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Benutzer:Schojoha/Spielwiese/Analysis&F-Analysis&V-Rechnung und The Big Bang Theory/Episodenliste: Unterschied zwischen den Seiten

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= Satz von Moskovitz-Dines =
Diese '''[[Episodenguide|Episodenliste]]''' enthält alle Episoden der [[Vereinigte Staaten|US-amerikanischen]] [[Sitcom]] '''''[[The Big Bang Theory]]''''', sortiert nach der US-amerikanischen [[Premiere#Erstausstrahlung|Erstausstrahlung]]. Die [[Fernsehserie]] umfasst derzeit zwölf Staffeln mit 266<!--ANZAHL DER IN DEN USA BEREITS AUSGESTRAHLTEN EPISODEN!--> Episoden. [[Mark Cendrowski]] ist der Hauptregisseur der Serie und hat mehr als 190 Folgen inszeniert.
Der '''Satz von Moskovitz-Dines''' ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der die Frage der Charakterisierung [[Konvexe Teilmenge|konvexer Teilmengen]] [[Topologischer Vektorraum|topologischer Vektorräume]] behandelt. Er entstammt einer Arbeit der beiden [[Mathematiker]] [[David Moskovitz]] und [[:en:Lloyd Dines|Lloyd Lyne Dines]] aus dem Jahr 1939 und ist eng verwandt mit zwei anderen Sätzen, die auf [[Stanisław Mazur]] bzw. auf [[Errett Bishop]] und [[Robert Phelps|Robert Ralph Phelps]] zurückgehen.<ref name="JTM-001">Jürg T. Marti: ''Konvexe Analysis.'' 1977, S. 158–161</ref>


== Formulierung des Satzes ==
== Übersicht ==
{| class="wikitable" style="text-align:center" width="75%"
Der Monographie von [[Jürg T. Marti]] folgend, lässt sich der Satz wie folgt formulieren:<ref name="JTM-002">Marti, op. cit., S. 159</ref>
|-
: ''Gegeben seien ein topologischer <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>X</math> sowie eine darin enthaltene [[abgeschlossene Teilmenge]] <math>T \subseteq X</math>, welche mindestens einen [[Innerer Punkt|inneren Punkt]] besitzen soll.''
! rowspan="2"| Staffel
: ''Weiterhin genüge <math>T</math> der Bedingung, dass die regulären Punkte von <math>T</math> eine [[dichte Teilmenge]] der Randpunktmenge <math>\partial {T}</math> bilden.''
! rowspan="2"| Episodenanzahl
: ''Dann gilt:''
! colspan="2"| Erstausstrahlung USA
: ''<math>T</math> ist eine [[konvexe Teilmenge]] von <math>X</math>.''
! colspan="2"| Deutschsprachige Erstausstrahlung
|-
! Staffelpremiere
! Staffelfinale
! Staffelpremiere
! Staffelfinale
|-
| [[#Staffel 1|1]]
| 17
| 24. September 2007
| 19. Mai 2008
| 11. Juli 2009
| 26. September 2009
|-
| [[#Staffel 2|2]]
| 23
| 22. September 2008
| 11. Mai 2009
| 10. Oktober 2009
| 19. Dezember 2009
|-
| [[#Staffel 3|3]]
| 23
| 21. September 2009
| 24. Mai 2010
| 7. Februar 2011
| 22. Februar 2011
|-
| [[#Staffel 4|4]]
| 24
| 23. September 2010
| 19. Mai 2011
| 6. September 2011
| 26. November 2011
|-
| [[#Staffel 5|5]]
| 24
| 22. September 2011
| 10. Mai 2012
| 13. März 2012
| 13. November 2012
|-
| [[#Staffel 6|6]]
| 24
| 27. September 2012
| 16. Mai 2013
| 28. Januar 2013
| 25. November 2013
|-
| [[#Staffel 7|7]]
| 24
| 26. September 2013
| 15. Mai 2014
| 6. Januar 2014
| 17. November 2014
|-
| [[#Staffel 8|8]]
| 24
| 22. September 2014
| 7. Mai 2015
| 5. Januar 2015
| 30. November 2015
|-
| [[#Staffel 9|9]]
| 24
| 21. September 2015
| 12. Mai 2016
| 4. Januar 2016
| 21. November 2016
|-
| [[#Staffel 10|10]]
| 24
| 19. September 2016
| 11. Mai 2017
| 2. Januar 2017
| 30. Oktober 2017
|-
| [[#Staffel 11|11]]
| 24
| 25. September 2017
| 10. Mai 2018
| 8. Januar 2018
| 6. November 2018
|-
| [[#Staffel 12|12]]
| 24
| 24. September 2018
|
| 1. Januar 2019 <!-- auf 3+ -->
|
|}


== Verwandte Sätze ==
== Staffel 1 ==
{{Hauptartikel|The Big Bang Theory/Staffel 1}}
Der Satz von Moskovitz-Dines ist (für [[Separabler Raum|separable]] [[Banachraum|Banachräume]]) in einem gewissen Sinne die Umkehrung eines '''Satzes von Stanisław Mazur''' aus dem Jahre 1933, der (in Anschluss an Marti) folgendermaßen darstellbar ist:<ref name="JTM_003">Marti, op. cit., S. 112&nbsp;&&nbsp;S. 160</ref>
: ''Gegeben seien ein separabler <math>\R</math>-Banachraum <math>X</math> und darin eine eine abgeschlossene konvexe Teilmenge <math>T \subseteq X</math>, welche mindestens einen inneren Punkt besitzen soll.''
: ''Dann ist die Menge der regulären Punkte von <math>T</math> eine dichte Teilmenge der Randpunktmenge <math>\partial {T}</math>.''


Die Erstausstrahlung der ersten Staffel war vom 24. September 2007 bis zum 19. Mai 2008 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender [[Columbia Broadcasting System|CBS]] zu sehen. Die deutschsprachige Erstausstrahlung sendete der deutsche [[Free-TV]]-Sender [[ProSieben]] vom 11. Juli bis zum 26. September 2009.
Damit erhält man folgendes Korollar:<ref name="JTM_004">Marti, op. cit., S. 160</ref>
: ''Ist <math>X</math> ein separabler Banachraum über <math>\R</math> und <math>U \subseteq X</math> eine darin enthaltene abgeschlossene [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] des [[Nullpunkt]]es, so ist <math>U</math> eine konvexe Teilmenge von <math>X</math> genau dann, wenn die Beziehung <math>{\partial}_r {T} = \partial {T}</math> gilt.''


{{Episodenlistentabelle
In diesem Zusammenhang ist der bekannte '''Satz von Bishop-Phelps''' aus dem Jahre 1961 erwähnenswert, der (zumindest für den Fall der Banachräume) die Bedeutung der Stützpunkte im Zusammenhang mit konvexen Mengen herausarbeitet:<ref name="JTM_005">Marti, op. cit., S. 70</ref>
| SORTIERBAR = nein
: ''Ist <math>T</math> eine abgeschlossene konvexe Teilmenge eines <math>\R</math>-Banachraums <math>X</math>, so die Menge der Stützpunkte von <math>T</math> eine dichte Teilmenge der Randpunktmenge <math>\partial {T}</math>.''
| ERSTAUSSTRAHLUNG_LAND = USA

| ZUSAMMENFASSUNG = nein
== Erläuterungen und Anmerkungen ==
| ERSTAUSSTRAHLUNG_DE = D
* Ein [[Stützhyperebene#Verallgemeinerung|Stützpunkt]] <math>p \in \partial {T}</math> ist ein '''regulärer Punkt''' von <math>T</math> genau dann , dass jedes seiner zugehörigen [[Stützfunktional]]e immer nur als [[Positive Zahl|positives]] [[Vielfaches]] eines jeden anderen seiner zugehörigen Stützfunktionale vorkommt.<ref name="JTM_006">Marti, op. cit., S. 66, S. 108</ref>
| DEUTSCHE_PRODUKTION = nein
* Die [[Menge (Mathematik)|Menge]] der regulären Punkte von <math>T</math> ist also eine [[Teilmenge]] des [[Rand (Topologie)|Randes]] <math>\partial {T}</math> von <math>T</math> und wird mit <math>{\partial}_r {T}</math> bezeichnet.<ref name="JTM_006" />
| REGISSEUR = ja
* Moskovitz und Dines haben ihren Satz ürsprünglich nur für reelle [[Hilbertraum|Hilberträume]] bewiesen. Wie Marti jedoch ausführt, lässt er sich der Beweis ''ohne große Modifikationen'' auf beliebige topologische <math>\R</math>-Vektorräume ausdehnen.<ref name="JTM_007">Marti, op. cit., S. 158</ref>
| DREHBUCH = ja

| INHALT =
== Literatur ==
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 1
|Autor=Errett Bishop, R. R. Phelps
| NR_ST = 1
|Titel=The support functionals of a convex set
| OT = Pilot
|TitelErg=In: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. VII: Convexity. Held at the University of Washington, Seattle, Wash., June 13-15, 1961
| DT = Penny und die Physiker
|Verlag=[[American Mathematical Society]]
| EA = 24. Sep. 2007
|Ort=Providence, R.I.
| EAD = 11. Juli 2009
|Datum=1963
| REG = James Burrows
|ISBN=
| DRB = [[Chuck Lorre]] & [[Bill Prady]]
|Seiten=27–35
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Proceedings&s5=Pure%20Mathematics&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=151352 MR0151352]}}
* {{Literatur
|Autor=Jürg T. Marti
|Titel=Konvexe Analysis
|Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe
|BandReihe=54
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
|Ort=Basel, Stuttgart
|Datum=1977
|ISBN=3-7643-0839-7
|Seiten=
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Marti%2C%20J%C3%BCrg%20T.&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=511737 MR0511737]}}
* {{Literatur
|Autor=S. Mazur
|Titel=Über konvexe Mengen in linearen normierten Räumen
|Sammelwerk=[[Studia Mathematica]]
|Band=4
|Datum=1933
|Seiten=70–84
|Online=}}
* {{Literatur
|Autor=David Moskovitz, L. L. Dines
|Titel=Convexity in a linear space with an inner product
|Sammelwerk=[[Duke Mathematical Journal]]
|Band=5
|Datum=1939
|Seiten=520–534
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Dines&s5=convexity&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=349 MR0000349]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Topologischer Vektorraum]]
KKKategorie:Geometrie]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Moskovitz-Dines]]

= Fixpunktsatz von Krasnoselski =
Der '''Fixpunktsatz von Krasnoselski''' ({{enS|''Krasnoselskii’s fixed-point theorem''}}) ist einer der zahlreichen [[Lehrsatz|Lehrsätze]], die der [[sowjetisch]]e [[Mathematiker]] [[Mark Alexandrowitsch Krasnoselski]] zum [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Nichtlinearer Operator|Nichtlinearen]] [[Funktionalanalysis]] beigesteuert hat. Der Satz geht auf eine [[wissenschaftliche Publikation]] Krasnoselskis aus dem Jahre 1962 zurück und behandelt die Frage nach den Bedingungen, unter denen für [[Kompakter Operator|kompakte Operatoren]] auf [[Banachraum|Banachräumen]] ein [[Fixpunktsatz]] gilt. Der Satz ist verwandt mit dem [[Fixpunktsatz von Schauder]].<ref name="EZ-I-01">Eberhard Zeidler: ''Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I'' 1976, S. 154</ref><ref name="EZ-II-01">Eberhard Zeidler: ''Nonlinear Functional Analysis and its Applications I'' 1986, S. 562</ref><ref name="PGC-01">Philippe G. Ciarlet: ''Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications.'' 2013, S. 736</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Krasnoselski’sche Fixpunktsatz lässt sich folgendermaßen angeben:<ref name="EZ-I-01" /><ref name="EZ-II-01" />
: ''Gegeben seien ein [[Geordneter Vektorraum|geordneter]] <math>\R</math>-Banachraum <math>X</math> mit [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\| \cdot \|</math> und [[Ordnungskegel]] <math>K=\{x \in X \, \colon \, 0 \preceq x \} \subset X</math>.''
: ''Der Ordnungskegel <math> K=\{x \in X \, \colon \, 0 \preceq x \} </math> sei eine [[abgeschlossene Teilmenge]] von <math>X</math>, die nicht aus dem [[Nullpunkt]] allein bestehen soll, und die zugehörige [[Relation]] <math>\preceq</math> eine [[Halbordnung]]srelation.''
: ''Weiter seien auf <math>K</math> ein kompakter Operator <math>\Psi \colon K \to K</math> gegeben sowie zwei [[Paarweise verschieden|verschiedene]] [[reelle Zahl]]en <math>R_1 > 0</math> und <math>R_2 > 0</math>, so dass die beiden Bedingungen''
:: ''(i) <math>\Psi(x) {\not \preceq} x \, (\, \forall x \in {K \cap S_{R_1}(0)} \, ) </math>.''
:: ''(ii) <math>{x \not \preceq} \Psi(x) \, (\, \forall x \in {K \cap S_{R_2}(0)} \, ) </math>.''<ref> Für <math>r > 0</math> ist hierbei <math>S_r(0)</math> die <math>r</math>-[[Sphäre (Mathematik)#Sphären in normierten Räumen|Sphäre]].</ref>
: ''erfüllt seien.''
: ''Dann gilt:''
: ''<math>\Psi</math> besitzt einen Fixpunkt <math>x_0 = \Psi(x_0) \in K</math>, welcher zudem der Beziehung''
:: <math>\min \left( R_1 \; , \; R_2 \right) < \| x_0 \| < \max \left( R_1 \; , \; R_2 \right)</math>
: ''genügt.''

=== Erläuterungen ===
* Die obigen Bedingungen (i) und (ii) bedeuten, dass für <math>x \in K</math> mit <math>\| x \| = R_1</math> stets <math>{x - \Psi(x)} \not \in K</math> gilt und für <math>x \in K</math> mit <math>\| x \| = R_2</math> stets <math>{\Psi(x) - x} \not \in K</math>.<ref name="EZ-II-01" />
* Falls die obigen Bedingungen (i) und (ii) erfüllt sind, spricht man (in der englischen Fachsprache) für <math>R_1 < R_2</math> von einer ''cone compression'', für <math>R_1 > R_2</math> von einer ''cone expansion''.<ref name="EZ-II-01" />

=== Hintergrund ===
Die Herleitung des Krasnoselski’schen Fixpunktsatzes nutzt an entscheidender Stelle den folgenden wichtigen Satz des [[US-amerikanisch]]en Mathematikers [[James Dugundji]] aus dem Jahre 1951:<ref name="EZ-I-01" /><ref name="HA-01">Herbert Amann: ''Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces.'' SIAM Review 18, S. 657</ref>
: ''In einem Banachraum <math>X</math> ist jede [[nichtleer]]e, abgeschlossene und [[konvexe Teilmenge]] <math>C \subseteq X</math> ein [[Retraktion und Koretraktion#Topologische Räume|Retrakt]] von <math>X</math>.''

== Folgerung ==
Mit dem Fixpunktsatz von Krasnoselski gelingt es, unter gewissen Umständen auf die Existenz sehr vieler Fixpunkte zu schließen. Er zieht nämlich folgendes Korollar nach sich:
: ''Gelten oben die Bedingungen (i) und (ii) sogar für eine ganze [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>\left( R_1(n) \; , \; R_2(n) \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> von Zahlenpaaren mit [[Positive Zahl|positiven reellen Zahlen]] <math>R_1(n) \neq R_2(n) \; (n \in \N)</math> und [[Grenzwert (Folge)|konvergieren]] die beiden Zahlenfolgen <math>\left( R_1(n) \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> und <math>\left( R_2(n) \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> beide gegen <math>\infty</math>, so besitzt der kompakte Operator <math>\Psi \colon K \to K</math> [[Abzählbare Menge|abzählbar unendlich viele]] Fixpunkte''.<ref name="EZ-II-01" /><ref name="EZ-II-02">Zeidler (1986), S. 563</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Herbert Amann]]
|Titel=Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces
|Sammelwerk=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM Review]]
|Band=18
|Datum=1976
|Seiten=620–709
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Amann&s5=ordered%20Banach%20space&s6=Fixed%20point&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=415432 MR0415432]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Philippe G. Ciarlet]]
|Titel=Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications
|TitelErg=
|Auflage=
|Verlag=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]
|Ort=Philadelphia, PA
|Jahr=2013
|ISBN=978-1-611972-58-0
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Linear%20and%20Nonlinear%20Functional%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=3136903 MR3136903]}}
* {{Literatur
|Autor=J. Dugundji
|Titel=An extension of Tietze's theorem
|Sammelwerk=[[Pacific Journal of Mathematics]]
|Band=1
|Datum=1951
|Seiten=353–367
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1955&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=RT&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Dugundji&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=lt&r=2&mx-pid=44116 MR0044116]}}
* {{Literatur
|Autor=M. Krasnoselskii
|Titel=Positive Lösungen von Operatorgleichungen (Russisch. Auf Englisch herausgegeben unter dem Titel „Positive Solutions of Operator Equations“ von Leo F. Boron, Noordhoff, Groningen)
|Verlag=Staatlicher Verlag für physikalisch-mathematische Literatur
|Ort=Moskau
|Band=
|Datum=1962
|Seiten=
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Krasnoselskii&s5=Positive&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=8&mx-pid=181881 MR0181881]
|Kommentar=}}
* {{Literatur
|Autor=[[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]]
|Titel=Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I: Fixpunktsätze
|Verlag=[[B. G. Teubner Verlagsgesellschaft]]
|Ort=Leipzig
|Datum=1976
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zeidler&s5=Vorlesungen&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=473927 MR0473927]}}
* {{Literatur
|Autor=Eberhard Zeidler
|Titel=Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed-Point Theorems
|TitelErg=Translated by Peter R. Wadsack
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
|Ort=New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo
|Datum=1986
|ISBN=0-387-90914-1
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zeidler&s5=Nonlinear&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=816732 MR0816732]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Krasnoselski, Fixpunktsatz von]]
KKKategorie:Funktionalanalysis]]

= Bestapproximationssatz von Fan =

'''Bestapproximationssatz von Fan''' ({{enS|''Fan's best approximation theorem''}}):


== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Hemant Kumar Pathak]]
|Titel=An Introduction to Nonlinear Analysis and Fixed Point Theory
|Verlag=Springer Nature Singapore Pte Ltd.
|Ort=Singapur
|Datum=2018
|ISBN=978-981-10-8865-0
|Seiten=514}}

== Einzelnachweise ==

rreferences />


KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Fan, Bestapproximationssatz von]]



= Satz von Birkhoff–Kellogg =
Der '''Satz von Birkhoff–Kellogg''' ({{enS|''Birkhoff–Kellogg Theorem''}}) ist ein [[Lehrsatz]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Nichtlinearer Operator|Nichtlinearen]] [[Funktionalanalysis]], der auf eine im Jahre 1922 von den beiden [[Mathematiker]]n [[George David Birkhoff]] und [[Oliver Dimon Kellogg]] vorgelegte [[wissenschaftliche Arbeit]] zurückgeht. Er behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen für gewisse [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] auf [[unendlich]]-[[Dimension (Mathematik)|dimensionalen]] [[Banachraum|Banachräumen]] das '''[[Eigenwertproblem]]''' lösbar ist. Der Satz erweist sich dabei als Analogon des klassischen [[Satz vom Igel#Verallgemeinerung|Satzes von Poincaré-Brouwer]] in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]].<ref name="EZ-I-001">Eberhard Zeidler: ''Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I'' 1976, S. 12, S. 152–153</ref><ref name="EZ-II-001">Eberhard Zeidler: ''Nonlinear Functional Analysis and its Applications I'' 1986, S. 557 ff</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:<ref name="EZ-I-002">Zeidler (1976), S. 153</ref><ref name="EZ-II-002">Zeidler (1986), S. 559</ref>
: ''Gegeben seien ein [[unendlich]]-[[Dimension (Mathematik)|dimensionaler]] [[Banachraum]] <math>X</math> und darin eine [[Beschränkte Menge|beschränkte]] [[offene Teilmenge]] <math>G \subset X</math>, welche den [[Nullpunkt]] <math>0 \in X</math> [[Inklusionsrelation|enthalte]].''
: ''Auf der [[Abgeschlossene Hülle|abgeschlossenen Hülle]] <math>\overline {G}</math> von <math>G</math> sei ein [[Kompakter Operator|kompakter]] ([[Lineare Abbildung|linearer]] oder nichtlinearer) Operator <math>\Kappa \colon \overline {G} \to X</math> gegeben, der die Bedingung''
:: <math>\inf_{x \in \partial {G}}{\| \Kappa(x) \|} > 0</math>.<ref><math>\partial {G}</math> ist die Menge der [[Randpunkt]]e von <math>G</math>.</ref>
: ''erfülle.''
: ''Dann gilt:''
: ''Das Eigenwertproblem ist für <math>\Kappa</math> lösbar. Dabei gibt es einen [[Randpunkt]] <math>x_0 \in \partial {G}</math> und dazu eine [[reelle Zahl]] <math>\lambda \in \R \setminus \{ 0 \}</math>, welche die Gleichung <math> \Kappa(x_0) = \lambda x_0</math> erfüllen.''

== Hintergrund ==
Der Beweis des Birkhoff–Kellogg'schen Satzes beruht wesentlich auf einem allgemeinen '''Eigenwertprinzip''', zu dessen Herleitung der [[Leray-Schauder-Abbildungsgrad|Leray-Schauder'sche Abbildungsgrad]] genutzt wird, sowie dem folgenden '''Approximationssatz für kompakte Operatoren''' ({{enS|''Approximation Theorem for Compact Operators''}}):<ref name="EZ-I-003">Zeidler (1976), S. 25, S. 152–153</ref><ref name="EZ-II-003">Zeidler (1986), S. 55, S. 558–559</ref>
: ''Gegeben seien zwei Banachräume <math>X, Y</math> (über <math>\mathbb K</math> mit <math>\mathbb K \in \{\R,\Complex \}</math> ) sowie eine beschränkte [[nichtleer]]e Teilmenge <math>M \subset X</math> und hierauf ein beliebiger Operator <math>\Psi \colon M \to Y</math>.''
: ''Dann gilt:''
: ''<math>\Psi</math> ist ein kompakter Operator genau dann, wenn es eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>{\Psi}_n \colon M \to Y \, (n = 1,2,3,\ldots)</math> von Operatoren gibt derart, dass für <math>n = 1,2,3,\ldots</math> stets folgende drei Bedingungen erfüllt sind:''
:: '''(i)''' ''<math>{\Psi}_n</math> ist kompakt.''
:: '''(ii)''' <math>\sup_{x \in M}{\| \Psi(x) - {\Psi}_n(x)\|_Y} \leq \frac{1}{n}</math>.
:: '''(iii)''' ''Der von der [[Bildmenge]] <math>{\Psi}_n(M)</math> ( über <math>\mathbb K</math> ) [[Lineare Hülle|aufgespannte]] [[Untervektorraum|lineare Unterraum]] <math>\operatorname{span}\left( {\Psi}_n(M) \right)</math> hat [[endlich]]e [[Dimension (Mathematik)#Hamel-Dimension (Dimension eines Vektorraumes)|Dimension]].''

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=G. D. Birkhoff, O. D. Kellogg
|Titel=Invariant points in function space.
|Sammelwerk=[[Transactions of the American Mathematical Society]]
|Band=23
|Datum=1922
|Seiten=96–115
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=ICN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Birkhoff&s5=Kellogg&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=1501192 MR1501192]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]]
|Titel=Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I: Fixpunktsätze
|Verlag=[[B. G. Teubner Verlagsgesellschaft]]
|Ort=Leipzig
|Datum=1976
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zeidler&s5=Vorlesungen&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=473927 MR0473927]}}
* {{Literatur
|Autor=Eberhard Zeidler
|Titel=Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed-Point Theorems
|TitelErg=Translated by Peter R. Wadsack
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
|Ort=New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo
|Datum=1986
|ISBN=0-387-90914-1
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zeidler&s5=Nonlinear&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=816732 MR0816732]}}

== Einzelnachweise ==

rreferences />


KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Birkhoff–Kellogg]]




= Satz von Wille =
Der '''Satz von Wille''' ist ein [[Lehrsatz]], den der [[Deutschland|deutsche]] [[Mathematiker]] [[Friedrich Wille]] zum [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Analysis]] beigetragen hat. Der Satz geht auf eine Arbeit Willes aus dem Jahr 1972 zurück und behandelt ein [[Überdeckung (Mathematik)|Überdeckungsproblem]] für [[Beschränktheit#Analysis|beschränkte]] [[Teilmenge]]n im [[Dimension (Mathematik)|höherdimensionalen]] [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]. Er ist eng verbunden mit mehreren bedeutenden Sätzen der Mathematik wie etwa mit dem [[Pflastersatz von Lebesgue]] oder dem [[Borsukscher Antipodensatz|Borsuk'schen Antipodensatz]]. Mit seiner Hilfe lassen sich Lösbarkeitskriterien für [[Gleichung#Nichtlineare Gleichungssysteme|Nichtlineare Gleichungssysteme]] mit gewissen [[Konvexe und konkave Funktionen|Konvexitätseigenschaften]] ableiten.<ref name="JTM-001">Jürg T. Marti: ''Konvexe Analysis.'' 1977, S. 214 ff, S. 273</ref><ref name="FW-a">Friedrich Wille: ''Überdeckungen mit konvexen Mengen und nichtlineare Gleichungssysteme.'' Comment. Math. Helv. 47, S. 273–288</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Monographie von [[Jürg T. Marti]] folgend, lässt sich der Satz wie folgt angeben:<ref name="JTM-002">Marti, op. cit., S. 217</ref>
: ''Gegeben seien im <math>\R^n \; (n \in \N, n \geq 2)</math> [[endlich viele]] [[nichtleer]]e [[Teilmenge]]n <math>T, T_1, \ldots , T_m \subset \R^n \; (m \in \N)</math> . Die Teilmenge <math>T</math> sei beschränkt und die anderen Teilmengen <math>T_j</math> seien [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] und [[Konvexe Menge|konvex]].''
: ''Die Teilmengen <math>T_j</math> sollen die <math>T</math>-[[Rand (Topologie)|Randpunktmenge]] <math>\partial {T} = \overline{T} \setminus T^\circ</math> ganz überdecken, zugleich sollen aber noch [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] in der [[Differenzmenge]] <math>D = T \setminus \left( \bigcup_{j=1, \ldots , m} {T_j} \right)</math> [[Element (Mathematik)|liegen]].''
: ''Dann gilt:''
: '' '''(i)''' <math>m \geq n+1</math>.''
: '' '''(ii)''' In der [[Schnittmenge]] der <math>m</math> Teilmengen <math>T_j</math> liegt kein einziger Punkt: <math>\bigcap_{j=1, \ldots , m} {T_j} = \emptyset</math>.''
: '' '''(iii)''' Es gibt unter den <math>m</math> Teilmengen <math>T_j</math> eine <math>n</math>-[[Folge (Mathematik)|gliedrige]] [[Mengenfolge]] <math>T_{j_1}, \ldots , T_{j_n}</math>, deren Schnittmenge <math>\bigcap_{k=1, \ldots , n} {T_{j_k}}</math> nichtleer ist und die dabei einen Punkt <math>p</math> enthält, der zugleich ein [[Häufungspunkt#Häufungspunkte und Berührpunkte einer Menge|Berührpunkt]] der Differenzmenge <math>D</math> ist.''

== Korollar ==
Der Satz von Wille zieht – wegen '''(i)''' !– ein [[Korollar]] nach sich, das sich folgendermaßen angeben lässt:<ref name="JTM-003">Marti, op. cit., S. 218</ref>
: ''Wenn im <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum <math>n</math> abgeschlossene und konvexe Teilmengen die Randpunktmenge <math>\partial {T}</math> einer gegebenen beschränkten Teilmenge <math>T</math> überdecken, so überdecken diese <math>n</math> Teilmengen schon die gesamte Teilmenge <math>T</math>.''

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Jürg T. Marti
|Titel=Konvexe Analysis
|Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe
|BandReihe=54
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
|Ort=Basel, Stuttgart
|Datum=1977
|ISBN=3-7643-0839-7
|Seiten=
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Marti%2C%20J%C3%BCrg%20T.&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=511737 MR0511737]}}
* {{Literatur
|Autor=Friedrich Wille
|Titel=Überdeckungen mit konvexen Mengen und nichtlineare Gleichungssysteme
|Sammelwerk=Commentarii Mathematici Helvetici
|Band=47
|Datum=1972
|Seiten=273–288
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Wille&s5=%C3%9Cberdeckungen&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=317183 MR0317183]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Wille]]

= Satz von Mazur (Konvexität und Kompaktheit) =
Der '''Satz von Mazur''' zu [[Konvexe Menge|Konvexität]] und [[Kompakter Raum|Kompaktheit]] ist einer von mehreren [[Lehrsatz|Lehrsätzen]], die der [[Polen (Volk)|polnische]] [[Mathematiker]] [[Stanisław Mazur]] zum [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]] beigetragen hat. Der Satz geht auf eine Arbeit Mazurs aus dem Jahr 1930 zurück und behandelt eine grundlegende Kompaktheitsfrage im Zusammenhang mit [[Konvexe Teilmenge|konvexen Teilmengen]] von [[Banachraum|Banachräumen]].<ref name="LC-01">Lothar Collatz: ''Funktionalanalysis und numerische Mathematik.'' 1968, S. 352 ff, S. 359</ref><ref name="AP-01">Albrecht Pietsch: ''History of Banach Spaces and Linear Operators.'' 2007, S. 74</ref> Aus diesem Mazur'schen Satz lässt sich der [[Fixpunktsatz von Schauder]] – in der Version für Banachräume – als Folgerung gewinnen.<ref name="LC-02">Collatz, op. cit. , S. 355</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz besagt folgendes:<ref name="LC-03">Collatz, op. cit. , S. 352</ref><ref name="AP-01" />
: ''Gegeben seien ein Banachraum <math>X</math> und weiter eine darin gelegene [[Teilmenge]] <math>T \subseteq X</math> sowie deren [[Abgeschlossene Teilmenge|abgeschlossene]] [[konvexe Hülle]] <math>K = \overline{\operatorname{conv} {T}}\supseteq T</math>.''
: ''Dann gilt:''
: ''Ist <math>T</math> eine [[kompakte Teilmenge]] von <math>X</math>, so ist auch <math>K</math> eine solche.''

== Verallgemeinerung ==
In dem Lehrbuch von [[Jürg T. Marti]] und ebenso in dem von [[Alexander Provan Robertson|A. P. Robertson]] und [[Wendy J. Robertson|W. J. Robertson]] wird der Mazur'sche Satz noch allgemeiner formuliert.<ref name="JTM-01">Jürg T. Marti: ''Konvexe Analysis.'' 1977, S. 23</ref><ref name="APR-WJR-01">A. P. Robertson, W. J. Robertson: ''Topologische Vektorräume.'' 1967, S. 61</ref><ref>Allerdings wird bei Robertson/Robertson der Name von Stanisław Mazur nicht weiter erwähnt, während Marti ausdrücklich auf Mazur verweist.</ref> Zusammengefasst lässt sich dies wie folgt darstellen:
: ''Gegeben seien ein [[hausdorffsch]]er [[Lokalkonvexer topologischer Vektorraum|lokalkonvexer topologischer]] <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>X</math> sowie eine Teilmenge <math>T \subseteq X</math>.''
: ''Dann gilt:''
: ''Ist <math>T</math> eine [[Totalbeschränktheit#Verallgemeinerung auf uniforme Räume|präkompakte Teilmenge]] von <math>X</math>, so sind auch deren konvexe Hülle <math>\operatorname{conv} {T}</math>, deren [[absolutkonvexe Hülle]] <math>\Gamma {T}</math> und deren abgeschlossene absolutkonvexe Hülle <math>\overline{\Gamma {T}}</math> präkompakte Teilmengen.''

== Weitere Verschärfung im euklidischen Raum ==
Im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] gilt sogar:<ref name="EH-01">Egbert Harzheim: ''Einführung in die Kombinatorische Topologie.'' 1978, S. 25</ref><ref name="KL-01">Kurt Leichtweiß: ''Konvexe Mengen.'' 1980, S. 24</ref><ref name="JTM-02">Marti, op. cit. , S. 202</ref>
: ''Für jede beliebige kompakte Teilmenge <math>T \subset \R^n \; (n \in \N)</math> ist die konvexe Hülle <math>\operatorname{conv} {T}</math> (schon selbst) kompakt.''

== Anmerkungen und Erläuterungen ==
* Die ''Präkompaktheit'' einer Teilmenge <math>T \subset X</math> ist hier in Bezug auf die durch die [[Nullumgebungsbasis]] von <math>X</math> induzierte [[Uniformer Raum#Beispiele|uniforme Struktur]] zu verstehen. Eine solche Teilmenge ist demnach genau dann präkompakt, wenn zu jeder Nullumgebung <math>W \subseteq X</math> [[endlich viele]] [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] <math>x_1, x_2, \ldots , x_m \in X \; (m \in \N)</math> existieren, so dass die [[Überdeckung (Mathematik)|Überdeckung]] <math>\bigcup_{j=1}^m {\left( x_j + W \right)} \supseteq T</math> gegeben ist.<ref name="APR-WJR-02">Robertson/Robertson, op. cit. , S. 58</ref>
* In jedem [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] – also auch in jedem Banachraum – ist eine Teilmenge präkompakt genau dann, wenn ihre [[abgeschlossene Hülle]] präkompakt ist. Hier ist eine Teilmenge damit [[relativ kompakt]], wenn sie präkompakt und ihre abgeschlossene Hülle [[Vollständiger Raum#Einige Sätze|vollständig]] ist.<ref name="FH-WS-01">Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: ''Einführung in die Funktionalanalysis.'' 1971, S. 18</ref> In einem Banachraum ist demnach eine Teilmenge präkompakt dann und nur dann, wenn sie relativ kompakt ist.
* Ist <math>T \subset \R^n</math> beschränkt, so gilt <math>\operatorname{conv} {\overline {T} } = \overline {\operatorname{conv}{T} }</math>.<ref name="JTM-02" />

== Verwandtes Resultat: Ein Satz von Krein (Noch unfertig!) ==
Die im Vorigen angeschnittene Frage, unter welchen Bedingungen sich Kompaktheitseigenschaften von einer gegebenen Teilmenge auf deren abgeschlossene konvexe Hülle übertragen, lässt sich ebenfalls in der Theorie der lokalkonvexen topologischen Vektorräume in Bezug auf die [[Schwache Topologie]] stellen. In diesem Zusammenhang wurde von dem [[Sowjetunion|sowjetischen]] Mathematiker [[Mark Grigorjewitsch Krein]] im Jahre 1937 der folgenden Satz vorgetragen:

: ''Gegeben seien ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum <math>X</math> sowie eine schwach-kompakte Teilmenge <math>T \subseteq X</math>.''<ref>Man nennt eine Teilmenge von <math>X</math> schwach-kompakt genau dann, wenn sie eine [[kompakte Teilmenge]] in der schwachen Topologie von <math>X</math> ist.</ref>''
: ''Dann gilt:''
: ''Die abgeschlossene konvexe Hülle <math>\overline{\operatorname{conv} {T}}</math> ist ihrerseits schwach-kompakt dann und nur dann , wenn sie in Bezug auf die [[Mackey-Topologie]] <math>\tau(X,X')</math> von <math>X</math> dort ein [[Vollständiger Raum#Uniforme Räume|vollständiger]] [[Unterraum]] ist.''

Daraus ergibt sich das folgendes Korollar:
: ''Liegt in der oben angegebenen Situation sogar eine eine kompakte Teilmenge <math>T \subseteq X</math> vor, so ist die abgeschlossene absolutkonvexe Hülle <math>\overline{\Gamma {T}}</math> kompakt genau dann, wenn sie in Bezug auf <math>\tau(X,X')</math> einen vollständigen Unterraum von <math>X</math> darstellt.''

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Lothar Collatz]]
|Titel=Funktionalanalysis und numerische Mathematik
|TitelErg=Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
|Band=120
|Auflage=2.
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
|Datum=1968
|ISBN=3-540-04135-4
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Collatz&s5=Funktionalanalysis%20&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=165651 MR0165651]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Egbert Harzheim]]
|Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie
|Reihe=Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften
|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft
|Ort=Darmstadt
|Datum=1978
|ISBN=3-534-07016-X
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim&s5=Topologie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=533264 MR0533264]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Friedrich Hirzebruch]], [[Winfried Scharlau]]
|Titel=Einführung in die Funktionalanalysis
|Reihe=B. I.-Hochschultaschenbücher
|BandReihe=296
|Verlag=[[Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus|Bibliographisches Institut]]
|Ort=Mannheim / Wien / Zürich
|Datum=1971
|ISBN=3-411-00296-4
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hirzebruch&s5=Scharlau&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1183466 MR1183466]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Kurt Leichtweiß]]
|Titel=Konvexe Mengen
|TitelErg=
|Reihe=Hochschultext
|Auflage=
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
|Datum=1980
|ISBN=3-540-09071-1
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Leichtwei%C3%9F&s5=Konvexe&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=586235 MR0586235]}}
* {{Literatur
|Autor=Jürg T. Marti
|Titel=Konvexe Analysis
|Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe
|BandReihe=54
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
|Ort=Basel, Stuttgart
|Datum=1977
|ISBN=3-7643-0839-7
|Seiten=
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Marti%2C%20J%C3%BCrg%20T.&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=511737 MR0511737]}}
* {{Literatur
|Autor=S. Mazur
|Titel=Über die kleinste konvexe Menge, die eine gegebene kompakte Menge enthält
|Sammelwerk=[[Studia Mathematica]]
|Band=2
|Datum=1930
|Seiten=7–9}}
* {{Literatur
|Autor=[[Albrecht Pietsch]]
|Titel=History of Banach Spaces and Linear Operators
|Verlag=Birkhäuse
|Ort=Boston, Basel, Berlin
|Datum=2007
|ISBN=0-8176-4367-2
|Seiten=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Pietsch&s5=History&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2300779 MR2300779]}}
* {{Literatur
|Autor=A. P. Robertson, W. J. Robertson
|Titel=Topologische Vektorräume
|TitelErg=Übersetzung aus dem Englischen durch Horst S. Holdgrün
|Reihe=B. I.-Hochschultaschenbücher
|BandReihe=164/164a
|Auflage=
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim
|Datum=1967
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Robertson&s5=Topologische&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0209926]}}

== Siehe auch ==
* [[Satz von Mazur]]

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Mazur (Konvexität und Kompaktheit)]]

= Maximumprinzip von Bauer =
Das '''Maximumprinzip von Bauer''', auch genannt als das '''H. Bauersche Maximum-Prinzip''' ({{enS|H. Bauer's maximum principle}}), ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der im Übergangsfeld zwischen den [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebieten]] der [[Analysis]], der [[Lineare Optimierung|Linearen Optimierung]] und der [[Variationsrechnung]] angesiedelt ist. Es entstammt einer [[Wissenschaftliche Publikation|wissenschaftlichen Arbeit]] des [[Deutsche Staatsangehörigkeit|deutschen]] [[Mathematiker]]s [[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]] (1928–2002) aus dem Jahre 1960 und ist verwandt sowohl mit dem [[weierstraß]]schen [[Satz vom Minimum und Maximum]] als auch mit dem [[Fundamentalsatz der Variationsrechnung]]. Wie diese behandelt das Maximumprinzip die grundlegende Frage der Existenz von [[Extremwert|Extremstellen]] gewisser [[reellwertige Funktion|reellwertiger]] [[Funktional]]e und formuliert Bedingungen, unter denen diese ihr [[Größtes und kleinstes Element|Maximum]] annehmen.<ref name="PB-EB-a01">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch.'' 1982 , S. 30 ff.</ref><ref name="PB-EB-b01">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Variational Methods in Mathematical Physics.'' 1992, S. 30 ff.</ref><ref name="GC-001">Gustave Choquet: ''Lectures on Analysis / Volume II.'' 1969, S. 102 ff.</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Das Maximumprinzip von Bauer lässt sich angeben wie folgt:<ref name="PB-EB-a01" /><ref name="PB-EB-b01" /><ref name="GC-001" />
: ''Gegeben seien ein [[hausdorffsch]]er [[Lokalkonvexer topologischer Vektorraum|lokalkonvexer topologischer]] <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>X</math> und darin eine [[nichtleer]]e [[Konvexe Teilmenge|konvexe]] [[kompakte Teilmenge]] <math>K \subset X</math>.''
: ''Dann gilt:''
: ''Jedes [[Konvexe Funktion|konvexe]] [[Halbstetigkeit#Definition|oberhalbstetige]] Funktional <math>\phi \colon K \to \R</math> (und insbesondere jedes [[Lineare Abbildung|lineare]] [[Stetigkeit|stetige]] Funktional <math>\phi \colon X \to \R</math>) nimmt auf <math>K</math> sein Maximum in einem der [[Extremalpunkt]]e von <math>K</math> an.''
: ''Das bedeutet: Für jedes solche <math>\phi</math> existiert ein (nicht notwendig eindeutig bestimmter) Extremalpunkt <math>e_0 \in K</math> mit''
:: <math> \phi(e_0) = \sup_{x \in K}{\phi(x)} = \max_{x \in K}{\phi(x)}</math>.

== Bedeutung für die Lineare Optimierung ==
Dazu bemerken [[Philippe Blanchard]] und [[Erwin Brüning]] in ihrem [[Springer Science%2BBusiness Media|Springer]]-Lehrbuch ''Direkte Methoden der Variationsrechnung'' (1982):
: ''Die Aussage des Satzes ist für die Bestimmung des Maximums sehr wichtig, weil dadurch die Menge der potentiellen Extremalpunkte der Funktion ganz stark eingeschränkt wird. Speziell im Falle von konvexen Polyedern, wie er in konkreten Anwendungen oft vorliegt, braucht man also die Extrema der Funktion nur noch in der endlichen Menge der Extremalpunkte des Polyeders zu suchen.''<ref name="PB-EB-a02">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch.'' 1982 , S. 30–31.</ref>

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor=Heinz Bauer
|Titel=Minimalstellen von Funktionen und Extremalpunkte. II
|Sammelwerk=[[Archiv der Mathematik]]
|Band=11
|Datum=1960
|Seiten=200–205
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1961&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Bauer%2C%20Heinz&s5=Arch.%20Math.&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=lt&r=1&mx-pid=130390 MR0130390]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Philippe Blanchard]], [[Erwin Brüning]]
|Titel=Direkte Methoden der Variationsrechnung
|TitelErg=Ein Lehrbuch
|Auflage=
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
|Ort=Wien, New York
|Datum=1982
|ISBN=3-211-81692-5
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Blanchard&s5=Br%C3%BCning&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=687073 MR0687073]}}
*{{Literatur
|Autor=Philippe Blanchard, Erwin Brüning
|Titel=Variational Methods in Mathematical Physics
|TitelErg=A unified approach. Translated from the German by Gillian M. Hayes.
|Reihe=Texts and Monographs in Physics
|BandReihe=
|Auflage=
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin
|Datum=1992
|ISBN=
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Blanchard&s5=Variational&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=1230382 MR1230382]}}
*{{Literatur
|Autor=[[Gustave Choquet]]
|Titel=Lectures on Analysis / Volume II : Representation Theory
|TitelErg=Edited by J. Marsden, T. Lance and S. Gelbart
|Reihe=Mathematics Lecture Note Series
|BandReihe=
|Auflage=
|Verlag=W. A. Benjamin, Inc.
|Ort=New York, Amsterdam
|Datum=1969
|ISBN=
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Choquet&s5=Analysis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=12&mx-pid=250012 MR0250012]}}
*{{Literatur
|Autor=D. A. Edwards
|Titel=On the representation of certain functionals by measures on the Choquet boundary
|Sammelwerk=[[Universität Grenoble|Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier]]
|Band=13
|Datum=1963
|Seiten=111–121
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=RT&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Bauer%27s%20maximum%20principle&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=16&mx-pid=147900 MR0147900]}}

== Einzelnachweise ==

rreferences />

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Bauer, Maximumprinzip von]]
KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Variationsrechnung]]



= Fortsetzungssatz von Krein =
Der '''Fortsetzungssatz von Krein''' ({{enS|''Krein's extension theorem''}}) ist ein [[Lehrsatz]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Analysis]], welcher auf eine von dem [[Sowjetunion|sowjetischen]] [[Mathematiker]] [[Mark Grigorjewitsch Krein]] (1907–1989) im Jahre 1937 vorgelegten [[Wissenschaftliche Arbeit|Arbeit]] zurückgeht. Der Krein'sche Fortsetzungssatz gibt eine Antwort auf die Frage, unter welchen Bedingungen [[Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzungen]] [[Positiver Operator#Positive Operatoren zwischen Ordnungsstrukturen|positiver]] [[Lineares Funktional|linearer Funktionale]] auf [[Reeller Vektorraum|reellen Vektorräumen]] möglich sind, und ist insofern verwandt mit (und dabei sogar herleitbar aus) dem [[Satz von Hahn-Banach]]. Wie dieser und andere Fortsetzungssätze der Mathematik stützt sich sein Beweis auf das [[Lemma von Zorn]] und benötigt damit die Annahme der Gültigkeit des [[Auswahlaxiom]]s.<ref name="EH-KRS-a">Edwin Hewitt, Karl R. Stromberg: ''Real and Abstract Analysis.'' 1975, S. 219–220</ref><ref name="MAN-a">Mark Neumark: ''Normierte Algebren.'' 1990, S. 84–85</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Fortsetzungssatz von Krein kommt in zwei – miteinander jedoch eng verwandten – Formulierungen vor.

