ $k$-mal total differenzierbar und insbesondere ist die Reihenfolge der Differentiation in allen $l$-ten partiellen Ableitungen mit $l\leq k$ unerheblich.

Insbesondere für $n=2$ und $k\geq 2$ gilt also

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)\right).$

Der Satz gilt schon unter leicht schwächeren Voraussetzungen: Es genügt, dass die ersten partiellen Ableitungen im betrachteten Punkt total differenzierbar sind.

Andere Schreibweisen

Mögliche Schreibweisen ohne Klammern sind

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,y)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(x,y)$ oder auch ${f_{xy}\;=\;f_{yx}}$.

Wenn man die partielle Differentiation selbst als Abbildung von $C^{2}(U,\mathbb {R} )$ nach $C^{1}(U,\mathbb {R} )$ und von $C^{1}(U,\mathbb {R} )$ nach $C^{0}(U,\mathbb {R} )$ auffasst, kann man noch kürzer schreiben:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}$ oder auch $\partial _{1}\partial _{2}=\partial _{2}\partial _{1}$.

Andere Formulierungen

Der Satz von Schwarz sagt auch aus, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist.

Fasst man $f\in C^{2}(U,\mathbb {R} )$ als differenzierbare 0-Form auf und schreibt $d$ für die äußere Ableitung, so hat der Satz von Schwarz die Form $d(df)=0$ bzw. auch einfach nur $dd=0$.

Für $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ lässt sich das auch wie folgt formulieren: Die Rotation des Gradientenvektorfelds ist gleich null: $\operatorname {rot} (\operatorname {grad} f)=0$, oder mit Nabla-Symbol geschrieben: ${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}f={\vec {0}}$. Das Gradientenvektorfeld ist also wirbelfrei.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ durch $f(x,y)=e^{x^{2}}\sin {y}.$ Es ergibt sich für die ersten partiellen Ableitungen

$f_{x}=2xe^{x^{2}}\sin {y}\qquad f_{y}=e^{x^{2}}\cos {y}$

und für die beiden zweiten partiellen Ableitungen $f_{yx}$ und $f_{xy}$

$f_{yx}=2xe^{x^{2}}\cos {y}\qquad f_{xy}=2xe^{x^{2}}\cos {y}.$

Es ist zu erkennen, dass gilt $f_{xy}=f_{yx}.$

Gegenbeispiel

Ohne die Stetigkeit der zweiten Ableitungen gilt der Satz im Allgemeinen tatsächlich nicht. Ein Gegenbeispiel, bei dem die Vertauschbarkeit nicht gilt, ist die Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ mit $f(0,0)=0$ und

$f(x,y)={\frac {x^{3}y-xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}}$ für $(x,y)\neq (0,0)$.

Bei dieser Funktion existieren die zweiten partiellen Ableitungen auf ganz $\mathbb {R} ^{2}$, aber es gilt

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}f(0,0)=1$ und $\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}f(0,0)=-1$.

Bezug zu exakten Differentialgleichungen

Gegeben sei eine Differentialgleichung der folgenden Form:

$a(x,y)+b(x,y)\cdot y'=0$

Man nennt diese exakt, wenn die folgende Bedingung (*) erfüllt ist:

$\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:{\frac {\partial }{\partial y}}a(x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}b(x,y)$

Denn dann existiert eine Funktion :$\Phi (x,y)$ für die folgendes gilt:

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\Phi (x,y(x))={\frac {\partial }{\partial x}}\Phi (x,y)+{\frac {\partial }{\partial y}}\Phi (x,y)\cdot y'$

und

${\frac {\partial }{\partial y}}\Phi (x,y)=b(x,y)\;\;\;{\frac {\partial }{\partial x}}\Phi (x,y)=a(x,y)$.

Der Satz von Schwarz sagt hier: Gibt es so eine Funktion, so gilt Bedingung (*).

Weblinks

• Earliest Uses: Clairaut's theorem, Schwarz' theorem and Young's theorem