„Superpermutation“ – Versionsunterschied

Verteilung von Permutationen in einer Superpermutation mit 3 Symbolen

Eine Superpermutation von n Zeichen ist in der Kombinatorik eine Zeichenkette, die jede mögliche Permutation, also Kombination, dieser n Zeichen als Zeichenkette beinhaltet.

Es wurde gezeigt, dass für 1≤ n ≤ 5 die kleinste Superpermutation die Länge 1! + 2! + … + n!, also $\sum \nolimits _{i=1}^{n}i!$, hat. So gibt es beispielsweise für die drei Elemente {A, B, C} 6 Permutationen, nämlich ABC, ACB, BAC, BCA, CAB und CBA; und eine kleinste Superpermutation, welche alle diese Permutationen beinhaltet, hat eine Länge von 9 Zeichen: CBACBCABC.

Die ersten fünf Superpermutationen haben die Längen 1, 3, 9, 33 und 153. Die Zeichenketten dieser Permutationen sehen beispielsweise so aus:

• 1
• 121
• 123121321
• 123412314231243121342132413214321
• 123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543121345213425134215342135421324513241532413524132541321453214352143251432154321.

Für eine Zeichenmenge von n = 6 wurde 2014 eine kürzere Superpermutation als $\sum \nolimits _{i=1}^{n}i!$ gefunden. Anstelle einer Länge von 873 Zeichen wurden für n = 6 nur 872 Zeichen benötigt. Es wird daher erwartet, dass für n ≥ 6 gilt, dass maximal eine Länge von (1! + 2! + … + n!) - 1 für die kürzeste Superpermutation benötigt wird: “The minimal length is still unknown for n ≥ 6, but we can show that for all n ≥ 6 it is strictly less than the conjectured length […]”.

Auf dem Imageboard 4chan wurde am 27. September 2011 von einem anonymen Nutzer nachgewiesen, dass die kürzeste Superpermutation für n ≥ 2 eine Länge von mindestens n! + (n - 1)! + (n - 2)! + n - 3 hat. Robin Houston, Jay Pantone und Vince Vatter haben am 25. Oktober 2018 einen vollständigen Beweis dessen in der OEIS veröffentlicht.

Literatur

• Daniel A. Ashlock, Jenett Tillotson: Construction of small superpermutations and minimal injective superstrings. In: Congressus Numerantium. 1993, S. 91–98, Zbl 0801.05004.
• Nathaniel Johnston: Non-uniqueness of minimal superpermutations. In: Discrete Mathematics. Band 313, Nr. 14, 28. Juli 2013, S. 1553–1557, doi:10.1016/j.disc.2013.03.024, arxiv:1303.4150 (Zbl 1368.05004). 
• Robin Houston: Tackling the Minimal Superpermutation Problem. 21. August 2014, arxiv:1408.5108. 

Weblinks

• The Minimal Superpermutation Problem – Nathaniel Johnston’s blog
• James Grime: Superpermutations – Numberphile. (video) Brady Haran, abgerufen am 1. Februar 2018.