=== Formulierung nach Neumark ===
Die eine Formulierung des Fortsetzungssatzes hat der sowjetische Mathematiker [[Mark Neumark]] in seiner Monographie ''Normierte Algebren'' vorgelegt:<ref name="MAN-b">Neumark, op. cit., S. 84</ref>
: Gegeben seien ein [[Lokalkonvexer topologischer Vektorraum|lokalkonvexer topologischer]] <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>E</math> und darin ein [[nichtleer]]er [[konvexer Kegel]] <math>P \subseteq E</math> sowie ein [[linearer Unterraum]] <math>S \subseteq E</math>.
:
: Der Kegel <math>P</math> möge [[Innerer Punkt|innere Punkte]] enthalten und dabei soll <math>\left( S \cap P^{\circ} \right) \neq \emptyset</math> gelten, also mindestens ein [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>p \in P^{\circ}</math> zugleich Punkt des Unterraums <math>S</math> sein.
:
: Dann gilt:
:: ''Jedes auf dem Unterraum <math>S</math> definierte positive lineare Funktional lässt sich zu einem auf dem gesamten Raum <math>E</math> definierten positiven linearen Funktional fortsetzen.''
:: ''Das heißt: Ist <math>f \colon S \rightarrow \R </math> ein lineares Funktional, welches der Bedingung <math>f(p) \geq 0</math> für alle <math>p \in \left( S \cap P \right)</math> genügt, so existiert dazu stets ein Funktional <math>F \colon E \rightarrow \R</math> mit <math>F(p) \geq 0</math> für alle <math>p \in P</math> und <math>F(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in S</math>.''

=== Formulierung nach Hewitt/Stromberg ===
Eine etwas andere Formulierung des Fortsetzungssatzes von Krein findet man in der Monographie ''Real and Abstract Analysis'' der beiden der [[US-amerikanisch]]en Mathematiker [[Edwin Hewitt]] und [[Karl Robert Stromberg]]:<ref name="EH-KRS-a" />
: Gegeben seien ein <math>\R</math>-Vektorraum <math>E</math> und darin ein nichtleerer konvexer Kegel <math>P \subseteq E</math> sowie ein linearer Unterraum <math>S \subseteq E</math>.
:
: Hinsichtlich der Beziehungen zwischen dem Kegel <math>P</math> und den [[Gruppentheorie#Nebenklassen|Nebenklassen]] des Unterraums <math>S</math> soll gelten, dass ein Punkt <math>x \in E</math> der Bedingung <math>\left( \left[ x + S \right] \cap P \right) \neq \emptyset</math> dann und nur dann genügt, wenn für den Spiegelpunkt <math>-x</math> die entsprechende Bedingung <math>\left( \left[ -x + S \right] \cap P \right) \neq \emptyset</math> gegeben ist.
:
: Dann gilt:
:: ''Ein auf dem Unterraum <math>S</math> definiertes positives lineares Funktional lässt sich stets zu einem auf dem gesamten Raum <math>E</math> definierten positiven linearen Funktional fortsetzen.''

== Unmittelbare Folgerung ==
Aus dem Krein'schen Fortsetzungssatz zieht man als unmittelbare Folgerung den folgenden Satz:<ref name="MAN-c">Neumark, op. cit., S. 85</ref>
: ''Ist <math>P</math> ein konvexer Kegel in einem lokalkonvexen topologischen <math>\R</math>-Vektorraum <math>E</math> und ist <math>p_0 \in P^{\circ}</math> ein darin gelegener innerer Punkt, so gibt es stets ein positives lineares Funktional <math>\phi \colon E \rightarrow \R</math> mit <math>{\phi} (p_0) = 1</math>.''

== Anmerkung ==
Hewitt und Stromberg bezeichnen den Krein'sche Fortsetzungssatz explizit als ''Krein's extension theorem for nonnegative linear functionals''.<ref name="EH-KRS-b">Hewitt/Stromberg , op. cit., S. 220</ref> In diesem Zusammenhang ist zu bemerken, dass man in der analytischen Fachliteratur statt von ''nichtnegativen linearen Funktionalen'' (o.&nbsp;ä.) nicht selten auch von ''positiven linearen Funktionalen'' (o.&nbsp;ä.) spricht. Gemeint sind in jedem Falle [[Reellwertige Funktion|reellwertige]] lineare Funktionale auf dem gegebenen topologischen Vektorraum, welche die von dem konvexen Kegel induzierte [[Ordnungsstruktur]] [[Monotone Abbildung|monoton]] in die Ordnungsstruktur von <math>\R </math> übertragen.

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor=Edwin Hewitt, Karl R. Stromberg
|Titel=Real and Abstract Analysis: A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable
|Reihe=Graduate Texts in Mathematics
|BandReihe=25
|Auflage=3.
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|Ort=New York, Heidelberg, Berlin
|Datum=1975
|ISBN=0-387-90138-8
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hewitt&s5=Stromberg&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=367121 MR0367121]}}
* {{Literatur
|Autor=M. G. Krein
|Titel=Über positive additive Funktionale in linearen normierten Räumen ([[Ukrainische Sprache|ukrainisch]])
|Sammelwerk=Comm. Soc. Math. [[Charkow]]
|Band=14
|Datum=1937
|Seiten=227–237}}
* {{Literatur
|Autor=M. G. Krein, [[M. A. Rutman]]
|Titel=Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space
|Sammelwerk=Amer. Math. Soc. Translation
|Band=1950
|Datum=1950
|Seiten=
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Krein&s5=Rutman&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=38008 MR0038008]}}
*{{Literatur
|Autor=Mark Neumark
|Titel=Normierte Algebren
|Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]]
|Ort=Thun und Frankfurt / Main
|Datum=1990
|ISBN=3-8171-1001-4}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Krein, Fortsetzungssatz von]]
KKKategorie:Analysis]]

= Formel von Burnside =
Die '''Formel von Burnside''' ist eine [[Formel]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Analysis]], welche auf den [[England|englischen]] [[Mathematik|Mathematiker]] [[William Burnside]] zurückgeht. Sie ist eng verwandt mit der [[Formel von Stirling]] und gibt wie diese eine [[Approximation]] der [[Fakultät (Mathematik)|Fakultätenfunktion]].<ref name="CA-RBN-a">Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik.'' 2013, S. 269, 306–307</ref>

== Darstellung der Formel ==
Die Burnside’sche Formel lässt sich angeben wie folgt:<ref name="CA-RBN-b">Alsina/Nelsen, op. cit., S. 269</ref><ref name="FJM-a">Francis J. Murray: ''Formulas for Factorial N.'' Math. Comp. 39 (1982), S. 655–661</ref>
: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi} \; \left(\ n + \frac {1}{2} \right)^{\left(\ n + \frac {1}{2} \right)} {\mathrm e}^{- \left(\ n + \frac {1}{2} \right)} = \sqrt{2 \pi} \; \left( \frac {n + \frac {1}{2}}{\mathrm e} \right)^{\left(\ n + \frac {1}{2} \right)} </math>

== Güte der Annäherung ==
[[Claudi Alsina]] und [[Roger B. Nelsen]] verweisen in ihrer Monographie ''Bezaubernde Beweise'' (Springer, 2013) darauf, dass die Burnside’sche Formel „ungefähr doppelt so genau wie die Stirling’sche Formel“<ref name="CA-RBN-b" /> ist und dass man ihre Herleitung „durch Näherungen für das [[Integralrechnung|Integral]] <math>\int_1^{n + \frac {1}{2}} {\ln(x)} \; \mathrm dx</math> “<ref name="CA-RBN-c">Alsina/Nelsen, op. cit., S. 306</ref> gewinnt.

== Siehe auch ==
* [[Gammafunktion#Näherungsweise Berechnung|Näherungsweise Berechnung der Gammafunktion]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Claudi Alsina, Roger B. Nelsen
|Titel=Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik
|Reihe=
|BandReihe=
|Auflage=
|Verlag=[[Springer Spektrum]]
|Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
|Datum=2013
|ISBN=978-3-642-34792-4}}
* {{Literatur
|Autor=[[Francis J. Murray]]
|Titel=Formulas for Factorial N
|Sammelwerk=[[Mathematics of Computation]]
|Band=39
|Datum=1982
|Seiten=655–661
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=JOUR&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mathematics&s5=Murray%2C%20Francis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=669657 MR0669657]}}
* {{Literatur
|Autor=W. Burnside
|Titel=A rapidly convergent series for Log N!
|Sammelwerk=The [[Messenger of Mathematics]]
|Band=46
|Datum=1917
|Seiten=157–159}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Burnside, Formel von]]

= Überdeckungslemma von Wiener =
Das '''Überdeckungslemma von Wiener''' ({{enS|''Wiener covering lemma''}}) ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der im Übergangsfeld zwischen den [[Teilgebiete der Mathematik|Gebieten]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], der [[Maßtheorie]] und der [[Harmonische Analysis|Harmonischen Analyse]] angesiedelt ist. Dieses Lemma wird dem [[US-amerikanisch]]en [[Mathematiker]] [[Norbert Wiener]] zugeschrieben und behandelt eine Fragestellung zu [[Offene Überdeckung|offenen Überdeckungen]] von [[Kompakte Teilmenge|kompakten Teilmengen]] im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und in ''Räumen vom homogenen Typ''. Es ist verwandt mit einem ähnlichen Überdeckungslemma, welches auf den [[italien]]ischen Mathematiker [[Giuseppe Vitali]] zurückgeht. Beide Lemmata sind bedeutungsvoll für die Herleitung von Sätzen zur Frage der [[Punktweise Konvergenz|punktweisen Konvergenz]] von [[Fourier-Reihe]]n.<ref name="SGK-01">Steven G. Krantz: ''A Panorama of Harmonic Analysis.'' 1999, S. 71, 235 ff, 357</ref><ref name="DD-YH-01">Donggao Deng, Yongsheng Han: ''Harmonic Analysis on Spaces of Homogeneous Type.'' 1999, S. 13</ref><ref name="YK-01">Yitzhak Katznelson: ''An Introduction to Harmonic Analysis.'' 2004, S. 96 ff</ref><ref name="HH-01">Henry Helson: ''Harmonic Analysis.'' 1983, S. 130</ref>

== Formulierung ==
Das Lemma lässt sich angeben wie folgt:<ref name="SGK-02">Krantz, op. cit., S. 71, 246</ref><ref name="DD-YH-02">Deng/Han, op. cit., S. 13</ref>
:''Sei <math>X</math> der [[Dimension (Mathematik)|n-dimensionale]] euklidische Raum <math>\R^n \; (n \in \N)</math> oder – allgemeiner – ein '''Raum vom homogenen Typ''', für den <math>K</math> die in der Quasi-[[Dreiecksungleichung]] erscheinende Konstante sein soll.''
:''In <math>X</math> seien eine kompakte Teilmenge <math>Y \neq \emptyset </math> gegeben und zudem eine [[Mengenfamilie|Familie]] <math>\mathcal {B}=\left( B(x_j, r_j) \right)_{j \in J}</math> von [[Offene Menge|offenen]] <math>X</math>-Kugeln, welche <math>Y</math> überdecken.''
:
:''Dann gilt:''
:''Es gibt in <math>\mathcal {B}</math> eine aus [[endlich viele]]n [[paarweise disjunkt]]en <math>X</math>-Kugeln bestehende Teilfamilie <math>\left( B(x_t, r_t) \right)_{t \in T} \; , \; T \subset J \; , \; |T| < \infty , </math> derart, dass für <math>M =2 K^2 + K</math> die <math>M</math>-fach vergrößerten <math>X</math>-Kugeln <math>\left( B(x_t, M r_t) \right)_{t \in T}</math> eine Überdeckung von <math>Y</math> bilden.''
:''Im Falle <math>X = \R^n</math> kann dabei <math>K = 1</math> und damit <math>M = 3</math> gewählt werden.''

=== Erläuterungen und Anmerkungen ===
* Ein '''Raum vom homogenen Typ''' ({{enS|''space of homogeneous type''}}) ist eine mathematische Raumstruktur <math>X = (X,d,\mu)</math> über einer [[nichtleer]]en [[Grundmenge]] <math>X </math> derart, dass <math>(X,d)</math> ein [[Metrischer Raum#Nicht-archimedische Metriken|semimetrischer Raum]] und <math>(X,\mu)</math> ein [[Maßraum]] ist, wobei die folgenden Zusatzbedingungen gelten:
** Die Semimetrik <math>d \colon {X \times X} \to [0,\infty]</math>, welche die [[topologische Struktur]] von <math>(X,d)</math> erzeugt, hängt ab von einer Konstanten <math>K \geq 1</math>, so dass für <math>x,y,z \in X</math> stets die ''Quasi-Dreiecksungleichung'' ({{enS|''quasi-triangle inequality ''}}) <math>d(x,y) \leq K (d(x,z) + d(z,y))</math> erfüllt ist.<ref>Aufgrund dieser Ungleichung wird in der englischsprachigen Fachliteratur im hiesigen Kontext auch von einer ''quasi-metric'' gesprochen. Das Konzept der ''Quasimetrik'' wird allerdings in der deutschsprachigen Fachliteratur stellenweise – wie etwa in [[Horst Schubert]]s ''Topologie'' (4. Auflage, S. 114) – anders aufgefasst, nämlich so, dass zwar für zwei verschiedene Punkte sowohl der Abstand <math>0</math> als auch der Abstand <math>\infty</math> zugelassen sind, dass jedoch ansonsten die ''Quasimetrik'' alle üblichen Eigenschaften einer [[Metrischer Raum|Metrik]] besitzt und insbesondere die Dreiecksungleichung erfüllt.</ref>
** Der [[Maßraum#Definition|Maßraumstruktur]] von <math>(X,\mu)</math> liegt eine [[σ-Algebra]] <math>\mathcal{A}</math> über der Grundmenge <math>X</math> zugrunde, welche die [[borelsche σ-Algebra]] von <math>X</math> sowie alle <math>X</math>-Kugeln <math>B(x,r) = \{ p \in X \colon d(x,p) < r \}; ( x \in X \; , \; r > 0 )</math> enthält.<ref>Die <math>X</math>-Kugeln sind im Falle <math>K > 1</math> nicht notwendig [[offene Teilmenge]]n von <math>(X,d)</math>.</ref>
** <math>\mu \colon \mathcal{A} \to [0,\infty]</math> ist ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] auf <math>\mathcal{A}</math>,
*** welches einerseits für jede <math>X</math>-Kugel <math>B(x,r)</math> die Ungleichungen <math>0 < \mu \bigl( B(x,r) \bigr) < \infty </math> erfüllt,
*** welches andererseits eine Konstante <math>L > 0</math> aufweist, so dass jede <math>X</math>-Kugel <math>B(x,r)</math> die ''Verdopplungseigenschaft'' <math>\mu \bigl( B(x,2r) \bigr) < L \mu \bigl( B(x,r) \bigr)</math> hat,<ref>In der englischsprachigen Fachliteratur bezeichnet man die ''Verdopplungseigenschaft'' ({{enS|''doubling property''}}) auch als ''Verdopplungsbedingung'' ({{enS|''doubling condition''}}).</ref>
*** und welches schließlich für die [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] <math>x \in X</math> stets der Bedingung <math>\mu (\{ x \})=0</math> genügt.
* Im Falle <math>X = \R^n</math> wird in der Regel als <math>d</math> die übliche [[euklidische Metrik]] und als <math>\mu</math> das [[Lebesgue-Maß]] <math>\lambda^{n}</math> als gegeben vorausgesetzt.
* Die Grundkonzeption der Räume vom homogenen Typ beruht auf Ideen, welche [[Kennan T. Smith]] und [[Lars Hörmander]] entwickelt haben und die in der heutigen Form im Wesentlichen von [[Ronald Raphael Coifman]] und [[Guido Weiss]] ausgearbeitet wurden. Eine weiter verallgemeinerte Auffassung des Konzepts gab [[Steven G. Krantz]] in seiner Monographie ''Explorations in Harmonic Analysis''.<ref name="SGK-03">Steven G. Krantz: ''Explorations in Harmonic Analysis.'' 2009, S. 192 ff</ref>
* Die Räume vom homogenen Typ sind nicht zu verwechseln mit den [[Homogener Raum|homogenen Räumen]].

== Das Überdeckungslemma von Vitali ==
Das Überdeckungslemma von Vitali ({{enS|''Vitali covering lemma''}}) lässt sich folgendermaßen formulieren:<ref name="YK-02">Katznelson, op. cit., S. 97</ref><ref name="HH-01" />
:''Ist <math>\left( I_j \right)_{j \in J}</math> eine nichtleere Familie von [[Reelles Intervall|reellen Intervallen]], die allesamt dem Intervall <math>\mathbb{T} = [0,2 \pi)</math> [[Teilmenge|angehören]] und die dabei eine [[Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbare Menge]] <math>A \subseteq \mathbb{T}</math> überdecken, so lässt sich daraus eine [[Tupel|endliche]] oder [[unendliche Folge]] <math>\left( I_{j_m} \right)_{m=1,2,3,\ldots} </math> von paarweise disjunkten Intervallen auswählen, welche in Bezug auf das Lebesgue-Maß die [[Ungleichung]]''
::<math> \lambda^{1} \Bigl( \bigcup_{m=1,2,3,\ldots}{I_{j_m}} \Bigr) > \frac{1}{4} \lambda^{1} \Bigl( A \Bigr)</math>
:''erfüllt.''

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Ronald R. Coifman, Guido L. Weiss
|Titel=Analyse harmonique non-commutative sur certains espaces homogènes: étude de certaines intégrales singulières
|TitelErg=Étude de certaines intégrales singulières
|Reihe=Lecture Notes in Mathematics
|BandReihe=242
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin, New York
|Datum=1971
|ISBN=
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Coifman&s5=Weiss&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=17&mx-pid=499948 MR0499948]}}
* {{Literatur
|Autor=Ronald R. Coifman, Guido Weiss
|Titel=Extensions of Hardy spaces and their use in analysis
|Sammelwerk=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]
|Band=83
|Datum=1977
|Seiten=569–645
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Coifman&s5=Weiss&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=9&mx-pid=447954 MR0447954]}}
* {{Literatur
|Autor=Donggao Deng, Yongsheng Han
|Titel=Harmonic Analysis on Spaces of Homogeneous Type
|TitelErg=With a preface by Yves Meyer
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin, Heidelberg
|Datum=2009
|ISBN=978-3-540-88744-7
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Katznelson&s5=Analysis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2039503 MR2039503]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Henry Helson]]
|Titel=Harmonic Analysis
|Verlag=Addison-Wesley
|Ort=Reading, Mass (u.&nbsp;a.)
|Datum=1983
|ISBN=0-201-12752-0
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Helson&s5=Harmonic&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=729682 MR0729682]}}
* {{Literatur
|Autor=Lars Hörmander
|Titel=L<sup>p</sup> estimates for (pluri-) subharmonic functions
|Sammelwerk=[[Mathematica Scandinavica]]
|Band=20
|Datum=1967
|Seiten=65–78
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=H%C3%B6rmander&s5=Subharmonic&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=234002 MR0234002]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Roberto A. Macías]], [[Carlos Segovia]]
|Titel=Lipschitz functions on spaces of homogeneous type
|Sammelwerk=[[Advances in Mathematics]]
|Band=33
|Datum=1979
|Seiten=257–270
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Macias%20&s5=Segovia&s6=homogeneous&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=546295 MR0546295]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Yitzhak Katznelson]]
|Titel=An Introduction to Harmonic Analysis
|Reihe=Cambridge Mathematical Library
|BandReihe=
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
|Auflage=3.
|Ort=Cambridge
|Datum=2004
|ISBN=0-521-54359-2
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Krantz&s5=harmonic&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1710388 MR1710388]}}
* {{Literatur
|Autor=Steven G. Krantz
|Titel=A Panorama of Harmonic Analysis
|Reihe=Carus Mathematical Monographs
|BandReihe=27
|Verlag=[[Mathematical Association of America|The Mathematical Association of America]]
|Ort=Washington, DC
|Datum=1999
|ISBN=0-88385-031-1
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Krantz&s5=harmonic&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1710388 MR1710388]}}
* {{Literatur
|Autor=Steven G. Krantz
|Titel=Explorations in Harmonic Analysis
|Reihe=Applied and Numerical Harmonic Analysis
|BandReihe=27
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
|Ort=Boston, Basel, Berlin
|Datum=2009
|ISBN=978-0-8176-4668-4
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Krantz&s5=Harmonic&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2508404 MR2508404]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
|Titel=Topologie
|Auflage=4.
|Verlag=B. G. Teubner Verlag
|Ort=Stuttgart
|Datum=1975
|ISBN=3-519-12200-6
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Schubert%2C%20Horst&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=423277 MR0423277]}}
* {{Literatur
|Autor=K. T. Smith
|Titel=A generalization of an inequality of Hardy and Littlewood
|Sammelwerk=[[Canadian Journal of Mathematics]]
|Band=8
|Datum=1956
|Seiten=157–170
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Smith&s5=Littlewood&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=9&mx-pid=86889 MR0086889]}}
* {{Literatur
|Autor=Norbert Wiener
|Titel=The Fourier Integral and Certain of its Applications
|Verlag=[[Dover Publications|Dover Publications, Inc.]]
|Ort=New York
|Datum=1959
|ISBN=
|Kommentar=An unaltered republication of the 1933 edition [University Press, Cambridge]
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Wiener&s5=Fourier&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=100201 MR0100201]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

SSSORTIERUNG:Überdeckungslemma von Wiener}}

KKKategorie:Topologie]]
KKKategorie:Maßtheorie]]
KKKategorie:Harmonische Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Wiener, Überdeckungslemma von]]



= Satz von Young (Fourier-Koeffizienten) =
Der '''Satz von Young über [[Fourier-Koeffizient]]en''' ist ein klassischer [[Lehrsatz]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Harmonische Analyse|Harmonischen Analyse]]. Er geht auf den [[Vereinigtes Königreich|englischen]] [[Mathematiker]] [[William Henry Young]] zurück und behandelt die Frage, welche [[Nullfolge]]n als [[Folge (Mathematik)|Folgen]] von Fourier-Koeffizienten [[Lebesgue-integrierbar]]er [[Reelle Funktion|reeller Funktionen]] auftreten. Wie der Mathematiker [[Jürgen Elstrodt]] in seinem Lehrbuch ''Maß- und Integrationstheorie'' anmerkt, gilt diese Frage als ''ein schwieriges Problem in der Theorie der [[Fourier-Reihe]]n''. Der erwähnte Satz sei ''einer der schönsten Sätze von Young''.<ref name="JE-01">Jürgen Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2011, S. 138</ref><ref name="ZT-01">Živorad Tomovski: ''Convergence and integrability for some classes of trigonometric series.'', Dissertationes Mathematicae 420, S. 1 ff, S. 6</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren :<ref name="JE-01" />
: ''Ist <math>\left( a_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> eine konvexe Nullfolge [[Positive Zahl|positiver reeller Zahlen]],''
: ''so ist die daraus gebildete [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] <math>\sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos {nt} \bigr)</math> die Fourierreihe einer Lebesgue-integrierbaren [[gerade Funktion|geraden Funktion]],''
: ''d.h., es gibt eine Lebesgue-integrierbare gerade Funktion <math>f \colon[-\pi,\pi] \to \R</math> derart,''
: ''dass für <math>n=1,2,3,\ldots</math> stets die Gleichung <math>a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \bigl( f(t) \cos {nt} \bigr) \mathrm dt</math> erfüllt ist.''

=== Erläuterungen ===
* In der Folgenlehre benutzt man einen ''Delta-Operator'', welcher so wirkt, dass durch ihn einer Folge <math>\left( z_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> von [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] (bzw. einer Folge von [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] oder allgemeiner einer Folge in einer [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppe]]) die ''Folge der sukzessiven [[Subtraktion|Differenzen]]'' [[Funktion (Mathematik)|zugeordnet]] wird. Dabei geht <math>\left( z_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> in die neue Folge <math>\left( \Delta {z_n} \right)_{n=1,2,3,\ldots} = \left( z_n - z_{n+1}\right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> über.
* Die zweifache Anwendung des Delta-Operators auf die Folge <math>\left( z_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> ergibt die weitere Folge <math>\left( {\Delta}^2 {z_n} \right)_{n=1,2,3,\ldots} = \left( z_n - 2 z_{n+1} + z_{n+2} \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math>.
* Man nennt eine Folge reeller Zahlen eine ''konvexe Folge'', wenn für <math>n=1,2,3,\ldots</math> stets die [[Ungleichung]] <math>{\Delta}^2 {z_n} \geq 0</math> erfüllt ist.<ref name="AZ-01">Antoni Zygmund: ''Trigonometric Series. Vol. I.'' 1977, S. 93 ff</ref>
* Die genannte Konvexitätsbedingung bedeutet, dass für <math>n=1,2,3,\ldots</math> stets die Ungleichung <math>z_{n+1} \leq \frac {z_n + z_{n+2}}{2}</math> besteht.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]
|Titel=Maß- und Integrationstheorie
|Reihe=Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik
|Auflage=7., korrigierte und aktualisierte
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|Ort=Heidelberg (u. &nbsp; a.)
|Datum=2011
|ISBN=978-3-642-17904-4}}
* {{Literatur
|Autor=[[Živorad Tomovski]]
|Titel=Convergence and integrability for some classes of trigonometric series
|Sammelwerk=[[Dissertationes Mathematicae|Dissertationes Mathematicae (Rozprawy Matematyczne)]]
|Band=420
|Datum=2003
|Seiten=
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Tomovski&s5=Convergence&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2030824 MR2030824]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Antoni Zygmund]]
|Titel=Trigonometric Series. Volumes I and II
|TitelErg=Reprinting of the 1968 Version of the Second Edition
|BandReihe=
|Auflage=2.
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
|Ort=Cambridge, London, New York, Melbourne
|Datum=1977
|ISBN=0-521-07477-0
|Seiten=
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zygmund&s5=Trigonometric%20series&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=617944 MR0617944]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

SSSORTIERUNG:Satz von Young (Fourier-Koeffizienten)}}
KKKategorie:Harmonische Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Young (Fourier-Koeffizienten)]]



= Satz von Bishop =
Der '''Satz von Bishop''' ist ein [[Lehrsatz]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]], der auf eine Arbeit des [[Vereinigte Staaten|US-amerikanischen]] [[Mathematiker]]s [[Errett Bishop]] aus dem Jahr 1961 zurückgeht. Er ist eng mit dem [[Approximationssatz von Stone-Weierstraß]] verbunden, welchen er als unmittelbare Folge nach sich zieht und damit verallgemeinert. Der bishopsche Satz lässt sich mit Hilfe der Sätze von [[Satz von Krein-Milman|Krein-Milman]], [[Satz von Hahn-Banach|Hahn-Banach]] und [[Satz von Banach-Alaoglu|Banach-Alaoglu]] herleiten.<ref name="WR-01">Walter Rudin: ''Functional Analysis.'' 1991, S. 121 ff</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Er lässt sich angeben wie folgt:<ref name="WR-02">Rudin, op. cit., S. 121 </ref>
:''Gegeben seien ein [[Kompakter Raum|kompakter]] [[Hausdorff-Raum]] <math>X \neq \emptyset</math> und dazu die [[Funktionenraum|Funktionenalgebra]] <math>C = C(X, \mathbb{C})</math> der [[Stetige Funktion|stetigen]] [[Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]] <math>f \colon X \to \mathbb{C}</math>.''
:
:''Darin sei eine [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] [[Algebra über einem Körper#Unteralgebren und Ideale|Unteralgebra]] <math>A \subseteq C</math> gegeben und weiter ein <math>g \in C</math>.''
:
:''<math>A</math> enthalte die [[Konstante Funktion|konstanten Funktionen]] und darüber hinaus gelte folgende Bedingung:''
::'' Ist <math>E \subseteq X</math> irgend eine [[Maximales Element|maximale]] <math>A</math>-antisymmetrische [[Teilmenge]], so gibt es stets ein <math>f \in A</math> mit <math>g(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in E</math>.''
:
:
:''Dann ist <math>g \in A</math>.''

=== Erläuterungen und Anmerkungen ===
* Die Funktionenalgebra <math>C</math> ist wie üblich mit der [[Supremumsnorm]] versehen.
* Abgeschlossenheit innerhalb der Funktionenalgebra <math>C</math> ist im Sinne der aus der [[Supremumsnorm]] erwachsenden [[Topologischer Raum|Topologie]] der [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] zu verstehen.
* In der Funktionenalgebra <math>C</math> ist <math>A \subseteq C</math> genau dann eine Unteralgebra, wenn <math>A</math> ein [[linearer Unterraum]] von <math>C</math> ist und zudem die Eigenschaft hat, dass für je zwei <math>f_1 \in A</math> und <math>f_2 \in A</math> stets auch für die durch komplexe [[Multiplikation]] entstehende Funktion <math>f_1 f_2 \colon X \to \mathbb{C} \; , \; x \mapsto f_1(x) f_2(x) \; , \;</math> in <math>A</math> [[Elementrelation|enthalten]] ist.
* Eine [[Teilmenge]] <math>E \subseteq X</math> wird ''<math>A</math>-antisymmetrisch'' genannt, wenn jedes <math>f \in A</math> mit <math>f(E) \subseteq {\mathbb R}</math> stets eine konstante Funktion ist.
* Eine maximale <math>A</math>-antisymmetrische Teilmenge ist eine solche, welche von keiner anderen <math>A</math>-antisymmetrischen Teilmenge [[Obermenge|echt umfasst]] wird.
* Jede maximale <math>A</math>-antisymmetrische Teilmenge ist innerhalb des topologischen Raums <math>X</math> abgeschlossen.
* Das [[Mengensystem]] aller maximalen <math>A</math>-antisymmetrischen Teilmenge bildet eine [[Partition (Mengenlehre)|Zerlegung]] von <math>X</math>.
* Den Approximationssatz von Stone-Weierstraß gewinnt man aus dem Satz von Bishop, indem man berücksichtigt, dass wegen der beim Approximationssatz gemachten Voraussetzungen keine <math>A</math>-antisymmetrische Teilmenge zwei oder mehr [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] enthalten kann.

== Das Lemma von Machado ==
Zum Satz von Bishop und zum Approximationssatz von Stone-Weierstraß hat der [[Brasilien|brasilianische]] [[Mathematiker]] [[Silvio Machado]] ein Lemma geliefert, mit dem er diese Resultate auf neuem Wege hergeleitet und verallgemeinert hat. Es ergibt sich auf '''nichtkonstruktivem''' Wege, nämlich unter Anwendung des [[Lemma von Zorn|zornschen Lemmas]]. Das Lemma von Machado lässt sich angeben wie folgt:<ref name="MOS-1">Mícheál Ó Searcóid: ''Elements of Abstract Analysis.'' 2002, S. 241</ref>
:''Gegeben seien ein Hausdorffraum <math>X \neq \emptyset</math> und dazu die Funktionenalgebra <math>C_0= C_0(X, \mathbb{K})</math> der [[C0-Funktion|im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen]] <math>f \colon X \to \mathbb {K}</math>, wobei <math>{\mathbb K}</math> der [[Körper der reellen Zahlen]] oder der [[Körper der komplexen Zahlen]] sein möge.''
:
:''Weiterhin sei <math>A</math> eine abgeschlossene Unteralgebra von <math>C_0</math> und <math>f_0 \in C_0</math> .''
:
:''Dann gilt:''
: ''Es existiert eine [[nichtleer]]e abgeschlossene <math>A</math>-antisymmetrische Teilmenge <math>E \subseteq X </math> mit der Eigenschaft, dass hinsichtlich der zugehörigen [[Distanzfunktion]]en die Gleichung <math>{\operatorname {dist}}_E (f_0,A) = {\operatorname {dist}}_X (f_0,A) </math> erfüllt ist.''

=== Erläuterungen und Anmerkungen ===
* In der Funktionenalgebra <math>C_0</math> gelten hinsichtlich [[Normierter Raum|Norm]] und Topologie die gleichen Gegebenheiten wie oben.
* Man sagt von einer (stetigen) Funktion <math>f \colon X \to \mathbb{K}</math>, dass sie ''im Unendlichen verschwindet'', wenn zu jeder beliebigen [[Positive Zahl|positiven Zahl]] <math>\epsilon</math> eine [[kompakte Teilmenge]] <math>C \subseteq X</math> existiert, so dass für <math>x \in {X \setminus C} </math> stets <math>|f(x)| < \epsilon</math> erfüllt ist.
*Für eine Teilmenge <math>S \subseteq X </math> und eine Funktion <math>f \in C_0</math> ist hierbei <math>{\operatorname {dist}}_S (f,A) = \inf_{g \in A} \| f - g \|_S </math>, wobei <math> \| f \|_S = \sup_{x \in S} | f(x) |</math> bedeutet und <math> | \cdot |</math> die [[Betragsfunktion]] ist.

=== Eine verallgemeinerte Fassung des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß ===
Sie besagt:<ref name="MOS-02">Ó Searcóid, op. cit., S. 243 </ref>
:''Hat die im Lemma von Machado auftretende abgeschlossene Unteralgebra <math>A \subseteq C_0</math> die im Approximationssatz genannten [[Satz von Stone-Weierstraß#Satz|allgemeinen Eigenschaften]], so ist <math>A = C_0</math>.''
:''Das heißt:.''
:''Für jede abgeschlossene Unteralgebra <math>A \subseteq C_0</math>, welche die folgenden drei Eigenschaften hat, nämlich:''
::'' '''1.''' dass zu je zwei [[Paarweise verschieden|verschiedenen]] <math>x , y \in X</math> ein <math>f \in A</math> existiert mit <math>f(x)\neq f(y)</math>,''
::'' '''2.''' dass zu jedem <math>x \in X</math> ein <math>g \in A</math> existiert mit <math>g(x)\neq 0</math>,''
::'' '''3.''' dass – im Falle <math>\mathbb{K} = \mathbb{C}</math> – mit jedem <math>f \in A</math> auch die zugehörige [[konjugiert-komplex]]e Funktion <math>\overline{f} \colon X \to \mathbb {K}, x \mapsto \overline{f(x)},</math> in <math>A</math> [[Elementrelation|enthalten]] ist,''
:
:''gilt auch schon <math>A = C_0</math>.''

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Errett Bishop
|Titel=A generalization of the Stone-Weierstrass theorem
|Sammelwerk=[[Pacific Journal of Mathematics]]
|Band=11
|Datum=1961
|Seiten=777–783
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Bishop&s5=Pacific&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=7&mx-pid=133676 MR0133676]}}
* {{Literatur
|Autor=Silvio Machado
|Titel=On Bishop's generalization of the Weierstrass-Stone theorem
|Sammelwerk=[[Königlich Niederländische Akademie der Wissenschaften|Indagationes Mathematicae]]
|Band=39
|Datum=1977
|Seiten=218–224
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Machado%2C%20Silvio&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=448046 MR0448046]}}
* {{Literatur
|Autor= [[Friedrich Hirzebruch]], [[Winfried Scharlau (Mathematiker)|Winfried Scharlau]]
|Titel=Einführung in die Funktionalanalysis
|Reihe=Reihe "B. I.-Hochschultaschenbücher"
|BandReihe=296
|Verlag=[[Bibliographisches Institut]]
|Ort=Mannheim, Wien, Zürich
|Jahr=1971
|ISBN=3-411-00296-4
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Scharlau%2C%20Winfried&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=35&mx-pid=463864 MR0463864]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Thomas J. Ransford]]
|Titel=A short elementary proof of the Bishop-Stone-Weierstrass theorem
|Sammelwerk=[[Cambridge Philosophical Society|Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]]
|Band=96
|Datum=1984
|Seiten=309–311
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Machado&s5=Weierstrass-Stone%20theorem&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=757664 MR0757664]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Walter Rudin]]
|Titel=Functional Analysis
|Reihe=International Series in Pure and Applied Mathematics
|BandReihe=
|Auflage=2.
|Verlag=[[McGraw-Hill]]
|Ort=Boston (u.&nbsp;a.)
|Datum=1991
|ISBN=0-07-054236-8
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rudin&s5=Functional%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1157815 MR1157815]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Mícheál Ó Searcóid]]
|Titel=Elements of Abstract Analysis
|Reihe=Springer Undergraduate Mathematics Series
|BandReihe=15
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|Ort=London (u.&nbsp;a.)
|Datum=2002
|ISBN=1-85233-424-X
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=%C3%93%20Searc%C3%B3id%2C%20M%C3%ADche%C3%A1l&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1870768 MR1870768 ]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Stephen Willard]]
|Titel=General Topology
|TitelErg=
|Reihe=Addison-Wesley Series in Mathematics
|Auflage=
|Verlag=[[Addison-Wesley]]
|Ort=Reading, Massachusetts (u.&nbsp;a.)
|Datum=1970
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?pg1=MR&s1=0264581&loc=fromrevtext MR0264581]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Bishop, Satz von]]



= Satz von Wiener =
Der '''Satz von Wiener''' ({{enS|''Wiener's 1/''&fnof;'' theorem'' oder ''Wiener's theorem''}}) ist ein klassischer [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der im Übergangsfeld zwischen den [[Teilgebiete der Mathematik|Gebieten]] der [[Harmonische Analysis|Harmonischen Analyse]] und der [[Funktionalanalysis]] angesiedelt ist . Er geht auf eine Arbeit des [[US-amerikanisch]]en [[Mathematiker]]s [[Norbert Wiener]] aus dem Jahre 1932 zurück und behandelt die Frage der [[Reihenentwicklung]]sfähigkeit von [[Kehrwert]]en gewisser [[Fourier-Reihe]]n.<ref name="NW-01">Norbert Wiener: ''Tauberian theorems'', Ann. of Math., 33 (2), S. 1–100</ref><ref name="SKB-01">Sterling K. Berberian: ''Lectures in Functional Analysis and Operator Theory.'' 1974, S. 1 ff, S. 267 ff </ref><ref name="MAN-01">M. A. Neumark: ''Normierte Algebren.'' 1990, S. 221</ref><ref name="KY-01">Kōsaku Yosida: ''Functional Analysis.'' 1980, S. 301</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz von Wiener lautet wie folgt:<ref name="SKB-02">Berberian, op. cit., S. 1</ref><ref name="KY-01" />
: ''Der Kehrwert einer [[Nullstellenmenge|nichtverschwindenen]], [[Absolut konvergente Reihe|absolut konvergenten]] trigonometrischen Reihe ist stets selbst eine absolut konvergente trigonometrische Reihe.''
: ''Es gilt also mit anderen Worten:''
: ''Ist <math>\left( a_n \right)_{n \in \Z}</math> eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] von [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] mit''
:: <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} |a_n| < \infty </math>
: ''und besitzt die durch''
:: <math>f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{in t} \; ( t \in \R)</math>
: ''definierte [[komplexwertige Funktion]] <math> f \colon \R \to \Complex </math> keine [[Nullstelle]], so existiert eine Folge <math>\left( b_n \right)_{n \in \Z}</math> komplexer Zahlen, so dass ''
:: <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} |b_n| < \infty </math>
: '' gilt und zugleich die mittels Kehrwertbildung entstehende Funktion <math>g \colon \R \to \Complex \;,\; t \mapsto g(t) = \frac{1}{f(t)} \; ( t \in \R)</math> in der Form''
:: <math> g(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} b_n e^{in t} \; ( t \in \R)</math>
: ''darstellbar ist.''

== Zu Hintergrund und Beweis ==
Der US-amerikanische Mathematiker [[Sterling K. Berberian]] vollzieht in seinem Lehrbuch ''Lectures in Functional Analysis and Operator Theory'' den Beweis von [[Israel Moissejewitsch Gelfand|I. M. Gel'fand]] aus dem Jahre 1941 nach und hebt in diesem Zusammenhang hervor, dass dieser Beweis Gel'fands einen ''frühen Triumph der funktionalanalytischen Betrachtungsweise'' (''„early triumph of the functional-analytic point of view“'') darstelle.<ref name="SKB-03">Berberian, op. cit., S. 1–10</ref> Daneben gibt es zahlreiche weitere Beweise, darunter auch einen elementaren Beweis von [[:en:Donald J. Newman|Donald Joseph Newman]] (1930 – 2007).<ref name="DJN-01">D. J. Newman: ''A simple proof of Wiener's 1/f theorem'', Proc. Amer. Math. Soc. 48, S. 264–265</ref> Der Wienersche Satz ergibt sich ebenfalls als Korollar aus weiterreichenden Sätzen der Theorie der [[Kommutative Algebra|kommutativen]] [[Banachalgebra|Banachalgebren]].<ref name="MAN-01" /><ref name="SKB-04">Berberian, op. cit., S. 267–269</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Sterling K. Berberian]]
|Titel=Lectures in Functional Analysis and Operator Theory
|Reihe=Graduate Texts in Mathematics
|BandReihe=15
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|Ort=New York, Heidelberg, Berlin
|Datum=1974
|ISBN=0-387-90080-2
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Berberian%2C%20Sterling%20K.%20&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=8&mx-pid=417727 MR0417727]}}
* {{Literatur
|Autor=I. M. Gel'fand
|Titel=Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale
|Sammelwerk=[[Matematitscheskii sbornik]]<ref>{{RuS|Математический сборник}}</ref> (N.S.)
|Band=9 (51)
|Datum=1941
|Seiten=51–66
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Gelfand&s5=%C3%9Cber&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=4727 MR0004727]}}
* {{Literatur
|Autor= [[Mark Neumark|M. A. Neumark]]
|Titel=Normierte Algebren
|Auflage=
|Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]]
|Ort=Thun und Frankfurt / Main
|Jahr=1990
|ISBN=3-8171-1001-4
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Neumark&s5=Algebren&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1038909 MR1038909]}}
* {{Literatur
|Autor=D. J. Newman
|Titel=A simple proof of Wiener's 1/f theorem
|Sammelwerk=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]
|Band=48
|Datum=1975
|Seiten=264–265
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Newman&s5=A%20simple%20proof%20of%20Wiener%27s%20&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0365002]}}
* {{Literatur
|Autor=Norbert Wiener
|Titel=Tauberian Theorems
|Sammelwerk=[[Annals of Mathematics]]
|Band=33 (2)
|Datum=1932
|Seiten=1–100
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Wiener&s5=Tauberian&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=1503035 MR1503035]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Kōsaku Yosida]]
|Titel=Functional Analysis
|Reihe=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
|Band=123
|Auflage=6.
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
|Jahr=1980
|ISBN=3-540-10210-8}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Harmonische Analysis]]
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Wiener]]

= Nepersche Ungleichung =
Die '''Nepersche Ungleichung''' ({{enS|''Napier’s inequality''}}) ist eine [[Ungleichung]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Analysis]], die auf den [[Schottland|schottischen]] [[Mathematiker]] [[John Napier]] (1550–1617) zurückgeht. Sie liefert elementare [[Abschätzung|untere und obere Abschätzungen]] für den [[Reelle Funktion|reellen]] [[Natürlicher Logarithmus|natürlichen Logarithmus]].<ref name="CA-RBN-1">Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics.'' 2006, S. 16</ref>

== Darstellung der Ungleichung ==
Die Ungleichung lautet folgendermaßen:<ref name="CA-RBN-1" />
:''Gegeben seien zwei [[Reelle Zahl|reelle Zahlen]] <math>a</math> und <math>b</math> und es gelte <math>0 < a < b</math>.''
:''Dann bestehen die Ungleichungen''
: '''(N)''' <math>\frac {1}{b} < \frac {\ln b - \ln a}{b-a} < \frac {1}{a}</math>&nbsp;.

== Herleitung der neperschen Ungleichung mittels Integralrechnung ==
Mit der neperschen Ungleichung gleichwertig ist die folgende:
: '''(N<sup>'</sup>)''' <math>\frac {b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac {b-a}{a}</math>&nbsp;.

Also erhält man die neperschen Ungleichung mittels [[Integralrechnung]]. Denn danach ist der mittlere [[Term]] von '''(N<sup>'</sup>)''' nichts weiter als der [[Flächeninhalt#Integralrechnung|Inhalt der Fläche]] unterhalb des [[Funktionsgraph]]s der reellen [[Kehrwert]]funktion im [[Reelles Intervall|Intervall]] <math>[a, b]</math>.

== Anwendung ==
Eine nützliche Anwendung der neperschen Ungleichung ergibt sich, wenn man darin <math>a=1</math> sowie – für eine [[natürliche Zahl]] <math>n</math> – noch <math>b=1+\tfrac {1}{n}</math> setzt.

Dann nämlich ergibt sich wegen <math>b-a=\tfrac {1}{n}</math> und <math>\ln a = 0</math>
: <math>\frac {1}{1 + \frac {1}{n} }< \frac {\ln \left( 1+ \frac {1}{n} \right)}{\frac {1}{n} } < \frac {1}{1} </math>

und weiter
: <math>\frac {n}{n+1}< n \cdot \ln \left( 1+ \frac {1}{n} \right) < 1 </math>

und schließlich
: <math>\frac {n}{n+1}< \ln {\left( 1+ \frac {1}{n} \right)}^n < 1 </math>&nbsp;.

Durch [[Grenzwert (Folge)|Limesbildung]] erhält man dann
:<math>\lim_{n \to \infty} { \ln {\left( 1+ \frac {1}{n} \right)}^n }= 1 </math>

und es folgt aus [[Stetigkeit]]sgründen und durch Anwendung der [[Exponentialfunktion]]
:<math>\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \exp (1) = e </math>&nbsp;.

== Verwandte Ungleichungen ==
Die nepersche Ungleichung lässt sich erheblich verschärfen. Dies zeigt etwa die [[Ungleichung von Hermite-Hadamard]], welche die nepersche Ungleichung nach sich zieht. Denn berücksichtigt man hier die Tatsache , dass die [[Einschränkung]] der reellen Umkehrfunktion auf das [[Reelles Intervall|Intervall]] <math>]0,\infty[</math> der [[Positive Zahl|positiven Zahlen]] eine [[konvexe Funktion]] ist, so ergeben sich für <math>0 < a < b</math> sogleich die Abschätzungen
: <math> \frac {1}{\left( \tfrac{a+b}{2}\right)} \leq \frac {\ln b - \ln a}{b-a} \leq \frac{\frac {1}{a} + \frac {1}{b}}{2} </math>

und damit
: <math> \frac {2}{a+b} \leq \frac {\ln b - \ln a}{b-a} \leq \frac {1}{2} \left( \frac {1}{a} + \frac {1}{b} \right)</math>&nbsp;.<ref>Die vordere Ungleichung, wenn auch formuliert für die Kehrwerte, findet man in: D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 273</ref>

Für den Fall, dass insbesondere <math>b=a+1</math> ist, hat man sogar die folgenden – und für diesen Fall besseren! – Abschätzungen:<ref name="DSM_n1">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 273–274</ref>
: <math> \frac {2}{2a+1} < \ln \left( 1 + \frac {1}{a} \right) < \frac {1}{\sqrt{a^2+a}} </math>&nbsp;.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Claudi Alsina]], [[Roger B. Nelsen]]
|Titel=Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics
|Reihe=Classroom Resource Materials Series
|Verlag=The [[Mathematical Association of America]]
|Ort=Washington, DC
|Datum=2006
|ISBN=0-88385-746-4
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Alsina&s5=Visual&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2216733 MR2216733]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
|Titel=Analytic Inequalities
|TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
|BandReihe=165
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
|Datum=1970
|ISBN=3-540-62903-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Nepersche Ungleichung]]

KKKategorie:Ungleichung|Nepersche Ungleichung]]

= Ungleichung von Schur =
Die '''Ungleichung von Schur''' ({{enS|''Schur’s inequality''}}) ist eine von mehreren klassischen [[Ungleichung]]en, die der [[Mathematiker]] [[Issai Schur]] auf dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiet]] der [[Analysis]] beigesteuert hat.<ref name="DSM-1a">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 119 ff</ref><ref name="GHH-JEL-GP-1a">G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: ''Inequalities.'' 1964, S. 64</ref><ref name="CA-RBN-I">Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''When Less is More : Visualizing Basic Inequalities.'' 2009, S. 37–38</ref>

== Darstellung der Ungleichung ==
Die Ungleichung lautet folgendermaßen:<ref name="DSM-1a" /><ref name="GHH-JEL-GP-1a" /><ref name="CA-RBN-I" />
:''Gegeben seien [[Reelle Zahl|reelle Zahlen]] <math>r,x,y,z</math> und dabei gelte <math>x,y,z > 0</math>.''
:''Dann besteht die Ungleichung''
:: <math>x^r (x-y) (x-z) + y^r (y-z) (y-x) + z^r (z-x) (z-y) \geq 0</math>
:''und es gilt hierbei das [[Gleichheitszeichen]] genau dann, wenn die drei Zahlen <math>x,y,z </math> alle übereinstimmen.''

== Anwendung ==
In Anwendung der obigen schurschen Ungleichung (mit <math>r=2</math>) lässt sich eine der zahlreichen geometrischen Ungleichungen in der [[Dreiecksgeometrie]] der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] herleiten:<ref name="CA-RBN-II">Alsina / Nelsen, op. cit., S. 38</ref>
: ''Ist in der euklidischen Ebene ein beliebiges Dreieck <math>ABC</math> gegeben, dessen [[Polygon|Seiten]] die [[Länge (Mathematik)|Längen]] <math>a, b, c </math> haben sollen, und ist hier <math>s</math> gleich dem [[halb]]en [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] von <math>ABC</math>, so gilt stets die Ungleichung''
:: <math>abcs \geq a^3 \cdot (s-a) + b^3 \cdot (s-b)+ c^3 \cdot (s-c)</math>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Claudi Alsina]], [[Roger B. Nelsen]]
|Titel=When Less is More : Visualizing Basic Inequalities
|Reihe=The Dolciani Mathematical Expositions
|BandReihe=36
|Auflage=
|Verlag=The [[Mathematical Association of America]]
|Ort=Washington, DC
|Datum=2009
|ISBN=978-0-88385-342-9
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Alsina&s5=Nelsen&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=10&mx-pid=2498836 MR2498836]}}
* {{Literatur
|Autor=[[G. H. Hardy]], [[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]], [[George Pólya|G. Pólya]]
|Titel=Inequalities
|TitelErg=Reprint (of the 2. edition 1952)
|Reihe=
|BandReihe=
|Auflage=
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
|Ort=Cambridge
|Datum=1973
|ISBN=
|Seiten=
|DOI=
|Online=}}
* {{Literatur
|Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
|Titel=Analytic Inequalities
|TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
|BandReihe=165
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
|Datum=1970
|ISBN=3-540-62903-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Schur, Ungleichung von]]

KKKategorie:Ungleichung|Schur, Ungleichung von]]

= Ungleichung von Guha =
Die '''Ungleichung von Guha''' ({{enS|''Guha’s inequality''}}) ist eine von mehreren elementaren [[Ungleichung]]en im Umfeld der [[AGM-Ungleichung]] und lässt sich als solche dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiet]] der [[Analysis]] zurechnen. Sie geht auf eine [[wissenschaftliche Publikation]] von U. C. Guha aus dem Jahre 1967 zurück.<ref name="CA-RBN-a">Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''When Less is More : Visualizing Basic Inequalities.'' 2009, S. 29</ref><ref name="PSB-DSM-PMV-a">P. S. Bullen, D. S. Mitrinović, Petar M. Vasić: ''Means and Their Inequalities.'' 1988, S. 77</ref>

== Darstellung der Ungleichung ==
Die Ungleichung lautet folgendermaßen:<ref name="CA-RBN-a" /><ref name="PSB-DSM-PMV-a" />
:''Gegeben seien [[Reelle Zahl|reelle Zahlen]] <math>a,p,q,x,y</math> und für diese gelte <math>a \geq 0</math> sowie <math>p \geq q > 0</math> und <math>x \geq y > 0</math>.''
:''Dann ist:''
:: <math> \bigl(px + y + a \bigr) \cdot \bigl(x + qy + a \bigr) \geq \bigl((p+1)x + a \bigr) \cdot \bigl((q+1)y + a \bigr)</math>

== Anmerkungen ==
* Die Bedeutung der Ungleichung liegt darin, dass sie, wie Guha 1967 zeigte, eine einfache und zugleich geschickte Herleitung der AGM-Ungleichung für beliebig (jedoch [[endlich viele|endlich]]) viele [[nichtnegative Zahl]]en ermöglicht.<ref name="CA-RBN-b">Alsina / Nelsen, op. cit., S. 29–30</ref><ref name="PSB-DSM-PMV-a" />
* Der Beweis der Ungleichung lässt sich rein [[algebraisch]] führen. Mittels [[Term#Algebraische Umformungen|algebraischer Umformungen]] kann man ihre Gleichwertigkeit mit der Ungleichung <math> \left(px - qy \right) \cdot \left(x - y \right) \geq 0</math> nachweisen, welche aufgrund der getroffenen Voraussetzungen offenbar gültig ist. Sie lässt sich ebenfalls auf [[geometrisch]]-anschauliche Weise zeigen.<ref name="CA-RBN-a" />
* Es gilt das [[Gleichheitszeichen]] genau im Falle <math>x = y</math>.<ref name="CA-RBN-a" />

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Claudi Alsina]], [[Roger B. Nelsen]]
|Titel=When Less is More : Visualizing Basic Inequalities
|Reihe=The Dolciani Mathematical Expositions
|BandReihe=36
|Auflage=
|Verlag=The [[Mathematical Association of America]]
|Ort=Washington, DC
|Datum=2009
|ISBN=978-0-88385-342-9
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Alsina&s5=Nelsen&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=10&mx-pid=2498836 MR2498836]}}
* {{Literatur
|Herausgeber=[[P. S. Bullen]], [[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]], [[Petar Vasić|Petar M. Vasić]]
|Titel=Means and Their Inequalities
|TitelErg=
|Reihe=Mathematics and Its Applications (East European Series)
|BandReihe=31.
|Verlag=[[D. Reidel Publishing Company]]
|Ort=Dordrecht
|Datum=1988
|ISBN=90-277-2629-9
|Kommentar=Translated and revised from the Serbo-Croatian
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Bullen&s5=Mitrinovic&s6=Means&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=947142 MR0947142]}}
* {{Literatur
|Autor=U. C. Guha
|Titel=Arithmetic&nbsp;mean&nbsp;–&nbsp;geometric&nbsp;mean inequality
|Sammelwerk=[[Mathematical Gazette]]
|Band=51
|Datum=1967
|Seiten=145–146}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie::Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Guha, Ungleichung von]]

= Fakultätenreihe =
Der Begriff der '''Fakultätenreihe''' ({{enS|factorial series}}) entstammt der [[Mathematik]]. Die Fakultätenreihen zählen zu den [[Funktionenreihe]]n und stehen in enger Verwandtschaft mit den [[Dirichletreihe]]n. Sie sind nicht zuletzt von besonderer Bedeutung beim Studium von [[Differenzengleichung]]en.

== Definition ==
Ist eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>\mathcal {A} = \left( a_n \right)_{n=0,1,2,3,\ldots}</math> von [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] gegeben, so ist die Funktionenreihe
: <math>
\begin{align}
\Omega (z)
&= \sum_{n=0}^\infty { \frac{n! a_n}{z(z+1) \cdots (z+n)} } \\
&= \frac{a_0}{z} +\frac{a_1}{z(z+1)} + \frac{2 a_2}{z(z+1)(z+2)} + \frac{6 a_3}{z(z+1)(z+2)(z+3)} + \cdots + \frac{n! a_n}{z(z+1) \cdots (z+n)} + \cdots \;\; (z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \}) \\
\end{align}
</math>

die ''(zu der Folge <math>\mathcal {A}</math> gehörige) Fakultätenreihe''.<ref name="EL-01">E. Landau: '' Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen.'' Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften 36, S. 151 ff</ref><ref name="M-T_01">L. M. Milne-Thomson: ''The Calculus of Finite Differences.'' 1981, S. 271 ff</ref><ref name="NN_01">Niels Nielsen: ''Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Kapitel XVII'' 1965, S. 237 ff</ref>

Dabei wird von manchen Autoren angenommen, dass das Anfangsglied <math>a_0 = 0</math> ist.<ref name="GMF_01">G. M. Fichtenholz: ''Differential- und Integralrechnung II.'' 1974, S. 322</ref><ref name="KK_01">Konrad Knopp: ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen.'' 1964, S. 462 ff</ref> Andere Autoren lassen dagegen sogar zu, dass zu obigem <math>\Omega (z)</math> noch ein reelle oder komplexe [[Konstante Funktion|Konstante]] <math>c</math> [[Addition|hinzuaddiert]] wird und bezeichnen die so gegebene Funktionenreihe <math>c + \Omega (z)</math> ebenfalls als Fakultätenreihe.<ref name="NEN_01">Niels Erik Nörlund: ''Vorlesungen über Differenzenrechnung.'' 1924, S. 256 ff</ref> Alle diese Auffassungen des Begriffs der Fakultätenreihe sind im Wesentlichen gleichwertig.

== Konvergenzverhalten ==
Über das Konvergenzverhalten der Fakultätenreihen geben einige [[Lehrsatz|Sätze]] Auskunft, welche nicht zuletzt auf Mathemetiker wie [[Edmund Landau]], [[Johan Ludwig Jensen]], [[Salvatore Pincherle]] und [[Niels Erik Nørlund]] zurückgehen.

=== Der Satz von Landau ===
Dieser von Edmund Landau gefundene Satz bringt die Frage nach dem Konvergenzverhalten der Fakultätenreihen in Zusammenhang mit der entsprechenden Frage für die Dirichletreihen. Er besagt nämlich:<ref name="EL-02">E. Landau: '' Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen.'' Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften 36, S. 167</ref><ref name="GMF_01" /><ref name="KK-02">Knopp, op. cit. , S. 462</ref>
: ''Die oben beschriebene Fakultätenreihe <math>\Omega (z)</math> und die zugehörige Dirichletreihe''
: <math>\Psi (z) = \sum_{n=1}^\infty { \frac{a_n}{n^z} }</math>
: ''haben innerhalb des [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>\Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \}</math> das gleiche Konvergenzverhalten. Dabei gilt im Einzelnen:''
: '' '''(I)''' Die beiden Reihen <math>\Omega (z)</math> und <math>\Psi (z)</math> sind für ein und dieselben <math>z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \}</math> konvergent und divergent.''
: '' '''(II)''' Ist <math>\Omega (z)</math> auf einer [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] [[Kreis#Kreisflächen|Kreisscheibe]] <math>\overline{U_{r}(z_0)} \subset \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} \; \; (r > 0 \; , \; z_0 \neq 0,-1,-2,\ldots)</math> [[Gleichmäßige Konvergenz#Gleichmäßige Konvergenz komplexer Funktionenfolgen|gleichmäßig konvergent]], so gilt dies auch für <math>\Psi (z)</math> und nur dann.''

=== Die Sätze von Jensen und Pincherle ===
Der Satz von Jensen behandelt die Frage nach der Beschaffenheit des [[Konvergenzbereich]]s der Fakultätenreihen. Er besagt folgendes:<ref name="NN_02">Nielsen, op. cit. , S. 245</ref><ref name="M-T_02">L. M. Milne-Thomson, op. cit. , S. 275 ff</ref>
: ''Zu einer Fakultätenreihe <math>\Omega (z)</math> gibt es stets eine – auch als '''Konvergenzabszisse'''<ref>({{enS|abscissa of convergence}})</ref> bezeichnete – [[endlich]]e oder [[unendlich]]e [[Zahl]] <math>\lambda \in \R \cup \{ -\infty , +\infty \}</math> derart, dass <math>\Omega (z)</math> für jede komplexe Zahl des Gebietes <math>\{ z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} \colon \operatorname{Re} (z) < \lambda \}</math> divergiert und für jede komplexe Zahl des Gebiets <math>\{ z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} \colon \operatorname{Re} (z) > \lambda \}</math> konvergiert. Das '''Konvergenzgebiet'''<ref>({{enS|region of convergence}})</ref> einer Fakultätenreihe ist also eine nach rechts offene [[Halbebene]], aus der (gegebenenfalls) die [[Null]] und die [[Negative Zahl|negativen]] [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] entfernt wurden.''<ref>Im Grenzfall <math>\lambda = +\infty </math> ist das Konvergenzgebiet die [[leere Menge]]. Dennoch greift man auch hier den Terminus ''Gebiet'' zurück. Genauso spricht man in dem anderen Grenzfall <math>\lambda = -\infty </math>, obwohl hier das Konvergenzgebiet das gesamte Gebiet <math>\{ z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} \colon \operatorname{Re} (z) < \lambda \}</math> ist, also eine unendlich oft punktierte [[Ebene_(Mathematik)|Ebene]], auch von einer Halbebene.</ref>

Der Satz von Pincherle behandelt die entsprechende Frage in Hinblick auf die [[Absolut konvergente Reihe|absolute Konvergenz]] der Fakultätenreihen und lässt sich angeben wie folgt:<ref name="NN_02" /><ref name="M-T_03">Milne-Thomson, op. cit. , S. 276</ref>
: ''Das Gebiet der absoluten Konvergenz einer Fakultätenreihe ist ebenfalls eine nach rechts offene Halbebene, aus der (gegebenenfalls) die Null und die negativen ganzen Zahlen entfernt wurden. Zu einer Fakultätenreihe <math>\Omega (z)</math> gibt es also stets eine – auch als '''Abszisse der absoluten Konvergenz'''<ref>({{enS|abscissa of absolute convergence}})</ref> bezeichnete – endliche oder unendliche [[Zahl]] <math>\mu\in \R \cup \{ -\infty , +\infty \}</math> derart, dass <math>\Omega (z)</math> im Gebiet <math>\{ z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} \colon \operatorname{Re} (z) > \mu \}</math> absolut konvergent ist. Dabei ist <math>\Omega (z)</math> für jede komplexe Zahl <math>z</math> mit <math>\lambda < \operatorname{Re} (z) < \mu </math> zwar konvergent, aber nicht absolut konvergent. Die Breite des zwischen den beiden Abzissen gelegenen unendlichen Streifens ist höchstens <math>1</math>; es gilt also die [[Ungleichung]] <math>\lambda\leq \mu \leq \lambda + 1</math>.''

=== Der Satz von Nørlund ===
Diesen Satz hat Niels Erik Nørlund gefunden und damit in der Frage der gleichmäßigen Konvergenz von Fakultätenreihen Klarheit geschaffen. Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:<ref name="NEN_02">Nörlund, op. cit., S. 258</ref><ref name="M-T_04">L. M. Milne-Thomson, op. cit. , S. 284–287</ref>
: ''Die Fakultätenreihe <math>\Omega (z)</math> konvergiere in einem Punkte <math>z_0 \in {\Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} }</math> . Weiterhin sei eine beliebige [[positive Zahl]] <math>\eta < \frac{\pi}{2}</math> gegeben und dazu das im Punkte <math>z_0</math> verankerte, nach rechts geöffnete [[Winkel#Darstellung als Teil der Ebene|Winkelfeld]] <math>W(z_0,\eta) \subset \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \}</math>, dessen beiden Schenkel durch zwei <math>\eta</math>-[[Radiant (Einheit)|Radiant]]-[[Drehung]]en aus den beiden von <math>z_0</math> ausgehenden, zur [[Zahlengerade|reellen Achse]] [[Orthogonalität|senkrechten]] [[Halbgerade]]n hervorgehen.''<ref>Die Winkel werden hier im [[Bogenmaß]] angegeben. Der Punkt <math>z_0</math> ist sowohl '''Drehzentrum''' der beiden Drehungen als auch '''Scheitelpunkt''' des durch das Winkelfeld bestimmten Winkels, welcher <math>(\pi - 2 \eta) \text{ } \mathrm{rad}</math> beträgt. Bei den beiden Drehungen wird die untere Halbgerade <math>z_0 - {\mathrm i} \cdot \R^{\geq 0}</math> durch Drehung um den Winkel <math>\eta \text{ } \mathrm{rad}</math> in mathematisch positiver [[Drehrichtung]] in den unteren Schenkel des Winkelfeldes überführt und die obere Halbgerade <math>z_0 + {\mathrm i} \cdot \R^{\geq 0}</math> durch Drehung um den Winkel <math>-\eta \text{ } \mathrm{rad}</math> in mathematisch negativer Drehrichtung in den oberen Schenkel.</ref>
: '' Dann gilt:''
: '' <math>\Omega (z)</math> ist auf dem Winkelfeld <math>W(z_0,\eta)</math> stets gleichmäßig konvergent.''

=== Analogon ===
Wie [[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]] in seiner ''Differential- und Integralrechnung II'' ausführt, sind – einem Satz von [[Konrad Knopp]] zufolge – hinsichtlich des Konvergenzverhaltens die Beziehungen zwischen einer Fakultätenreihe und ihrer Dirichletreihe ähnlich denen, welche zwischen einer [[Lambert-Reihe#Konvergenz|Lambert-Reihe]] und der dieser Lambert-Reihe zugehörigen [[Potenzreihe]] bestehen.<ref name="GMF-02">Fichtenholz, op. cit., S. 323</ref>

== Holomorphie ==
Die durch Fakultätenreihen gegebenen [[Komplexe Funktion|komplexen Funktionen]] weisen – in gleicher Weise wie die durch die zugehörigen Dirichletreihen gegebenen komplexen Funktionen – einige Regularitätseigenschaften auf. Dies beruht auf einer Verknüpfung des [[Weierstraßscher Konvergenzsatz|weierstraßschen Konvergenzsatzes]] mit dem Satz von Nørlund.<ref>Der Satz von Nørlund zieht nach sich, dass eine Fakultätenreihe in jedem Punkt ihres Konvergenzgebiets [[Lokal gleichmäßige Konvergenz|lokal gleichmäßig konvergent]] ist.</ref> Insgesamt gilt der folgende Satz:<ref name="EL-a1">E. Landau: ''Bemerkung zu meinem Aufsatze: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen.'' Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften 39, S. 7</ref><ref name="NEN_03">Nörlund, op. cit., S. 258, S. 262 ff</ref><ref name="M-T_06">Milne-Thomson, op. cit., S. 287, S. 297</ref>
: ''Zu einer wie oben gegebenen Fakultätenreihe wird durch die Zuordnung <math>z \mapsto \Omega (z)</math> auf der Konvergenzhalbebene <math>\{ z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} \colon \operatorname{Re} (z) > \lambda \}</math> eine [[holomorphe Funktion]] definiert. Diese (ebenfalls mit <math>\Omega (z)</math> bezeichnete Funktion) hat die folgende [[Ableitungsfunktion]]:''
: <math>\Omega^{'} (z) = - \sum_{n=1}^\infty { \frac{n! \cdot \left( \frac{a_0}{n} +\frac{a_1}{n-1} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{1} \right) }{z(z+1) \cdots (z+n)} } </math> &nbsp; .

== Weitere Darstellungen ==
Fakultätenreihen lassen sich auch mit Hilfe der [[Gammafunktion]] und der [[Eulersche Betafunktion|eulerschen Betafunktion]] darstellen. Es gilt nämlich:<ref name="NN_01" /><ref name="M-T_07">Milne-Thomson, op. cit., S. 287–288</ref>
: ''Eine wie oben gegebene Fakultätenreihe erfüllt stets die [[Identitätsgleichung|Gleichungen]]:''
: <math>
\begin{align}
\Omega (z)
&= \Gamma(z) \cdot \sum_{n=0}^\infty { \frac{n! a_n}{\Gamma (z+n+1)} } \\
&= \sum_{n=0}^\infty { a_n \cdot \Beta (z+n+1)} \;\; (z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \}) \\
\end{align}
</math>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=G. M. Fichtenholz
|Titel=Differential- und Integralrechnung II
|TitelErg=Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai
|Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
|BandReihe=62
|Auflage=6.
|Verlag=[[Volkseigener Betrieb|VEB]] [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
|Ort=Berlin
|Datum=1974}}
* {{Literatur
|Autor=Konrad Knopp
|Titel=Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
|Reihe=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
|BandReihe=2
|Auflage=5., berichtigte
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York
|Datum=1964
|ISBN=3-540-03138-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Knopp&s5=Reihen&s6=Theorie&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=183997 MR0183997]}}
* {{Literatur
|Autor=Edmund Landau
|Titel=Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen
|Sammelwerk=[[Bayerische Akademie der Wissenschaften|Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften]]
|Band=36
|Datum=1906
|Seiten=151–218}}
* {{Literatur
|Autor=Edmund Landau
|Titel=Bemerkung zu meinem Aufsatze: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen
|Sammelwerk=Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften
|Band=39
|Datum=1909
|Seiten=7–10}}
* {{Literatur
|Autor=[[Louis Melville Milne-Thomson|L. M. Milne-Thomson]]
|Titel=The Calculus of Finite Differences
|TitelErg=Re-issued by arrangemant with The Macmillan Press
|Kapitel=X
|Auflage=2., unveränderte
|Verlag=[[Chelsea Publishing Company]]
|Ort=New York
|Datum=1981
|ISBN=0-8284-0308-2
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Nielsen&s5=Gammafunktion&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=185152 MR0185152]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Niels Nielsen]]
|Titel=Die Gammafunktion
|TitelErg=Band I: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Dritter Teil: Theorie der Fakultätenreihen
|Kapitel=XVII
|Auflage=
|Verlag=Chelsea Publishing Company
|Ort=Bronx, New York
|Datum=1965
|ISBN=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=The%20Calculus%20of%20Finite%20Differences&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=23&mx-pid=43339 MR0043339]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Niels Erik Nörlund]]
|Titel=Vorlesungen über Differenzenrechnung
|Kapitel=9
|Reihe=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
|BandReihe=13
|Auflage=
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin
|Datum=1924
|ISBN=978-3-642-50514-0
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Vorlesungen%20%C3%BCber%20Differenzenrechnung&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1549596 MR1549596]
|DOI=10.1007/978-3-642-50824-0_10}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Folgen und Reihen]]

= Satz von Lochs =


== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Roman Liedl]], [[Kristian Kuhnert]]
|Titel=Analysis in einer Variablen: Eine Einführung für ein praxisorientiertes Studium
|TitelErg=Mit einem historischen Abriß von Prof. Dr. [[Detlef Laugwitz]]
|Auflage=
|Verlag=[[BI Wissenschaftsverlag]]
|Ort=Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich
|Datum=1992
|Seiten=725
|ISBN=3-411-14741-5}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

= Lobatschewskische Formeln =
Die '''lobatschewskischen Formeln''' sind zwei [[mathematische Formel]]n für [[Uneigentliches Integral|uneigentliche Integrale]] im Zusammenhang mit dem [[Kardinalsinus]], welche dem [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Analysis]] zuzurechnen sind. Gemäß der Darstellung von [[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]] in Band II der dreibändigen ''Differential- und Integralrechnung'' wurden sie von dem [[Russland|russischen]] Mathematiker [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski]] (1792–1856) gefunden.<ref name="GMF-L1">G. M. Fichtenholz: ''Differential- und Integralrechnung II.'' 1974, S. 635–636, 655–657, 695, 832</ref>

== Darstellung der Formeln ==
Sie lauten:<ref name="GMF-L2">Fichtenholz, op. cit., S. 655–657, 695</ref>
: ''Gegeben sei eine [[reelle Funktion]]''
:: <math>f \colon [0,\infty[ \to \R</math>
: ''mit folgenden Eigenschaften:''

::'' '''(1)''' <math>f</math> ist im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>\left[0,\frac{\pi}{2}\right]</math> eigentlich oder uneigentlich [[Riemannsches Integral|Riemann-integrierbar]].''
::'' '''(2)''' Die mit dem Kardinalsinus gebildete [[Produkt (Mathematik)|Produktfunktion]] <math>f \cdot \operatorname{si} \colon [0,\infty[ \to \R \; , x \mapsto f(x) \cdot \operatorname{si}(x) </math> ist im Intervall <math>[0,\infty[</math> uneigentlich Riemann-integrierbar.''
::'' '''(3)''' <math>f</math> ist eine <math>\pi</math>-[[periodische Funktion]], erfüllt also für <math>x \in [0,\infty[</math> stets die [[Gleichung]] <math>f(x + {\pi})=f(x)</math> .''
::'' '''(4)''' <math>f</math> erfüllt für <math>x \in [0,\pi]</math> stets die Gleichung <math>f({\pi} - x)=f(x)</math> .''

:''Dann gilt:''
: '' '''(a)''' <math>\int_0^{\infty} {f(x) \cdot \frac{\sin x}{x} } \, \mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} {f(x)} \, \mathrm{d}x </math>''
: '' '''(b)''' <math>\int_0^{\infty} {f(x) \cdot \frac{{\sin}^2 x}{x^2} } \, \mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} {f(x)} \, \mathrm{d}x </math>''

== Anwendungen ==
Mit Hilfe der lobatschewskischen Formeln (und unter Zuhilfenahme der üblichen [[Rechenmethode]]n der [[Integralrechnung]]) lassen sich mehrere [[Identitätsgleichung|Identitäten]] ableiten, unter anderem die folgenden:
: '' '''(A-1)''' <math>\int_0^{\infty} {\frac{\sin x}{x} } \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}</math>'' <ref name="GMF-L3">Fichtenholz, op. cit., S. 635–636</ref>
: '' '''(A-2)''' <math>\int_0^{\infty} {\frac{{\sin}^{2n+1} x}{x}} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \; (n = 0,1,2,3,\ldots) </math>'' <ref name="GMF-L4">Fichtenholz, op. cit., S. 656</ref><ref>Mit dem doppelten [[Ausrufezeichen]] wird die [[Fakultät (Mathematik)#Doppelfakultät|Doppelfakultätenfunktion]] gekennzeichnet.</ref>
: '' '''(A-3)''' <math>\int_0^{\infty} {\frac{{\sin}^2 x}{x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}</math>'' <ref name="GMF-L5">Fichtenholz, op. cit., S. 656–657</ref>
: '' '''(A-4)''' <math>\int_0^{\infty} {\frac{\arctan{\left(a \cdot \sin x \right)} }{x} } \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \cdot \ln{\left(a + \sqrt{1+a^2} \right)} \; (a > 0) </math>'' <ref name="GMF-L6">Fichtenholz, op. cit., S. 656, 697</ref>
: '' '''(A-5)''' <math>\int_0^{\infty} {\ln{|\sin x |} \cdot \frac{\sin x}{x}} \, \mathrm{d}x = - {\frac{\pi}{2} \cdot \ln 2 }</math>'' <ref name="GMF-L7">Fichtenholz, op. cit., S. 695</ref><ref>Mit <math>| \cdot |</math> wird die [[Betragsfunktion]] gekennzeichnet.</ref>
: '' '''(A-6)''' <math>\int_0^{\infty} { \frac{\ln{|\cos x |}}{x^2}} \, \mathrm{d}x = - {\frac{\pi}{2} }</math>'' <ref name="GMF-L7" />
: '' '''(A-7)''' <math>\int_0^{\infty} { \frac{ {\ln}^2{|\cos x |}}{x^2}} \, \mathrm{d}x = - {\pi \cdot \ln 2}</math>'' <ref name="GMF-L7" />

== Hintergrund: Partialbruchzerlegungen ==
Wie Fichtenholz darlegt, beruhen die lobatschewskischen Formeln wesentlich auf den [[Partialbruchzerlegung]]en der beiden [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>x \mapsto \frac{1}{\sin x} \; , \; x \mapsto \frac{1}{{\sin}^2 x} \; (x \notin {\pi \cdot \Z})</math> . Hier gilt:<ref name="GMF-L8">Fichtenholz, op. cit., S. 489, 656</ref>
: <math>\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty { (-1)^n \left( \frac{1}{x-n \pi} + \frac{1}{x+n \pi} \right)} = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty { (-1)^n \frac{2x}{x^2-n^2 {\pi}^2} }</math>

sowie
: <math>\frac{1}{{\sin}^2 x} = \frac{1}{x^2} + \sum_{n=1}^\infty { \left( \frac{1}{\left[ x-n \pi \right]^2} + \frac{1}{\left[ x+n \pi \right]^2} \right)} </math> &nbsp; .

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=G. M. Fichtenholz
|Titel=Differential- und Integralrechnung II
|TitelErg=Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai
|Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
|BandReihe=62
|Auflage=6.
|Verlag=[[Volkseigener Betrieb|VEB]] [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
|Ort=Berlin
|Datum=1974}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Lobatschewskische Formeln]]

= Sapogowsches Kriterium =
Das '''sapogowsche Kriterium''' ist eines der [[Konvergenzkriterium|Konvergenzkriterien]] für [[unendliche Reihe]]n und gehört als solches in das [[Teilgebiete der Mathematik|mathematische Teilgebiet]] der [[Analysis]]. Es geht, wie [[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]] in Band II seiner dreibändigen ''Differential- und Integralrechnung'' ausweist, auf den [[sowjetisch]]en Mathematiker [[Nikolai Alexandrowitsch Sapogow]] (1915–1983) zurück.<ref name="GMF-I">G. M. Fichtenholz: ''Differential- und Integralrechnung II.'' 1974, S. 304, S. 834</ref><ref>Obwohl im Geburtsjahr Sapogows die Sowjetunion noch nicht bestand, wird bei Fichtenholz Sapogow dennoch als „sowjetischer Mathematiker“ bezeichnet.</ref>

== Formulierung ==
Fichtenholz folgend kann man das Kriterium folgendermaßen formulieren:<ref name="GMF-II">Fichtenholz, op. cit. , S. 304</ref>
: ''Gegeben sei eine [[monoton wachsende Folge]] <math>\mathcal {A} = \left( a_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> von [[Positive Zahl|positiven reellen Zahlen]].''
: ''Dazu sei die Reihe''
:: <math>S = \sum_{n=1}^\infty {\left( 1 - \frac{a_n}{a_{n+1}} \right)}</math>
: ''gebildet. Dann gilt:''
: '' '''(I)''' <math>S</math> ist eine [[Reihe (Mathematik)#Auswertung und Einteilung|konvergente Reihe]], wenn <math>\mathcal {A}</math> eine [[beschränkte Folge]] ist. In diesem Falle ist auch die verwandte Reihe <math>\textstyle S^{*} = \sum_{n=1}^\infty {\left( \frac{a_{n+1}}{a_n} - 1 \right)}</math> konvergent.''
: '' '''(II)''' Ist <math>\mathcal {A} </math> jedoch unbeschränkt, so ist <math>S</math> divergent.''

== Verwandte Kriterien ==
Mit dem sapogowschen Kriterium verknüpft ist ein weiteres, welches auf [[Niels Henrik Abel]] und [[Ulisse Dini]] zurückgeht und mit dessen Hilfe Fichtenholz den Beweis des sapogowschen Kriterium führt.<ref name="GMF-III">Fichtenholz, op. cit. , S. 303–304</ref> Dieses Kriterium tritt ebenfalls in [[Konrad Knopp]]s Monographie ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen'' auf und wird dort als '''Satz von Abel und Dini''' bezeichnet. Der Darstellung von Knopp folgend lässt es sich folgendermaßen angeben:<ref name="KK-I">Konrad Knopp: ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen.'' 1964, S. 299</ref>
: ''Gegeben seien eine Folge <math>\left( d_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> positiver reeller Zahlen sowie eine beliebige reelle Zahl <math>\alpha </math>. Die der Folge zugehörige Reihe <math>\sum_{n=1}^\infty {d_n} </math> sei divergent.''
: ''Dann gilt hinsichtlich der [[Partialsumme]]nfolge <math>\left( D_n \right)_{n=1,2,3,\ldots} = \left( d_1, d_1+d_2, d_1+d_2+d_3, \ldots \right)</math>:''
: '' '''(a)''' Für <math>\alpha \leq 1</math> ist die dazu neu gebildete Reihe <math> \sum_{n=1}^\infty { \frac{d_n}{ {D_n}^{\alpha}} } </math> ebenfalls divergent.''
: '' '''(b)''' Für <math>\alpha > 1</math> jedoch ist <math> \sum_{n=1}^\infty { \frac{d_n}{ {D_n}^{\alpha}} } </math> konvergent.''

Den Satz von Abel und Dini führt Knopp wiederum auf ein Resultat zurück, welches von [[Alfred Pringsheim]] stammt und bei Knopp als '''Satz von Pringsheim''' bezeichnet wird:<ref name="KK-II">Knopp, op. cit. , S. 300</ref>
: ''Ist <math>\left( d_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> eine Folge positiver reeller Zahlen mit Partialsummenfolge <math>\left( D_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> und ist die der Folge zugehörige Reihe <math>\sum_{n=1}^\infty {d_n} </math> divergent, so ist für eine beliebige reelle Zahl <math>\beta> 0 </math> die verwandte Reihe''
:: <math> \sum_{m=2}^\infty { \frac{d_m}{ D_m \cdot {D_{m-1}}^{\beta}} } </math>
: ''stets konvergent.''

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=N.H. Abel
|Titel=Note sur le mémoire de Mr. L. Olivier No. 4 du second tome de ce journal, ayant pour titre „remarques sur les séries infinies et leur convergence“
|Sammelwerk=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
|Band=3
|Datum=1828
|Seiten=79–82
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Abel%2C%20N.%20H.&s5=Note&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=1577677 MR1577677]}}
* {{Literatur
|Autor=U. Dini
|Titel=Sulle serie a termini positivi
|Sammelwerk=[[Annali delle Università Toscane]]
|Band=9
|Datum=1867
|Seiten=41-76
|Online=[https://it.wikisource.org/wiki/Sulle serie a termini positivi (Wikisource)]}}
* {{Literatur
|Autor=G. M. Fichtenholz
|Titel=Differential- und Integralrechnung II
|TitelErg=Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai
|Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
|BandReihe=62
|Auflage=6.
|Verlag=[[Volkseigener Betrieb|VEB]] [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
|Ort=Berlin
|Datum=1974}}
* {{Literatur
|Autor=Konrad Knopp
|Titel=Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
|Reihe=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
|BandReihe=2
|Auflage=5., berichtigte
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York
|Datum=1964
|ISBN=3-540-03138-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Knopp&s5=Reihen&s6=Theorie&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=183997 MR0183997]}}
* {{Literatur
|Autor=Alfred Pringsheim
|Titel=Allgemeine Theorie der Divergenz und Convergenz von Reihen mit positiven Gliedern
|Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]]
|Band=35
|Datum=1890
|Seiten=297–394}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Konvergenzkriterium|Sapogowsches Kriterium]]

= Wallissche Ungleichungen =
In der [[Analysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]], bezeichnet man als '''wallissche Ungleichungen''' ({{enS|''Wallis’s inequalities''}}) solche [[Ungleichung]]en, welche mit der nach dem [[Mathematiker]] [[John Wallis]] benannten [[Wallissches Produkt|Produktformel]] zusammenhängen. Diese Ungleichungen liefern [[Abschätzung]]en, die den Zusammenhang zwischen der [[Fakultät (Mathematik)#Doppelfakultät|Doppelfakultätenfunktion]] und der [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> beleuchten. Die wallisschen Ungleichungen wurden in einer Vielzahl von [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeiten]] weiterführenden Untersuchungen unterworfen.<ref name="DSM_w1">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 192–193, S. 287</ref><ref>Vgl. [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publications.html?pg4=TI&s4=inequality&co4=AND&pg5=TI&s5=Wallis&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&review_format=html&Submit=Suche Liste im MathSciNet]!</ref>

== Darstellung der Ungleichungen ==
Zwei der geläufigsten wallisschen Ungleichungen sind folgende:<ref name="DSM_w2">Mitrinović, op. cit., S. 192</ref>
:''Für jede [[natürliche Zahl]] <math>n > 0</math> gelten die Abschätzungen''
: <math>\frac{1}{\sqrt {\pi \cdot (n + \frac{1}{2})} } < \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} = \frac{(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \mathrm{ } \cdots \mathrm{ } \cdot 3 \cdot 1}{2n \cdot (2n-2) \cdot \mathrm{ } \cdots \mathrm{ } \cdot 4 \cdot 2 } < \frac{1}{\sqrt {\pi \cdot n} }</math> &nbsp; .

=== Folgerungen ===
Aus den obigen Ungleichungen lassen sich die folgenden Ungleichungen ableiten, die, wenn von einigen kleinen [[Indexmenge (Mathematik)|Indizes]] abgesehen wird, schwächer als die zuvorigen beiden sind:<ref name="DSM_w2" />
:''Für jede natürliche Zahl <math>n > 0</math> hat man''
: <math>\sqrt { \frac{ \frac{5}{4} }{4n+1} }< \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} < \sqrt {\frac{ \frac{3}{4} }{2n+1} }</math> &nbsp; .

Wie [[Robert Alexander Rankin]] in seiner Monographie ''An Introduction to Mathematical Analysis'' zeigt, gewinnt man die letztgenannten Ungleichungen auch auf direktem Wege mit einem [[Induktionsbeweis]].<ref name="RAR-01">Robert A. Rankin: ''An Introduction to Mathematical Analysis.'' 1963, S. 13</ref>

== Verschärfungen ==
Ein Mathematiker namens [[Donat K. Kazarinoff]] zeigte im Jahre 1956 eine Verschärfung der oberen Abschätzung, nämlich:<ref name="DSM_w2">Mitrinović, op. cit., S. 192</ref>
:''Für jede natürliche Zahl <math>n > 0</math> gilt''
: <math>\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} < \frac{1}{\sqrt {\pi \cdot (n + \frac{1}{4})} }</math> &nbsp; .

Im Jahre 2005 bewiesen die beiden Mathematiker Chen Chao-Ping und Qi Feng eine Verschärfung der unteren Abschätzung, nämlich:
:''Für jede natürliche Zahl <math>n > 0</math> gilt''
: <math>\frac{1}{\sqrt {\pi \cdot (n + \frac{4}{\pi} - 1)} } \leq \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} </math> &nbsp; .

== Zusammenhang mit dem wallisschen Produkt ==
Der oben angesprochene Zusammenhang zwischen der Doppelfakultätenfunktion und der Kreiszahl ergibt sich bei Berücksichtigung des folgenden Resultats, welches man in der ''Differential- und Integralrechnung II'' von [[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]] findet (und ebenfalls in der genannten Monographie von Rankin):<ref name="GMF-01">G. M. Fichtenholz: ''Differential- und Integralrechnung II.'' 1974, S. 149–150</ref><ref name="RAR-02">Rankin, op. cit., S. 380</ref>
:''Für jede natürliche Zahl <math>n > 0</math> ist''
: <math>\Biggl[ \frac{ (2n)!!}{(2n-1)!! } \Biggr]^2 \cdot \frac{1}{2n+1} < \frac{\pi}{2} < \Biggl[ \frac{ (2n)!!}{(2n-1)!! } \Biggr]^2 \cdot \frac{1}{2n} </math>
:''und folglich''<ref>Wie Fichtenholz ausführt, ist nämlich die Differenz der beiden äußeren Ausdrücke <math> < \frac{\pi}{4n} </math>&nbsp; .</ref>
: <math>
\begin{align}
\frac{\pi}{2}
&= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \Biggl[ \frac{ (2n)!!}{(2n-1)!! } \Biggr]^2 \cdot \frac{1}{2n} \right) \\
&= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \Biggl[ \frac{ (2n)!!}{(2n-1)!! } \Biggr]^2 \cdot \frac{1}{2n+1} \right) \\
&= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{ 2^2\cdot 4^2 \cdot \mathrm{ } \cdots \mathrm{ } \cdot (2n-2)^2 \cdot (2n)^2 }{ 1 \cdot [1 \cdot 3] \cdot [3 \cdot 5] \cdot \mathrm{ } \cdots \mathrm{ } \cdot [(2n-3) \cdot (2n-1)] \cdot [(2n-1) \cdot (2n+1)] } \right) \\
\end{align}
</math> &nbsp; .

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=G. M. Fichtenholz
|Titel=Differential- und Integralrechnung II
|TitelErg=Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai
|Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
|BandReihe=62
|Auflage=6.
|Verlag=[[Volkseigener Betrieb|VEB]] [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
|Ort=Berlin
|Datum=1974
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 2
|Autor=Chen Chao-Ping, Qi Feng
| NR_ST = 2
|Titel=Best upper and lower bounds in Wallis' inequality
| OT = The Big Bran Hypothesis
|Sammelwerk=Journal of the Indonesian Mathematical Society (MIHMI)
| DT = Chaos-Theorie
|Band=11
| EA = 1. Okt. 2007
|Datum=2005
| EAD = 18. Juli 2009
|Seiten=137–141
| REG = [[Mark Cendrowski]]
|DOI=
| DRB = Robert Cohen & Dave Goetsch<br />Idee: Chuck Lorre & Bill Prady
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=inequality&s5=Wallis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=15&mx-pid=2168684 MR2168684]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 3
|Autor=D. K. Kazarinoff
| NR_ST = 3
|Titel=On Wallis' formula
| OT = The Fuzzy Boots Corollary
|Sammelwerk=Edinburgh Mathematical Notes
| DT = Erregungsfaktor: Null
|Band=1956, no. 40
| EA = 8. Okt. 2007
|Datum=1956
| EAD = 25. Juli 2009
|Seiten=19–21
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Bill Prady & Steven Molaro<br />Idee: Chuck Lorre
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kazarinoff%2C%20Donat&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=82501 MR0082501]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 4
|Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
| NR_ST = 4
|Titel=Analytic Inequalities
| OT = The Luminous Fish Effect
|TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
| DT = Die Leuchtfisch-Idee
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
| EA = 15. Okt. 2007
|BandReihe=165
| EAD = 1. Aug. 2009
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
| REG = Mark Cendrowski
|Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
| DRB = David Litt & [[Lee Aronsohn]]<br />Idee: Chuck Lorre & Bill Prady
|Datum=1970
|ISBN=3-540-62903-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 5
|Autor=Robert A. Rankin
| NR_ST = 5
|Titel=An Introduction to Mathematical Analysis
| OT = The Hamburger Postulate
|TitelErg=
| DT = Die andere Seite der Krawatte
|Reihe=International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics
| EA = 22. Okt. 2007
|BandReihe=165
| EAD = 8. Aug. 2009
|Verlag=[[Pergamon Press]]
| REG = Andrew D. Weyman
|Ort=Oxford, London, New York, Paris
| DRB = Dave Goetsch & Steven Molaro<br />Idee: Jennifer Glickman
|Datum=1963
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 6
== Einzelnachweise ==
| NR_ST = 6
rreferences />
| OT = The Middle Earth Paradigm

| DT = Das Mittelerde-Paradigma
KKKategorie:Analysis]]
| EA = 29. Okt. 2007

| EAD = 15. Aug. 2009
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Wallissche Ungleichungen]]
| REG = Mark Cendrowski

| DRB = David Litt & Robert Cohen<br />Idee: Dave Goetsch


= Satz von Lusin-Denjoy =
Der '''Satz von Lusin-Denjoy''' ist einer der klassischen [[Lehrsatz|Sätze]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Analysis]]. Er geht auf zwei im Jahre 1912 in ein und derselben [[Fachzeitschrift]] nebeneinander veröffentlichte Arbeiten zurück, die von den beiden [[Mathematiker]]n [[Nikolai Nikolajewitsch Lusin]] und [[Arnaud Denjoy]] eingereicht wurden. Der Satz behandelt und klärt die wichtige Frage des [[Funktionenfolge#Konvergenzbegriffe|Konvergenzverhaltens]] der [[Trigonometrisches Polynom#Trigonometrische Reihe|reellen trigonometrischen Reihen]].<ref name="FGT-1">Francesco Giacomo Tricomi: ''Vorlesungen über Orthogonalreihen.'' 1970, S. 77 ff</ref><ref name="AZ-1">Antoni Zygmund: ''Trigonometric Series. Vol. I.'' 1977, S. 232 ff</ref>

== Formulierung des Lusin-Denjoy'schen Satzes ==
Er lässt sich folgendermaßen formulieren:<ref name="FGT-2">Tricomi, op. cit. , S. 77</ref>
:''Sei im [[Körper der reellen Zahlen]] <math>X \subseteq \R</math> eine [[Lebesgue-Maß#Charakterisierung der Lebesgue-Messbarkeit|Lebesgue-messbare]] [[Punktmenge]] von [[positive Zahl|positivem]] Lebesgue-Maß <math>\lambda(X)</math>.''
:''Sei weiter''
: <math>s(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_k\cos (kx)+b_k\sin (k x)\right) \; (x \in X)</math>
:''eine trigonometrische Reihe auf <math>X</math> mit aus [[reelle Zahl|reellen Zahlen]] bestehenden [[Koeffizient]]enfolgen <math>\left( a_k \right)_{k=0,1,2,3, \ldots}</math> und <math>\left( b_k \right)_{k=1,2,3, \ldots}</math>.''
:''Dann gilt:''
:''[[Notwendige und hinreichende Bedingung|Notwendig und hinreichend]] für die [[absolute Konvergenz]] der Reihe <math>s(x)</math> ist, dass die beiden zugehörigen Koeffizientenreihen''
:: <math>A = \sum_{k=1}^{\infty} { a_k }</math>
:''und''
:: <math>B = \sum_{k=1}^{\infty} { b_k }</math>
:''beide absolut konvergieren.''

=== Anmerkung zum Beweis ===
Beim Beweis des Satzes von Lusin-Denjoy liegt, wie der italienische Mathematiker [[Francesco Giacomo Tricomi]] in seinen ''Vorlesungen über Orthogonalreihen'' hervorhebt, die eigentliche Schwierigkeit und der wesentliche Beweisschritt in dem Nachweis, dass – unter den genannten Voraussetzungen! – aus der absoluten Konvergenz der gegebenen trigonometrischen Reihe <math>s(x)</math> notwendigerweise schon die absolute Konvergenz der beiden zugehörigen Koeffizientenreihen <math>A</math> und <math>B</math> folgt. Bei diesem Beweisschritt ist gemäß Tricomi ein Hilfssatz aus der reellen [[Maßtheorie]] bedeutsam, der im Wesentlichen folgendes besagt:<ref name="FGT-2" />
:''Ist <math>X \subseteq \R</math> eine Lebesgue-messbare reelle Punktmenge von positivem Lebesgue-Maß und ist auf dieser eine Lebesgue-messbare [[reelle Funktion]] <math>f \colon X \to \R</math> gegeben, so gibt es zu jeder vorgegebenen positiven reellen Zahl <math>{\lambda}^{*} < \lambda(X)</math> eine Lebesgue-messbare reelle Punktmenge <math>X^{*} \subseteq X</math>, die einerseits ein Lebesgue-Maß <math>\lambda(X^{*}) > {\lambda}^{*}</math> hat und für die andererseits die [[Einschränkung]] <math>f|_{X^{*}}</math> eine [[beschränkte Funktion]] ist.''

== Unmittelbare Folgerungen ==
Mit dem Satz von Lusin-Denjoy gewinnt man unmittelbar die folgenden beiden [[Korollar]]e:
:'' '''(I)''' Wenn unter den genannten Voraussetzungen die trigonometrische Reihe <math>s(x)</math> auch nur auf irgend einem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>I \subseteq X</math> von positiver [[Länge (Mathematik)|Länge]] absolut konvergent ist, so ist <math>s(x)</math> auch schon auf ganz <math>X</math> absolut konvergent.''<ref name="FGT-3">Tricomi, op. cit. , S. 79</ref>
:'' '''(II)''' Wenn eine trigonometrische Reihe <math>s(x)</math> auf einer beliebigen Punktmenge <math>X \subseteq \R</math> absolut konvergiert, so konvergiert <math>s(x)</math> auch schon absolut und [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] auf jedem darin gelegenen Intervall positiver Länge.''<ref name="FGT-4">Tricomi, op. cit. , S. 80</ref>

== Verwandter Satz ==
Eng verbunden mit dem Lusin-Denjoy'schen Satz ist der ''Satz von Cantor-Lebesgue'', der nach den beiden Mathematikern [[Georg Cantor]] und [[Henri Lebesgue]] benannt ist. Dieser Satz greift die verwandte Frage auf, inwieweit das Konvergenzverhalten einer trigonometrischen Reihe das Konvergenzverhalten der zugehörigen Koeffizientenfolgen beeinflusst. Er besagt nämlich:<ref name="FGT-5">Tricomi, op. cit. , S. 105–106</ref></ref><ref name="AZ-2">Zygmund, op. cit. , S. 316</ref>
:''Sind die allgemeinen Voraussetzungen des Satzes von Lusin-Denjoy erfüllt und sind hier für <math>x \in X</math> die [[Partialsumme]]n von <math>s(x)</math> durchweg [[Nullfolge]]n, so sind die beiden Koeffizientenfolgen <math>\left( a_k \right)_{k=0,1,2,3, \ldots}</math> und <math>\left( b_k \right)_{k=1,2,3, \ldots}</math> ebenfalls Nullfolgen. Dies ist insbesondere der Fall, wenn die <math>s(x)</math> auf <math>X</math> konvergieren.''

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=A. Denjoy
|Titel=Sur l'absolue convergence des séries trigonométriques
|Sammelwerk=[[Comptes rendus de l’Académie des sciences|Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris]]
|Band=155
|Datum=1912
|Seiten=580–582
|DOI=
|Online=[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31089/f141]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 7
|Autor=N. Lusin
| NR_ST = 7
|Titel=Sur l'absolue convergence des séries trigonométriques
| OT = The Dumpling Paradox
|Sammelwerk=Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris
| DT = Das Vorspeisen-Dilemma
|Band=155
| EA = 5. Nov. 2007
|Datum=1912
| EAD = 22. Aug. 2009
|Seiten=135–136
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Lee Aronsohn & Jennifer Glickman<br />Idee: Chuck Lorre & Bill Prady
|Online=
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 8
|Autor=Francesco Giacomo Tricomi
| NR_ST = 8
|Titel=Vorlesungen über Orthogonalreihen
| OT = The Grasshopper Experiment
|TitelErg=Übersetzt und zum Druck bearbeitet von Prof. Dr. [[Friedrich Kasch]], München
| DT = Das Lalita-Problem
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
| EA = 12. Nov. 2007
|BandReihe=76
| EAD = 29. Aug. 2009
|Auflage=2., korrigierte
| REG = [[Ted Wass]]
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
| DRB = Lee Aronsohn & Robert Cohen<br />Idee: Dave Goetsch & Steven Molaro
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
|Datum=1970
|ISBN=
|Seiten=
|DOI=
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Tricomi&s5=Orthogonalreihen&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=261250 MR0261250]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 9
|Autor=[[Antoni Zygmund]]
| NR_ST = 9
|Titel=Trigonometric Series. Volumes I and II
| OT = The Cooper-Hofstadter Polarization
|TitelErg=Reprinting of the 1968 Version of the Second Edition
| DT = Der Cooper-Hofstadter-Antagonismus
|Reihe=
| EA = 17. Mär. 2008
|BandReihe=
| EAD = 29. Aug. 2009
|Auflage=2.
| REG = [[Joel Murray]]
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
| DRB = Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Dave Goetsch<br />Idee: Bill Prady & Stephen Engel
|Ort=Cambridge, London, New York, Melbourne
|Datum=1977
|ISBN=0-521-07477-0
|Seiten=
|DOI=
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zygmund&s5=Trigonometric%20series&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=617944 MR0617944]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 10
== Einzelnachweise ==
| NR_ST = 10
rreferences />
| OT = The Loobenfeld Decay

| DT = Loobenfelds Netz der Lügen
KKKategorie:Analysis]]
| EA = 24. Mär. 2008

| EAD = 5. Sep. 2009
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Lusin-Denjoy]]
| REG = Mark Cendrowski

| DRB = Bill Prady & Lee Aronsohn<br />Idee: Chuck Lorre


= Mathieusche Ungleichungen =
Die '''mathieuschen Ungleichungen''' ({{enS|''Mathieu’s inequalities''}}) sind zwei klassische [[Ungleichung]]en, die dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Analysis]] angehören. Sie sind nach dem [[Frankreich|französischen]] [[Mathematiker]] [[Émile Léonard Mathieu]] benannt.

Die mathieuschen Ungleichungen liefern eine untere und einer obere [[Abschätzung]] zu gewissen [[Reihe (Mathematik)|Reihen]] [[Positive Zahl|positiver Zahlen]], von denen die obere von Mathieu im Jahre 1890 vermutet, aber nicht bewiesen wurde. Diese obere Abschätzung kommt in der [[Mathematische Physik|Mathematischen Physik]] zum Tragen, wo mit ihrer Hilfe [[Reihenentwicklung]]en zur Lösung von [[Randwertaufgabe]]n bei [[Elastizität (Physik)|Elastizitätsuntersuchungen]] hergeleitet werden können.<ref name="KS-a">Kurt Schröder: ''Das Problem der eingespannten rechteckigen elastischen Platte.'' Math. Ann. 121, S. 247 ff, S. 258 ff</ref>

Der erste vollständige Beweis der von Mathieu vermuteten oberen Abschätzung wurde im Jahre 1952 durch den deutschen Mathematiker [[Lothar Berg (Mathematiker)|Lothar Berg]] geliefert. In der Folge wurden dazu zahlreiche [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeiten]] verfasst, von denen die des [[Ungarn|ungarischen]] Mathematikers [[Endre Makai]] (1915–1987)<ref>Siehe [[:hu:Makkai_Endre_(egyértelműsítő_lap)|Eintrag in der ungarischen Wikipedia]]!</ref> aus dem Jahre 1957 besondere Erwähnung verdient, da hier der Autor den ersten gänzlich elementaren Beweis der mathieuschen Vermutung vorlegte.<ref name="DSM_a1">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 360–361, S. 392</ref><ref>Vgl. Liste ([http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=TI&s4=Mathieu&co4=AND&pg5=TI&s5=inequality&co5=AND&pg6=AUCN&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&review_format=html&Submit=Suche Liste im MathSciNet])!</ref>

== Formulierung ==
Die mathieuschen Ungleichungen besagen:<ref name="EM-I">E. Makai: ''On the inequality of Mathieu.'' Publ. Math. Debrecen 5 , S. 204–205</ref><ref name="DSM_a2">Mitrinović, op. cit., S. 360</ref>
:''Für jede [[reelle Zahl]] <math>x \neq 0</math> gelten die Abschätzungen''
:: <math>\frac{1}{x^2 + \frac{1}{2}} < \sum_{n=1}^{\infty} { \frac{2n}{(n^2+x^2)^2} } < \frac{1}{x^2}</math> &nbsp; .

=== Beweisskizze ===
Der Beweis lässt sich nach Makai folgendermaßen skizzieren:<ref name="EM-I" /><ref name="DSM_a3">Mitrinović, op. cit., S. 360–361</ref>

Für jedes reelle <math>x \neq 0</math> werden zwei [[unendliche Folge]]n <math>\left( a_n \right)_{n=1,2,3, \ldots}</math> und <math>\left( b_n \right)_{n=1,2,3, \ldots}</math> definiert, wobei für eine [[natürliche Zahl]] <math>n > 0</math>
: <math>a_n = \frac{1}{(n - \frac{1}{2})^2 + x^2 - \frac{1}{4} }</math>

und
: <math>b_n = \frac{1}{(n - \frac{1}{2})^2 + x^2 + \frac{1}{4} }</math>

gesetzt seien.

Mittels [[Term#Algebraische Umformungen|algebraischer Umformungen]] ergeben sich
: <math>a_n - a_{n+1} = \frac{2n}{(n^2+x^2)^2 - n^2} > \frac{2n}{(n^2+x^2)^2} </math>

und entsprechend
: <math>b_n - b_{n+1} = \frac{2n}{(n^2+x^2 + \frac{1}{2})^2 - n^2} = \frac{2n}{(n^2+x^2)^2 + x^2 + \frac{1}{4}} < \frac{2n}{(n^2+x^2)^2} </math> &nbsp; .

Nun bildet man die beiden zugehörigen [[Teleskopsumme]]n und gewinnt so die Ungleichungskette
: <math>
\begin{align}
\frac{1}{x^2 + \frac{1}{2}} &= b_1 \\
&= \sum_{n=1}^{\infty} { (b_n - b_{n+1}) } \\
&< \sum_{n=1}^{\infty} { \frac{2n}{(n^2+x^2)^2} } \\
&< \sum_{n=1}^{\infty} { (a_n - a_{n+1}) } \\
&= a_1 \\
&= \frac{1}{x^2} \\
\end{align}
</math>

und daraus die behaupteten Abschätzungen.

== Anmerkung ==
Noch in der Abhandlung des Jahres 1949 verwies der Mathematiker [[Kurt Schröder (Mathematiker)|Kurt Schröder]] darauf, dass er die Richtigkeit der oberen mathieuschen Ungleichung nicht einsehen könne.<ref name="KS-b">Schröder, op. cit. S. 260 </ref>

Statt dessen bewies er die schwächere (für seine Zielsetzung aber ausreichende) Ungleichung
:: <math>\sum_{n=1}^{\infty} { \frac{n}{(n^2+x^2)^2} } < \frac{2}{3 x^2}</math> &nbsp; .<ref name="KS-c">Schröder, op. cit. S. 258 </ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=L. Berg
|Titel=Über eine Abschätzung von Mathieu
|Sammelwerk=[[Mathematische Nachrichten]]
|Band=7
|Datum=1952
|Seiten=257–259
|DOI=10.1002/mana.19520070502
|Online=}}
* {{Literatur
|Autor=E. Makai
|Titel=On the inequality of Mathieu
|Sammelwerk=[[Publicationes Mathematicae Debrecen]]
|Band=5
|Datum=1957
|Seiten=204–205
|DOI=
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Makai%2C%20E&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=88&mx-pid=91361 MR0091361]}}
* {{Literatur
|Autor=E. Mathieu
|Titel=Traité de physique mathématique
|TitelErg=VI–VII, part 2
|Kapitel=Kap. X
|Reihe=
|BandReihe=
|Verlag=
|Ort=Paris
|Datum=1890
|ISBN=
|Online=}}
* {{Literatur
|Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
|Titel=Analytic Inequalities
|TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
|BandReihe=165
|Auflage=
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
|Datum=1970
|ISBN=3-540-62903-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}
* {{Literatur
|Autor=Kurt Schröder
|Titel=Das Problem der eingespannten rechteckigen elastischen Platte
|Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]]
|Band=121
|Datum=1959
|Seiten=247–326
|DOI=
|Online=}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==

rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Mathieusche Ungleichungen]]

= Ungleichungen von Weierstraß =
Die '''Ungleichungen von Weierstraß''' ({{enS|''Weierstrass’ inequalities''}}) gehören zu den elementaren [[Ungleichung]]en des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiets]] der [[Analysis]]. Sie gehen auf den deutschen [[Mathematiker]] [[Karl Weierstraß]] zurück.<ref name="DSM_a">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 210, S. 396</ref>

Die weierstraßschen Ungleichungen führten zu einer Anzahl weiterführender Untersuchungen, welche verbesserte und allgemeinere Ungleichungen ähnlichen Typs lieferten.<ref>Vgl. Liste ([http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publications.html?pg4=TI&s4=Weierstrass&co4=AND&pg5=TI&s5=inequalities&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&review_format=html&Submit=Suche]) im MathSciNet!</ref>

== Formulierung ==
Die Ungleichungen lauten folgendermaßen:<ref name="DSM_b">Mitrinović, op. cit., S. 210</ref>
:''Gegeben seien zu einer [[natürliche Zahl]] <math>N > 0</math> im [[Offene Teilmenge|offenen]] [[Reelles Intervall|reellen Intervall]] <math>(0, 1)</math> die <math>N</math> [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>a_1, \ldots, a_N \in (0, 1)</math>.''
:''Dann gelten:''
:: '''(W1a)''' <math>\prod_{k=1}^N {(1-a_k)} > 1 - \sum_{k=1}^N {a_k}</math>
:: '''(W1b)''' <math>\prod_{k=1}^N {(1-a_k)} < \frac{1}{ 1 + \sum_{k=1}^N {a_k} } </math>
:: '''(W2a)''' <math>\prod_{k=1}^N {(1+a_k)} > 1 + \sum_{k=1}^N {a_k} </math>
:: '''(W2b)''' <math>\prod_{k=1}^N {(1+a_k)} < \frac{1}{ 1 - \sum_{k=1}^N {a_k} } </math> &nbsp;, ''sofern'' <math>\sum_{k=1}^N {a_k} < 1 </math>

=== Anmerkung ===
Die obigen Ungleichungen '''(W1a)''' und '''(W2a)''' beinhalten eine Verallgemeinerung der [[Bernoullische Ungleichung|bernoullischen Ungleichung]].<ref>Vgl. Mitrinović, op. cit., S. 35!</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
|Titel=Analytic Inequalities
|TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
|BandReihe=165
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin (u.a.)
|Datum=1970
|ISBN=3-540-62903-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 11
== Einzelnachweise und Fußnoten ==
| NR_ST = 11
rreferences />
| OT = The Pancake Batter Anomaly

| DT = Alles fließt
KKKategorie:Analysis]]
| EA = 31. Mär. 2008

| EAD = 5. Sep. 2009
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Weierstraß, Ungleichung von]]
| REG = Mark Cendrowski

| DRB = Bill Prady & Stephen Engel<br />Idee: Chuck Lorre & Lee Aronsohn

= Weierstrass product inequality (improved)=
In [[real analysis]], the following four [[inequality (mathematics)|inequalities]] are joined with the name of the [[Germany|German]] [[mathematician]] [[Karl Weierstrass]]:

Given a [[positive integer]] <math>N</math> and [[real number]]s <math>a_1, \ldots, a_N \in (0, 1)</math>, it follows that
: <math>\prod_{k=1}^N {(1-a_k)} > 1 - \sum_{k=1}^N {a_k}</math>
: <math>\prod_{k=1}^N {(1-a_k)} < \frac{1}{ 1 + \sum_{k=1}^N {a_k} } </math>
: <math>\prod_{k=1}^N {(1+a_k)} > 1 + \sum_{k=1}^N {a_k} </math>
: <math>\prod_{k=1}^N {(1+a_k)} < \frac{1}{ 1 - \sum_{k=1}^N {a_k} } </math> &nbsp;, ''given that'' <math>\sum_{k=1}^N {a_k} < 1 .</math>

==Reference==
*{{cite book
| last = [[Dragoslav Mitrinović|Mitrinović]]
| first = D. S.
| title = Analytic Inequalities
| pages = 210
| publisher = [[Springer Verlag]]
| series = Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
| volume = 165
| edition = first
| year = 1970
| location = Berlin
| isbn = 3-540-62903-3
| mr = 0274686}}

CCCategory:Inequalities]]

= Ungleichung von Schweitzer =
Die '''Ungleichung von Schweitzer''' ({{enS|''Schweitzer’s inequality''}}) ist ein [[Ungleichung]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiets]] der [[Analysis]] und in gewisser Weise komplementär zur [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Ungleichung von Cauchy-Schwarz]]. Sie geht auf eine [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]] eines [[Pál Schweitzer]]<ref>Siehe Diskussion! Möglicherweise handelt es sich um den aus Ungarn stammenden, später in die USA ausgewanderten Maschinenbauingenieur '''Paul Henry [[Schweitzer (Familienname)|Schweitzer]]''' (1893-1980).</ref> aus dem Jahre 1914 zurück, an die in der Folge eine Anzahl von weiterführenden Untersuchungen anschloss, welche weitere Ungleichungen gleichen Typs lieferten. Mit der schweitzerschen Ungleichung gewinnt man (nicht zuletzt) gewisse obere [[Abschätzung]]en für die [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittelwerte]] von [[endlich viele]]n [[positive Zahl|positiven Zahlen]].<ref name="DSM_A">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 59–66</ref><ref name="GP-GS-01">Georg Pólya, Gábor Szegö: ''Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Bd. I.'' 1970, S. 57, S. 213–214</ref><ref name="JBD-FTM-I">J. B. Diaz, F. T. Metcalf: ''Inequalities complementary to Cauchy's inequality for sums of real numbers.'' In: Oved Shisha (Hrsg.): ''Inequalities: Proceedings of a Symposium Held at Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, August 19 - 27, 1965.'' Academic Press, New York, London (1967), S. 73–77</ref>

== Formulierung ==
Die Ungleichung besagt folgendes:<ref name="DSM_B">Mitrinović, op. cit., S. 59</ref>
:''Gegeben seien ein [[reelles Intervall]] <math>[m, M] \subset \R^{>0}</math> zu zwei positiven Zahlen <math>m \leq M</math> und weiter eine [[natürliche Zahl]] <math>N > 0</math> sowie <math>N</math> positive Zahlen <math>a_1, \ldots, a_N \in [m, M]</math>.''
:''Dann gilt:''
:: <math>\left( \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N {a_k} \right) \cdot \left( \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N { \frac{1}{a_k} } \right) \leq \frac{(m + M)^2}{4mM} </math> &nbsp;.
:''Sind weiter ein beliebiges reelles Intervall <math>[a, b] \subseteq \R</math> sowie eine [[reelle Funktion]] <math>f \colon [a, b] \to [m, M] </math> gegeben und sind <math>f</math> und ebenso die zugehörige reelle Funktion <math>x \mapsto \frac{1}{f(x)}</math> [[Integralrechnung#Konstruktionen|integrierbar]], so gilt die Integralungleichung''
:: <math>\left( \frac{1}{b - a} \int_a^b {f(x)} \,dx \right) \cdot \left( \frac{1}{b - a}\int_a^b {\frac{1}{f(x)} } \,dx \right)
\leq
\frac{(m + M)^2}{4mM} </math> &nbsp;.

== Verallgemeinerung ==
Im Band I ihres zweibändigen Lehrbuchs ''Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis'' präsentieren [[George Pólya|Georg Pólya]] und [[Gábor Szegö]] eine weitgehende Verallgemeinerung der schweitzerschen Ungleichung:<ref name="GP-GS-02">Pólya/Szegö, op. cit. S. 57</ref><ref name="DSM_C">Mitrinović, op. cit., S. 60</ref><ref name="JBD-FTM-II">Diaz/Metcalf, op. cit., S. 74</ref>
:''Gegeben seien zwei reelle Intervalle <math>[m_1, M_1] , [m_2, M_2] \subset \R^{>0}</math> zu vier positiven Zahlen <math>m_1 \leq M_1, m_2 \leq M_2</math> und weiter eine natürliche Zahl <math>N > 0</math> sowie <math>2N</math> positive Zahlen <math>a_1, \ldots, a_N \in [m_1, M_1]</math> und <math>b_1, \ldots, b_N \in [m_2, M_2]</math>.''
:''Dann gilt:''
:: <math> 1
\leq
\frac{ \left( \sum_{k=1}^N { {a_k}^2} \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^N { {b_k}^2} \right) }{\left( \sum_{k=1}^N { a_k b_k} \right)^2 }
\leq
\left( \frac{ \sqrt{ \frac{M_1 M_2}{m_1 m_2} } + \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{M_1 M_2} } }{2} \right)^2 </math> &nbsp;.
:''Sind weiter ein beliebiges reelles Intervall <math>[a, b] \subseteq \R</math> sowie zwei integrierbare reelle Funktionen <math>f_1 \colon [a, b] \to [m_1, M_1] </math> und <math>f_2 \colon [a, b] \to [m_2, M_2] </math> gegeben, so ist''
:: <math> 1
\leq
\frac{ \left( \int_a^b { [f_1(x)]^2 \,dx } \right) \cdot \left( \int_a^b {[f_2(x)]^2 \,dx } \right) }{\left( \int_a^b {f_1(x) f_2(x) \,dx } \right)^2 }
\leq
\left( \frac{ \sqrt{ \frac{M_1 M_2}{m_1 m_2} } + \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{M_1 M_2} } }{2} \right)^2 </math> &nbsp;.<ref>Hier und zuvor entspricht die vordere Ungleichung der Ungleichung von Cauchy-Schwarz.</ref>

=== Anmerkung ===
Manche Autoren bezeichnen die Ungleichung von Schweitzer, die oben genannte Ungleichung von Pólya-Szegö und auch weitere Ungleichungen ähnlichen Typs als zur [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] ''komplementäre Ungleichungen'' ({{enS|''complementary inequalities''}}).<ref name="JBD-FTM-I" />

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=J. B. Diaz, F. T. Metcalf
|Titel=Inequalities complementary to Cauchy's inequality for sums of real numbers
|Sammelwerk=Oved Shisha (Hrsg.): Inequalities: Proceedings of a Symposium Held at Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, August 19–27, 1965, Academic Press, New York, London
|Band=
|Datum=1967
|Seiten=73–77
|DOI=
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Diaz&s5=Metcalf&s6=complementary&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=222228 MR0222228]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 12
|Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
| NR_ST = 12
|Titel=Analytic Inequalities
| OT = The Jerusalem Duality
|TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
| DT = Das Jerusalem-Projekt
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
| EA = 14. Apr. 2008
|BandReihe=165
| EAD = 12. Sep. 2009
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
| REG = Mark Cendrowski
|Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
| DRB = Dave Goetsch & Steven Molaro<br />Idee: Jennifer Glickman & Stephen Engel
|Datum=1970
|ISBN=3-540-62903-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 13
|Autor=Georg Pólya, Gábor Szegö
| NR_ST = 13
|Titel=Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis
| OT = The Bat Jar Conjecture
|TitelErg=Band I: Reihen, Integralrechnung, Funktionentheorie
| DT = Superbowl für Physiker
|Reihe=Heidelberger Taschenbücher
| EA = 21. Apr. 2008
|BandReihe=73
| EAD = 12. Sep. 2009
|Auflage=4.
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
| DRB = Bill Prady & Robert Cohen<br />Idee: Stephen Engel & Jennifer Glickman
|Ort=Berlin
|Datum=1970
|ISBN=
|Seiten=
|DOI=
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Aufgaben%20und%20Lehrs%C3%A4tze%20aus%20der%20Analysis%20&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=271277 MR0271277]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 14
|Autor=P. Schweitzer
| NR_ST = 14
|Titel=Egy egyenlötlenség az aritmetikai középértékröl [''Eine Ungleichung im Zusammenhang mit dem arithmetischen Mittel'']
| OT = The Nerdvana Annihilation
|Sammelwerk=Math. és phys. lapok
| DT = Die Zeitmaschine
|Band=23
| EA = 28. Apr. 2008
|Datum=1914
| EAD = 19. Sep. 2009
|Seiten=257–261
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Stephen Engel & Steven Molaro<br />Idee: Bill Prady
|Online=
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 15
| NR_ST = 15
| OT = The Pork Chop Indeterminacy
| DT = Sheldon 2.0
| EA = 5. Mai 2008
| EAD = 19. Sep. 2009
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Lee Aronsohn & Bill Prady<br />Idee: Chuck Lorre
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 16
| NR_ST = 16
| OT = The Peanut Reaction
| DT = Die Erdnuss-Reaktion
| EA = 12. Mai 2008
| EAD = 26. Sep. 2009
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Dave Goetsch & Steven Molaro<br />Idee: Bill Prady & Lee Aronsohn
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 17
| NR_ST = 17
| OT = The Tangerine Factor
| DT = Schrödingers Katze
| EA = 19. Mai 2008
| EAD = 26. Sep. 2009
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Lee Aronsohn & Steven Molaro<br />Idee: Chuck Lorre & Bill Prady
}}
}}
* {{Literatur
|Herausgeber=Oved Shisha
|Titel=Inequalities: Proceedings of a Symposium Held at Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, August 19–27, 1965
|TitelErg=
|Reihe=
|BandReihe=
|Auflage=
|Verlag=[[Academic Press]]
|Ort=New York, London
|Datum=1967
|ISBN=
|Seiten=
|DOI=
|Online=
}}
}}


== Staffel 2 ==
== Einzelnachweise und Fußnoten ==
{{Hauptartikel|The Big Bang Theory/Staffel 2}}
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Schweitzer, Ungleichung von]]

KKKategorie:Ungleichung|Schweitzer, Ungleichung von]]

= Ungleichung von Popoviciu =
Die '''Ungleichung von Popoviciu''' ({{enS|''Popoviciu’s inequality''}}) ist ein [[Lehrsatz]] der [[Analysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiete der Mathematik]]. Die [[Ungleichung]], welche einer [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]] des [[Rumänien|rumänischen]] [[Mathematiker]]s [[Tiberiu Popoviciu]] (1906–1975)<ref>Vgl. Artikel [[:ro:Tiberiu Popoviciu|Tiberiu Popoviciu]] in der der rumänischen Wikipedia!</ref> aus dem Jahre 1965 entstammt, stellt eine [[Charakterisierung|charakteristische Eigenschaft]] [[stetig]]er [[Konvexe Funktion|konvexer Funktionen]] auf [[Reelles Intervall|reellen Intervallen]] dar. Sie lässt sich als Folgerung aus dem [[Majorisierungsprinzip von Hardy-Littlewood-Pólya]] gewinnen.<ref name="CPN-LEP-01">Constantin P. Niculescu, Lars-Erik Persson: ''Convex Functions and Their Applications.'' 2006, S. 12, 33</ref>

== Formulierung ==
Der Lehrsatz lässt sich angeben wie folgt:<ref name="CPN-LEP-02">Niculescu/Persson, op. cit., S. 12</ref>
:''Gegeben seien ein beliebiges reelles Intervall <math>I \subseteq \R</math> und eine stetige [[reelle Funktion]] <math>f \colon I \to \R </math>.''
:''Dann sind folgende Bedingungen gleichwertig:''
:'' '''(B_1)''' <math>f</math> ist eine [[konvexe Funktion]].''
:'' '''(B_2)''' Je drei [[reelle Zahl]]en <math>x,y,z \in I</math> erfüllen die Ungleichung''
:: <math>\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3} + f \left( \frac{x+y+z}{3} \right) \geq \frac{2}{3} \cdot \bigl[ f \left( \frac{x+y}{2} \right) + f \left( \frac{y+z}{2} \right) + f \left( \frac{z+x}{2} \right) \bigr] </math> &nbsp;.
:''Dabei ist <math>f</math> [[Konvexe Funktion|streng konvex]] dann und nur dann, wenn für je drei <math>x,y,z \in I</math>, vom Fall <math>x=y=z</math> abgesehen, die obige Ungleichung mit dem [[Vergleichszeichen]] <math> > </math> anstelle des [[Vergleichszeichen]]s <math> \geq </math> gilt.''

=== Zwei Ungleichungen als Anwendung ===
Mit Hilfe von Popovicius Ungleichung lassen sich unter anderem die folgenden beiden herleiten:<ref name="CPN-LEP-03">Niculescu/Persson, op. cit., S. 14</ref>
:''Für je drei reelle Zahlen <math>a, b, c > 0</math>, welche nicht alle gleich sind, gilt stets:''
:: '''(1)''' <math>27 (a+b)^2 (b+c)^2 (c+a)^2 > 64 abc (a+b+c)^3 </math> &nbsp;.
:: '''(2)''' <math>a^6 + b^6 + c^6 + 3a^2 b^2 c^2 > 2 \left( a^3 b^3 +b^3 c^3 + c^3 a^3 \right) </math> &nbsp;.

=== Allgemeinere Ungleichungen, Integralversion ===
Tiberiu Popoviciu gab in der Arbeit von 1965 seine Ungleichung in einer noch allgemeineren Fassung an, welche in der Folge – insbesondere durch [[Petar Vasić|Petar M. Vasić]] und [[Ljubomir R. Stanković]] – noch erweitert wurde.<ref name="CPN-LEP-04">Niculescu/Persson, op. cit., S. 60</ref> Andere Autoren fanden weitere Verallgemeinerungen und Abwandlungen.<ref>Vgl. Liste ([http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=Popoviciu%E2%80%99s+inequality&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&review_format=html&Submit=Suche =>]) im MathSciNet!</ref> Nicht zuletzt wurde die Ungleichung von Popoviciu auch in eine Integralversion übertragen.<ref name="CPN-01">Constantin P. Niculescu: ''The integral version of Popoviciu's inequality.'' J. Math. Inequal. 3 (2009), no. 3, 323–328</ref>


Die Erstausstrahlung der zweiten Staffel war vom 22. September 2008 bis zum 11. Mai 2009 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender [[Columbia Broadcasting System|CBS]] zu sehen. Die deutschsprachige Erstausstrahlung sendete der deutsche [[Free-TV]]-Sender [[ProSieben]] vom 10. Oktober bis zum 19. Dezember 2009.
== Weitere Ungleichung von Popoviciu ==
Mit dem Namen von Tiberiu Popoviciu sind einige weitere Ungleichungen verbunden und insbesondere die folgende, welche eine Verallgemeinerung einer bekannten Ungleichung von [[János Aczél]] darstellt:<ref name="SW-01">Shanhe Wu: ''Some improvements of Aczél’s inequality and Popoviciu’s inequality'' In: Comput. Math. Appl. 56, S. 1196 ff</ref><ref name="DSM">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 58, 39</ref>
:''Gegeben seien [[reelle Zahl]]en <math>p,q > 1 \text{ mit } \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1 </math> sowie (zu einer gegebenen [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] <math>n \geq 2</math>) zwei <math>n</math>-Tupel <math>(a_1, \ldots, a_n)</math> und <math>(b_1, \ldots, b_n)</math> [[Positive Zahl|positiver reeller Zahlen]].''
:''Weiter seien <math>{a_1}^p - {a_2}^p- \ldots - {a_n}^p > 0</math> und <math>{b_1}^q - {b_2}^q- \ldots - {b_n}^q > 0</math> &nbsp;.''
:''Dann gilt:''
::<math>\left( {a_1}^p - {a_2}^p - \ldots - {a_n}^p \right)^{\tfrac{1}{p}} \left( {b_1}^q - {b_2}^q - \ldots - {b_n}^q \right)^{\tfrac{1}{q}} \leq a_1 b_1 - a_2 b_2 - \ldots - a_n b_n </math> &nbsp;.<ref>Die ''Ungleichung von Aczél'' ergibt sich durch Setzung von <math>p=q=2</math> &nbsp;.</ref>


{{Episodenlistentabelle
== Literatur ==
| SORTIERBAR = nein
* {{Literatur
| ERSTAUSSTRAHLUNG_LAND = USA
|Autor=Marcela V. Mihai, Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis
| ZUSAMMENFASSUNG = nein
|Titel=New extensions of Popoviciu's inequality
| ERSTAUSSTRAHLUNG_DE = D
|Sammelwerk=Mediterranean Journal of Mathematics
| DEUTSCHE_PRODUKTION = nein
|Band=13
| REGISSEUR = ja
|Datum=2016
| DREHBUCH = ja
|Seiten=3121–3133
| INHALT =
|DOI=
{{Episodenlisteneintrag2
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Popoviciu%E2%80%99s%20inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=3554298 MR3554298]
| NR_GES = 18
| NR_ST = 1
| OT = The Bad Fish Paradigm
| DT = Milch mit Valium
| EA = 22. Sep. 2008
| EAD = 10. Okt. 2009
| REG = [[Mark Cendrowski]]
| DRB = Steven Molaro & David Goetsch<br />Idee: Bill Prady
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 19
|Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
| NR_ST = 2
|Titel=Analytic Inequalities
| OT = The Codpiece Topology
|TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
| DT = Sex mit der Erzfeindin
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
| EA = 29. Sep. 2008
|BandReihe=165
| EAD = 10. Okt. 2009
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
| REG = Mark Cendrowski
|Ort=Berlin (u.a.)
| DRB = Bill Prady & Lee Aronsohn<br />Idee: Chuck Lorre
|Datum=1970
|ISBN=3-540-62903-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 20
|Autor=Constantin Niculescu, Lars-Erik Persson
| NR_ST = 3
|Titel=Convex Functions and Their Applications
| OT = The Barbarian Sublimation
|TitelErg=A Contemporary Approach
| DT = Das Conan-Spiel
|Reihe=CMS Books in Mathematics
| EA = 6. Okt. 2008
|BandReihe=23
| EAD = 17. Okt. 2009
|Auflage=
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
| DRB = Steven Molaro & Eric Kaplan<br />Idee: Nicole Lorre
|Ort=New York
|Datum=2006
|ISBN=978-0387-24300-9
|Seiten=
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Persson&s5=Convex%20Functions&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2178902 MR2178902]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 21
|Autor=Constantin P. Niculescu
| NR_ST = 4
|Titel=The integral version of Popoviciu's inequality
| OT = The Griffin Equivalency
|Sammelwerk=Journal of Mathematical Inequalities
| DT = Planet Bollywood
|Band=3
| EA = 13. Okt. 2008
|Datum=2009
| EAD = 17. Okt. 2009
|Seiten=323–328
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Stephen Engel & Tim Doyle<br />Idee: Chuck Lorre & Bill Prady
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Popoviciu%E2%80%99s%20inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=2597657 MR2597657]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 22
|Autor=T. Popoviciu
| NR_ST = 5
|Titel=Sur quelques inégalités
| OT = The Euclid Alternative
|Sammelwerk=Gaz. Mat. Fiz. Ser. A
| DT = Homo Novus Automobilis
|Band=11 (64)
| EA = 20. Okt. 2008
|Datum=1959
| EAD = 24. Okt. 2009
|Seiten=451–461
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Steven Molaro & Bill Prady<br />Idee: Lee Aronsohn & David Goetsch
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Popoviciu&s5=Gaz.&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=125925 MR0125925]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 23
|Autor=Tiberiu Popoviciu
| NR_ST = 6
|Titel=Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes
| OT = The Cooper-Nowitzki Theorem
|Sammelwerk=Analele Ştiințifice Univ. “Al. I. Cuza”, Iasi, Secția Mat. [Neue Serie]
| DT = Das Cooper-Nowitzki-Theorem
|Band=11
| EA = 3. Nov. 2008
|Datum=1965
| EAD = 24. Okt. 2009
|Seiten=155–164
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Tim Doyle & Richard Rosenstock<br />Idee: Stephen Engel & Daley Haggar
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Popoviciu%2C%20Tiberiu&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=30&mx-pid=206178 MR0206178]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 24
|Autor=Shanhe Wu
| NR_ST = 7
|Titel=Some improvements of Aczél’s inequality and Popoviciu’s inequality
| OT = The Panty Pinata Polarization
|Sammelwerk=Computers & Mathematics with Applications
| DT = Dessous auf der Oberleitung
|Band=56
|Datum=2008
| EA = 10. Nov. 2008
| EAD = 31. Okt. 2009
|Seiten=1196–1205
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=10.1016/j.camwa.2008.02.021
| DRB = Jennifer Glickman & Steven Molaro<br />Idee: Bill Prady & Tim Doyle
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Popoviciu%E2%80%99s%20inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=7&mx-pid=2437287 MR2437287]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 25
== Einzelnachweise und Fußnoten ==
| NR_ST = 8
rreferences />
| OT = The Lizard-Spock Expansion

| DT = Stein, Schere, Spock
KKKategorie:Analysis]]
| EA = 17. Nov. 2008

| EAD = 31. Okt. 2009
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Popoviciu , Ungleichung von]]
| REG = Mark Cendrowski

| DRB = Jennifer Glickman & David Goetsch<br />Idee: Bill Prady
= Ungleichung von Mulholland =
Die '''Ungleichung von Mulholland''' ({{enS|''Mulholland’s inequality''}}) ist ein Resultat der [[Analysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiete der Mathematik]]. Die [[Ungleichung]] ist verwandt mit der [[Minkowskische Ungleichung|minkowskischen Ungleichung]], welche sich im Wesentlichen aus der mulhollandschen Ungleichung als [[Korollar]] ergibt. Sie wurde von [[H.P. Mulholland]] im Jahre 1950 [[Wissenschaftliche Publikation|publiziert]] und gab Anlass zu einer Reihe weiterführender Untersuchungen.<ref name="MK-a">Marek Kuczma: ''An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities.'' 2009, S. 218–222</ref><ref name="DSM-a">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 55 ff </ref>

== Formulierung ==
Das Resultat lässt sich angeben wie folgt:<ref name="MK-b">Kuczma, op. cit., S. 221</ref><ref name="DSM-b">Mitrinović, op. cit., S. 56–57</ref>
:''Gegeben seien das [[Reelles Intervall|reelle Intervall]] <math>I = [0, \infty)</math> und eine [[reelle Funktion]] <math>f \colon I \to I </math> mit folgenden Eigenschaften:''
::'' '''(1)''' <math>f(0) = 0</math> &nbsp;.
::'' '''(2)''' <math>f </math> ist ein [[stetig]]e [[Bijektion]] und dabei eine [[streng monoton steigende Funktion]].''
::'' '''(3)''' Die [[Einschränkung]] <math>f|_{(0, \infty)}</math> auf das [[Innerer Punkt#Definition|Innere]] des Intervalls ist eine [[Jensen-konvexe Funktion]].''
::'' '''(4)''' Die durch die Zuordnung <math>t \mapsto F(t) = \ln \left( f \left( e^t \right) \right)</math> gegebene reelle Funktion <math>F \colon \R \to \R</math> ist ebenfalls Jensen-konvex.''

:''Dann gilt für jede [[natürliche Zahl]] <math>N > 0</math> und je zwei <math>N</math>-[[Tupel]] <math>(a_1, \ldots, a_N) , (b_1, \ldots, b_N) \in I^N</math> stets die Ungleichung''
:: <math> f^{-1} \left( \sum_{i=1}^N {f (a_i+b_i)} \right) \leq f^{-1} \left( \sum_{i=1}^N {f (a_i)} \right) + f^{-1} \left( \sum_{i=1}^N {f (b_i)} \right)</math> &nbsp;.

=== Korollar ===
Nimmt man oben (zu einer gegebenen reellen Zahl <math>p \geq 1</math>) als Funktion <math>f</math> die [[Potenzfunktion]] <math>t \mapsto f(t) = t^p \; (t \geq 0)</math> , so erhält man eine Version der minkowskischen Ungleichung:<ref name="MK-b" /><ref>Dabei folgt man der Konvention <math>0^p = \sqrt[p]{0}= 0</math>.</ref>
:''Für jede natürliche Zahl <math>N > 0</math> und je zwei <math>N</math>-Tupel <math>(a_1, \ldots, a_N)</math> und <math>(b_1, \ldots, b_N)</math> [[Positive und negative Zahlen|nichtnegativer reeller Zahlen]] gilt stets''
:: <math> \sqrt[p]{ \sum_{i=1}^N {(a_i+b_i)^p} } \leq \sqrt[p]{ \sum_{i=1}^N {{a_i}^p} } + \sqrt[p]{ \sum_{i=1}^N {{b_i}^p} }</math> &nbsp;.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Marek Kuczma]]
|Titel=An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities
|TitelErg=Cauchy's Equation and Jensen's Inequality
|Reihe=
|BandReihe=
|Auflage=2.
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
|Ort=Basel
|Datum=2009
|ISBN=978-3-7643-8748-8
|Seiten=
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kuczma&s5=Introduction&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2467621 MR2467621]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 26
|Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
| NR_ST = 9
|Titel=Analytic Inequalities
| OT = The White Asparagus Triangulation
|TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
| DT = Unflotter Dreier
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
| EA = 24. Nov. 2008
|BandReihe=165
| EAD = 7. Nov. 2009
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
| REG = Mark Cendrowski
|Ort=Berlin (u.a.)
| DRB = Stephen Engel & Richard Rosenstock<br />Idee: David Goetsch & Steven Molaro
|Datum=1970
|ISBN=3-540-62903-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 27
|Autor=H. P. Mulholland
| NR_ST = 10
|Titel=On generalizations of Minkowski's inequality in the form of a triangle inequality
| OT = The Vartabedian Conundrum
|Sammelwerk=[[Proceedings of the London Mathematical Society|Proceedings of the London Mathematical Society (2)]]
| DT = Kleines Gesäß mit Honig<!-- Dieser Episodentitel ist der einzige, der fast überall falsch mit „Kleines Gefäß mit Honig“ angegeben wird. Korrekt ist tatsächlich das Wort „Gesäß“, da es auf einen Versprecher Sheldons beruht. -->
|Band=51
| EA = 8. Dez. 2008
|Datum=1950
| EAD = 7. Nov. 2009
|Seiten=294–307
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Richard Rosenstock & Bill Prady<br />Idee: Steven Molaro & Chuck Lorre
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mulholland&s5=inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=33865 MR0033865]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 28
|Autor=Zhen Xiao Huang, Bicheng Yang
| NR_ST = 11
|Titel=On a half-discrete Hilbert-type inequality similar to Mulholland's inequality
| OT = The Bath Item Gift Hypothesis
|Sammelwerk=[[Journal of Inequalities and Applications]]
| DT = Die Geschenk-Hypothese
|Band=
| EA = 15. Dez. 2008
|Datum=2013
| EAD = 14. Nov. 2009
|Seiten=2013:290
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Eric Kaplan & Stephen Engel<br />Idee: Richard Rosenstock & Bill Prady
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Mulholland%27s%20inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=3073994 MR3073994]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 29
== Einzelnachweise und Fußnoten ==
| NR_ST = 12
rreferences />
| OT = The Killer Robot Instability

| DT = Monte, der Roboter
KKKategorie:Analysis]]
| EA = 12. Jan. 2009

| EAD = 14. Nov. 2009
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Mulholland, Ungleichung von]]
| REG = Mark Cendrowski

| DRB = Daley Haggar & Steven Molaro<br />Idee: Richard Rosenstock & Bill Prady



= Ungleichung von Grüss =



= Jordansche Ungleichung (Überschneidung mit [[Jordan-Ungleichung]]!) =
Die '''Jordansche Ungleichung''' ({{enS|''Jordan’s inequality''}}) ist eine [[Ungleichung]] der [[Analysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]]. Sie geht auf den [[Frankreich|französischen]] Mathematiker [[Camille Jordan]] zurück und liefert eine [[Abschätzung]] zur [[Reelle Funktion|reellen]] [[Sinusfunktion]].<ref name="DSM-01">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 33, 391</ref>

== Formulierung ==
Die Ungleichung lautet:<ref name="DSM-02">Mitrinović, op. cit.'' 1970, S. 33</ref>
:''Für eine [[reelle Zahl]] <math>t</math> mit <math>0 < t \leq \frac{\pi}{2}</math> ist stets''
:: <math> \frac{\sin t}{t} \geq \frac{2}{\pi}</math> &nbsp;,
: ''wobei nur im Falle <math>t = \frac{\pi}{2}</math> Gleichheit gilt.''

== Folgerung ==
:''Für eine reelle Zahl <math>t</math> mit <math>0 < |t| \leq \frac{\pi}{2}</math> ist stets''
:: <math> \frac{2}{\pi} \leq \frac{\sin t}{t} < 1 </math> &nbsp; .''

== Verwandte Ungleichung ==
Ausgehend von einer Aufgabenstellung des [[Vereinigte Staaten|US-amerikanischen]] Mathematikers [[Raymond Redheffer]] bewiesen J. P. Williams und andere:<ref name="DSM-02" /><ref name="RR-JPW-01">Raymond Redheffer, J. P. Williams: ''Solutions of Advanced Problems: 5642.'' In: Amer. Math. Monthly, 76, S. 1153–1154</ref>
:''Für eine reelle Zahl <math>t \; (t \neq 0)</math> ist stets''
:: <math>\frac{\sin t}{t} \geq \frac{{\pi}^2 - t^2}{{\pi}^2 + t^2} </math> &nbsp; .

== Quellen und Hintergrundliteratur==
* {{Literatur
|Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
|Titel=Analytic Inequalities
|TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
|BandReihe=165
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin (u.a.)
|Datum=1970
|ISBN=3-540-62903-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 30
|Autor=Raymond Redheffer, J. P. Williams
| NR_ST = 13
|Titel=Solutions of Advanced Problems: 5642
| OT = The Friendship Algorithm
|Sammelwerk=[[American Mathematical Monthly]]
| DT = Der Freundschafts-Algorithmus
|Band=76
| EA = 19. Jan. 2009
|Datum=1969
| EAD = 21. Nov. 2009
|Seiten=1153–1154
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=10.2307/2317211
| DRB = Chuck Lorre & Steven Molaro<br />Idee: Bill Prady & Richard Rosenstock
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Redheffer&s5=Amer.%20Math.%20Monthly&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=22&mx-pid=1535709 MR1535709]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 31
== Einzelnachweise ==
| NR_ST = 14
rreferences />
| OT = The Financial Permeability

| DT = In der Kreditklemme
KKKategorie:Analysis]]
| EA = 2. Feb. 2009

| EAD = 21. Nov. 2009
KKKategorie:Satz (Mathematik)]]
| REG = Mark Cendrowski

| DRB = Richard Rosenstock & Eric Kaplan<br />Idee: Chuck Lorre & Steven Molaro



= Ungleichung von Hilbert =
Die '''Ungleichung von Hilbert''' ({{enS|''Hilbert’s inequality''}}) ist eine klassische [[Ungleichung]] der [[Analysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]]. Sie geht auf eine [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]] des deutschen Mathematikers [[David Hilbert]] aus dem Jahre 1888 zurück und gibt eine obere [[Abschätzung]] zu gewissen [[Summe#Doppelsummen|Doppelsummen]] [[Positive Zahl|positiver reeller Zahlen]]. Hilberts Ungleichung wurde von zahlreichen Autoren verschärft, verallgemeinert und abgewandelt. Nicht zuletzt haben [[Hermann Weyl]] – etwa in seiner [[Inauguraldissertation]] ''Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems'' von 1908 – und inbesondere [[Godfrey Harold Hardy]] sie intensiver Untersuchung unterzogen.<ref name="DSM-I">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 357–358 </ref><ref name="GHH-JEL-GP-I">G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: ''Inequalities.'' 1973, S. 226 ff</ref>

== Formulierung der Ungleichung ==
Hilberts Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:<ref name="DSM-II">Mitrinović, op. cit., S. 357</ref>
: ''Gegeben sei für eine [[natürliche Zahl]] <math>N > 0</math> ein <math>(N+1)</math>-[[Tupel]] <math>(a_0, \ldots, a_N)</math> positiver reeller Zahlen.''
:''Dann gilt:''
:: '''(H)''' <math>\sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N {\frac{a_i a_j} {i+j+1}} } \leq \pi \cdot \sum_{i=0}^N {{a_i}^2} </math> &nbsp;.

=== Verschärfungen ===
Nach H. Frazer hat die letzte Ungleichung eine Verschärfung, in der die [[Kreiszahl]] durch einen besseren ''Abschätzungsfaktor'' ersetzt wird:<ref name="DSM-II" />
:: '''(HF)''' <math>\sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N {\frac{a_i a_j} {i+j+1}} } \leq (N+1) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{N+1}\right) \cdot \sum_{i=0}^N {{a_i}^2}</math> &nbsp;.

[[David Widder|D. V. Widder]] zeigte die folgende stärkere Ungleichung:<ref name="DSM-II" />
:: '''(HW)''' <math>\sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N {\frac{a_i a_j} {i+j+1}} } \leq \pi \cdot \sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N { \frac{(i+j)!} {i! j!} \frac{a_i a_j} {2^{i+j+1}} } } </math> &nbsp;.

=== Verwandte Ungleichung ===
Fu Cheng Hsiang bewies die folgende verwandte Ungleichung:<ref name="DSM-II" />
:''Gegeben seien eine natürliche Zahl <math>N > 0</math> und dazu zwei <math>(N+1)</math>-Tupel <math>(a_0, \ldots, a_N)</math> und <math>(b_0, \ldots, b_N)</math> von [[nichtnegativ]]en reellen Zahlen.''
:''Dann gilt:''
:: '''(HHs)''' <math>\sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N {\frac{a_i b_j} {2i+2j+1}} } \leq (N+1) \cdot \sin {\frac{\pi}{2 (N+1)} } \cdot \left( \sum_{i=0}^N {{a_i}^2} \right)^{\frac{1}{2} } \cdot \left( \sum_{j=0}^N {{b_j}^2} \right)^{\frac{1}{2} } </math> &nbsp;.

== Analoga und Erweiterungen ==
In Analogie und Erweiterung der obigen Ungleichungen gewinnt man entsprechende für ''Doppelreihen und -integrale'':<ref name="GHH-JEL-GP-II">Hardy et al., op. cit., S. 226</ref><ref>Hinsichtlich des Übergangs von Doppelsummen auf Doppelreihen ist zu beachten, dass die [[Paarmenge]]n <math>\N_0 \times \N_0</math> und <math>\N \times \N </math> zueinander in [[Bijektion]] stehen und dass für <math>i,j \in \N</math> stets <math>\tfrac{1}{i+1+j+1} < \tfrac{1}{i+j+1} </math> ist.</ref>
:''Für zwei [[Folge (Mathematik)|Folgen]] <math>\left( a_i \right)_{i \in \N}</math> und <math>\left( b_j \right)_{j \in \N}</math> von nichtnegativen reellen Zahlen, die nicht beide lediglich <math>0</math> als [[Folgenglied]] haben, und zwei positive reelle Zahlen <math> p,q </math> mit <math> \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math> gilt stets:''
:: '''(HH_1)''' <math>\sum_{i=1}^{\infty} { \sum_{j=1}^{\infty} {\frac{a_i b_j} {i+j}} }
<
{ \frac{\pi}{\sin \left( \frac{\pi}{p}\right) } }
\cdot \left( \sum_{i=1}^{\infty} {{a_i}^p} \right)^{\frac{1}{p}}
\cdot \left( \sum_{j=1}^{\infty} {{b_j}^q} \right)^{\frac{1}{q}} </math> &nbsp;.

:''Für zwei [[reelle Funktion]]en <math> f,g \colon [0,\infty) \to [0,\infty) </math>, die nicht beide die [[Nullfunktion]] sind, und zwei positive reelle Zahlen <math> p,q </math> mit <math> \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math> gilt stets:''
:: '''(HH_2)''' <math>\int_0^{\infty}\int_0^{\infty} {\frac{f(x) g(y)} {x+y}} \,\mathrm dx \,\mathrm dy
<
{ \frac{\pi}{\sin \left( \frac{\pi}{p}\right) } }
\cdot \left( \int_0^{\infty} {f^p (x)} \,\mathrm dx \right)^{\frac{1}{p}}
\cdot \left( \int_0^{\infty} {g^q (x)} \,\mathrm dx \right)^{\frac{1}{q}}</math> &nbsp;.

:''Zusatz: Es ist sowohl bei '''(HH_1)''' als auch bei '''(HH_2)''' der Abschätzungsfaktor <math>\tfrac{\pi}{\sin \left( \frac{\pi}{p}\right) } </math> der bestmögliche.''

=== Anmerkungen ===
* Für <math> p = q = 2</math> spricht man in Bezug auf '''(HH_1)''' auch vom ''hilbertschen Doppelreihensatz'' ({{enS|''Hilbert’s double series theorem''}}).<ref name="GHH-JEL-GP-II" />
* Hinsichtlich des allgemeinen Falls ist es heute üblich, die obigen Ungleichungen '''(HH_1)''' bzw. '''(HH_2)''' als ''hardy-hilbertsche Ungleichung'' ({{enS|''Hardy-Hilbert’s inequality''}}) bzw. als ''hardy-hilbertsche Integralungleichung'' ({{enS|''Hardy-Hilbert’s integral inequality''}}) zu bezeichnen.

== Zwei weitere verwandte Ungleichungen ==
Im Rahmen der Bemühungen, einen möglichst einfachen Beweis des hilbertschen Doppelreihensatzes zu liefern, wurden – beginnend in den Jahren 1920 bis 1925 mit Arbeiten von G. H. Hardy und [[Edmund Landau]] – zwei verwandte Ungleichungen für Reihen und Integrale gefunden und abgeleitet, welche beide unter dem Stichwort ''hardysche Ungleichung'' ({{enS|''Hardy’s inequality''}}) bekannt wurden. Es handelt sich um die folgenden:<ref name="GHH-JEL-GP-III">Hardy et al., op. cit., S. 239 ff</ref>
:''Für eine Folge <math>\left( a_i \right)_{i \in \N}</math> nichtnegativer reeller Zahlen, die nicht alle gleich <math>0</math> sind, und eine reelle Zahl <math> p > 1</math> gilt stets:''
:: '''(H_1)''' <math>\sum_{i=1}^{\infty} \left( \frac{a_1 + \ldots + a_i} {i} \right)^p
<
\left( \frac{p}{p-1} \right)^p
\cdot \sum_{i=1}^{\infty} {{a_i}^p} </math> &nbsp;.

:''Für eine reelle Funktion <math> f \colon [0,\infty) \to [0,\infty) </math>, die nicht die Nullfunktion ist, und eine reelle Zahl <math> p > 1</math> gilt stets:''
:: '''(H_2)''' <math>\int_0^{\infty} \left( \frac{\int_0^x f(t) \,\mathrm dt} {x} \right)^p \,\mathrm dx
<
\left( \frac{p}{p-1} \right)^p
\cdot
\int_0^{\infty} f^p (x) \,\mathrm dx </math> &nbsp;.

:''Zusatz: Sowohl bei '''(H_1)''' als auch bei '''(H_2)''' ist der Abschätzungsfaktor <math>\left( \frac{p}{p-1} \right)^p </math> der bestmögliche.''

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=H. Frazer
|Titel=Note on Hilbert’s inequality
|Sammelwerk=[[Journal of the London Mathematical Society|The Journal of the London Mathematical Society]]
|Band=21
|Datum=1946
|Seiten=7–9
|DOI=
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Frazer&s5=Hilbert&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=18226 MR0018226]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 32
|Autor=[[G. H. Hardy]]
| NR_ST = 15
|Titel=Note on a theorem of Hilbert
| OT = The Maternal Capacitance
|Sammelwerk=[[Mathematische Zeitschrift]]
| DT = Die Streichelmaschine
|Band=6
| EA = 9. Feb. 2009
|Datum=1920
| EAD = 28. Nov. 2009
|Seiten=
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Richard Rosenstock & Steven Molaro<br />Idee: Chuck Lorre & Bill Prady
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Note%20on%20a%20theorem%20of%20Hilbert&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=1544414 MR1544414]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 33
|Autor=G. H. Hardy
| NR_ST = 16
|Titel=Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive terms
| OT = The Cushion Saturation
|Sammelwerk=[[Proceedings of the London Mathematical Society|Proceedings of the London Mathematical Society (2)]]
| DT = Die Kissen-Katastrophe
|Band=23
| EA = 2. Mär. 2009
|Datum=1925
| EAD = 28. Nov. 2009
|Seiten=
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Bill Prady & Lee Aronsohn<br />Idee: Chuck Lorre
|Online=
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 34
|Autor=G. H. Hardy, [[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]], [[George Pólya|G. Pólya]]
| NR_ST = 17
|Titel=Inequalities
| OT = The Terminator Decoupling
|TitelErg=Reprint (of the 2. edition 1952)
| DT = Das Placebo-Bier
|Reihe=
| EA = 9. Mär. 2009
|BandReihe=
| EAD = 5. Dez. 2009
|Auflage=
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
| DRB = Tim Doyle & Stephen Engel<br />Idee: Bill Prady & Dave Goetsch
|Ort=Cambridge
|Datum=1973
|ISBN=
|Seiten=
|DOI=
|Online=
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 35
|Autor=David Hilbert
| NR_ST = 18
|Titel=Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten
| OT = The Work Song Nanocluster
|Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]]
| DT = Business im Wohnzimmer
|Band=32
| EA = 16. Mär. 2009
|Datum=1888
| EAD = 5. Dez. 2009
|Seiten=342–350
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Dave Goetsch & Richard Rosenstock<br />Idee: Bill Prady & Lee Aronsohn
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Hilbert&s5=Formenquadraten&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR1510517]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 36
|Autor=Fu Cheng Hsiang
| NR_ST = 19
|Titel=An inequality for finite sequences
| OT = The Dead Hooker Juxtaposition
|Sammelwerk=[[Mathematica Scandinavica]]
| DT = Der Kampf der Bienenköniginnen
|Band=5
| EA = 30. Mär. 2009
|Datum=1957
| EAD = 12. Dez. 2009
|Seiten=12–14
| REG = Peter Chakos
|DOI=
| DRB = Steven Molaro
|Online=[http://www.digizeitschriften.de/en/dms/img/?PID=GDZPPN002344947]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 37
|Autor=[[Edmund Landau|E. Landau]]
| NR_ST = 20
|Titel=A note on a theorem concerning series of positive terms
| OT = The Hofstadter Isotope
|Sammelwerk=The Journal of the London Mathematical Society
| DT = Der Wolowitz-Koeffizient
|Band=1
| EA = 13. Apr. 2009
|Datum=1926
| EAD = 12. Dez. 2009
|Seiten=38–39
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = David Goetsch
|Online=
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 38
|Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
| NR_ST = 21
|Titel=Analytic Inequalities
| OT = The Vegas Renormalization
|TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
| DT = Die Las-Vegas-Kur
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
| EA = 27. Apr. 2009
|BandReihe=165
| EAD = 19. Dez. 2009
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
| REG = Mark Cendrowski
|Ort=Berlin (u.a.)
| DRB = Steven Molaro<br />Idee: Jessica Ambrosetti, Nicole Lorre & Andrew Roth
|Datum=1970
|ISBN=3-540-62903-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 39
|Autor=Waadallah Tawfeeq Sulaiman
| NR_ST = 22
|Titel=Hardy-Hilbert's integral inequalities via homogeneous functions and some other generalizations
| OT = The Classified Materials Turbulence
|Sammelwerk=[[Universität_Tartu|Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica]]
| DT = Die Weltraumtoilette
|Band=11
| EA = 4. Mai 2009
|Datum=2007
| EAD = 19. Dez. 2009
|Seiten=23–32
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Bill Prady & Steven Molaro<br />Idee: Chuck Lorre & Lee Aronsohn
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Sulaiman&s5=Hardy-Hilbert&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=23&mx-pid=2391968 MR2391968]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 40
|Autor=D. V. Widder
| NR_ST = 23
|Titel=An Inequality Related to One of Hilbert’s
| OT = The Monopolar Expedition
|Sammelwerk=The Journal of the London Mathematical Society
| DT = Drei Monate im Eis
|Band=4
| EA = 11. Mai 2009
|Datum=1929
| EAD = 19. Dez. 2009
|Seiten=194–198
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Eric Kaplan & Richard Rosenstock
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Widder&s5=Hilbert&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=1575045 MR1575045]
}}
}}
* {{Literatur
|Autor=Bicheng Yang, Qiang Chen
|Titel=A new extension of Hardy-Hilbert's inequality in the whole plane
|Sammelwerk=[[Journal of Function Spaces]]
|Band=
|Datum=2016
|Kommentar=Art. ID 9197476, 8 Seiten
|Seiten=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Hardy-Hilbert%20inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=3548430 MR3548430]
}}
}}


== Staffel 3 ==
== Einzelnachweise und Fußnoten ==
{{Hauptartikel|The Big Bang Theory/Staffel 3}}
rreferences />
Die Erstausstrahlung der dritten Staffel war vom 21. September 2009 bis zum 24. Mai 2010 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender [[Columbia Broadcasting System|CBS]] zu sehen. Die deutschsprachige Erstausstrahlung sendete der deutsche [[Free-TV]]-Sender [[ProSieben]] vom 7. bis zum 22. Februar 2011.


{{Episodenlistentabelle
KKKategorie:Analysis]]
| SORTIERBAR = nein

| ERSTAUSSTRAHLUNG_LAND = USA
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Hilbert, Ungleichung von]]
| ZUSAMMENFASSUNG = nein

| ERSTAUSSTRAHLUNG_DE = D

| DEUTSCHE_PRODUKTION = nein

| REGISSEUR = ja

| DREHBUCH = ja
= Integralungleichung von Hadamard =
| INHALT =
Die '''Integralungleichung von Hadamard''' ({{enS|''Hadamard's integral inequality''}}) oder auch '''Ungleichung von Hadamard''' ({{enS|''Hadamard inequality''}}) ist eine der klassischen [[Ungleichung]]en der [[Mathematik]] und als solche der [[Analysis]] zugehörig. Sie geht auf eine [[Wissenschaftliche Publikation|Publikation]] des [[Frankreich|französischen]] Mathematikers [[Jacques Salomon Hadamard]] aus dem Jahre 1893 zurück und gibt eine obere und untere [[Abschätzung]] für [[Integralrechnung|Integrale]] gewisser [[Konvexe Funktion|konvexer Funktionen]]. Die hadamardsche Integralungleichung gab Anlass zu zahlreichen Untersuchungen und Verallgemeinerungen.<ref name="MK_I">Marek Kuczma: ''An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities.'' 2009, S. 215 ff </ref>
{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 41
== Formulierung ==
| NR_ST = 1
Die Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:<ref name="MK_II">Kuczma, op. cit. , S. 216 </ref>
| OT = The Electric Can Opener Fluctuation
:''Gegeben sei im [[Körper der reellen Zahlen]] ein [[kompaktes Intervall]] <math>J = [a, b] \; (a, b \in \R \; , a < b)</math> und hierauf eine [[stetige Funktion]] <math>f \colon J \to \R </math>, deren [[Einschränkung]] <math>f|_{J^{\circ}}</math> auf das [[Innerer Punkt#Definition|Innere]] des Intervalls zudem [[Jensen-konvexe Funktion|Jensen-konvex]] sein soll.''
| DT = Der Nordpol-Plan
:''Dann gilt:''
| EA = 21. Sep. 2009
:: <math> f \left( \frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) \,dx \leq \frac{f(a) + f(b)}{2} </math> &nbsp;.
| EAD = 7. Feb. 2011

| REG = [[Mark Cendrowski]]
== Anmerkungen ==
| DRB = Steven Molaro
* Manche Autoren bezeichnen die hadamardsche Integralungleichung - unter zusätzlicher Bezugnahme auf den [[Dänemark|dänischen]] Mathematiker [[Johan Ludwig Jensen]] - als ''Ungleichung von Jensen-Hadamard'' ({{enS|''Jensen-Hadamard inequality''}}). Hierzu ist zu bemerken, dass die vordere Abschätzung der Integralungleichung sich als einfache Anwendung der [[Jensensche Ungleichung#Varianten| stetigen Variante der jensenschen Ungleichung]] ergibt.
* Man nennt die Integralungleichung nicht selten auch ''Ungleichung von Hermite-Hadamard'' ({{enS|''Hermite-Hadamard inequality''}}), da sie im Wesentlichen – und zwar schon im Jahre 1881! – von dem französischen Mathematiker [[Charles Hermite]] gefunden (und sogar angekündigt) war. Dies blieb jedoch zunächst unbeachtet, ebenso wie die von Hermite dazu im Jahr 1883 in der ''Mathesis'' vorgelegte Publikation.<ref name="CPN-LEP-I">Constantin P. Niculescu, Lars-Erik Persson: ''Convex Functions and Their Applications.'' 2006, S. 50 ff</ref>
* Die Integralungleichung kann als der Startpunkt der [[Choquet-Theorie]] angesehen werden.<ref name="CPN-LEP-II">Niculescu/Persson, op. cit., S.52, S. 177 ff</ref> Im Rahmen dieser Theorie lässt sich zeigen, dass unter den im [[Choquet-Theorie#Satz von Choquet|Satz von Choquet]] beschriebenen Gegebenheiten eine analoge Integralungleichung gilt. Insbesondere ist dieses Analogon für jedes <math>n</math>-[[Dimension_(Mathematik)#Dimension eines Simplizialkomplexes|dimensional Simplex]] <math>\Delta \subset \R^n \; (n \in \N)</math> und jedes auf <math>\Delta</math> definierte [[Borelmaß|borelsche]] [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gültig.<ref name="CPN-LEP-III">Niculescu/Persson, op. cit., S. 193 ff</ref><ref name="CPN-I">Constantin P. Niculescu: ''The Hermite-Hadamard inequality for convex functions of a vector variable.'' Math. Inequal. Appl. 5 (2002), S. 619–623</ref>

== Anwendung ==
Indem man die Integralungleichung auf die reelle Funktion <math>x \mapsto f(x) = \frac{1}{1+x} \; (x \geq 0)</math> anwendet, lässt sich, wie schon Hermite in seiner Arbeit von 1883 zeigte, die folgende Ungleichung ableiten:<ref name="CPN-LEP-IV">Niculescu/Persson, op. cit., S. 51</ref>
: <math>x - \frac{x^2}{2+x} < \ln (1+x) < x - \frac{x^2}{2+2x} </math> &nbsp;.

Daraus ergibt sich für alle [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math> n > 0 </math>
: <math> \frac{1}{n+ \tfrac{1}{2} } < \ln (n+1) - \ln n < \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \right)</math> &nbsp;.

Die letztere Ungleichung führt hin zu einer Herleitung der [[Stirlingsche Formel|stirlingschen Formel]].<ref name="CPN-LEP-IV" />

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
|Autor=S. S. Dragomir
|Titel=Further properties of some mappings associated with Hermite-Hadamard inequalities
|Sammelwerk=Tamkang Journal of Mathematics
|Band=34
|Datum=2003
|Seiten=45–57
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=TI&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=convex&s5=Hadamard-Hermite&s6=Jensen&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=gt&r=15&mx-pid=1960410 MR1960410]}}
* {{Literatur
|Autor=Ivan B. Lacković, Miomir S. Stanković
|Titel=On Hadamard's integral inequality for convex functions
|Sammelwerk=[[Universität Belgrad|Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz.]]
|Band=No. 412–460
|Datum=1973
|Seiten=89–92
|DOI=
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Stankovic&s5=Lackovic&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=349934 MR0349934]}}
* {{Literatur
|Autor=J. Hadamard
|Titel=Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann
|Sammelwerk=[[:fr:Journal de mathématiques pures et appliquées|J. Math. Pures Appl. (4<sup>e</sup> série)]]
|Band=9
|Datum=1893
|Seiten=171–215}}
* {{Literatur
|Autor=Ch. Hermite
|Titel=Sur deux limites d’une intégrale définie
|Sammelwerk=Mathesis
|Band=3
|Datum=1883
|Seiten=82}}
* {{Literatur
|Autor=[[Marek Kuczma]]
|Titel=An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities
|TitelErg=Cauchy's Equation and Jensen's Inequality
|Reihe=
|BandReihe=
|Auflage=2.
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
|Ort=Basel
|Datum=2009
|ISBN=978-3-7643-8748-8
|Seiten=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kuczma&s5=Introduction&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2467621 MR2467621]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Constantin Niculescu]], [[Lars-Erik Persson]]
|Titel=Convex Functions and Their Applications
|TitelErg=A Contemporary Approach
|Reihe=CMS Books in Mathematics
|BandReihe=23
|Auflage=
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
|Ort=New York
|Datum=2006
|ISBN=978-0387-24300-9
|Seiten=
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Persson&s5=Convex%20Functions&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2178902 MR2178902]}}
* {{Literatur
|Autor=Constantin P. Niculescu
|Titel=The Hermite-Hadamard inequality for convex functions of a vector variable
|Sammelwerk=Mathematical Inequalities & Applications
|Band=5
|Datum=2002
|Seiten=619–623
|DOI=
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=RT&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hermite-Hadamard&s5=Choquet&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=1931222 MR1931222]}}
* {{Literatur
|Autor=Zoltán Retkes
|Titel=An extension of the Hermite-Hadamard inequality
|Sammelwerk=[[Universität der Wissenschaften Szeged#Acta Universitatis Szegediensis|Acta Sci. Math. (Szeged)]]
|Band=74
|Datum=2008
|Seiten=95–106
|DOI=
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=An%20extension%20of%20the%20Hermite%E2%80%93Hadamard%20Inequality&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2431093 MR2431093]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Hadamard, Integralungleichung von]]

= Ungleichung von Petrović =
Die '''Ungleichung von Petrović''' ({{enS|''Petrović inequality''}}) ist ein Resultat der [[Analysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiete der Mathematik]].

Die [[Ungleichung]] wurde von dem [[Serbien|serbischen]] Mathematiker [[Mihailo Petrović]] im Jahre 1932 [[Wissenschaftliche Publikation|publiziert]] und ist verwandt mit der [[Ungleichung von Jensen]], aus der sie als [[Korollar]] gewonnen werden kann. Sie gibt eine einfache [[Abschätzung]] gewisser [[Konvexe Funktion|konvexer Funktionen]] im [[ Körper der reellen Zahlen]]. Die Publikation von Petrović gab Anlass zu einer Reihe weiterer Untersuchungen.

== Formulierung ==
Das Resultat lässt sich angeben wie folgt:<ref name="MK-I">Marek Kuczma: ''An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities.'' 2009, S. 217 </ref>
:''Sei <math>I = [0, a)</math> ein [[reelles Intervall]] mit <math>0 \leq a \leq \infty</math> und sei <math>f \colon I \to \R </math> eine [[stetige Funktion]], deren [[Einschränkung]] <math>f|_{I^{\circ}}</math> auf das [[Innerer Punkt#Definition|Innere]] des Intervalls [[Jensen-konvexe Funktion|Jensen-konvex]] ist.''
:''Dann gilt für jede [[natürliche Zahl]] <math>n \geq 1</math> und je <math>n</math> [[reelle Zahl]]en <math> x_1, \ldots ,x_n \in I </math> mit <math> x_1 + \dots + x_n \in I </math> stets die Ungleichung''
:: <math> f \left( x_1 + \dots + x_n \right) \geq f(x_1) + \dots + f(x_n) - (n-1) f(0)</math> &nbsp;.

=== Beweisskizze ===
In Marek Kuczmas Monographie werden zwei Beweise gegeben. Der erstere der beiden benutzt [[Vollständige Induktion]]. Der wesentliche Schritt dieses Beweises ist der Nachweis, dass die obige Ungleichung für den Fall <math>n = 2</math> gilt, und erfolgt unter Anwendung der Jensen-Ungleichung.<ref name="MK-I" />

Unter der den genannten Bedingungen kann man dabei [[ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] <math>x_1 + x_2 > 0</math> annehmen und man erhält
: <math>
\begin{align}
f(x_1) &= f \left( \frac {x_1}{x_1 + x_2} \cdot \left( x_1 + x_2 \right) + \frac {x_2}{x_1 + x_2} \cdot 0 \right) \\
\\
&{\leq} \frac {x_1}{x_1 + x_2} \cdot f \left( x_1 + x_2 \right) + \frac {x_2}{x_1 + x_2} \cdot f(0) \\
\end{align}
</math>

und in gleicher Weise auch
: <math>
\begin{align}
f(x_2) &{\leq} \frac {x_2}{x_1 + x_2} \cdot f \left( x_1 + x_2 \right) + \frac {x_1}{x_1 + x_2} \cdot f(0) \\
\end{align}
</math>

und schließlich mittels [[Ungleichung#Addition und Subtraktion|Addition]] der linken und der rechten Seiten dieser beiden Ungleichungen
: <math> f(x_1) + f(x_2) \leq f \left( x_1 + x_2 \right) + f(0) </math> &nbsp;.

Letztere Ungleichung ist jedoch gleichwertig mit der Petrović-Ungleichung für <math>n = 2</math> &nbsp;.

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
|Autor=M. Petrović
|Titel=Sur une équation fonctionnelle
|Sammelwerk=[[Universität Belgrad|Publ. Math. Univ. Belgrade]]
|Band=1
|Datum=1932
|Seiten=149–156
|DOI=
|Online=
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 42
|Autor=[[Marek Kuczma]]
| NR_ST = 2
|Titel=An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities
| OT = The Jiminy Conjecture
|TitelErg=Cauchy's Equation and Jensen's Inequality
| DT = Die Grillenwette
|Reihe=
| EA = 28. Sep. 2009
|BandReihe=
| EAD = 7. Feb. 2011
|Auflage=2.
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
| DRB = Jim Reynolds
|Ort=Basel
|Datum=2009
|ISBN=978-3-7643-8748-8
|Seiten=
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kuczma&s5=Introduction&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2467621 MR2467621]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 43
|Autor=J. E. Pečarić
| NR_ST = 3
|Titel=On the Petrović inequality for convex functions
| OT = The Gothowitz Deviation
|Sammelwerk=[[Universität Zagreb|Glasnik Matematički. Serija III]]
| DT = Sex oder Pralinen
|Band=18(38)
| EA = 5. Okt. 2009
|Datum=1983
| EAD = 8. Feb. 2011
|Seiten=77–85
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Bill Prady & Maria Ferrari<br />Idee: Lee Aronsohn & Richard Rosenstock
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=inequality&s5=Petrovi%C4%87&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=710389 MR0710389]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 44
* {{Literatur
| NR_ST = 4
|Autor=Josip Pečarić, Jurica Perić
| OT = The Pirate Solution
|Titel=Improvements of the Giaccardi and the Petrović inequality and related Stolarsky type means
| DT = Für ihn oder mit ihm
|Sammelwerk=[[Universität Craiova|Analele Universităţii din Craiova. Seria Matematică-Informatică]]
| EA = 12. Okt. 2009
|Band=39
| EAD = 8. Feb. 2011
|Datum=2012
| REG = Mark Cendrowski
|Seiten=65–75
| DRB = Steve Holland
|DOI=
}}
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=inequality&s5=Petrovi%C4%87&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2979954 MR2979954]
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 45
| NR_ST = 5
| OT = The Creepy Candy Coating Corollary
| DT = Der Mann, der seine Omi liebte
| EA = 19. Okt. 2009
| EAD = 9. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre & Bill Prady
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 46
| NR_ST = 6
| OT = The Cornhusker Vortex
| DT = Football für Nerds
| EA = 2. Nov. 2009
| EAD = 9. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady & Maria Ferrari
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 47
| NR_ST = 7
| OT = The Guitarist Amplification
| DT = Der Gitarrist auf der Couch
| EA = 9. Nov. 2009
| EAD = 10. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre & Lee Aronsohn
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 48
| NR_ST = 8
| OT = The Adhesive Duck Deficiency
| DT = Das Suppentattoo
| EA = 16. Nov. 2009
| EAD = 10. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & David Goetsch
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 49
| NR_ST = 9
| OT = The Vengeance Formulation
| DT = Die Racheformel
| EA = 23. Nov. 2009
| EAD = 11. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Richard Rosenstock, Jim Reynolds & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre & Maria Ferrari
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 50
| NR_ST = 10
| OT = The Gorilla Experiment
| DT = Das Gorilla-Projekt
| EA = 7. Dez. 2009
| EAD = 11. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Richard Rosenstock & Steve Holland
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 51
| NR_ST = 11
| OT = The Maternal Congruence
| DT = Mädels an der Bar
| EA = 14. Dez. 2009
| EAD = 14. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Bill Prady & David Goetsch<br />Idee: Steven Molaro, Richard Rosenstock & Maria Ferrari
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 52
| NR_ST = 12
| OT = The Psychic Vortex
| DT = Howards Phasen
| EA = 11. Jan. 2010
| EAD = 14. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds<br />Idee: Lee Aronsohn & Steven Molaro
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 53
| NR_ST = 13
| OT = The Bozeman Reaction
| DT = Terror in der Stadt der Rosen
| EA = 18. Jan. 2010
| EAD = 15. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Steven Molaro & Steve Holland<br />Idee: Bill Prady, Lee Aronsohn & Jim Reynolds
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 54
| NR_ST = 14
| OT = The Einstein Approximation
| DT = Fast wie Einstein
| EA = 1. Feb. 2010
| EAD = 15. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan<br />Idee: Lee Aronsohn, Dave Goetsch & Steve Holland
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 55
| NR_ST = 15
| OT = The Large Hadron Collision
| DT = Freiflug nach Genf
| EA = 8. Feb. 2010
| EAD = 16. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Lee Aronsohn, Richard Rosenstock & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Jim Reynolds
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 56
| NR_ST = 16
| OT = The Excelsior Acquisition
| DT = Sheldon pro se
| EA = 1. Mär. 2010
| EAD = 16. Feb. 2011
| REG = Peter Chakos
| DRB = Bill Prady, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Steven Molaro
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 57
| NR_ST = 17
| OT = The Precious Fragmentation
| DT = Die Herren des Rings
| EA = 8. Mär. 2010
| EAD = 17. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Richard Rosenstock<br />Idee: Lee Aronsohn, Eric Kaplan & Maria Ferrari
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 58
| NR_ST = 18
| OT = The Pants Alternative
| DT = Die dunkle Seite des Mondes
| EA = 22. Mär. 2010
| EAD = 17. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Eric Kaplan, Richard Rosenstock & Jim Reynolds<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Steve Holland
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 59
| NR_ST = 19
| OT = The Wheaton Recurrence
| DT = Das L-Wort
| EA = 12. Apr. 2010
| EAD = 18. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, David Goetsch, Jim Reynolds & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro, Nichole Lorre & Jessica Ambrosetto
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 60
| NR_ST = 20
| OT = The Spaghetti Catalyst
| DT = Spaghetti mit Würstchen
| EA = 3. Mai 2010
| EAD = 18. Feb. 2011
| REG = Anthony Rich
| DRB = Chuck Lorre, Bill Prady, Lee Aronsohn & Steven Molaro
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 61
| NR_ST = 21
| OT = The Plimpton Stimulation
| DT = Vierer ohne Sheldon
| EA = 10. Mai 2010
| EAD = 21. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Lee Aronsohn
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 62
| NR_ST = 22
| OT = The Staircase Implementation
| DT = Die Wahrheit über den Fahrstuhl
| EA = 17. Mai 2010
| EAD = 21. Feb. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Dave Goetsch & Maria Ferrari<br />Idee: Lee Aronsohn, Steven Molaro & Steve Holland
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 63
| NR_ST = 23
| OT = The Lunar Excitation
| DT = Nie mehr dumme Typen
| EA = 24. Mai 2010
| EAD = 22. Feb. 2011
| REG = Peter Chakos
| DRB = Lee Aronsohn, Steven Molaro & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Maria Ferrari
}}
}}
* {{Literatur
|Autor=Petar M. Vasić
|Titel=Sur une inégalité de M. Petrović
|Sammelwerk=Matematichki Vesnik
|Band= 5(20)
|Datum=1968
|Seiten=473–478
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=inequality&s5=Petrovi%C4%87&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=243019 MR0243019]
}}
}}


== Einzelnachweise ==
== Staffel 4 ==
{{Hauptartikel|The Big Bang Theory/Staffel 4}}
rreferences />


Die Erstausstrahlung der vierten Staffel war vom 23. September 2010 bis zum 19. Mai 2011 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender [[Columbia Broadcasting System|CBS]] zu sehen. Die deutschsprachige Erstausstrahlung der ersten zwölf sowie der fünfzehnten Episode wurde vom 6. September bis zum 25. Oktober 2011 in Doppelfolgen auf [[ProSieben]] ausgestrahlt. Die deutschsprachige Erstausstrahlung der restlichen Episoden war vom 22. Oktober bis zum 26. November 2011 auf dem Schweizer Free-TV-Sender [[3 Plus TV|3+]] zu sehen.
KKKategorie:Analysis]]


{{Episodenlistentabelle
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Petrović, Ungleichung von]]
| SORTIERBAR = nein

| ERSTAUSSTRAHLUNG_LAND = USA
KKKategorie:Ungleichung|Petrović, Ungleichung von]]
| ZUSAMMENFASSUNG = nein

| ERSTAUSSTRAHLUNG_DE = D/CH
= Majorisierungsprinzip von Hardy-Littlewood-Pólya =
| DEUTSCHE_PRODUKTION = nein
Das '''Majorisierungsprinzip von Hardy-Littlewood-Pólya''' ({{enS|''Hardy-Littlewood-Pólya majorization principle''}}) ist ein [[Lehrsatz]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Analysis]], der aus einer Arbeit der drei Mathematiker [[Godfrey Harold Hardy]], [[John Edensor Littlewood]] und [[George Pólya]] aus dem Jahre 1929 hervorgeht. Darin werden Bedingungen behandelt, unter denen [[konvexe Funktion|konvexe]] [[Reellwertige Funktion#Reelle Funktion|reelle Funktionen]] eine gewisse [[Ungleichung]] erfüllen. Diese Ungleichung wurde im Jahre 1932 ebenfalls von dem [[Jugoslawien|jugoslawischen]] Mathematiker [[Jovan Karamata]] gefunden, weswegen sie auch '''Ungleichung von Karamata''' ({{enS|''inequality of Karamata''}}) genannt wird. Zahlreiche Mathematiker - wie [[László Fuchs]] und [[Alexander Markowitsch Ostrowski]] - haben Verallgemeinerungen angegeben, während [[Ky Fan]] und [[George G. Lorentz]] eine „stetige Version“ davon fanden. Das Majorisierungsprinzip und die verwandten Resultate spielen eine wichtige Rolle in der [[Matrix (Mathematik)|Matrizentheorie]], der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] und der [[Mathematische Statistik|Mathematischen Statistik]].<ref name="MK-01">Marek Kuczma: ''An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities.'' 2009, S. 211 ff</ref><ref name="EFB-RB-01">Edwin F. Beckenbach, Richard Bellman: ''Inequalities.'' 1983, S. 30 ff, S. 52 ff</ref><ref name="GHH-JEL-GP-01">G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: ''Inequalities.'' 1964, S. 88 ff</ref><ref name="DSM-01">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 164 ff </ref>
| REGISSEUR = ja

| DREHBUCH = ja
== Formulierung ==
| Feld1 =
Das Majorisierungsprinzip lässt sich angeben wie folgt:<ref name="MK-02">Kuczma, op. cit., S. 211</ref><ref name="EFB-RB--02">Beckenbach/Bellman, op. cit., S. 30</ref>
| Feld2 = Quoten<br /><small>(Deutschland)</small>
:''Gegeben seien ein [[reelles Intervall]] <math>I</math> und darin ( für eine [[natürliche Zahl]] <math>n \geq 2</math> ) [[reelle Zahl]]en <math>x_1, \ldots ,x_n, y_1, \ldots ,y_n \in I</math> , so dass die folgenden Ungleichungen erfüllt sind:''
| INHALT =
: <math>
{{Episodenlisteneintrag2
\begin{align}
| NR_GES = 64
x_1 &{\geq} \ldots \geq x_{n-1} \geq x_n \\
| NR_ST = 1
y_1 &{\geq} \ldots \geq y_{n-1} \geq y_n \\
| OT = The Robotic Manipulation
y_1 &{\geq} x_1 \\
| DT = 31 Liebhaber, aufgerundet
y_1 + y_2 &{\geq} x_1 + x_2 \\
| EA = 23. Sep. 2010
&{.} \\
| EAD = 6. Sep. 2011
&{.} \\
| REG = [[Mark Cendrowski]]
&{.} \\
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Dave Goetsch
y_1 + \dots + y_{n-1} &{\geq} x_1 + \dots + x_{n-1} \\
| Feld1 =
y_1 + \dots + y_n &= x_1 + \dots + x_n \\
| Feld2 = 1,54 Mio.<ref name="4.1de">{{Internetquelle | url=http://www.quotenmeter.de/cms/?p1=n&p2=51877 | titel=Guter Start für «The Big Bang Theory» – Quotenmeter.de | werk=quotenmeter.de | zugriff=2011-09-07}}</ref>
\end{align}
</math>
:''Sei weiterhin <math>f \colon I \to \R </math> eine [[stetige Funktion]], deren [[Einschränkung]] <math>f|_{I^{\circ}}</math> auf das [[Innerer Punkt#Definition|Innere]] des Intervalls [[Jensen-konvexe Funktion|Jensen-konvex]] ist.''

:''Dann gilt:''
: <math>
\begin{align}
f(y_1) + \dots + f(y_n) &{\geq} f(x_1) + \dots + f(x_n) \\
\end{align}
</math>

== Folgerung ==
Mit dem Majorisierungsprinzip lässt sich die folgende Ungleichung gewinnen, die aus einer Arbeit von V. K. Lim aus dem Jahre 1971 hervorgeht:<ref name="MK-03">Kuczma, op. cit., S. 214</ref>
:''Ist oben <math>I = [0,\infty) </math> und erfüllt die reelle Funktion <math>f \colon I \to \R </math> die genannten Bedingungen, so gilt für je drei reelle Zahlen <math>a \geq 0 , b \geq 0, c \geq a+b </math> stets die Ungleichung''
: <math> f(a) + f \left( b+c \right) \geq f \left( a+b \right) + f(c) </math> &nbsp;.

Im Falle der Funktion <math>x \mapsto f(x) = x^r \; (x \geq 0) </math> zu dem reellen [[Potenz (Mathematik)|Exponenten]] <math>r \geq 1 </math> spricht man hier auch von der ''Ungleichung von Lim'' ({{enS|''Lim's inequality ''}}).<ref name="MK-03" />

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Edwin F. Beckenbach]], [[Richard Bellman]]
|Titel=Inequalities
|TitelErg=
|Reihe=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
|BandReihe=30
|Auflage=4.
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo
|Datum=1983
|ISBN=3-540-03283-5
|Seiten=
|DOI=
|Online=
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 65
* {{Literatur
| NR_ST = 2
|Autor=Ky Fan, G. G. Lorentz
| OT = The Cruciferous Vegetable Amplification
|Titel=An integral inequality
| DT = Der sicherste Ort der Welt
|Sammelwerk=[[American Mathematical Monthly]]
| EA = 30. Sep. 2010
|Band=61
| EAD = 6. Sep. 2011
|Datum=1954
| REG = Mark Cendrowski
|Seiten=626–631
| DRB = Steven Molaro, Chuck Lorre & Jim Reynolds<br />Idee: Bill Prady, Lee Aronsohn & Steve Holland
|DOI=10.2307/2307678
| Feld1 =
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Fan&s5=Lorentz&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0064829]
| Feld2 = 1,40 Mio.<ref name="4.1de" />
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 66
|Autor=[[László Fuchs|Ladislas Fuchs]]
| NR_ST = 3
|Titel=A new proof of an inequality of Hardy-Littlewood-Pólya
| OT = The Zazzy Substitution
|Sammelwerk=Mat. Tidsskr. B
| DT = Paradoxe Psychologie
|Band=1947
| EA = 7. Okt. 2010
|Datum=1947
| EAD = 13. Sep. 2011
|Seiten=53–54
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Lee Aronsohn, Steven Molaro & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Jim Reynolds
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=JOUR&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Mat.%20Tidsskr.&s5=Hardy-Littlewood-P%C3%B3lya&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0024480]
| Feld1 =
| Feld2 = 1,51 Mio.<ref name="4.3de">{{Internetquelle | url=http://www.quotenmeter.de/cms/?p1=n&p2=52003 | titel=Primetime-Check: Dienstag, 13. September 2011 – Quotenmeter.de | werk=quotenmeter.de | zugriff=2011-09-15}}</ref>
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 67
|Autor=G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya
| NR_ST = 4
|Titel=Some simple inequalities satisfied by convex functions
| OT = The Hot Troll Deviation
|Sammelwerk=[[The Messenger of Mathematics]]
| DT = Und jetzt mit Zunge
|Band=58
| EA = 14. Okt. 2010
|Datum=1929
| EAD = 13. Sep. 2011
|Seiten=145–152
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Bill Prady, Lee Aronsohn & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Adam Faberman
|Online=
| Feld1 =
| Feld2 = 1,46 Mio.<ref name="4.3de" />
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 68
|Autor=G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya
| NR_ST = 5
|Titel=Inequalities
| OT = The Desperation Emanation
|TitelErg=Reprint (of the 2. edition 1952)
| DT = Der Gestank der Verzweiflung
|Reihe=
| EA = 21. Okt. 2010
|BandReihe=
| EAD = 20. Sep. 2011
|Auflage=
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
| DRB = Chuck Lorre, Steven Molaro & Steve Holland<br />Idee: Bill Prady, Lee Aronsohn & Dave Goetsch
|Ort=Cambridge
| Feld1 =
|Datum=1964
| Feld2 = 1,89 Mio.<ref name="4.5de">{{Internetquelle | url=http://www.quotenmeter.de/cms/?p1=n&p2=52140 | titel=«Two and a Half Men» zieht auch hierzulande an – Quotenmeter.de | werk=quotenmeter.de | zugriff=2011-09-21}}</ref>
|ISBN=
|Seiten=
|DOI=
|Online=
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 69
|Autor=J. Karamata
| NR_ST = 6
|Titel=Sur une inégalité relative aux fonctions convexes
| OT = The Irish Pub Formulation
|Sammelwerk=[[Universität Belgrad|Publ. Math. Univ. Belgrade]]
| DT = Finger weg von meiner Schwester
|Band=1
| EA = 28. Okt. 2010
|Datum=1932
| EAD = 20. Sep. 2011
|Seiten=145–148
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Bill Prady, Eric Kaplan & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Steven Molaro
|Online=
| Feld1 =
| Feld2 = 1,67 Mio.<ref name="4.5de" />
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 70
|Autor=[[Marek Kuczma]]
| NR_ST = 7
|Titel=An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities
| OT = The Apology Insufficiency
|TitelErg=Cauchy's Equation and Jensen's Inequality
| DT = Besuch vom FBI
|Reihe=
| EA = 4. Nov. 2010
|BandReihe=
| EAD = 27. Sep. 2011
|Auflage=2.
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Maria Ferrari
|Ort=Basel
| Feld1 =
|Datum=2009
| Feld2 = 1,56 Mio.<ref name="4.7de">{{Internetquelle | url=http://www.quotenmeter.de/cms/?p1=n&p2=52285 | titel=Primetime-Check: Dienstag, 27. September 2011 – Quotenmeter.de | werk=quotenmeter.de | zugriff=2011-10-04}}</ref>
|ISBN=978-3-7643-8748-8
|Seiten=
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kuczma&s5=Introduction&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2467621 MR2467621]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 71
|Autor=V. K. Lim
| NR_ST = 8
|Titel=A note on an inequality
| OT = The 21 Second Excitation
|Sammelwerk=[[Nanyang University|Nanta Mathematica]]
| DT = 21 Sekunden
|Band=5
| EA = 11. Nov. 2010
|Datum=1971
| EAD = 27. Sep. 2011
|Seiten=38–40
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Lee Aronsohn, Steven Molaro & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Jim Reynolds
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Lim%2C%20V&s5=inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=297949 MR0297949]
| Feld1 =
| Feld2 = 1,47 Mio.<ref name="4.7de" />
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 72
|Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
| NR_ST = 9
|Titel=Analytic Inequalities
| OT = The Boyfriend Complexity
|TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
| DT = Der falsche richtige Freund
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
| EA = 18. Nov. 2010
|BandReihe=165
| EAD = 4. Okt. 2011
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
| REG = Mark Cendrowski
|Ort=Berlin (u.a.)
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & David Goetsch<br />Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Jim Reynolds
|Datum=1970
| Feld1 =
|ISBN=3-540-62903-3
| Feld2 = 1,77 Mio.<ref name="4.9de">{{Internetquelle | url=http://www.quotenmeter.de/cms/?p1=n&p2=52429 | titel=«Half Men» stark, «Big Bang» brilliant<!--sic!--> – Quotenmeter.de | werk=quotenmeter.de | zugriff=2011-10-06}}</ref>
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 73
| NR_ST = 10
| OT = The Alien Parasite Hypothesis
| DT = Die animalische Amy
| EA = 9. Dez. 2010
| EAD = 4. Okt. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Lee Aronsohn, Jim Reynolds & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Steve Holland
| Feld1 =
| Feld2 = 1,75 Mio.<ref name="4.9de" />
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 74
| NR_ST = 11
| OT = The Justice League Recombination
| DT = Der peinliche Kuss
| EA = 16. Dez. 2010
| EAD = 11. Okt. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Maria Ferrari
| Feld1 =
| Feld2 = 1,92 Mio.<ref name="4.11de">meedia.de Meedia: TV-Quoten vom 11. Oktober 2011</ref>
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 75
| NR_ST = 12
| OT = The Bus Pants Utilization
| DT = Die Bushose
| EA = 6. Jan. 2011
| EAD = 11. Okt. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Eric Kaplan<br />Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Maria Ferrari
| Feld1 =
| Feld2 = 1,83 Mio.<ref name="4.11de" />
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 76
| NR_ST = 13
| OT = The Love Car Displacement
| DT = Die neutrale Zone
| EA = 20. Jan. 2011
| EAD = 22. Okt. 2011
| REG = Anthony Rich
| DRB = Lee Aronsohn, Steven Molaro & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Dave Goetsch
| Feld1 =
| Feld2 = —
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 77
| NR_ST = 14
| OT = The Thespian Catalyst
| DT = Ein Traum von Bollywood
| EA = 3. Feb. 2011
| EAD = 22. Okt. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Jim Reynolds
| Feld1 =
| Feld2 = —
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 78
| NR_ST = 15
| OT = The Benefactor Factor
| DT = Der Mann der Stunde
| EA = 10. Feb. 2011
| EAD = 25. Okt. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Eric Kaplan & Steve Holland<br />Idee: Bill Prady, Lee Aronsohn & Dave Goetsch
| Feld1 =
| Feld2 = 1,25 Mio.<ref>{{cite web |url=http://www.quotenmeter.de/cms/?p1=n&p2=52845 |title=«Big Bang Theory» läuft «Half Men» den Rang ab |publisher=''Quotenmeter.de'' |accessdate=2012-01-06}}</ref>
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 79
| NR_ST = 16
| OT = The Cohabitation Formulation
| DT = Ich bin nicht deine Mutter!
| EA = 17. Feb. 2011
| EAD = 29. Okt. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Jim Reynolds<br />Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Dave Goetsch
| Feld1 =
| Feld2 = —
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 80
| NR_ST = 17
| OT = The Toast Derivation
| DT = Das Juwel von Mumbai
| EA = 24. Feb. 2011
| EAD = 1. Nov. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Steven Molaro & Jim Reynolds<br />Idee: Bill Prady, Dave Goetsch & Maria Ferrari
| Feld1 =
| Feld2 = —
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 81
| NR_ST = 18
| OT = The Prestidigitation Approximation
| DT = Herz zwei
| EA = 10. Mär. 2011
| EAD = 1. Nov. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan<br />Idee: Bill Prady, Steve Holland & Eddie Gorodetsky
| Feld1 =
| Feld2 = —
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 82
| NR_ST = 19
| OT = The Zarnecki Incursion
| DT = Der Zarnecki-Feldzug
| EA = 31. Mär. 2011
| EAD = 12. Nov. 2011
| REG = Peter Chakos
| DRB = Bill Prady, Dave Goetsch & Jim Reynolds<br />Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Maria Ferrari
| Feld1 =
| Feld2 = —
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 83
| NR_ST = 20
| OT = The Herb Garden Germination
| DT = Sag’s nicht weiter!
| EA = 7. Apr. 2011
| EAD = 12. Nov. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Eddie Gorodetsky
| Feld1 =
| Feld2 = —
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 84
| NR_ST = 21
| OT = The Agreement Dissection
| DT = Souvlaki statt Pizza
| EA = 28. Apr. 2011
| EAD = 19. Nov. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan<br />Idee: Bill Prady, Dave Goetsch & Eddie Gorodetsky
| Feld1 =
| Feld2 = —
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 85
| NR_ST = 22
| OT = The Wildebeest Implementation
| DT = Die Antilope im Curry
| EA = 5. Mai 2011
| EAD = 19. Nov. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Eddie Gorodetsky & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan
| Feld1 =
| Feld2 = —
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 86
| NR_ST = 23
| OT = The Engagement Reaction
| DT = Hochzeit und Herzinfarkt
| EA = 12. Mai 2011
| EAD = 26. Nov. 2011
| REG = Howard Murray
| DRB = Chuck Lorre, Steven Molaro & Steve Holland<br />Idee: Bill Prady, Eric Kaplan & Jim Reynolds
| Feld1 =
| Feld2 = —
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 87
| NR_ST = 24
| OT = The Roommate Transmogrification
| DT = Männertausch
| EA = 19. Mai 2011
| EAD = 26. Nov. 2011
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Eric Kaplan & Jim Reynolds<br />Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Eddie Gorodetsky
| Feld1 =
| Feld2 = —
}}
}}
* {{Literatur
|Autor=[[Alexander Markowitsch Ostrowski|Alexandre Ostrowski]]
|Titel=[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|J. Math. Pures Appl. (9)]]
|Band=31
|Datum=1952
|Seiten=253–292
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=JOUR&pg5=TI&pg6=AUCN&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Schur&s6=Ostrowski&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=52475 MR0052475]
}}
}}


== Einzelnachweise ==
== Staffel 5 ==
{{Hauptartikel|The Big Bang Theory/Staffel 5}}
rreferences />


Die Erstausstrahlung der fünften Staffel war vom 22. September 2011 bis zum 10. Mai 2012 auf dem US-amerikanischen Sender [[Columbia Broadcasting System|CBS]] zu sehen.<ref>{{cite web |url=http://tvschedule.zap2it.com/tv/the-big-bang-theory/episode-guide/EP00931182/5 |title=The Big Bang Theory: Season 5 |work=Zap2it.com |accessdate=2015-08-26}}</ref> Die deutschsprachige Erstausstrahlung der ersten zwölf Folgen war seit dem 13. März 2012 auf [[ProSieben]] zu sehen. Die verbleibenden zwölf Folgen dieser Staffel wurden vom 28. August 2012 bis zum 13. November 2012 ebenfalls bei ProSieben ausgestrahlt.<ref>{{cite web |url=http://www.serienjunkies.de/news/big-bang-theory-fortsetzung-41091.html |title=The Big Bang Theory: Fortsetzung der 5. Staffel ab August bei ProSieben |publisher=''Serienjunkies.de'' |date=2012-06-21 |accessdate=2012-06-21 |author=Adam Arndt}}</ref>

{{Episodenlistentabelle
KKKategorie:Analysis]]
| SORTIERBAR = nein

| ERSTAUSSTRAHLUNG_LAND = USA
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Hardy-Littlewood-Pólya, Majorisierungsprinzip von]]
| ZUSAMMENFASSUNG = nein

| ERSTAUSSTRAHLUNG_DE = D
KKKategorie:Ungleichung|Hardy-Littlewood-Pólya, Majorisierungsprinzip von]]
| DEUTSCHE_PRODUKTION = nein

| REGISSEUR = ja
= Satz von Kakutani =
| DREHBUCH = ja
In der [[Mathematik]] sind zahlreiche Resultate mit dem Namen des [[Japan|japanischen]] Mathematikers [[Shizuo Kakutani]] verbunden. Dies sind unter Anderem:
| Feld1 = Quoten<br /><small>(USA)</small><ref>{{cite web |url=http://tvseriesfinale.com/tv-show/the-big-bang-theory-ratings-2011-2012/ |title=The Big Bang Theory: 2011-12 TV Season Ratings |work=TVSeriesFinale.com |date=2012-05-12 |accessdate=2014-06-30}}</ref>

| INHALT =
* der [[Satz von Kakutani-Yamabe-Yujobô]] ([[Algebraische Topologie]])
{{Episodenlisteneintrag2
* die [[Korrespondenz (Mathematik)#Fixpunktsatz von Kakutani|Fixpunktsatz von Kakutani]] ([[Analysis]] / [[Korrespondenz (Mathematik)|Korrespondenzen]])
| NR_GES = 88
* der [[Fixpunktsatz von Kakutani]] ([[Funktionalanalysis]])
| NR_ST = 1
* der [[Darstellungssatz von Riesz-Markow-Kakutani]] ([[Maßtheorie]] / Funktionalanalysis)
| OT = The Skank Reflex Analysis
* der [[Gleichmäßig konvexer Raum#Satz von Milman|Satz von Kakutani zu gleichmäßig konvexen Banachräumen ]] (Funktionalanalysis)
| DT = Der Schlampen-Reflex
* das [[Lemma von Kakutani]] ([[Konvexgeometrie]] / Funktionalanalysis)
| EA = 22. Sep. 2011
* das [[Lemma von Kakutani-Rochlin]] ([[Ergodentheorie]])
| EAD = 13. Mär. 2012

| REG = [[Mark Cendrowski]]
BBBegriffsklärung}}
| DRB = [[Chuck Lorre]] & [[Bill Prady]] & [[Steven Molaro]]<br />Idee: Eric Kaplan, Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo

| Feld1 = 14,30 Mio.

}}
= Fixpunktsatz von Kakutani =
{{Episodenlisteneintrag2
Der '''Fixpunktsatz von Kakutani''' ist [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der [[Funktionalanalysis]] zuzurechnen ist und auf eine Arbeit des [[Japan|japanischen]] [[Mathematiker]]s [[Shizuo Kakutani]] aus dem Jahr 1938 zurückgeht. Der Satz beruht auf Eigenschaften [[Konvexe Menge|konvexer Mengen]] in [[hausdorffsch]]en [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Vektorräumen]] und gibt eine [[hinreichende Bedingung]] für das Vorliegen gemeinsamer [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkte]] für gewisse [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] von [[Homöomorphismus|Homöomorphismen]] solcher Mengen. Er gab Anlass zu zahlreichen Folgeuntersuchungen und ist eng verknüpft mit anderen bedeutenden Sätzen der Funktionalanalysis wie etwa mit dem [[Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski]]. Der Fixpunktsatz von Kakutani impliziert dabei nicht zuletzt die Existenz [[Haarsches Maß|Haarscher Maße]] auf [[Kompakter Raum|kompakten]] Gruppen. Zu seinem Beweis wird der [[Hausdorffs Maximalkettensatz|hausdorffsche Maximalkettensatz]] oder das [[Lemma von Zorn]] (und damit das [[Auswahlaxiom]]) benötigt.<ref name="WR-1">Walter Rudin: ''Functional Analysis.'' 1991, S. 120 ff, 377, 393</ref><ref name="VI-1">Vasile I. Istrățescu: ''Fixed Point Theory.'' 1987, S. 276 ff</ref><ref name="RJZ-1">Robert J. Zimmer: ''Essential Results of Functional Analysis.'' 1990, S. 38 ff</ref>
| NR_GES = 89

| NR_ST = 2
== Formulierung des Satzes ==
| OT = The Infestation Hypothesis
Der Fixpunktsatz von Kakutani lässt sich darstellen wie folgt:<ref name="WR-2">Rudin, op. cit., S. 120</ref>
| DT = Der Seuchensessel
: ''Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum <math>X</math> und darin eine [[nichtleer]]e, [[Kompakte Teilmenge|kompakte]] und [[konvexe Teilmenge]] <math>C \subset X</math> zusammen mit einer Gruppe <math>\mathcal {G}</math> von [[Lineare Abbildung#Besondere lineare Abbildungen|linearen Automorphismen]] <math>g \colon X \to X</math>, die <math>C</math> invariant lassen, in der also alle Automorphismen <math>g \in \mathcal {G}</math> die [[Teilmengenrelation]] <math>g(C) \subseteq C</math> erfüllen.''
| EA = 22. Sep. 2011
: ''Die Gruppe <math>\mathcal {G}</math> sei dabei [[gleichmäßig gleichgradig stetig]].''
| EAD = 20. Mär. 2012
:
| REG = Mark Cendrowski
: ''Dann gilt:''
| DRB = Chuck Lorre & [[Jim Reynolds]] & [[Steve Holland (Drehbuchautor)|Steve Holland]]<br />Idee: Bill Prady, Steven Molaro & Maria Ferrari
: '' <math>\mathcal {G}</math> hat auf <math>C</math> einen gemeinsamen Fixpunkt, d h.: es gibt ein <math>c_0 \in C </math> mit <math>g(c_0) = c_0 </math> für alle <math>g \in \mathcal {G}</math> .''
| Feld1 = 14,94 Mio.

}}
== Verwandtes Resultat: Der Satz von Markow ==
{{Episodenlisteneintrag2
Der [[Russland|russische]] Mathematiker [[Andrei Andrejewitsch Markow (Mathematiker, 1903)|Markow]] hat schon im Jahre 1936 und vor Publikation des kakutanischen Fixpunktsatzes einen Satz vorgelegt, der diesem in Fragestellung und Aussage sehr ähnelt, wobei der markowsche Satz im Wesentlichen darin abweicht, dass er die Voraussetzung der gleichmäßig-gleichgradigen Stetigkeit durch eine [[Kommutativgesetz|Vertauschbarkeitsbedingung]] ersetzt:<ref name="VI-2">Istrățescu, op. cit., S. 277</ref>
| NR_GES = 90
: ''Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum <math>X</math> und darin eine nichtleere kompakte konvexe Teilmenge <math>C \subset X</math>.''
| NR_ST = 3
: ''Weiter gegeben sei eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] <math>\mathcal {F} = (f_i)_{i \in I}</math> von [[Stetige Abbildung|stetigen]] [[Affine Abbildung|affinen Abbildungen]] <math>f_i \colon C \to C</math>, die [[Komposition (Mathematik)#Kommutativität|hinsichtlich der Hintereinanderausführung paarweise vertauschbar]] sein sollen.''
| OT = The Pulled Groin Extrapolation
:
| DT = Probewohnen bei Mutter
: ''Dann gilt:''
| EA = 29. Sep. 2011
: ''<math>\mathcal {F}</math> hat auf <math>C</math> einen gemeinsamen Fixpunkt, d h.: es gibt ein <math>c_0 \in C </math> mit <math>f_i(c_0) = c_0 </math> für alle <math>i \in I</math> .''
| EAD = 27. Mär. 2012

| REG = Mark Cendrowski
=== Zusatz ===
| DRB = Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds<br />Idee: Bill Prady, Steven Molaro & Dave Goetsch
Die Aussage des Satzes von Markow gilt insbesondere für den Fall, dass - bei sonst gleichen Voraussetzungen - '' <math>\mathcal {F}</math> als '''[[abelsche Gruppe]]''' von stetigen linearen Automorphismen <math>f \colon X \to X</math> mit <math>f(C) \subseteq C</math> vorausgesetzt wird''. Diesen abgewandelten Satz nennt man auch den ''Fixpunktsatz von Kakutani-Markow'' ({{enS|''Kakutani-Markov fixed point theorem''}}) <ref name="RJZ-2">Zimmer, op. cit., S. 39</ref>
| Feld1 = 14,74 Mio.

}}
== Erläuterungen ==
{{Episodenlisteneintrag2
* Die '''gleichmäßig-gleichgradige Stetigkeit''' ({{enS|''Equicontinuity''}}) der obigen Abbildungsgruppe <math>\mathcal {G}</math> ist auf die durch das <math>0</math>-[[Umgebungssystem]] von <math>X</math> gegebene [[uniforme Struktur]] zu beziehen. In diesem Zusammenhang nennt man - in voller Allgemeinheit - eine Familie <math>\mathcal {F} = (f_i)_{i \in I}</math> von linearen Abbildungen <math>f_i \colon X \to Y</math> zwischen zwei [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]] <math>X</math> und <math>Y</math> gleichmäßig gleichgradig stetig genau dann, wenn folgendes gilt:<ref name="WR-3">Rudin, op. cit., S. 43</ref>
| NR_GES = 91
:''Zu jeder <math>0</math>-Umgebung <math>U_Y (0) \subseteq Y</math> gibt es eine <math>0</math>-Umgebung <math>U_X (0) \subseteq X</math> , welche der Bedingung <math> \bigcup_{i \in I} { f_i \left( U_X (0) \right) } \subseteq U_Y (0)</math> genügt.''
| NR_ST = 4
* Eine Abbildung <math>f \colon C \to C</math> der konvexen Menge <math>C \subseteq X</math> heißt '''affin''', wenn für je zwei Punkte <math>x,y \in C</math> und jede [[reelle Zahl]] <math>\lambda \in [0,1]</math> stets die [[Gleichung]] <math> f \left(\lambda x + (1-\lambda) y\right) = \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)</math> erfüllt ist''.<ref name="VI-3">Istrățescu, op. cit., S. 276</ref>
| OT = The Wiggly Finger Catalyst

| DT = Such Dir eine Inderin!
== Literatur ==
| EA = 6. Okt. 2011
* {{Literatur
| EAD = 3. Apr. 2012
|Autor=Shizuo Kakutani
| REG = Mark Cendrowski
|Titel=On the uniqueness of Haar's measure
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, David Goetsch & Anthony Del Broccolo
|Sammelwerk=Proceedings of the Imperial Academy
| Feld1 = 13,92 Mio.
|Band=14
}}
|Datum=1938
{{Episodenlisteneintrag2
|Seiten=27–31
| NR_GES = 92
|DOI=
| NR_ST = 5
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kakutani&s5=Imperial&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=1568492 MR1568492]}}
| OT = The Russian Rocket Reaction
* {{Literatur
| DT = Ab nach Baikonur!
|Autor=Shizuo Kakutani
| EA = 13. Okt. 2011
|Titel=Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets
| EAD = 10. Apr. 2012
|Sammelwerk=[[Proceedings of the Imperial Academy]]
| REG = Mark Cendrowski
|Band=14
| DRB = Chuck Lorre, Eric Kaplan & Maria Ferrari<br />Idee: Bill Prady, Steven Molaro & Jim Reynolds
|Datum=1938
| Feld1 = 13,58 Mio.
|Seiten=242–245
}}
|DOI=
{{Episodenlisteneintrag2
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kakutani&s5=Imperial&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1568507 MR1568507]}}
| NR_GES = 93
* {{Literatur
| NR_ST = 6
|Autor=[[Vasile I. Istrățescu]]
| OT = The Rhinitis Revelation
|Titel=Fixed Point Theory
| DT = Mamis Liebling
|TitelErg=An Introduction. With a Preface by [[Michiel Hazewinkel]]
| EA = 20. Okt. 2011
|Reihe=Mathematics and its Application
| EAD = 17. Apr. 2012
|BandReihe=7
| REG = Howard Murray
|Auflage=
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Jim Reynolds<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Steve Holland
|Verlag=[[D. Reidel Publishing Company]]
| Feld1 = 14,93 Mio.
|Ort=Dordrecht, Bosto, London
}}
|Datum=1981
{{Episodenlisteneintrag2
|ISBN=90-277-1224-7
| NR_GES = 94
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Istratescu&s5=Fixed%20Point%20theory&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=620639 MR0620639]}}
| NR_ST = 7
* {{Literatur
| OT = The Good Guy Fluctuation
|Autor=[[Andrei Andrejewitsch Markow (Mathematiker, 1903)|A. A. Markov]]
| DT = Ein guter Kerl
|Titel=Quelques théorèmes sur les ensembles abeliens
| EA = 27. Okt. 2011
|Sammelwerk=[[Russische Akademie der Wissenschaften|Doklady Akad. Nauk. SSSR]]
| EAD = 24. Apr. 2012
|Band=10
| REG = Mark Cendrowski
|Datum=1936
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Jim Reynolds<br />Idee: Chuck Lorre, Dave Goetsch & Maria Ferrari
|Seiten=311-314}}
| Feld1 = 14,54 Mio.
* {{Literatur
}}
|Autor=[[Barbara Przebieracz]]
{{Episodenlisteneintrag2
|Titel=A proof of the Mazur-Orlicz theorem via the Markov-Kakutani common fixed point theorem, and ''vice versa''
| NR_GES = 95
|Sammelwerk=[[Fixed Point Theory and Applications]]
| NR_ST = 8
|Band=
| OT = The Isolation Permutation
|Datum=2015
| DT = Leichtes Fummeln
|Seiten=
| EA = 3. Nov. 2011
|DOI=10.1186/s13663-014-0257-2
| EAD = 1. Mai 2012
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Kakutani-Markov%20fixed%20point%20theorem&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=3304965 MR3304965]}}
| REG = Mark Cendrowski
* {{Literatur
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Tara Hernandez
|Autor=[[Walter Rudin]]
| Feld1 = 15,98 Mio.
|Titel=Functional Analysis
}}
|Reihe=International Series in Pure and Applied Mathematics
{{Episodenlisteneintrag2
|BandReihe=
| NR_GES = 96
|Auflage=2.
| NR_ST = 9
|Verlag=[[McGraw-Hill]]
| OT = The Ornithophobia Diffusion
|Ort=Boston (u.&nbsp;a.)
| DT = Zwei komische Vögel
|Datum=1991
| EA = 10. Nov. 2011
|ISBN=0-07-054236-8
| EAD = 8. Mai 2012
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rudin&s5=Functional%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1157815 MR1157815]}}
| REG = Mark Cendrowski
* {{Literatur
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Eric Kaplan<br />Idee: Chuck Lorre, Dave Goetsch & Anthony Del Broccolo
|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]
| Feld1 = 15,89 Mio.
|Titel=A proof of the Markov-Kakutani fixed point theorem via the Hahn-Banach theorem
|Sammelwerk=[[Extracta Mathematicae]]
|Band=8
|Datum=1993
|Seiten=37–38
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Kakutani-Markov%20fixed%20point%20theorem&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=1270326 MR1270326]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Robert J. Zimmer]]
|Titel=Essential Results of Functional Analysis
|Reihe=Chicago Lectures in Mathematics
|BandReihe=
|Auflage=
|Verlag=The [[University of Chicago]] Press
|Ort=Chicago, London
|Datum=1990
|ISBN=0-226-98337-4
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Zimmer&s5=Essential&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR1045444]}}

== Einzelnachweise und Hinweise ==
rreferences />


KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Kakutani, Fixpunktsatz von]]



= Satz von Bernstein-Doetsch =
Der '''Satz von Bernstein-Doetsch''' ist ein Lehrsatz des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Analysis]], der auf eine Arbeit der beiden [[Mathematiker]] [[Felix Bernstein]] und [[Gustav Doetsch]] aus dem Jahre 1915 zurückgeht. Der Satz gibt eine [[hinreichende Bedingung]], unter der gewisse [[konvexe Funktion]]en des [[Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] bereits [[Stetigkeit|stetig]] sind.<ref name="FB-GD-1">F. Bernstein, G. Doetsch: ''Zur Theorie der konvexen Funktionen.'' in: Math. Ann. 76, S. 514–526</ref><ref name="MK-1">Marek Kuczma: ''An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities.'' 2009, S. 155 ff</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz von Bernstein-Doetsch lässt sich angeben wie folgt:<ref name="MK-1" /><ref name="FB-GD-1" />
:''Sei <math>\Omega</math> eine [[konvexe Teilmenge|konvexe]] und zugleich [[offene Teilmenge]] des <math>\R^n \; (n \in \N)</math>.''
:''Sei <math>f \colon \Omega \to \R </math> eine [[Jensen-konvexe Funktion]], also eine [[reellwertige Funktion]], welche der Bedingung''
:: <math> f \left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}</math>
:''für alle <math>x,y \in \Omega</math> genügen möge.''
:''Weiter gebe es mindestens einen [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>x_0 \in \Omega</math> derart, dass für eine [[offene Umgebung]] <math>U(x_0) \subseteq \Omega</math> die [[Einschränkung]] <math>f|_{U(x_0)}</math> [[Beschränktheit#Definitionen|nach oben beschränkt]] sei.''

:''Dann gilt:''
:''<math>f</math> ist in jedem Punkt von <math>\Omega</math> stetig.''

== Historische Anmerkung ==
Johan Ludwig Jensen hat schon im Jahre 1906 ein Vorläuferresultat zum Satz von Bernstein-Doetsch geliefert, indem er nämlich zeigte, dass der entsprechende Sachverhalt für konvexe Funktionen auf offenen [[Reelles Intervall|reellen Intervallen]] gilt.<ref name="FB-GD-2">Bernstein/Doetsch, op. cit. , S. 514</ref>

== Folgerungen ==
Der Satz von Bernstein-Doetsch zieht unmittelbar das folgende Korollar nach sich:<ref name="MK-2">Kuczma. op. cit., S. 158</ref>
:''Eine auf einer offenen und konvexen Teilmenge des euklidischen Raums gegebene Jensen-konvexe Funktion ist entweder stetig oder in jedem Punkt [[unstetig]].''

Darüber hinaus gewinnt man mit dem Satz von Bernstein-Doetsch das folgende grundlegende Resultat, welches der [[Polen|polnische]] [[Mathematiker]] [[Marek Kuczma]] in seiner bekannten Monographie ''An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities'' als ''The basic theorem'' betitelt. Dieses besagt:<ref name="MK-3">Kuczma. op. cit., S. 161–162</ref>
:''Ist <math>f \colon \Omega \to \R </math> eine reellwertige Funktion für eine konvexe offene Teilmenge <math>\Omega</math> des <math>\R^n \; (n \in \N)</math>, so ist <math>f</math> sowohl Jensen-konvex als auch stetig genau dann,''
:''wenn für je zwei Punkte <math>x,y \in \Omega</math> und jede [[reelle Zahl]] <math>\lambda \in [0,1]</math> stets die Ungleichung''
:: <math> f \left(\lambda x+ (1-\lambda) y\right) \leq \lambda f(x)+ (1-\lambda) f(y)</math>
:''erfüllt ist.''

== Die Sätze von Sierpiński und Fréchet ==
Auf den [[Polen|polnischen]] Mathematiker [[Wacław Sierpiński]] geht ein Satz zurück, dessen Fragestellung der des Satzes von Bernstein-Doetsch gleicht, wenngleich dessen Beweis auf anderen Methoden beruht. Er lautet:<ref name="MK-4">Kuczma. op. cit., S. 241 ff</ref><ref name="WS-1">W. Sierpiński: ''Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement .'' in: Fund. Math. 1, S. 112–115</ref><ref name="WS-2">Sierpiński, op. cit. , S. 125–128</ref>
:''Gegeben seien eine konvexe offene Teilmenge <math>\Omega</math> des <math>\R^n \; (n \in \N)</math> und darauf eine Jensen-konvexe Funktion <math>f \colon \Omega \to \R </math>.''
:''Dann gilt:''
:''Ist <math>f</math> [[Messbare Funktion#Messbarkeit reellwertiger Funktionen|messbar]], so ist <math>f</math> bereits stetig.''

Der Satz von Sierpiński wiederum führt unmittelbar zu einem Satz, der für den Fall der [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] <math>n=1</math> schon von dem [[Frankreich|französischen]] Mathematiker [[Maurice René Fréchet|Maurice Fréchet]] im Jahre 1913 formuliert wurde:<ref name="MK-4" />
:''Jede messbare [[additive Funktion]] <math>f \colon \R^n \to \R </math> ist stetig.''

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Felix Bernstein|F. Bernstein]] und [[Gustav Doetsch|G. Doetsch]]
|Titel=Zur Theorie der konvexen Funktionen
|Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]]
|Band=76
|Datum=1915
|Seiten=514–526
|DOI=10.1007/BF01458222
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Bernstein&s5=Doetsch&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=1511840 MR1511840]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 97
|Autor=Maurice Fréchet
| NR_ST = 10
|Titel=Pri la fukncia equacio f(x+y) = f(x) + f(y)
| OT = The Flaming Spittoon Acquisition
|Sammelwerk=[[L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale|Enseignement Math.]]
| DT = Die Beziehungsrahmen-<br />vereinbarung
|Band=15
| EA = 17. Nov. 2011
|Datum=1913
| EAD = 15. Mai 2012
|Seiten=390-393
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Bill Prady, Jim Reynolds & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Dave Goetsch
|Online=
| Feld1 = 15,05 Mio.
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 98
|Autor=Maurice Fréchet
| NR_ST = 11
|Titel=A propos d'un article sur l'équation fonctionelle f(x+y) = f(x) + f(y)
| OT = The Speckerman Recurrence
|Sammelwerk=Enseignement Math.
| DT = Das Speckerman-Trauma
|Band=16
| EA = 8. Dez. 2011
|Datum=1914
| EAD = 22. Mai 2012
|Seiten=136
| REG = Anthony Rich
|DOI=
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Steve Holland
|Online=
| Feld1 = 14,02 Mio.
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 99
|Autor=[[Johan Ludwig Jensen|J. L. W. V. Jensen]]
| NR_ST = 12
|Titel=Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes
| OT = The Shiny Trinket Maneuver
|Sammelwerk=[[Acta Mathematica]]
| DT = Kinder? Nein danke!
|Band=30
| EA = 12. Jan. 2012
|Datum=1906
| EAD = 29. Mai 2012
|Seiten=175–193
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Bill Prady, Jim Reynolds & Steven Molaro<br />Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Tara Hernandez
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Jensen&s5=Acta%20Mathematica&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=1555027 MR1555027]
| Feld1 = 16,13 Mio.
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 100
|Autor=[[Marek Kuczma]]
| NR_ST = 13
|Titel=An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities
| OT = The Recombination Hypothesis
|TitelErg=Cauchy's Equation and Jensen's Inequality
| DT = Penny und Leonard 2.0
|Reihe=
| EA = 19. Jan. 2012
|BandReihe=
| EAD = 28. Aug. 2012
|Auflage=2.
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
| DRB = Bill Prady & Steven Molaro<br />Idee: Chuck Lorre
|Ort=Basel
| Feld1 = 15,83 Mio.
|Datum=2009
|ISBN=978-3-7643-8748-8
|Seiten=
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kuczma&s5=Introduction&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2467621 MR2467621]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 101
|Autor=Wacław Sierpiński
| NR_ST = 14
|Titel=Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement
| OT = The Beta Test Initiation
|Sammelwerk=[[Fundamenta Mathematicae]]
| DT = Spaß mit Flaggen
|Band=1
| EA = 26. Jan. 2012
|Datum=1920
| EAD = 4. Sep. 2012
|Seiten=112-115
| REG = Mark Cendrowski
|DOI=
| DRB = Bill Prady, Dave Goetsch & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan
|Online=[http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv1i1p13bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-fm-1920-1-1;14&qt=CHILDREN-STATELESS ->Weblink]
| Feld1 = 16,13 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 102
| NR_ST = 15
| OT = The Friendship Contraction
| DT = Die Mitbewohnervereinbarung
| EA = 2. Feb. 2012
| EAD = 11. Sep. 2012
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds
| Feld1 = 16,54 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 103
| NR_ST = 16
| OT = The Vacation Solution
| DT = Die Urlaubs-Diktatur
| EA = 9. Feb. 2012
| EAD = 18. Sep. 2012
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Anthony Del Broccolo & Tara Hernandez
| Feld1 = 16,21 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 104
| NR_ST = 17
| OT = The Rothman Disintegration
| DT = Antisportler
| EA = 16. Feb. 2012
| EAD = 25. Sep. 2012
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Steve Holland
| Feld1 = 15,65 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 105
| NR_ST = 18
| OT = The Werewolf Transformation
| DT = Kuscheln mit dem Gürteltier
| EA = 23. Feb. 2012
| EAD = 2. Okt. 2012
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Todd Craig & Gary Torvinen
| Feld1 = 16,20 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 106
| NR_ST = 19
| OT = The Weekend Vortex
| DT = Wochenendkrieger
| EA = 8. Mär. 2012
| EAD = 9. Okt. 2012
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Tara Hernandez
| Feld1 = 15,04 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 107
| NR_ST = 20
| OT = The Transporter Malfunction
| DT = Traum mit Spock
| EA = 29. Mär. 2012
| EAD = 16. Okt. 2012
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Maria Ferrari
| Feld1 = 13,96 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 108
| NR_ST = 21
| OT = The Hawking Excitation
| DT = Noch so ein Weichei
| EA = 5. Apr. 2012
| EAD = 23. Okt. 2012
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Eric Kaplan & Maria Ferrari<br />Idee: Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland
| Feld1 = 13,29 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 109
| NR_ST = 22
| OT = The Stag Convergence
| DT = Sex auf der Waschmaschine?
| EA = 26. Apr. 2012
| EAD = 30. Okt. 2012
| REG = Peter Chakos
| DRB = Chuck Lorre, Steven Molaro & Jim Reynolds<br />Idee: Billy Prady, Steve Holland & Eric Kaplan
| Feld1 = 12,65 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 110
| NR_ST = 23
| OT = The Launch Acceleration
| DT = Falscher Ort, falsche Frage
| EA = 3. Mai 2012
| EAD = 6. Nov. 2012
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Jim Reynolds
| Feld1 = 13,91 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 111
| NR_ST = 24
| OT = The Countdown Reflection
| DT = Fruchtzwerg fliegt ins All
| EA = 10. Mai 2012
| EAD = 13. Nov. 2012
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Steven Molaro & Jim Reynolds<br />Idee: Bill Prady, Eric Kaplan & Steve Holland
| Feld1 = 13,72 Mio.
}}
}}
* {{Literatur
|Autor=Wacław Sierpiński
|Titel=Sur les fonctions convexes mesurables
|Sammelwerk=Fundamenta Mathematicae
|Band=1
|Datum=1920
|Seiten=125-128
|DOI=
|Online=[http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv1i1p16bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-fm-1920-1-1;17&qt=CHILDREN-STATELESS ->Weblink]
}}
}}


== Einzelnachweise und Hinweise ==
== Staffel 6 ==
{{Hauptartikel|The Big Bang Theory/Staffel 6}}
rreferences />


Die Erstausstrahlung der sechsten Staffel war vom 27. September 2012 bis zum 16. Mai 2013 auf dem US-amerikanischen Sender [[Columbia Broadcasting System|CBS]] zu sehen.<ref>{{cite web |url=http://tvschedule.zap2it.com/tv/the-big-bang-theory/episode-guide/EP00931182/6 |title=The Big Bang Theory: Season 6 |work=Zap2it.com |accessdate=2015-08-26}}</ref> Die deutschsprachige Erstausstrahlung sendete der deutsche [[Free-TV]]-Sender [[ProSieben]] vom 28. Januar bis zum 25. November 2013.<ref>{{cite web |url=http://www.serienjunkies.de/news/big-bang-theory-staffel-45236.html |title=Big Bang Theory: Staffel 6 ab Ende Januar bei ProSieben |work=Serienjunkies.de |date=2012-12-13 |accessdate=2012-12-13 |author=Lenka Hladikova}}</ref>{{Episodenlistentabelle

| SORTIERBAR = nein
KKKategorie:Analysis]]
| ERSTAUSSTRAHLUNG_LAND = USA

| ZUSAMMENFASSUNG = nein
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Bernstein-Doetsch]]
| ERSTAUSSTRAHLUNG_DE = D

| DEUTSCHE_PRODUKTION = nein
= Satz von Edelstein =
| REGISSEUR = ja
Der '''Satz von Edelstein''' ist ein Lehrsatz des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Funktionalanalysis]]. Er geht auf eine Arbeit des [[Mathematiker]]s [[Michael Edelstein]] aus dem Jahre 1962 zurück und behandelt eine [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkteigenschaft]] gewisser [[Nichtexpansive Abbildung|nichtexpansiver Abbildungen]]. Der Satz ist verwandt mit dem [[Banachscher Fixpunktsatz|banachschen Fixpunktsatz]] und dem [[Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk]].<ref name="ME-1">Michael Edelstein: ''On fixed and periodic points under contractive mappings.'' in: J. London. Math. Soc. 37, S. 74 ff</ref><ref name="JMO-WCR-1">J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt: ''Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables.'' 2000, S. 404 ff</ref><ref name="LWK-GPA-1">L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow: ''Funktionalanalysis in normierten Räumen.'' 1978, S. 512</ref>
| DREHBUCH = ja

| Feld1 = Quoten<br /><small>(USA)</small><ref>{{cite web |url=http://tvseriesfinale.com/tv-show/the-big-bang-theory-season-six-ratings-24657/ |title=The Big Bang Theory: Season Six Rating |work=TVSeriesFinale.com |date=2013-05-18 |accessdate=2014-06-30}}</ref>
== Formulierung des Satzes ==
| INHALT =
Der Satz von Edelstein lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:<ref name="ME-2">Edelstein, op. cit., S. 74</ref><ref name="JMO-WCR-2">Ortega-Rheinboldt, op. cit., S. 404</ref><ref name="LWK-GPA-1" />
{{Episodenlisteneintrag2
:''Sei <math>X</math> eine [[nichtleer]]e [[Teilmenge]] eines <math>\R^n \; (n \in \N)</math> oder allgemein ein nichtleerer [[metrischer Raum]], versehen mit einer Metrik <math>d</math> .''<ref>Im Falle, dass <math>X</math> Teilmenge eines <math>\R^n </math> ist, soll die Metrik auf <math>X</math> - wie üblich - als durch eine [[Norm (Mathematik)|Norm]], etwa durch die [[euklidische Norm]], erzeugt angenommen werden. </ref>
| NR_GES = 112
:''Weiter gegeben sei eine [[strikt nichtexpansive Abbildung]] <math>f \colon X \to X </math> und deren [[Bildmenge]] <math>\Omega = f(X)</math> sei [[kompakte Teilmenge|kompakt]] in <math>X</math>.''
| NR_ST = 1
:
| OT = The Date Night Variable
:''Dann gilt:''
| DT = Die Date-Variable
:''Es gibt '''genau''' einen [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>x^{*} \in X </math> mit <math>f(x^{*}) = x^{*}</math> .''
| EA = 27. Sep. 2012
:''Dabei [[Grenzwert_(Folge)#Grenzwert einer Folge von Elementen eines metrischen Raumes|konvergiert]] für jeden Punkt <math>x_0 \in X </math> die [[Iteration#Dynamische_Systeme|iterative Folge]] <math>(f^n(x_0))_{n=0,1,\dots,\infty}</math> gegen diesen Fixpunkt <math>x^{*}</math> .''
| EAD = 28. Jan. 2013

| REG = [[Mark Cendrowski]]
== Anmerkungen zum Beweis ==
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari<br />Idee: [[Chuck Lorre]], Eric Kaplan & Steve Holland
Einem Gedanken von [[Mark Grigorjewitsch Krein|M. Krein]] folgend,<ref name="LWK-GPA-1" /> gewinnt man die Existenz eines Fixpunktes wegen der Kompaktheit der Bildmenge <math>\Omega</math> unmittelbar durch Anwendung des [[Satz vom Minimum und Maximum|Satzes vom Minimum]] auf das [[nichtnegativ]]e [[Reellwertige Funktion|reelle]] [[Funktional]] <math>T \colon \Omega \to \R^{\geq 0} \; , \; x \mapsto T(x) = d (f(x),x)</math>. Damit ist nämlich gesichert, dass das <math>T</math>-Minimum in einen Punkt <math>x^{*} \in \Omega</math> angenommen wird, welcher dann ein Fixpunkt sein muss. Denn wegen der vorausgesetzten strikten Nichtexpansivität von <math>f</math> muss <math>T(x^{*}) = 0</math> gelten, da aus <math>T(x^{*}) > 0</math> sofort <math>f(x^{*}) \neq x^{*}</math> folgte und dann <math>T(f(x^{*})) = d (f(f(x^{*})),f(x^{*})) < d (f(x^{*}),x^{*}) = T(x^{*}) </math>, im Widerspruch zur Minimumseigenschaft von <math>x^{*}</math>.
| Feld1 = 15,66 Mio.

}}
Zudem ist durch die strikte Nichtexpansivität von <math>f</math> offenbar auch direkt auf die Eindeutigkeit des Fixpunktes zu schließen. Denn für einen von <math>x^{*}</math> verschiedenen Fixpunkt <math>x^{**}</math> wäre sogleich die in sich widersprüchliche Ungleichung <math>d (x^{*},x^{**}) = d (f(x^{*}),f(x^{**})) < d (x^{*},x^{**}) </math> zu folgern.
{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 113
== Quellen und Hintergrundliteratur ==
| NR_ST = 2
* {{Literatur
| OT = The Decoupling Fluctuation
|Autor=[[Michael Edelstein|M. Edelstein]]
| DT = Händchen halten, bitte!
|Titel=On fixed and periodic points under contractive mappings
| EA = 4. Okt. 2012
|Sammelwerk=[[Journal of the London Mathematical Society]]
| EAD = 4. Feb. 2013
|Band=37
| REG = Mark Cendrowski
|Datum=1962
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari
|Seiten=74–79
| Feld1 = 15,18 Mio.
|DOI=10.1112/jlms/s1-37.1.74
}}
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Edelstein&s5=contractive&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=133102 MR0133102]
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 114
| NR_ST = 3
| OT = The Higgs Boson Observation
| DT = Ein blondes Äffchen
| EA = 11. Okt. 2012
| EAD = 11. Feb. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari<br />Idee: Steven Molaro, Dave Goetsch & Steve Holland
| Feld1 = 14,23 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 115
| NR_ST = 4
| OT = The Re-Entry Minimization
| DT = Armer Astronaut
| EA = 18. Okt. 2012
| EAD = 18. Feb. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan<br />Idee: Bill Prady, Jim Reynolds & Anthony Del Broccolo
| Feld1 = 15,73 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 116
| NR_ST = 5
| OT = The Holographic Excitation
| DT = Holographisch erregt
| EA = 25. Okt. 2012
| EAD = 25. Feb. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jeremy Howe
| Feld1 = 15,82 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 117
| NR_ST = 6
| OT = The Extract Obliteration
| DT = Akt und Extrakt
| EA = 1. Nov. 2012
| EAD = 25. Feb. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Eric Kaplan<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Steve Holland
| Feld1 = 15,90 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 118
| NR_ST = 7
| OT = The Habitation Configuration
| DT = Spaß mit Flaggen (2)
| EA = 8. Nov. 2012
| EAD = 4. Mär. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds
| Feld1 = 16,68 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 119
| NR_ST = 8
| OT = The 43 Peculiarity
| DT = Das Rätsel der 43
| EA = 15. Nov. 2012
| EAD = 11. Mär. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Dave Goetsch & Anthony Del Broccolo
| Feld1 = 17,63 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 120
| NR_ST = 9
| OT = The Parking Spot Escalation
| DT = Die Parkplatz-Eskalation
| EA = 29. Nov. 2012
| EAD = 18. Mär. 2013
| REG = Peter Chakos
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Mike Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Adam Faberman
| Feld1 = 17,25 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 121
| NR_ST = 10
| OT = The Fish Guts Displacement
| DT = Strafe muss sein
| EA = 6. Dez. 2012
| EAD = 25. Mär. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Tara Hernandez
| Feld1 = 16,94 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 122
| NR_ST = 11
| OT = The Santa Simulation
| DT = Mädelsabend mit Kerl
| EA = 13. Dez. 2012
| EAD = 8. Apr. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Steve Holland
| Feld1 = 16,77 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 123
| NR_ST = 12
| OT = The Egg Salad Equivalency
| DT = Das Eiersalat-Äquivalent
| EA = 3. Jan. 2013
| EAD = 15. Apr. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Bill Prady & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds
| Feld1 = 19,25 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 124
| NR_ST = 13
| OT = The Bakersfield Expedition
| DT = Man lernt nie aus
| EA = 10. Jan. 2013
| EAD = 26. Aug. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Steve Holland
| Feld1 = 20,00 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 125
| NR_ST = 14
| OT = The Cooper/Kripke Inversion
| DT = Willkommen in der Donnerkuppel
| EA = 31. Jan. 2013
| EAD = 26. Aug. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo
| Feld1 = 17,76 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 126
| NR_ST = 15
| OT = The Spoiler Alert Segmentation
| DT = Spoileralarm!
| EA = 7. Feb. 2013
| EAD = 2. Sep. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Maria Ferrari & Adam Faberman<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Steve Holland
| Feld1 = 18,98 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 127
| NR_ST = 16
| OT = The Tangible Affection Proof
| DT = Der Romantik-Ninja
| EA = 14. Feb. 2013
| EAD = 9. Sep. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Tara Hernandez<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Steve Holland
| Feld1 = 17,89 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 128
| NR_ST = 17
| OT = The Monster Isolation
| DT = Keiner ist so kaputt wie ich
| EA = 21. Feb. 2013
| EAD = 16. Sep. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Dave Goetsch & Maria Ferrari
| Feld1 = 17,62 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 129
| NR_ST = 18
| OT = The Contractual Obligation Implementation
| DT = Prinzessinnen der Wissenschaft
| EA = 7. Mär. 2013
| EAD = 23. Sep. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Steve Holland
| Feld1 = 17,63 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 130
| NR_ST = 19
| OT = The Closet Reconfiguration
| DT = Ordnung in der Abstellkammer
| EA = 14. Mär. 2013
| EAD = 30. Sep. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan<br />Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari
| Feld1 = 15,90 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 131
| NR_ST = 20
| OT = The Tenure Turbulence
| DT = Kein Job fürs Leben
| EA = 4. Apr. 2013
| EAD = 14. Okt. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Steve Holland & Jim Reynolds<br />Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari
| Feld1 = 17,24 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 132
| NR_ST = 21
| OT = The Closure Alternative
| DT = Abschluss-Probleme
| EA = 25. Apr. 2013
| EAD = 28. Okt. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Tara Hernandez
| Feld1 = 15,05 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 133
| NR_ST = 22
| OT = The Proton Resurgence
| DT = Professor Proton
| EA = 2. Mai 2013
| EAD = 11. Nov. 2013
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Steve Holland
| Feld1 = 16,29 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 134
| NR_ST = 23
| OT = The Love Spell Potential
| DT = Würfeln und küssen
| EA = 9. Mai 2013
| EAD = 18. Nov. 2013
| REG = Anthony Rich
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari
| Feld1 = 16,30 Mio.
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 135
|Autor=[[Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch|L. W. Kantorowitsch]], [[Gleb Pawlowitsch Akilow|G. P. Akilow]]
| NR_ST = 24
|Titel=Funktionalanalysis in normierten Räumen
| OT = The Bon Voyage Reaction
|TitelErg=In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. P. Heinz Müller, Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von Heinz Langer, Dresden, und Rolf Kühne, Dresden
| DT = Wie ein Wasserfall
|Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]]
| EA = 16. Mai 2013
|Ort=Thun, Frankfurt am Main
| EAD = 25. Nov. 2013
|Datum=1978
| REG = Mark Cendrowski
|ISBN=3-87144-327-1
| DRB = Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari<br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez
|Seiten=512
| Feld1 = 15,48 Mio.
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Akilow&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=458199 MR0458199]
}}
}}
* {{Literatur
|Autor=[[James M. Ortega]], [[Werner C. Rheinboldt|W. C. Rheinboldt]]
|Titel=Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables
|TitelErg=(Unabridged republication of the work first published by Academic Press, New York and London, 1970)
|Reihe=Classics in Applied Mathematics
|BandReihe=30
|Auflage=
|Verlag=Society for Industrial and Applied Mathematics
|Ort=Philadelphia
|Datum=2000
|ISBN=0-89871-461-3
|Seiten=404–407
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rheinboldt&s5=Ortega&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1744713 MR1744713]
}}
}}


== Einzelnachweise und Hinweise ==
== Staffel 7 ==
{{Hauptartikel|The Big Bang Theory/Staffel 7}}
rreferences />


Die Erstausstrahlung der siebten Staffel war vom 26. September 2013 bis zum 15. Mai 2014 auf dem US-amerikanischen Sender [[Columbia Broadcasting System|CBS]] zu sehen.<ref>{{cite web |url=http://tvschedule.zap2it.com/tv/the-big-bang-theory/episode-guide/EP00931182/7 |title=The Big Bang Theory: Season 7 |work=Zap2it.com |accessdate=2015-08-26}}</ref> Die deutschsprachige Erstausstrahlung sendete der deutsche [[Free-TV]]-Sender [[ProSieben]] vom 6. Januar bis zum 17. November 2014.

{{Episodenlistentabelle
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
| SORTIERBAR = nein
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Edelstein]]
| ERSTAUSSTRAHLUNG_LAND = USA

| ZUSAMMENFASSUNG = nein
= Nichtexpansive Abbildung =
| ERSTAUSSTRAHLUNG_DE = D
Der Begriff der '''nichtexpansiven Abbildung''' entstammt der [[Funktionalanalysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]]. Die nichtexpansiven [[Funktion (Mathematik)|Abbildungen]] zählen zu den [[Lipschitz-Stetigkeit|lipschitzstetigen]] Abbildungen zwischen [[Metrischer Raum|metrischen Räumen]]. Sie sind unter anderem bedeutsam im Zusammenhang mit [[Fixpunktsatz|Fixpunktsätzen]].
| DEUTSCHE_PRODUKTION = nein

| REGISSEUR = ja
== Definition ==
| DREHBUCH = ja
Eine Abbildung <math>f \colon X \to Y</math> für zwei metrische Räume <math>(X,d_X)</math> und <math>(Y,d_Y)</math> heißt '''nichtexpansiv''', wenn stets die folgende [[Ungleichung]] erfüllt ist:
| Feld1 = Quoten<br /><small>(USA)</small><ref>{{cite web |url=http://tvseriesfinale.com/tv-show/the-big-bang-theory-season-seven-ratings-30091/ |title=The Big Bang Theory: Season Seven Ratings |work=TVSeriesFinale.com |date=2014-05-16 |accessdate=2014-06-30}}</ref>
: <math>d_Y (f(x_1), f(x_2)) \leq d_X (x_1,x_2) \; (\forall x_1, x_2 \in X)</math>
| INHALT =

{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 136
Erfüllt eine solche Abbildung <math>f \colon X \to Y</math> für <math>x_1, x_2 \in X</math> mit <math>x_1 \neq x_2 </math> sogar stets die ''strenge Ungleichung''
| NR_ST = 1
: <math>d_Y (f(x_1), f(x_2)) < d_X (x_1,x_2)</math> &nbsp; ,
| OT = The Hofstadter Insufficiency

| DT = Drinks von Fremden
so nennt man <math>f</math> '''strikt nichtexpansiv'''.
| EA = 26. Sep. 2013

| EAD = 6. Jan. 2014
== Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk ==
| REG = [[Mark Cendrowski]]
Zu den nichtexpansiven Abbildungen von metrischen Räumen '''in sich''' zählen nicht zuletzt auch die [[Kontraktion (Mathematik)|kontraktiven Abbildungen]]. Wie bei letzteren stellt sich auch für erstere die Frage nach der Existenz von [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkten]]. Eine Antwort auf diese Frage liefert der ''Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk''. Er ist verwandt mit den Fixpunktsätzen von [[Fixpunktsatz von Banach|Banach]] und [[Fixpunktsatz von Schauder|Schauder]] und geht auf Arbeiten von [[Felix Earl Browder]], [[Dietrich Göhde]] und [[William A. Kirk]] aus den 1960er Jahren zurück.
| DRB = Eric Kaplan, Jim Reynolds & Steve Holland<br />Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Tara Hernandez

| Feld1 = 18,99 Mio.
Der Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:<ref name="EZ-I">Eberhard Zeidler: ''Nonlinear Functional Analysis and its Applications I'' 1986, S. 478</ref><ref name="DW-I">Dirk Werner: ''Funktionalanalysis.'' 2007, S. 173</ref><ref name="AP-I">Albrecht Pietsch: ''History of Banach Spaces and Linear Operators.'' 2007, S. 244</ref>
: ''Gegeben seien ein [[Gleichmäßig konvexer Raum|gleichmäßig konvexer]] [[Banachraum]] <math>E</math> und darin eine [[nichtleer]]e, [[Abgeschlossene Teilmenge|abgeschlossene]], [[Beschränktheit#Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen|beschränkte]] und [[konvexe Teilmenge]] <math>X \subseteq E</math>.''
: ''Sei weiterhin <math>f \colon X \to X </math> eine nichtexpansive Abbildung, also dergestalt, dass stets die Ungleichung <math>\| {f(x_1) - f(x_2)} \|_E \leq \| {x_1 - x_2} \|_E \; (\forall x_1, x_2 \in X)</math> erfüllt sei.''
:
: ''Dann gilt:''
: ''Die '''Fixpunktmenge''' <math>{\mathrm{Fix}} (f) = \{ x \in X \colon f(x) = x \} </math> ist eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge von <math>X</math>.''
: ''Insbesondere gibt es ein <math>x_0 \in X </math> mit <math>f(x_0) = x_0 </math> .''

Der Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk gab Anlass zu einer Anzahl von Folgeuntersuchungen, die zu verschiedenen Beweisvarianten und Verallgemeinerungen führten.

== Anmerkungen ==
* Die nichtexpansiven Abbildungen sind genau diejenigen lipschitzstetigen Abbildungen <math>f</math> zwischen metrischen Räumen, welche die Lipschitz-Konstante <math> {\mathrm{Lip}}_f \leq 1</math> besitzen.
* Fixpunkteigenschaften gewisser strikt nichtexpansiver Abbildungen behandelt der [[Satz von Edelstein]].

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Felix E. Browder
|Titel=Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space
|Sammelwerk=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]
|Band=54
|Datum=1965
|Seiten=1041–1044
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?r=1&pg1=MR&s1=187120&loc=fromrevtext MR0187120]
|JSTOR=73047
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 137
|Autor=Kazimierz Goebel
| NR_ST = 2
|Titel=An elementary proof of the fixed-point theorem of Browder and Kirk
| OT = The Deception Verification
|Sammelwerk=[[Michigan Mathematical Journal]]
| DT = Eine Körbchengröße mehr
|Band=16
| EA = 26. Sep. 2013
|Datum=1969
| EAD = 13. Jan. 2014
|Seiten=381–383
| REG = Mark Cendrowski
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Browder&s6=Kirk&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=7&mx-pid=251604 MR0251604]
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds
|DOI=10.1307/mmj/1029000322
| Feld1 = 20,44 Mio.
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 138
|Autor=Dietrich Göhde
| NR_ST = 3
|Titel=Zum Prinzip der kontraktiven Abbildung
| OT = The Scavenger Vortex
|Sammelwerk=[[Mathematische Nachrichten]]
| DT = Schnitzeljagd mit Nerds
|Band=30
| EA = 3. Okt. 2013
|Datum=1965
| EAD = 20. Jan. 2014
|Seiten=251–258
| REG = Mark Cendrowski
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=RT&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=G%C3%B6hde&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=15&mx-pid=190718 MR0190718]
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari<br />Idee: Dave Goetsch, Eric Kaplan & Steve Holland
|DOI=10.1002/mana.19650300312
| Feld1 = 18,22 Mio.
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 139
|Autor=[[Vasile I. Istrățescu]]
| NR_ST = 4
|Titel=Fixed Point Theory
| OT = The Raiders Minimization
|TitelErg=An Introduction. With a Preface by [[Michiel Hazewinkel]]
| DT = Ostereier im Juni
|Reihe=Mathematics and its Application
| EA = 10. Okt. 2013
|BandReihe=7
| EAD = 27. Jan. 2014
|Auflage=
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=[[D. Reidel Publishing Company]]
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Tara Hernandez
|Ort=Dordrecht, Bosto, London
| Feld1 = 17,64 Mio.
|Datum=1981
|ISBN=90-277-1224-7
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Istratescu&s5=Fixed%20Point%20theory&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=620639 MR0620639]
|DOI=
}}
* {{Literatur
|Autor=Jacek Jachymski
|Titel=Another proof of the Browder-Göhde-Kirk theorem via ordering argument
|Sammelwerk=[[Australian Mathematical Society|Bulletin of the Australian Mathematical Society]]
|Band=65
|Datum=2002
|Seiten=105–107
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Browder&s5=Kirk&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=1889383 MR1889383]
|DOI=10.1017/S0004972700020104
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 140
|Autor=W. A. Kirk
| NR_ST = 5
|Titel=A fixed point theorem for mappings which do not increase distances
| OT = The Workplace Proximity
|Sammelwerk=[[American Mathematical Monthly]]
| DT = Tritte unter dem Tisch
|Band=72
| EA = 17. Okt. 2013
|Datum=1965
| EAD = 3. Feb. 2014
|Seiten=1004–1006
| REG = Mark Cendrowski
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?r=1&pg1=MR&s1=189009&loc=fromrevtext MR0189009]
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Tara Hernandez
|JSTOR=2313345
| Feld1 = 17,80 Mio.
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 141
|Autor=[[James M. Ortega]], [[Werner C. Rheinboldt|W. C. Rheinboldt]]
| NR_ST = 6
|Titel=Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables
| OT = The Romance Resonance
|TitelErg=(Unabridged republication of the work first published by Academic Press, New York and London, 1970)
| DT = Ein erfreulicher Fehler
|Reihe=Classics in Applied Mathematics
| EA = 24. Okt. 2013
|BandReihe=30
| EAD = 10. Feb. 2014
|Auflage=
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=Society for Industrial and Applied Mathematics
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Eric Kaplan, Jim Reynolds & Tara Hernandez
|Ort=Philadelphia
| Feld1 = 16,98 Mio.
|Datum=2000
|ISBN=0-89871-461-3
|Seiten=404–407
|DOI=
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rheinboldt&s5=Ortega&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1744713 MR1744713]
}}
* {{Literatur
|Autor=[[Albrecht Pietsch]]
|Titel=History of Banach Spaces and Linear Operators
|Verlag=Birkhäuser Verlag
|Ort=Boston / Basel / Berlin
|Datum=2007
|ISBN=0-8176-4367-2
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Pietsch&s5=History&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2300779 MR2300779]
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 142
|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]
| NR_ST = 7
|Titel=Funktionalanalysis
| OT = The Proton Displacement
|Auflage=6., korrigierte
| DT = Der Proton-Ersatz
|Verlag=Springer-Verlag
| EA = 7. Nov. 2013
|Ort=Berlin
| EAD = 17. Feb. 2014
|Datum=2007
| REG = Mark Cendrowski
|ISBN=978-3-540-72533-6
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds<br />Idee: Chuck Lorre, Maria Ferrari & Anthony del Broccolo
| Feld1 = 16,89 Mio.
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 143
|Autor=[[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]]
| NR_ST = 8
|Titel=Nonlinear Functional Analysis and its Applications
| OT = The Itchy Brain Simulation
|TitelErg=I: Fixed-Point Theorems. Translated by Peter R. Wadsack
| DT = Juckreiz im Gehirn
|Verlag=Springer Verlag
| EA = 14. Nov. 2013
|Ort=New York / Berlin / Heidelberg / Tokyo
| EAD = 24. Feb. 2014
|Datum=1986
| REG = Mark Cendrowski
|ISBN=0-387-90914-1
| DRB = Eric Kaplan, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Steven Molaro, Bill Prady & Jim Reynolds
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zeidler&s5=Nonlinear&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=816732 MR0816732]
| Feld1 = 18,30 Mio.
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 144
| NR_ST = 9
| OT = The Thanksgiving Decoupling
| DT = Bier und Football
| EA = 21. Nov. 2013
| EAD = 3. Mär. 2014
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Jeremy Howe<br />Idee: Eric Kaplan, Steve Holland & Maria Ferrari
| Feld1 = 18,94 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 145
| NR_ST = 10
| OT = The Discovery Dissipation
| DT = Jodeln für Nerds
| EA = 5. Dez. 2013
| EAD = 10. Mär. 2014
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Adam Faberman<br />Idee: Eric Kaplan, Jim Reynolds & Maria Ferrari
| Feld1 = 15,63 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 146
| NR_ST = 11
| OT = The Cooper Extraction
| DT = Onkel Doktor Cooper
| EA = 12. Dez. 2013
| EAD = 17. Mär. 2014
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Jim Reynolds, Steve Holland & Tara Hernandez<br />Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari
| Feld1 = 17,68 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 147
| NR_ST = 12
| OT = The Hesitation Ramification
| DT = Keine hübschen Frauen!
| EA = 2. Jan. 2014
| EAD = 24. Mär. 2014
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Dave Goetsch, Jim Reynolds & Tara Hernandez
| Feld1 = 19,20 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 148
| NR_ST = 13
| OT = The Occupation Recalibration
| DT = Für immer zu dritt
| EA = 9. Jan. 2014
| EAD = 8. Sep. 2014
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Steve Holland<br />Idee: Eric Kaplan, Maria Ferrari & Tara Hernandez
| Feld1 = 20,35 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 149
| NR_ST = 14
| OT = The Convention Conundrum
| DT = Ein Abend mit Darth Vader
| EA = 30. Jan. 2014
| EAD = 8. Sep. 2014
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Dave Goetsch & Steve Holland<br />Idee: Eric Kaplan, Jim Reynolds & Adam Faberman
| Feld1 = 19,05 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 150
| NR_ST = 15
| OT = The Locomotive Manipulation
| DT = Eisenbahnromantik
| EA = 6. Feb. 2014
| EAD = 15. Sep. 2014
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari<br />Idee: Jim Reynolds, Steve Holland & Tara Hernandez
| Feld1 = 17,53 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 151
| NR_ST = 16
| OT = The Table Polarization
| DT = Die Spaßbremse
| EA = 27. Feb. 2014
| EAD = 22. Sep. 2014
| REG = Gay Linvill
| DRB = Chuck Lorre, Jim Reynolds & Steve Holland<br />Idee: Steven Molaro, Maria Ferrari & Tara Hernandez
| Feld1 = 17,73 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 152
| NR_ST = 17
| OT = The Friendship Turbulence
| DT = Wenn Männer Händchen halten…
| EA = 6. Mär. 2014
| EAD = 29. Sep. 2014
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Jim Reynolds, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Tara Hernandez
| Feld1 = 18,09 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 153
| NR_ST = 18
| OT = The Mommy Observation
| DT = Mein Gespräch mit Mutter
| EA = 13. Mär. 2014
| EAD = 6. Okt. 2014
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Jim Reynolds, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Tara Hernandez
| Feld1 = 17,34 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 154
| NR_ST = 19
| OT = The Indecision Amalgamation
| DT = Reife Leistung, Playboy!
| EA = 3. Apr. 2014
| EAD = 13. Okt. 2014
| REG = Anthony Rich
| DRB = Steven Molaro, Dave Goetsch & Steve Holland<br />Idee: Bill Prady, Eric Kaplan & Jim Reynolds
| Feld1 = 17,73 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 155
| NR_ST = 20
| OT = The Relationship Diremption
| DT = Klozilla
| EA = 10. Apr. 2014
| EAD = 20. Okt. 2014
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Eric Kaplan & Steve Holland<br />Idee: Steven Molaro, Bill Prady & Jim Reynolds
| Feld1 = 16,29 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 156
| NR_ST = 21
| OT = The Anything Can Happen Recurrence
| DT = Schulmädchenreport


| EA = 24. Apr. 2014
== Einzelnachweise ==
| EAD = 27. Okt. 2014
rreferences />
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Jim Reynolds, Steve Holland & Tara Hernandez<br />Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Adam Faberman
| Feld1 = 16,44 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 157
| NR_ST = 22
| OT = The Proton Transmogrification
| DT = Das Heirate-mich-Gesicht
| EA = 1. Mai 2014
| EAD = 3. Nov. 2014
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland<br />Idee: Jim Reynolds, Maria Ferrari & Jeremy Howe
| Feld1 = 16,07 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 158
| NR_ST = 23
| OT = The Gorilla Dissolution
| DT = Irgendwie verlobt
| EA = 8. Mai 2014
| EAD = 10. Nov. 2014
| REG = Peter Chakos
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan<br />Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Jeremy Howe
| Feld1 = 14,42 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 159
| NR_ST = 24
| OT = The Status Quo Combustion
| DT = Sei vorsichtig und ruf an!
| EA = 15. Mai 2014
| EAD = 17. Nov. 2014
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez<br />Idee: Eric Kaplan, Jim Reynolds & Jeremy Howe
| Feld1 = 16,73 Mio.
}}
}}


== Staffel 8 ==
{{Hauptartikel|The Big Bang Theory/Staffel 8}}


Die Erstausstrahlung der achten Staffel war ab dem 22. September 2014 bis zum 7. Mai 2015 auf dem US-amerikanischen Sender [[Columbia Broadcasting System|CBS]] zu sehen.<ref>{{cite web |url=http://tvschedule.zap2it.com/tv/the-big-bang-theory/episode-guide/EP00931182/8 |title=The Big Bang Theory: Season 8 |work=Zap2it.com |accessdate=2015-08-26}}</ref> Die deutschsprachige Erstausstrahlung der ersten zwölf Folgen sendete der deutsche [[Free-TV]]-Sender [[ProSieben]] vom 5. Januar bis zum 23. März 2015, die restlichen zwölf Folgen strahlte ProSieben vom 14. September bis zum 30. November 2015 aus.
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
{{Episodenlistentabelle

| SORTIERBAR = nein

| ERSTAUSSTRAHLUNG_LAND = USA

| ZUSAMMENFASSUNG = nein

| ERSTAUSSTRAHLUNG_DE = D
= Lemma von Kakutani =
| DEUTSCHE_PRODUKTION = nein
Das '''Lemma von Kakutani''' ist [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der sowohl dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der [[Konvexgeometrie]] als auch dem der [[Funktionalanalysis]] zugerechnet werden kann. Es geht auf eine Arbeit des [[Japan|japanischen]] [[Mathematiker]]s [[Shizuo Kakutani]] aus dem Jahr 1937 zurück und behandelt eine Eigenschaft [[Konvexe Menge|konvexer Mengen]] in [[Körper der reellen Zahlen|reellen]] [[Vektorraum|Vektorräumen]].<ref name="MB-1">Marcel Berger: ''Geometry I.'' 1987, S. 384</ref><ref name="JLK-IN-1">John L. Kelley, Isaac Namioka: ''Linear Topological Spaces.'' 1976, S. 17</ref><ref name="FAV-1">Frederick A. Valentine: ''Konvexe Mengen.'' 1968, S. 29–30</ref>
| REGISSEUR = ja

| DREHBUCH = ja
== Formulierung des Lemmas ==
| Feld1 = Quoten<br /><small>(USA)</small><ref>{{cite web |url=http://tvseriesfinale.com/tv-show/the-big-bang-theory-season-eight-ratings-33990/ |title=The Big Bang Theory: Season Eight Ratings |work=TVSeriesFinale.com |date=2014-11-21 |accessdate=2014-11-22}}</ref>
Das Lemma lässt sich formulieren wie folgt:<ref name="MB-1" /><ref name="JLK-IN-1" />
| INHALT =
:''Gegeben seien ein [[Körper der reellen Zahlen|reeller]] [[Vektorraum]] <math>X</math> und darin zwei [[disjunkt]]e konvexe [[Teilmenge]]n <math>C_1, C_2 \subset X </math> sowie ein außerhalb dieser beiden Mengen gelegener [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>x \in {X \setminus (C_1 \cup C_2)}</math>.''
{{Episodenlisteneintrag2
: ''<math>{\Gamma}_i \subset X \; (i = 1,2)</math> sei jeweils die [[konvexe Hülle]] von <math> \{ x \} \cup C_i</math>.''
| NR_GES = 160
:
| NR_ST = 1
:''Dann gilt:''
| OT = The Locomotion Interruption
: ''Mindestens eine der beiden [[Schnittmenge]]n <math> {\Gamma}_1 \cap C_2 \; , \; {\Gamma}_2 \cap C_1 </math> ist die [[leere Menge]].''
| DT = Halbnackt in Arizona

| EA = 22. Sep. 2014
== Folgerung: Ein Satz von Marshall Harvey Stone ==
| EAD = 5. Jan. 2015
Aus dem Lemma von Kakutani lässt sich mit Hilfe des [[Zornsches Lemma|zornschen Lemmas]] ein Satz von [[Marshall Harvey Stone]] folgern, den [[Frederick Albert Valentine|Frederick A. Valentine]] in seinem Lehrbuch ''Konvexe Mengen'' als ''grundlegend'' bezeichnet.<ref name="FAV-2">Valentine, op. cit. , S. 29</ref> Dieser Satz lässt sich folgendermaßen fomulieren:<ref name="JLK-IN-1" /><ref name="FAV-3">Valentine, op. cit. , S. 30</ref>
| REG = [[Mark Cendrowski]]
:''In jedem reellen Vektorraum <math>X</math> existiert zu je zwei disjunkten [[nichtleer]]en konvexen Teilmengen <math>C_1, C_2 \subset X </math> stets eine [[Partition (Mengenlehre)|Zerlegung]] <math> Z_1 \dot{\cup} Z_2 = X</math> mit [[Obermenge|umfassenden]] konvexen Teilmengen <math>Z_i \supset C_i \; (i = 1,2)</math> .''
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan<br />Idee: Jim Reynolds, Maria Ferrari & Tara Hernandez

| Feld1 = 18,08 Mio.
Hinsichtlich der Namensgebung ist anzumerken, dass Kelley/Namioka den genannten Satz als ''Satz von Stone'' ({{EnS|: ''Stone's theorem''}}) bezeichnen,<ref name="JLK-IN-1" /> während aus der Darstellung von Valentine eher zu entnehmen ist, dass der Satz in gleichem Maße Kakutani zuzuweisen ist und vermutlich auch von anderen Mathematikern gezeigt wurde. Bemerkenswert an der Darstellung von Valentine ist der Umstand, dass er das Lemma von Kakutani implizit beim Beweis benutzt, jedoch nicht explizit als solches nennt.<ref name="FAV-1" />
}}

{{Episodenlisteneintrag2
=== Bezug zum Trennungssatz von Eidelheit ===
| NR_GES = 161
Von [[Gottfried Köthe]] wird der Satz von Stone als ''Trennungssatz'' genannt, denn er steht in direkter Beziehung zum ''[[Trennungssatz]] von Eidelheit'' ({{EnS|: ''Eidelheit's Separation Theorem''}}), welcher seinerseits hinführt zur [[Trennungssatz|Geometrischen Form des Satzes von Hahn-Banach]]. Der eidelheitsche Trennungssatz gab Shizuo Kakutani den Anlass zu seiner Arbeit von 1937.<ref name="GK-1">Gottfried Köthe: ''Topologische lineare Räume I.'' 1966, S. 189 ff</ref><ref name="NB-1">Nicolas Bourbaki: ''Topological Vector Spaces.'' 1998, II.36 ff</ref><ref name="REM-1">Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory.'' 1998, S. 179</ref>
| NR_ST = 2

| OT = The Junior Professor Solution
Der Trennungssatz von Eidelheit lässt sich konvexgeometrisch angeben wie folgt:<ref name="SK-1">Shizuo Kakutani: ''Ein Beweis des Satzes von M. Eidelheit über konvexe Mengen.'' in: Proc. Imp. Acad. 13, S. 93</ref><ref name="GK-2">Köthe, op. cit. , S. 191</ref><ref name="NB-2">Bourbaki, op. cit., II.37</ref><ref name="REM-1" />
| DT = Dunkle Materie
:''Es sei <math>X</math> ein reeller [[topologischer Vektorraum]] und darin enthalten seien zwei [[nichtleer]]e konvexe [[Teilmenge]]n <math>C_1, C_2 \subset X </math>.''
| EA = 22. Sep. 2014
:''<math>C_1</math> besitze [[Innerer Punkt|innere Punkte]], von denen jedoch keiner zugleich ein Punkt von <math>C_2</math> sei.''
| EAD = 12. Jan. 2015
:
| REG = Mark Cendrowski
: ''Dann gilt:''
| DRB = Jim Reynolds, Maria Ferrari & Tara Hernandez<br />Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland
:: '' '''(1)''' Es gibt innerhalb <math>X</math> eine <math>C_1</math> und <math>C_2</math> [[Trennungssatz#Hyperebenen|trennende]] [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] reelle [[Hyperebene]] <math>H \subset X </math> derart, dass keiner der inneren Punkte von <math>C_1</math> zugleich ein Punkt von <math>H </math> ist.''
| Feld1 = 18,30 Mio.
:: '' '''(2)''' Sind hierbei sogar sowohl <math>C_1</math> als auch <math>C_2</math> [[offene Menge|offene]] Teilmengen von <math>X</math>, so liegen sie in verschiedenen [[Halbraum#Allgemeine Definition|offenen Halbräumen]] und werden in diesem Sinne durch <math>H</math> voneinander '''strikt getrennt'''.''
}}

{{Episodenlisteneintrag2
Bei Valentine ist sogar ein noch allgemeinere Version des Trennungssatzes zu finden.<ref name="FAV-4">Valentine, op. cit. , S. 34</ref>
| NR_GES = 162

| NR_ST = 3
== Quellen und Hintergrundliteratur ==
| OT = The First Pitch Insufficiency
* {{Literatur
| DT = Werfen wie ein Mädchen
|Autor=[[Marcel Berger]]
| EA = 29. Sep. 2014
|Titel=Geometry I
| EAD = 19. Jan. 2015
|TitelErg=Translated from the French by [[Michael Cole (Mathematiker)|M. Cole]] and [[Silvio Levy|S. Levy]]
| REG = Mark Cendrowski
|Reihe=Universitext
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Anthony Del Broccolo
|Band=
| Feld1 = 16,44 Mio.
|Auflage=
}}
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
{{Episodenlisteneintrag2
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
| NR_GES = 163
|Jahr=1987
| NR_ST = 4
|ISBN=3-540-11658-3
| OT = The Hook-Up Reverberation
|DOI=
| DT = Der Mann, der beide im Bett hatte
|Seiten=
| EA = 6. Okt. 2014
}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Berger%2C%20Marcel&s5=Geometry&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2724360 MR2724360]
| EAD = 26. Jan. 2015
* {{Literatur
| REG = Mark Cendrowski
|Autor=[[Nicolas Bourbaki]]
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds<br />Idee: Steve Holland, Maria Ferrari & Tara Hernandez
|Titel=Topological Vector Spaces
| Feld1 = 15,94 Mio.
|TitelErg=Chapters 1 - 5. Translated by [[H. G. Egglestone]] & [[S. Madan]]
|Reihe=[[Elements of Mathematics]]
|Band=
|Auflage=
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo
|Jahr=1987
|ISBN=3-540-13627-4
|DOI=
|Seiten=II.36 ff
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Bourbaki&s5=Topological%20&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=910295 MR0910295]
* {{Literatur
|Autor=Shizuo Kakutani
|Titel=Ein Beweis des Satzes von M. Eidelheit über konvexe Mengen
|Sammelwerk=[[Proceedings of the Imperial Academy]]
|Band=13
|Jahr=1937
|Seiten=93–94
|DOI=
|Online=[http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195579980]
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Kakutani&s5=Eidelheit&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR1568455]
* {{Literatur
|Autor=[[John L. Kelley]], [[Isaac Namioka]] et al.
|Titel=Linear Topological Spaces
|TitelErg=
|Reihe=Graduate Texts in Mathematics
|Band=36
|Auflage=2.
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
|Ort=New York, Heidelberg, Berlin
|Jahr=1976
|ISBN=
|DOI=
|Seiten=
}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kelley&s5=Namioka&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=394084 MR0394084]
* {{Literatur
|Autor=Marshall Harvey Stone
|Titel=Convexity
|TitelErg=Vervielfältigte Vorlesungsausarbeitung von [[Harley Flanders]]
|Reihe=
|Band=
|Auflage=
|Verlag=[[University of Chicago]]
|Ort=Chicago
|Jahr=1946
|ISBN=
|DOI=
|Seiten=
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 164
|Autor=Gottfried Köthe
| NR_ST = 5
|Titel=Topologische lineare Räume I
| OT = The Focus Attenuation
|TitelErg=
| DT = Das Vegas-Weekend
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
| EA = 13. Okt. 2014
|Band=107
|Auflage=2. verbesserte
| EAD = 2. Feb. 2015
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland<br />Idee: Jim Reynolds, Maria Ferrari & Adam Faberman
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
| Feld1 = 15,32 Mio.
|Jahr=1966
|ISBN=
|DOI=
|Seiten=36 ff
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=K%C3%B6the&s5=Lineare&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=194863 MR0194863]
* {{Literatur
|Autor=[[Robert E. Megginson]]
|Titel=An Introduction to Banach Space Theory
|TitelErg=
|Reihe=Graduate Texts in Mathematics
|Band=183
|Auflage=
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
|Ort=New York
|Jahr=1998
|ISBN=0-387-98431-3
|DOI=
|Seiten=
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Megginson&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1650235 MR1650235]
* {{Literatur
|Autor=Marshall Harvey Stone
|Titel=Convexity
|TitelErg=Vervielfältigte Vorlesungsausarbeitung von [[Harley Flanders]]
|Reihe=
|Band=
|Auflage=
|Verlag=[[University of Chicago]]
|Ort=Chicago
|Jahr=1946
|ISBN=
|DOI=
|Seiten=
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 165
|Autor=Frederick A. Valentine
| NR_ST = 6
|Titel=Konvexe Mengen
| OT = The Expedition Approximation
|TitelErg=Übersetzung aus dem Englischen durch [[E. Heil]]
| DT = Festgehalt statt Taschengeld
|Reihe=[[B. I.-Hochschultaschenbücher]]
| EA = 20. Okt. 2014
|Band=402/402a
| EAD = 9. Feb. 2015
|Auflage=
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
| DRB = Jim Reynolds, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Steven Molaro, Dave Goetsch & Tara Hernandez
|Ort=Mannheim
| Feld1 = 16,02 Mio.
|Jahr=1968
}}
|ISBN=
{{Episodenlisteneintrag2
|DOI=
| NR_GES = 166
|Seiten=
| NR_ST = 7
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Valentine&s5=Konvexe&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0226495]
| OT = The Misinterpretation Agitation

| DT = Das Mississippi-Missverständnis
== Einzelnachweise ==
| EA = 30. Okt. 2014
rreferences />
| EAD = 16. Feb. 2015

| REG = Mark Cendrowski
KKKategorie:Geometrie]]
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
| Feld1 = 16,25 Mio.
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Kakutani, Lemma von]]
}}

{{Episodenlisteneintrag2
= Satz von Vitali-Carathéodory =
| NR_GES = 167
Der '''Satz von Vitali-Carathéodory''' ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der im Übergangsfeld zwischen dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der [[Analysis]] und dem Gebiet der [[Maßtheorie]] angesiedelt ist und den der bekannte [[Analysis|Analytiker]] [[Walter Rudin]] den beiden [[Mathematiker]]n [[Giuseppe Vitali]] und [[Constantin Carathéodory]] zurechnet. Er zählt – zusammen mit dem [[Satz von Lusin]] – zu den Sätzen über [[Stetigkeit]]seigenschaften [[Messbare Funktion|messbarer]] [[Reellwertige Funktion|reellwertiger Funktionen]] auf gewissen [[Maßraum|Maßräumen]] über [[lokalkompakt]]en [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räumen]].<ref name="WR-1">Walter Rudin: ''Reelle und komplexe Analysis.'' 2009, S. 65 ff.</ref>
| NR_ST = 8

| OT = The Prom Equivalency
== Formulierung des Satzes ==
| DT = Es muss Liebe sein
Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:<ref name="WR-2">Rudin, op. cit., S. 66</ref>
| EA = 6. Nov. 2014

| EAD = 23. Feb. 2015
:''Gegeben sei ein lokalkompakter Hausdorff-Raum <math>X</math>, versehen mit der [[Borelsche σ-Algebra|borelschen σ-Algebra]] <math>\mathcal {B}(X)</math> sowie einem [[Reguläres Maß#Definition|von innen wie von außen regulären]] [[Borel-Maß]]''
| REG = Mark Cendrowski
:: <math>\mu \colon \mathcal {B}(X) \rightarrow [0,\infty]</math>.
| DRB = Steve Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari<br />Idee: Jim Reynolds, Steve Holland & Jeremy Howe
:''Weiter gegeben sei eine <math>\mu</math>-[[Lebesgue-Integral#Integration beliebiger messbarer Funktionen und Integrierbarkeit|integrierbare]] reellwertige Funktion''
| Feld1 = 16,56 Mio.
:: <math>f \colon X \rightarrow \R</math>.
}}
:
{{Episodenlisteneintrag2
:''Dann gilt:''
| NR_GES = 168
:''Zu jeder [[Reelle Zahl|reellen Zahl]] <math>\epsilon > 0</math> gibt es ein Paar reellwertiger Funktionen''
| NR_ST = 9
:: <math>u,v \colon X \rightarrow \R</math>
| OT = The Septum Deviation
:''mit folgenden Eigenschaften:''
| DT = Eine Urne für Leonard
::'' '''(1)''' <math>u</math> ist [[oberhalbstetig]] und [[Beschränktheit#Beschränktheit bezüglich einer Ordnungsrelation|beschränkt nach oben]].''
| EA = 13. Nov. 2014
::'' '''(2)''' <math>v</math> ist [[unterhalbstetig]] und [[Beschränktheit#Beschränktheit bezüglich einer Ordnungsrelation|beschränkt nach unten]].''
| EAD = 2. Mär. 2015
::'' '''(3)''' <math>u(x) \leq f(x) \leq v(x) \; \; (\forall x \in X)</math> .
| REG = Anthony Rich
::'' '''(4)''' <math> {\int_X} (v - u) \; \mathrm{d} \mu \; < \epsilon</math> .
| DRB = Eric Kaplan, Steve Holland & Tara Hernandez<br />Idee: Steven Molaro, Bill Prady & Maria Ferrari

| Feld1 = 16,90 Mio.
== Quellen und Hintergrundliteratur ==
}}
* {{Literatur
{{Episodenlisteneintrag2
|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]
| NR_GES = 169
|Titel=Maß- und Integrationstheorie
| NR_ST = 10
|TitelErg=
| OT = The Champagne Reflection
|Reihe=Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik
| DT = Der Champagnerpakt
|Band=
| EA = 20. Nov. 2014
|Auflage=7., korrigierte und aktualisierte
| EAD = 9. Mär. 2015
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| REG = Mark Cendrowski
|Ort=Heidelberg (u. &nbsp; a.)
| DRB = Jim Reynolds, Steve Holland & Dave Goetsch<br />Idee: Steven Molaro, Tara Hernandez & Dr. David Saltzberg
|Jahr=2011
| Feld1 = 14,61 Mio.
|ISBN=978-3-642-17904-4
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 170
| NR_ST = 11
| OT = The Clean Room Infiltration
| DT = Weihnachtswunder mit Taube
| EA = 11. Dez. 2014
| EAD = 16. Mär. 2015
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Eric Kaplan, Jim Reynolds & Steve Holland<br />Idee: Maria Ferrari, Tara Hernandez & Jeremy Howe
| Feld1 = 15,49 Mio.<ref>{{cite web |url=http://tvbythenumbers.zap2it.com/2014/12/12/thursday-final-ratings-the-vampire-diaries-adjusted-up-the-big-bang-theory-mom-two-and-a-half-men-the-mccarthys-elementary-adjusted-down/338630/ |title=Thursday Final Ratings: 'The Vampire Diaries’ Adjusted Up; 'The Big Bang Theory', 'Mom', 'Two and a Half Men', 'The McCarthys’ & 'Elementary' Adjusted Down |work=Zap2it.com |date=2014-12-12 |accessdate=2014-12-16}}</ref>
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 171
| NR_ST = 12
| OT = The Space Probe Disintegration
| DT = Eine Nacht pro Woche
| EA = 8. Jan. 2015
| EAD = 23. Mär. 2015
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Bill Prady, Eric Kaplan & Jim Reynolds
| Feld1 = 18,11 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 172
| NR_ST = 13
| OT = The Anxiety Optimization
| DT = Der optimale Angstbereich
| EA = 29. Jan. 2015
| EAD = 14. Sep. 2015
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Jim Reynolds, Steve Holland & Tara Hernandez<br />Idee: Eric Kaplan, Maria Ferrari & Adam Faberman
| Feld1 = 17,25 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 173
| NR_ST = 14
| OT = The Troll Manifestation
| DT = Sheldon und der Troll
| EA = 5. Feb. 2015
| EAD = 21. Sep. 2015
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Jim Reynolds, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Tara Hernandez
| Feld1 = 17,09 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 174
| NR_ST = 15
| OT = The Comic Book Store Regeneration
| DT = Ein Prosit auf Mrs. Wolowitz
| EA = 19. Feb. 2015
| EAD = 28. Sep. 2015
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland<br />Idee: Jim Reynolds, Maria Ferrari & Jeremy Howe
| Feld1 = 17,49 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 175
| NR_ST = 16
| OT = The Intimacy Acceleration
| DT = Die Intimitäts-Beschleunigung
| EA = 26. Feb. 2015
| EAD = 5. Okt. 2015
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Molaro, Jim Reynolds & Steve Holland<br />Idee: Dave Goetsch, Eric Kaplan & Tara Hernandez
| Feld1 = 16,67 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 176
| NR_ST = 17
| OT = The Colonization Application
| DT = Die Mars-Bewerbung
| EA = 5. Mär. 2015
| EAD = 12. Okt. 2015
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari<br />Idee: Dave Goetsch, Jim Reynolds & Tara Hernandez
| Feld1 = 18,17 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 177
| NR_ST = 18
| OT = The Leftover Thermalization
| DT = Das große Reste-Essen
| EA = 12. Mär. 2015
| EAD = 19. Okt. 2015
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Eric Kaplan, Jim Reynolds & Steve Holland<br />Idee: Steven Molaro, Maria Ferrari & Jeremy Howe
| Feld1 = 16,13 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 178
| NR_ST = 19
| OT = The Skywalker Incursion
| DT = Die Skywalker-Attacke
| EA = 2. Apr. 2015
| EAD = 26. Okt. 2015
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Jim Reynolds, Tara Hernandez & Jeremy Howe
| Feld1 = 13,89 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 179
| NR_ST = 20
| OT = The Fortification Implementation
| DT = Über Nacht im Fort
| EA = 9. Apr. 2015
| EAD = 2. Nov. 2015
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Jim Reynolds, Saladin Patterson & Tara Hernandez<br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
| Feld1 = 14,78 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 180
| NR_ST = 21
| OT = The Communication Deterioration
| DT = Wir sind alle Chef
| EA = 16. Apr. 2015
| EAD = 9. Nov. 2015
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Dave Goetsch, Steve Holland, Jeremy Howe & Tara Hernandez<br />Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds
| Feld1 = 14,82 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 181
| NR_ST = 22
| OT = The Graduation Transmission
| DT = Angriff der Killerdrohne
| EA = 23. Apr. 2015
| EAD = 16. Nov. 2015
| REG = Anthony Rich
| DRB = Chuck Lorre, Dave Goetsch & Anthony Del Broccolo<br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan
| Feld1 = 14,63 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 182
| NR_ST = 23
| OT = The Maternal Combustion
| DT = Mütter in Aufruhr
| EA = 30. Apr. 2015
| EAD = 23. Nov. 2015
| REG = Anthony Rich
| DRB = Chuck Lorre, Peter Chakos, Kristy Cecil & Anthony Del Broccolo<br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan
| Feld1 = 13,85 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 183
| NR_ST = 24
| OT = The Commitment Determination
| DT = Es waren doch nur Küsse
| EA = 7. Mai 2015
| EAD = 30. Nov. 2015
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan<br />Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari
| Feld1 = 14,64 Mio.
}}
}}
* {{Literatur
|Autor=Walter Rudin
|Titel=Reelle und Komplexe Analysis
|Auflage=2., verbesserte
|Verlag=[[Oldenbourg Wissenschaftsverlag]]
|Ort=Berlin
|Jahr=2009
|ISBN=978-3-486-59186-6
}}
}}


== Einzelnachweise ==
== Staffel 9 ==
{{Hauptartikel|The Big Bang Theory/Staffel 9}}
rreferences />


Die Erstausstrahlung der neunten Staffel war vom 21. September 2015 bis zum 12. Mai 2016 auf dem US-amerikanischen Sender [[Columbia Broadcasting System|CBS]] zu sehen.<ref>{{cite web |url=http://tvschedule.zap2it.com/tv/the-big-bang-theory/episode-guide/EP00931182/9 |title=The Big Bang Theory: Season 9 |work=Zap2it.com |accessdate=2015-08-26}}</ref> Die deutschsprachige Erstausstrahlung sendete der deutsche [[Free-TV]]-Sender [[ProSieben]] vom 4. Januar bis zum 21. November 2016.<ref>{{cite web |url=http://www.serienjunkies.de/news/big-bang-theory-staffel-72185.html |title=The Big Bang Theory: 9. Staffel ab Januar bei ProSieben |work=Serienjunkies.de |date=2015-11-23 |accessdate=2015-11-23 |author=Adam Arndt}}</ref>{{Episodenlistentabelle
KKKategorie:Analysis]]
| SORTIERBAR = nein
KKKategorie:Maßtheorie]]
| ERSTAUSSTRAHLUNG_LAND = USA
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Vitali–Carathéodory]]
| ZUSAMMENFASSUNG = nein

| ERSTAUSSTRAHLUNG_DE = D

| DEUTSCHE_PRODUKTION = nein
= Konvexitätssatz von Marcel Riesz =
| REGISSEUR = ja

| DREHBUCH = ja
= Satz von Kadets =
| Feld1 = Quoten<br /><small>(USA)</small><ref>{{cite web |url=http://tvseriesfinale.com/tv-show/the-big-bang-theory-season-nine-ratings-38076/ |title=The Big Bang Theory: Season Nine Ratings |work=TVSeriesFinale.com |date=2015-09-23 |accessdate=2015-09-23}}</ref>

| INHALT =

{{Episodenlisteneintrag2
= Satz von Riesz-Riesz=
| NR_GES = 184

| NR_ST = 1

| OT = The Matrimonial Momentum
= Satz von Kuiper =
| DT = Hochzeitsnacht mit Sheldon
Der '''Satz von Kuiper''' ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der im Übergangsfeld zwischen dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der [[Funktionalanalysis]] und dem Gebiet der [[Topologie (Mathematik)|Topologie ]] angesiedelt ist und der auf eine Arbeit des [[Niederlande|niederländischen]] [[Mathematiker]]s [[Nicolaas Kuiper|Nicolaas Hendrik Kuiper]] aus dem Jahre 1965 zurückgeht. Kuiper behandelt hier [[Homotopie]]eigenschaften der [[Einheitengruppe|Gruppe der invertierbaren]] [[Linearer Operator#Beschränkte lineare Operatoren|beschränkten linearen Operatoren]] eines [[unendlich]]-[[Dimension (Mathematik)#Hilbertraum-Dimension|dimensionalen]] [[Separabler Raum|separablen]] [[Hilbertraum]]s <math>H</math> und bestätigt mit seinem Satz eine von [[Michael Atiyah]], [[Albert S. Schwarz|Albert Solomonowitsch Schwarz]] und [[Richard Sheldon Palais]] aufgestellte Vermutung.<ref name="NHK-1">Nicolaas H. Kuiper: ''The homotopy type of the unitary group of Hilbert space.'' in: Topology 3, S. 19–30</ref><ref name="FH-WS-1">Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: ''Einführung in die Funktionalanalysis.'' 1971, S. 150 ff</ref><ref name="AP-1">Albrecht Pietsch: ''History of Banach Spaces and Linear Operators.'' 2007, S. 538</ref>
| EA = 21. Sep. 2015

| EAD = 4. Jan. 2016
== Formulierung des Satzes ==
| REG = [[Mark Cendrowski]]
Der Satz von Kuiper lässt sich formulieren wie folgt:<ref name="NHK-2">Kuiper, op. cit., S. 20</ref><ref name="FH-WS-2">Hirzebruch/Scharlau, op. cit., S. 151</ref><ref name="AP-1" />
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan<br />Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari
:''Gegeben sei ein unendlich-dimensionaler separabler <math>\mathbb K</math>-Hilbertraum <math>H</math>, wobei <math>\mathbb K = \R</math>, der [[Körper der reellen Zahlen]], oder <math>\mathbb K = \Complex</math>, der [[Körper der komplexen Zahlen]], oder <math>\mathbb K = \mathbb H</math>, der [[Quaternion|Schiefkörper der Quaternionen]], sei.''
| Feld1 = 18,20&nbsp;Mio.
:''Hier seien <math>\mathfrak{L}(H)</math>, versehen mit der [[Operatornorm]], der [[Topologischer Ring#Endomorphismenringe|topologische Ring]] der beschränkten linearen Operatoren auf <math>H</math> sowie <math>\mathfrak{LG}(H) \subset \mathfrak{L}(H) </math> die darin enthaltene [[topologische Gruppe]] der invertierbaren beschränkten linearen <math>H</math>-Operatoren und schließlich <math>\mathfrak{U}(H) \subset \mathfrak{LG}(H) </math> die ebenfalls darin enthaltene [[Untergruppe]] der [[Isometrie#Vektorräume mit Skalarprodukt|unitären]] <math>H</math>-Operatoren.''
}}
:''Dann gilt:''
{{Episodenlisteneintrag2
:'' '''(1)''' <math>\mathfrak{LG}(H)</math> ist als [[Unterraum#Topologischer Raum|topologischer Teilraum]] von <math>\mathfrak{L}(H)</math> ein [[zusammenziehbarer Raum]].''
| NR_GES = 185
:'' '''(2)''' <math>\mathfrak{U}(H)</math> ist ein [[Retrakt]] von <math>\mathfrak{LG}(H)</math> und daher ebenfalls zusammenziehbar.''
| NR_ST = 2

| OT = The Separation Oscillation
== Anmerkungen ==
| DT = Ehevollzug!
* Man nennt die Gruppe <math>\mathfrak{LG}(H)</math> manchmal auch die ''Lineare Gruppe'' ({{EnS|: ''linear group''}}) von <math>H</math>.<ref name="AP-1" /> Kuiper nennt sie in seiner Originalarbeit die ''Allgemeine Lineare Gruppe'' ({{EnS|: ''general linear group''}}) von <math>H</math>.<ref name="NHK-3">Kuiper, op. cit., S. 19</ref><ref>Allerdings sprechen manche Autoren von einer ''linearen Gruppe'' nur in Bezug auf Gruppen [[lineare Abbildung|linearer]] [[Automorphismus|Automorphismen]] auf [[Dimension (Mathematik)|endlichdimensionalen]] [[Vektorraum|Vektorräumen]]; siehe etwa: Dieter Lutz: ''Topologische Gruppen'', 1976, S. 61.</ref>
| EA = 28. Sep. 2015
* <math>\mathfrak{LG}(H)</math>ist innerhalb <math>\mathfrak{L}(H)</math> eine [[offene Teilmenge]].<ref name="NHK-3" />
| EAD = 11. Jan. 2016
* Aus der Topologie ist bekannt, dass ein zusammenziehbarer Raum stets [[Zusammenhängender Raum#Wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] und dass jeder Retrakt eines zusammenziehbaren Raumes seinerseits ein solcher ist.<ref name="SW-1">Stephen Willard: ''General Topology.'' 1970, S. 226</ref>
| REG = Mark Cendrowski
* Lässt man an die Stelle des unendlich-dimensionalen separablen Hilbertraum <math>H</math> gewisse [[Banachraum#Beispiele|klassische Banachräume]] <math>X</math> treten, so gilt für <math>\mathfrak{LG}(X)</math> die obige Teilaussage '''''(1)''''' zur ''Zusammenziehbarkeit'' immer noch, wie etwa [[Dietmar Arlt]] für <math>X = c_0</math> zeigen konnte.<ref name="AP-1" /><ref name="DA-1">D. Arlt: ''Zusammenziehbarkeit der allgemeinen linearen Gruppe des Raumes ''c<sub>0</sub>'' der Nullfolgen.'' in: Invent. Math. 1, S. 36–44</ref>
| DRB = Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari<br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez
* Wie jedoch [[Adrien Douady]] gezeigt hat, lassen sich [[Direkte Summe (Banachraum)|direkte Summen]] zweier klassischer Banachräume konstruieren, so dass für diese die Teilaussage '''''(1)''''' keine Gültigkeit mehr hat.<ref name="AD-1">Adrien Douady: ''Un espace de Banach dont le groupe linéaire n'est pas connexe.'' in: Indag. Math. 68, S. 787–789</ref><ref name="AP-1" />
| Feld1 = 15,23 Mio.
* Laut [[Friedrich Hirzebruch|Hirzebruch]]/[[Winfried Scharlau (Mathematiker)|Scharlau]] ist der Satz ''von Wichtigkeit für die Beziehungen zwischen algebraischer Topologie und Funktionalanalysis''.<ref name="FH-WS-2" />
}}

{{Episodenlisteneintrag2
== Quellen und Hintergrundliteratur ==
| NR_GES = 186
* {{Literatur
| NR_ST = 3
|Autor=D. Arlt
| OT = The Bachelor Party Corrosion
|Titel=Zusammenziehbarkeit der allgemeinen linearen Gruppe des Raumes ''c<sub>0</sub>'' der Nullfolgen
| DT = Feynmans Van
|Sammelwerk=[[Inventiones Mathematicae]]
| EA = 5. Okt. 2015
|Band=1
| EAD = 18. Jan. 2016
|Jahr=1966
| REG = Mark Cendrowski
|Seiten=36–44
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan<br />Idee: Dave Goetsch, Jim Reynolds & Jeremy Howe
|DOI=10.1007/BF01389697
| Feld1 = 15,40 Mio.
|Online=
}}
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?r=1&pg1=MR&s1=198259&loc=fromrevtext MR0198259]
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 187
|Autor=[[Bernhelm Booß]]
| NR_ST = 4
|Titel=Topologie und Analysis
| OT = The 2003 Approximation
|TitelErg=Einführung in die Atiyah-Singer-Indexformel
| DT = Zurück nach 2003
|Reihe=Hochschultext
| EA = 12. Okt. 2015
|Band=
| EAD = 25. Jan. 2016
|Auflage=
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
| DRB = Steven Molaro, Maria Ferrari & Tara Hernandez<br />Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Eric Kaplan
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
| Feld1 = 14,96 Mio.
|Jahr=1977
}}
|ISBN=3-540-08451-7
{{Episodenlisteneintrag2
|DOI=
| NR_GES = 188
}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Booss&s5=Topologie&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=478242 MR0478242]
| NR_ST = 5
* {{Literatur
| OT = The Perspiration Implementation
|Autor=Adrien Douady
| DT = Duell in drei Jahren
|Titel=Un espace de Banach dont le groupe linéaire n'est pas connexe
| EA = 19. Okt. 2015
|Sammelwerk=[[Indagationes Mathematicae]]
| EAD = 1. Feb. 2016
|Band=68
| REG = Mark Cendrowski
|Jahr=1965
| DRB = Steve Holland, Jim Reynolds & Saladin Patterson<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Maria Ferrari
|Seiten=787–789
| Feld1 = 14,68 Mio.
|DOI=
}}
|Online=
{{Episodenlisteneintrag2
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Douady&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=91&mx-pid=187056 MR0187056]
| NR_GES = 189
* {{Literatur
| NR_ST = 6
|Autor=Nicolaas H. Kuiper
| OT = The Helium Insufficiency
|Titel=The homotopy type of the unitary group of Hilbert space
| DT = Die Helium-Krise
|Sammelwerk=Topology
| EA = 26. Okt. 2015
|Band=3
| EAD = 8. Feb. 2016
|Jahr=1965
| REG = Mark Cendrowski
|Seiten=19–30
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds<br />Idee: Steve Holland, Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo
|DOI=
| Feld1 = 16,23 Mio.
|Online=
}}
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Kuiper&s5=unitary&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0179792]
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 190
|Autor=Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau
| NR_ST = 7
|Titel=Einführung in die Funktionalanalysis
| OT = The Spock Resonance
|Reihe=B. I.-Hochschultaschenbücher
| DT = Die Spockumentation
|Band=296
| EA = 5. Nov. 2015
|Auflage=
| EAD = 15. Feb. 2016
|Verlag=[[Bibliographisches Institut]]
| REG = Nikki Lorre
|Ort=Mannheim, Wien, Zürich
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Jeremy Howe<br />Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Tara Hernandez
|Jahr=1971
| Feld1 = 14,81 Mio.
|ISBN=3-411-00296-4
}}
|DOI=
{{Episodenlisteneintrag2
}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Scharlau%2C%20Winfried&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=35&mx-pid=463864 MR0463864]
| NR_GES = 191
* {{Literatur
| NR_ST = 8
|Autor=[[Dieter Lutz]]
| OT = The Mystery Date Observation
|Titel=Topologische Gruppen
| DT = Spione wie wir
|Reihe=
| EA = 12. Nov. 2015
|Band=
| EAD = 22. Feb. 2016
|Auflage=
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=[[BI Wissenschaftsverlag]]
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds<br />Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Tara Hernandez
|Ort=Mannheim, Wien , Zürich
| Feld1 = 14,91 Mio.
|Jahr=1976
}}
|ISBN= 3-411-01502-0
{{Episodenlisteneintrag2
|DOI=
| NR_GES = 192
| NR_ST = 9
| OT = The Platonic Permutation
| DT = Karotte in Dessous
| EA = 19. Nov. 2015
| EAD = 29. Feb. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Jim Reynolds, Jeremy Howe & Tara Hernandez<br />Idee: Steve Holland, Maria Ferrari & Adam Faberman
| Feld1 = 15,19 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 193
| NR_ST = 10
| OT = The Earworm Reverberation
| DT = Der Ohrwurm
| EA = 10. Dez. 2015
| EAD = 7. Mär. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Eric Kaplan, Jim Reynolds & Saladin Patterson<br />Idee: Steve Molaro, Steve Holland & Jeremy Howe
| Feld1 = 15,27 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 194
| NR_ST = 11
| OT = The Opening Night Excitation
| DT = Premierenfieber
| EA = 17. Dez. 2015
| EAD = 14. Mär. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Tara Hernandez<br />Idee: Steve Holland, Jim Reynolds & Maria Ferrari
| Feld1 = 17,22 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 195
| NR_ST = 12
| OT = The Sales Call Sublimation
| DT = Der romantische Asteroid
| EA = 7. Jan. 2016
| EAD = 21. Mär. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Holland, Jim Reynolds & Saladin Patterson<br />Idee: Steven Molaro, Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo
| Feld1 = 15,85 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 196
| NR_ST = 13
| OT = The Empathy Optimization
| DT = Die Sheldon-Cooper-Entschuldigungstour
| EA = 14. Jan. 2016
| EAD = 29. Aug. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Eric Kaplan & Dave Goetsch <br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Saladin K. Patterson
| Feld1 = 15,75 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 197
| NR_ST = 14
| OT = The Meemaw Materialization
| DT = Der Besuch der alten Dame
| EA = 4. Feb. 2016
| EAD = 5. Sept. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari <br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez
| Feld1 = 15,29 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 198
| NR_ST = 15
| OT = The Valentino Submergence
| DT = Tränen am Valentinstag
| EA = 11. Feb. 2016
| EAD = 12. Sept. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Tara Hernandez <br />Idee: Steve Holland, Eric Kaplan & Jeremy Howe
| Feld1 = 16,25 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 199
| NR_ST = 16
| OT = The Positive Negative Reaction
| DT = Die positive Negativreaktion
| EA = 18. Feb. 2016
| EAD = 19. Sept. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Eric Kaplan, Jim Reynolds & Saladin Patterson <br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
| Feld1 = 15,24 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 200
| NR_ST = 17
| OT = The Celebration Experimentation
| DT = Lebe lang und in Frieden
| EA = 25. Feb. 2016
| EAD = 26. Sept. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jeremy Howe <br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez
| Feld1 = 15,94 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 201
| NR_ST = 18
| OT = The Application Deterioration
| DT = Zwischen zwei Frauen
| EA = 10. Mär. 2016
| EAD = 10. Okt. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Adam Faberman <br />Idee: Steve Holland, Jim Reynolds & Maria Ferrari
| Feld1 = 14,68 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 202
| NR_ST = 19
| OT = The Solder Excursion Diversion
| DT = Das emotionale Außenklo
| EA = 31. Mär. 2016
| EAD = 17. Okt. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Bill Prady, Eric Kaplan & Maria Ferrari <br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Saladin K. Patterson
| Feld1 = 14,24 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 203
| NR_ST = 20
| OT = The Big Bear Precipitation
| DT = Die Hütte im Wald
| EA = 7. Apr. 2016
| EAD = 24. Okt. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Dave Goetsch & Tara Hernandez <br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Jim Reynolds
| Feld1 = 13,50 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 204
| NR_ST = 21
| OT = The Viewing Party Combustion
| DT = Die tödliche Mortadella
| EA = 21. Apr. 2016
| EAD = 31. Okt. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Eric Kaplan, Maria Ferrari & Jeremy Howe <br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez
| Feld1 = 14,15 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 205
| NR_ST = 22
| OT = The Fermentation Bifurcation
| DT = Freunde sind wie Toilettenpapier
| EA = 28. Apr. 2016
| EAD = 7. Nov. 2016
| REG = Nikki Lorre
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Anthony Del Broccolo <br />Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Tara Hernandez
| Feld1 = 14,13 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 206
| NR_ST = 23
| OT = The Line Substitution Solution
| DT = Das Warteschlangen-Problem
| EA = 5. Mai 2016
| EAD = 14. Nov. 2016
| REG = Anthony Rich
| DRB = Steve Holland, Saladin K. Patterson & Maria Ferrari <br />Idee: Steve Holland, Saladin K. Patterson & Tara Hernandez
| Feld1 = 13,22 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 207
| NR_ST = 24
| OT = The Convergence Convergence
| DT = Die Annäherungs-Versuchung
| EA = 12. Mai 2016
| EAD = 21. Nov. 2016
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Tara Hernandez & Adam Faberman <br />Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Jeremy Howe
| Feld1 = 14,73 Mio.
}}
}}
}}
* {{Literatur
|Autor=Albrecht Pietsch
|Titel=History of Banach Spaces and Linear Operators
|TitelErg=
|Reihe=
|Band=
|Auflage=
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag|Birkhäuser Inc.]]
|Ort=Boston, Basel, Berlin
|Jahr=2007
|ISBN=0-8176-4367-2
|DOI=
|Seiten=
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Pietsch&s5=History&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2300779 MR2300779]
* {{Literatur
|Autor=[[Stephen Willard]]
|Titel=General Topology
|Reihe=Addison-Wesley Series in Mathematics
|Band=
|Auflage=
|Verlag=[[Addison-Wesley]]
|Ort=Reading, Massachusetts (u.&nbsp;a.)
|Jahr=1970
|DOI=
}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?pg1=MR&s1=0264581&loc=fromrevtext MR0264581]


== Staffel 10 ==
== Einzelnachweise und Fußnoten ==
{{Hauptartikel|The Big Bang Theory/Staffel 10}}
rreferences />


Die Erstausstrahlung der zehnten Staffel war vom 19. September 2016 bis zum 11. Mai 2017 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender [[Columbia Broadcasting System|CBS]] zu sehen.<ref>{{cite web |url=http://deadline.com/2016/06/cbs-fall-premiere-dates-2016-1201776569/ |title=CBS Sets Fall 2016 Premiere Dates, Slates JonBenet Ramsey Limited Series |work=Deadline.com |date=2016-06-21 |accessdate=2016-06-21 |author=Nellie Andreeva}}</ref> Die deutschsprachige Erstausstrahlung wurde vom 2. Januar bis 30. Oktober 2017 auf dem deutschen [[Free-TV]]-Sender [[ProSieben]] gesendet.<ref>{{cite web |url=http://www.serienjunkies.de/news/big-bang-theory-premiere-79767.html |title=The Big Bang Theory: Premiere der 10. Staffel ab Januar bei ProSieben |work=Serienjunkies.de |date=2016-11-21 |accessdate=2016-11-21 |author=Adam Arndt}}</ref>
{{Episodenlistentabelle
| SORTIERBAR = nein
| ERSTAUSSTRAHLUNG_LAND = USA
| ZUSAMMENFASSUNG = nein
| ERSTAUSSTRAHLUNG_DE = D
| DEUTSCHE_PRODUKTION = nein
| REGISSEUR = ja
| DREHBUCH = ja
| Feld1 = Quoten<br /><small>(USA)</small><ref>{{cite web |url=http://tvseriesfinale.com/tv-show/big-bang-theory-season-10-ratings/ |title=The Big Bang Theory: Season 10 Ratings |work=TVSeriesFinale.com |date=2016-09-20 |accessdate=2016-09-20}}</ref>
| INHALT =
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 208
| NR_ST = 1
| OT = The Conjugal Conjecture
| DT = Die Beischlaf-Vermutung
| ZF =
| EA = 19. Sep. 2016
| EAD = 2. Jan. 2017
| REG = [[Mark Cendrowski]]
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds <br />Idee: [[Chuck Lorre]], Steve Holland & Tara Hernandez
| Feld1 = 15,82&nbsp;Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 209
| NR_ST = 2
| OT = The Military Miniaturization
| DT = Die Schweige-Verpflichtung
| ZF =
| EA = 26. Sept. 2016
| EAD = 9. Jan. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari <br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds
| Feld1 = 14,24 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 210
| NR_ST = 3
| OT = The Dependence Transcendence
| DT = Das künstliche Koffein-Problem
| ZF =
| EA = 3. Okt. 2016
| EAD = 16. Jan. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Holland, Maria Ferrari & Jeremy Howe <br />Idee: Steven Molaro, Saladin K. Patterson & Tara Hernandez
| Feld1 = 14,32 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 211
| NR_ST = 4
| OT = The Cohabitation Experimentation
| DT = Das Kohabitations-Experiment
| ZF =
| EA = 10. Okt. 2016
| EAD = 23. Jan. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez <br />Idee: Chuck Lorre, Dave Goetsch & Maria Ferrari
| Feld1 = 14,41 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 212
| NR_ST = 5
| OT = The Hot Tub Contamination
| DT = Die Whirlpool-Kontamination
| ZF =
| EA = 17. Okt. 2016
| EAD = 30. Jan. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Holland, Eric Kaplan & Jim Reynolds <br />Idee: Chuck Lorre, Maria Ferrari & Tara Hernandez
| Feld1 = 14,20 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 213
| NR_ST = 6
| OT = The Fetal Kick Catalyst
| DT = Kick it like Baby
| ZF =
| EA = 27. Okt. 2016
| EAD = 6. Feb. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Saladin K. Patterson & Anthony Del Broccolo <br />Idee: Steve Holland, Tara Hernandez & Jeremy Howe
| Feld1 = 14,31 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 214
| NR_ST = 7
| OT = The Veracity Elasticity
| DT = Die Verzögerungstaktik
| ZF =
| EA = 3. Nov. 2016
| EAD = 13. Feb. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Holland, Jim Reynolds & Adam Faberman <br />Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari
| Feld1 = 14,18 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 215
| NR_ST = 8
| OT = The Brain Bowl Incubation
| DT = Der Verführungskünstler
| ZF =
| EA = 10. Nov. 2016
| EAD = 20. Feb. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Maria Ferrari & Tara Hernandez<br />Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Saladin K. Patterson
| Feld1 = 14,47 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 216
| NR_ST = 9
| OT = The Geology Elevation
| DT = Das Freund-Feind-Dilemma
| ZF =
| EA = 17. Nov. 2016
| EAD = 27. Feb. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Holland, Jim Reynolds & Jeremy Howe<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Maria Ferrari
| Feld1 = 14,34 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 217
| NR_ST = 10
| OT = The Property Division Collision
| DT = Die Eigentums-Verteilungs-Problematik
| ZF =
| EA = 1. Dez. 2016
| EAD = 6. Mär. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Maria Ferrari & Tara Hernandez<br />Idee: Steve Holland, Bill Prady & Dave Goetsch
| Feld1 = 14,54 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 218
| NR_ST = 11
| OT = The Birthday Synchronicity
| DT = Immer zum Geburtstag
| ZF =
| EA = 15. Dez. 2016
| EAD = 13. Mär. 2017
| REG = Nikki Lorre
| DRB = Steven Molaro, Eric Kaplan & Tara Hernandez<br />Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Maria Ferrari
| Feld1 = 15,96 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 219
| NR_ST = 12
| OT = The Holiday Summation
| DT = Die Feiertags-Zusammenfassung
| ZF =
| EA = 5. Jan. 2017
| EAD = 20. Mär. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Holland, Maria Ferrari & Jeremy Howe<br />Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Tara Hernandez
| Feld1 = 16,80 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 220
| NR_ST = 13
| OT = The Romance Recalibration
| DT = Die Neuvermessung der Liebe
| ZF =
| EA = 19. Jan. 2017
| EAD = 27. Mär. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Saladin K. Patterson<br />Idee: Chuck Lorre, Dave Goetsch & Anthony Del Broccolo
| Feld1 = 15,15 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 221
| NR_ST = 14
| OT = The Emotion Detection Automation
| DT = Der Emotionen-Detektor
| ZF =
| EA = 2. Feb. 2017
| EAD = 3. Apr. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Holland, Jim Reynolds & Saladin K. Patterson<br />Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan
| Feld1 = 14,66 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 222
| NR_ST = 15
| OT = The Locomotion Reverberation
| DT = Die Charlie-Brown-Gleichung
| ZF =
| EA = 9. Feb. 2017
| EAD = 21. Aug. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Maria Ferrari & Tara Hernandez<br />Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Jim Reynolds
| Feld1 = 14,15 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 223
| NR_ST = 16
| OT = The Allowance Evaporation
| DT = Die Zonen der Privatsphäre
| ZF =
| EA = 16. Feb. 2017
| EAD = 28. Aug. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Jim Reynolds<br />Idee: Eric Kaplan, Maria Ferrari & Jeremy Howe
| Feld1 = 13,51 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 224
| NR_ST = 17
| OT = The Comic-Con Conundrum
| DT = Die Comic-Con-Konfusion
| ZF =
| EA = 23. Feb. 2017
| EAD = 11. Sep. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Eric Kaplan, Saladin K. Patterson & Tara Hernandez
| Feld1 = 13,38 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 225
| NR_ST = 18
| OT = The Escape Hatch Identification
| DT = Die Notausstiegs-Hypothese
| ZF =
| EA = 9. Mär. 2017
| EAD = 18. Sep. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Holland, Jim Reynolds & Tara Hernandez<br />Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo
| Feld1 = 13,08 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 226
| NR_ST = 19
| OT = The Collaboration Fluctuation
| DT = Die Beschimpfungs-Theorie
| ZF =
| EA = 30. Mär. 2017
| EAD = 25. Sep. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Dave Goetsch<br />Idee: Chuck Lorre, Tara Hernandez & Giuseppe Graziano
| Feld1 = 12,78 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 227
| NR_ST = 20
| OT = The Recollection Dissipation
| DT = Der Zeitspar-Modus
| ZF =
| EA = 6. Apr. 2017
| EAD = 2. Okt. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari<br />Idee: Eric Kaplan, Tara Hernandez & Jeremy Howe
| Feld1 = 12,59 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 228
| NR_ST = 21
| OT = The Separation Agitation
| DT = Die retrospektive Retrospektive
| ZF =
| EA = 13. Apr. 2017
| EAD = 9. Okt. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Holland, Tara Hernandez & Jeremy Howe<br />Idee: Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari
| Feld1 = 11,89 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 229
| NR_ST = 22
| OT = The Cognition Regeneration
| DT = Der Stelzen-Traum
| ZF =
| EA = 27. Apr. 2017
| EAD = 16. Okt. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Dave Goetsch, Eric Kaplan & Jim Reynolds<br />Idee: Steve Holland, Tara Hernandez & Jeremy Howe
| Feld1 = 12,52 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 230
| NR_ST = 23
| OT = The Gyroscopic Collapse
| DT = Das Princeton-Problem
| ZF =
| EA = 4. Mai 2017
| EAD = 23. Okt. 2017
| REG = Anthony Rich
| DRB = Steven Molaro, Jim Reynolds & Saladin K. Patterson<br />Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Alex Ayers
| Feld1 = 12,39 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 231
| NR_ST = 24
| OT = The Long Distance Dissonance
| DT = Die Nowitzki-Provokation
| ZF =
| EA = 11. Mai 2017
| EAD = 30. Okt. 2017
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Chuck Lorre, Steve Holland & Tara Hernandez<br />Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds
| Feld1 = 12,99 Mio.
}}
}}


== Staffel 11 ==
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
{{Hauptartikel|The Big Bang Theory/Staffel 11}}
KKKategorie:Topologie]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Kuiper]]


Die Erstausstrahlung der elften Staffel war vom 25. September 2017 bis zum 10. Mai 2018 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender [[Columbia Broadcasting System|CBS]] zu sehen.<ref>{{cite web |url=http://deadline.com/2017/06/cbs-fall-2017-premiere-dates-young-sheldon-seal-team-9jkl-1202105923/ |title=CBS Sets Fall 2017 Premiere Dates For ‘Young Sheldon’, ‘9 JKL’ & Returning Series |work=Deadline.com |date=2017-06-01 |accessdate=2017-10-03 |author=Nellie Andreeva}}</ref> Die deutschsprachige Erstausstrahlung wurde vom 8. Januar bis 6. November 2018 auf dem deutschen [[Free-TV]]-Sender [[ProSieben]] und dem Schweizer Privatsender [[3 Plus TV|3+]] gesendet.<ref>{{cite web |url=https://www.serienjunkies.de/news/staffel-big-bang-theory-86677.html |title=11. Staffel Big Bang Theory und Young Sheldon im Januar bei Pro7 |work=serienjunkies.de |date=2017-11-13 |accessdate=2017-11-13 |author=}}</ref>
= Satz von Kato =
Der '''Satz von Kato''' ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der [[Funktionalanalysis]] angehört und auf den [[Japan|japanischen]] [[Mathematiker]] [[Tosio Kato]] zurückgeht. Der Satz behandelt eine Eigenschaft der [[Stetigkeit|stetigen]] [[Lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] zwischen [[Banachraum|Banachräumen]].<ref name="HH-1">Harro Heuser: ''Funktionalanalysis.'' 2006, S. 309-310</ref>


{{Episodenlistentabelle
== Formulierung des Satzes ==
| SORTIERBAR = nein
Der Satz lässt sich angeben wie folgt:<ref name="HH-2">Heuser, op. cit., S. 310</ref>
| ERSTAUSSTRAHLUNG_LAND = USA
:''Gegeben seien zwei Banachräume <math>E, F</math> und eine stetige lineare Abbildung <math> A \colon E \to F </math>.''
| ZUSAMMENFASSUNG = nein
: ''Der [[Bildmenge|Bildraum]] <math>A(E) \subseteq F</math> besitze [[Endliche Menge|endliche]] [[Kodimension]].''
| ERSTAUSSTRAHLUNG_DE = D/CH
:
| DEUTSCHE_PRODUKTION = nein
:''Dann gilt:''
| REGISSEUR = ja
: ''<math>A(E)</math> ist ein [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossener]] [[Untervektorraum#Unterbanachräume|Unterraum]] von <math> F</math>.''
| DREHBUCH = ja

| Feld1 = Quoten<br /><small>(USA)</small><ref>{{cite web |url=https://tvseriesfinale.com/tv-show/big-bang-theory-season-11-ratings/ |title=The Big Bang Theory: Season 11 Ratings |work=TVSeriesFinale.com |date=2017-11-10 |accessdate=2017-11-13}}</ref>
== Verallgemeinerung ==
| INHALT =
Der Satz von Kato ist eine direkte Folgerung aus einem allgemeineren Satz, der lautet wie folgt:<ref name="HH-2" />
{{Episodenlisteneintrag2
:''Gibt es unter den obigen Voraussetzungen einen abgeschlossenen Unterraum <math>G \subseteq F</math> derart, dass einerseits <math>A(E) \cap G = \{0\}</math> und andererseits die [[Untervektorraum#Direkte Summe|direkte Summe]] <math>A(E) \oplus G </math> ein abgeschlossener Unterraum von <math> F</math> ist, so muss bereits <math>A(E)</math> selbst ein abgeschlossener Unterraum von <math> F</math> sein.''
| NR_GES = 232

| NR_ST = 1
== Andere Fassung ==
| OT = The Proposal Proposal
Der Satz von Kato ist in der Fachliteratur auch in einer anderen Fassung zu finden, welche zwischen der oben dargebotenen Version und der obigen Verallgemeinerung angesiedelt ist. Diese Fassung lautet wie folgt:<ref name="HDW-1">Hans-Dieter Wacker: ''Über die Verallgemeinerung eines Satzes von Kato.'' In: Mathematische Zeitschrift 190 (1985), S. 55 ff</ref>
| DT = Das Doktor-Ramona-Dankeschön
:'' Es sei <math> A </math> ein stetiger linearer [[Endomorphismus#Vektorräume|Endomorphismus]] auf dem Banachraum <math>E</math> und weiter <math>G</math> ein abgeschlossener Unterraum von <math>E</math> derart, dass einerseits <math>A(E) \cap G = \{0\}</math> und andererseits die direkte Summe <math>A(E) \oplus G </math> ein abgeschlossener Unterraum von <math>E</math> ist.''
| ZF =
:''Dann ist der Bildraum <math>A(E)</math> bereits selbst ein abgeschlossener Unterraum von <math>E</math>.''
| EA = 25. Sep. 2017

| EAD = 8. Jan. 2018
== Verwandtes Resultat: Der Satz von Riesz über kompakte Operatoren ==
| REG = [[Mark Cendrowski]]
Die Bedeutung der im Satz von Kato aufgeworfenen Frage nach dem Zusammenhang zwischen Abgeschlossenheit und Kodimensionalität der Bildräume stetiger linearer Abbildungen zeigt sich auch bei der Untersuchung der [[Kompakter Operator|kompakten Operatoren]] auf Banachräumen. Hierzu gilt ein klassischer Satz des [[Ungarn|ungarischen]] Mathematikers [[Frigyes Riesz|F. Riesz]]:<ref name="FH-WS-I">Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: ''Einführung in die Funktionalanalysis.'' 1971, S. 103 ff</ref>
| DRB = Steve Holland, Maria Ferrari & Tara Hernandez <br />Idee: [[Chuck Lorre]], Eric Kaplan & Jeremy Howe
:'' Es sei <math> A </math> ein kompakter Operator auf dem Banachraum <math>E</math>.''
| Feld1 = 17,65&nbsp;Mio.
: ''Dann hat der zugehörige Operator <math>T = Id - A </math> die folgenden Eigenschaften:''
::'' '''(1)''' Der [[Kern (Mathematik)|Nullraum]] von <math>T</math> ist [[endlich]]-[[Dimension (Mathematik)#Hamel-Dimension (Dimension eines Vektorraumes)|dimensional]].''
::'' '''(2)''' Der Bildraum von <math>T</math> ist abgeschlossen.''
::'' '''(3)''' Der [[Faktorraum]] <math>E/T(E)</math> ist endlich-dimensional.''

== Anmerkungen ==
# In der obigen anderen Fassung spielt der Satz von Kato etwa in der [[Spektraltheorie]] eine bedeutende Rolle.<ref name="HDW-1" />
# Im englischsprachigen Raum wird der Satz von Kato manchmal auch als ''closed range theorem of T. Kato'' bezeichnet.<ref>Vgl. [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Wacker&s5=Verallgemeinerung&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=793348 MR0793348]!</ref>

== Quellen und Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Harro Heuser]]
|Titel=Funktionalanalysis
|TitelErg=Theorie und Anwendung
|Reihe=Mathematische Leitfäden
|Band=
|Auflage=4., durchgesehene
|Verlag=[[B. G. Teubner Verlag]]
|Ort=Wiesbaden
|Jahr=2006
|ISBN=978-3-8351-0026-8
|DOI=
}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Heuser%2C%20Harro&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2380292 MR2380292]
* {{Literatur
|Autor= [[Friedrich Hirzebruch]], [[Winfried Scharlau]]
|Titel=Einführung in die Funktionalanalysis
|Reihe=B. I.-Hochschultaschenbücher
|Band=296
|Auflage=
|Verlag=[[Bibliographisches Institut]]
|Ort=Mannheim, Wien, Zürich
|Jahr=1971
|ISBN=3-411-00296-4
|DOI=
}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Scharlau%2C%20Winfried&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=35&mx-pid=463864 MR0463864]
* {{Literatur
|Autor=[[Hans-Dieter Wacker (Mathematiker)|Hans-Dieter Wacker]]
|Titel=Über die Verallgemeinerung eines Satzes von Kato
|Sammelwerk=[[Mathematische Zeitschrift]]
|Band=190
|Jahr=1985
|Seiten=55–61
|DOI= 10.1007/BF01159163
|Online=
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Wacker&s5=Verallgemeinerung&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=793348 MR0793348]

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Kato]]

= Regel der Mittelzahlen =
Die '''Regel der Mittelzahlen''', {{frS|''regle des nombres moyens''}}, ist ein [[Mathematik|mathematischer]] [[Lehrsatz]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der [[Analysis]], welcher dem französischen Mathematiker [[Nicolas Chuquet]] zugerechnet wird. Der Satz beinhaltet zwei [[Elementarmathematik|elementare]] [[Ungleichung]]en der [[Bruchrechnung]].<ref name="SG-HJI-KHS-1">Siegfried Gottwald et al. (Hrsg.): ''Lexikon bedeutender Mathematiker.'' 1990, S. 104</ref><ref name="HE-1">Howard Eves: ''An Introduction to the History of Mathematics.'' 1983, S. 214</ref>

== Formulierung der Regel ==
: ''Hat man auf der [[Zahlengerade]]n zwei Brüche mit [[Positive Zahl|positiven]] Nennern und bildet man dazu eine dritten Bruch, dessen Zähler gleich der [[Summe]] der Zähler und dessen Nenner gleich der Summe der Nenner der beiden gegebenen Brüche ist, so liegt dieser dritte Bruch stets zwischen den beiden gegebenen Brüchen. Formelhaft ausgedrückt:''
: ''Für vier [[reelle Zahl]]en <math>a,b,x,y</math> mit <math>b,y > 0</math> folgen aus der Ungleichung <math>\frac {a}{b} < \frac {x}{y} </math> stets die Ungleichungen <math>\frac {a}{b} < \frac {a+x}{b+y} < \frac {x}{y} </math> &nbsp; .''<ref>In Eves<math>\text{'}</math> ''Introduction to the History of Mathematics'' wird die Positivität der vier Zahlen vorausgesetzt, während im ''Lexikon bedeutender Mathematiker'' hierzu keine Voraussetzungen genannt sind. Jedenfalls muss der mögliche Fall <math>b+y = 0</math> ausgeschlossen werden. Unproblematisch ist der Sachverhalt dann, wenn als Konvention angenommen wird, dass das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] eines Bruchs grundsätzlich Bestandteil des Zählers ist, also stets ein positiver Nenner vorliegt.</ref>

: ''Entsprechendes gilt auch, wenn anstelle des [[Kleinerzeichen]]s das Kleiner-gleich-Zeichen vorliegt.''

== Beispiel ==
: Für <math>a=-2,b=3,x=-1,y=2</math> gilt <math>\frac {-2}{3} = -0,{\bar{6}}< -0,5 = \frac {-1}{2} </math> und daher <math>\frac {-2}{3} < \frac {(-2)+(-1)}{3+2} = -0,6< \frac {-1}{2} </math> &nbsp; .

== Anmerkung ==
* Wie im ''Lexikon bedeutender Mathematiker'' ausdrücklich hervorgehoben wird, hat Nicolas Chuquet selbst die Regel als eigene Entdeckung bezeichnet.<ref name="SG-HJI-KHS-1" />

== Quellen ==
* {{Literatur
|Autor=[[Howard Eves]]
|Titel=An Introduction to the History of Mathematics
|TitelErg=
|Reihe=The Saunders Series
|Auflage=5.
|Verlag=[[Saunders College Publishing]]
|Ort=Philadelphia et al.
|Jahr=1983
|ISBN=0-03-062064-3
|Seiten=214
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Eves&s5=History&s6=Introduction&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=684360 MR0684360]
* {{Literatur
|Herausgeber=[[Siegfried Gottwald]], [[Hans-Joachim Ilgauds]] und [[Karl-Heinz Schlote]]
|Titel=Lexikon bedeutender Mathematiker
|TitelErg=
|Reihe=
|Band=
|Auflage=
|Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]]
|Ort=Thun
|Jahr=1990
|ISBN=3-8171-1164-9
|Seiten=103-104
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=&s5=Lexikon%20bedeutender%20Mathematiker&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR1089881]

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Regel der Mittelzahlen]]

KKKategorie:Ungleichung|Regel der Mittelzahlen]]

= Lemma von McShane =
Das '''Lemma von McShane''', {{enS|''McShane lemma''}}, ist ein [[Lehrsatz]], welcher zwischen den [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebieten]] der [[Topologie (Mathematik)#Mengentheoretische oder Allgemeine Topologie|Allgemeinen Topologie]] und der [[Funktionalanalysis]] angesiedelt ist. Das Lemma geht auf den US-amerikanischen [[Mathematiker]] [[Edward James McShane]] zurück und behandelt die Frage der [[Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]] [[Lipschitz-Stetigkeit|lipschitzstetiger]] [[Reellwertige Funktion|reellwertiger Funktionen]] auf [[Unterraum#Metrischer_Raum|Teilräumen]] [[Metrischer Raum|metrischer Räume]].<ref name="McS">E. J. McShane: ''Extension of range of functions.'' in: Bulletin of the American Mathematical Society 40 (1934), S. 837 ff</ref><ref name="PGC">Philippe G. Ciarlet: ''Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications.'' 2013, S. 154-155</ref>

== Formulierung des Lemmas ==
Das Lemma besagt folgendes:<ref name="McS" /><ref name="PGC" />
: ''Sei <math>X</math> ein metrischer Raum, sei <math>A \subseteq X</math> ein darin gelegener Teilraum und sei ''
: <math>f \colon A \rightarrow \R </math>
: ''eine lipschitzstetige reellwertige Funktion auf <math>A</math> mit der [[Lipschitz-Stetigkeit#Definition|Lipschitzkonstanten]] <math>L > 0</math> .
: ''Dann gilt:''
: ''<math>f</math> hat eine eine lipschitzstetige Fortsetzung''
: <math>F \colon X \rightarrow \R </math>
: ''mit derselben Lipschitzkonstanten <math>L</math> .''

== Verwandter Satz ==
Ein verwandter Satz ist der [[Satz von Kirszbraun]], der die gleiche Fragestellung im Rahmen der [[Euklidischer Raum|euklidischen]] bzw. [[Hilbertraum|Hilberträume]] behandelt und dabei zu dem gleichen Ergebnis kommt, wenn auch unter anderen Voraussetzungen. Keines der beiden Resultate schließt das jeweils andere direkt in sich ein und beide stehen nebeneinander. Allerdings überschneiden sie sich, wenn <math>X = \R^n \; (n \in \N) </math> sowie eine Teilmenge <math>A \subseteq \R^n </math> und eine lipschitzstetige Abbildung <math>f \colon A \rightarrow \R^m </math> mit <math>m=1</math> zugrundegelegt werden.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Philippe G. Ciarlet]]
|Titel=Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications
|TitelErg=
|Auflage=
|Verlag=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]
|Ort=Philadelphia, PA
|Jahr=2013
|ISBN=978-1-611972-58-0
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Linear%20and%20Nonlinear%20Functional%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=3136903 MR3136903]}}
* {{Literatur
|Autor=E. J. McShane
|Titel=Extension of range of functions
|Sammelwerk=[[American Mathematical Society|Bulletin of the American Mathematical Society]]
|Band=40
|Jahr=1934
|Seiten=837-842
|DOI=10.1090/S0002-9904-1934-05978-0
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=McShane&s5=Extension%20&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=1562984 MR1562984]}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
Kreferences />

KKKategorie:Topologie]]
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|McShane, Lemma von]]

= Fundamentalsatz der Variationsrechnung =
Der '''Fundamentalsatz der Variationsrechnung''' ({{enS|Fundamental Theorem of the Calculus
of Variations}}) ist ein grundlegender [[Lehrsatz|Satz]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Variationsrechnung]] und eng verwandt mit dem [[weierstraß]]schen [[Satz vom Minimum]]. Er behandelt die in der Variationsrechnung zentrale Frage, unter welchen Bedingungen [[reellwertige Funktion|reellwertige]] [[Funktional]]e ein [[Minimum]] annehmen.<ref name="FNS">Svatopluk Fučík, Jindřich Nečas, Vladimír Souček: ''Einführung in die Variationsrechnung.'' 1977, S. 16–19.</ref><ref name="PB-EB-I01">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch.'' 1982 , S. 1 ff.</ref><ref name="PB-EB-II01">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Variational Methods in Mathematical Physics.'' 1992, S. 1 ff.</ref>

== Formulierung des Fundamentalsatzes ==
Der Fundamentalsatz der Variationsrechnung lässt sich formulieren wie folgt:<ref name="FNS" />
: ''Sei <math>X</math> ein [[Reflexiver Raum|reflexiver ]] [[Banachraum]] über <math>\R</math> und sei darin <math>M \subset X</math> eine [[Leere Menge|nichtleere]], [[Schwache Topologie|schwach abgeschlossene]] und zugleich [[Beschränkte Menge#Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen|beschränkte]] [[Teilmenge]].''
: ''Sei weiter <math>\phi \colon M \to \R</math> ein [[Halbstetigkeit#Schwach halbstetige Funktionen|schwach unterhalbstetiges]] Funktional.''
:
: ''Dann nimmt das Funktional <math>\phi</math> auf <math>M</math> ein Minimum an.''
: ''Mit anderen Worten:''
: ''Es existiert ein [[Element (Mathematik)|Element]] <math>x_0 \in M</math> mit''
:: <math> \phi(x_0) = \inf_{x \in M}{\phi(x)} = \min_{x \in M}{\phi(x)}</math>.

=== Beweis ===
Der Darstellung von [[:cs:Svatopluk Fučík|Fučík]], [[:cs:Jindřich_Nečas|Nečas]] und [[:cs:Vladimír Souček|Souček]] folgend lässt sich der Beweis wie folgt führen:<ref name="FNS" />

Nach dem [[Satz von Eberlein–Šmulian]] impliziert die Reflexivität des Banachraums <math>X</math>, dass darin jede [[beschränkte Folge]] eine [[Schwache Konvergenz|schwach-konvergente]] [[Teilfolge]] besitzt.

Also gibt es unter den genannten Bedingungen in <math>M</math> eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] von Elementen <math>x_n \in M \; (n \in \N)</math>, die einerseits in <math>\R</math> den [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]]
: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \phi (x_n) = \inf_{x \in M}{\phi (x)} </math>

bildet und die andererseits in <math>M</math> schwach gegen ein Element <math>x_0 \in M</math> konvergiert.

Dieses Element <math>x_0</math> ist die gesuchte [[Extremwert|Minimumstelle]] für <math>\phi</math>.

Denn in Verbindung mit der Halbstetigkeit von <math>\phi</math> ergibt sich die folgende [[Ungleichung]]skette:
: <math>\inf_{x \in M}{\phi (x)} \leq \phi (x_0) \leq \liminf_{n \to \infty}{\phi (x_n)} = \lim_{n \rightarrow \infty} \phi (x_n) = \inf_{x \in M}{\phi (x)} </math>

Das jedoch bedeutet
: <math> \phi(x_0) = \inf_{x \in M}{\phi(x)} = \min_{x \in M}{\phi(x)}</math>

und der Satz ist bewiesen.

== Folgerungen aus dem Fundamentalsatz ==
An den Fundamentalsatz lassen sich zwei direkte Folgerungen anschließen:<ref name="FNS" />

: '' '''(I)''' ''
: '' '''(a)''' Die Bedingungen des Fundamentalsatzes sind erfüllt, wenn dort <math>M</math> eine nichtleere, [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]], beschränkte und [[konvexe Teilmenge]] des reflexiven <math>\R</math>-Banachraums <math>X</math> und das Funktional <math>\phi</math> [[Stetigkeit (Topologie)|stetig]] und [[Konvexe Funktion|konvex]] ist.''
: ''Das heißt: In diesem Falle hat <math>\phi</math> eine Minimumstelle <math>x_0 \in M</math>.''
: '' '''(b)''' Ist dann <math>\phi</math> darüber hinaus noch [[Konvexe und konkave Funktionen#Definition|strikt konvex]], so ist die Minimumstelle <math>x_0 \in M</math> sogar eindeutig bestimmt.''

: '' '''(II)''' ''
: '' '''(a)''' Ist <math>\phi \colon X \to \R</math> ein schwach unterhalbstetiges und zugleich [[Koerzitive Funktion|koerzitives]] Funktional des reflexiven <math>\R</math>-Banachraums <math>X</math>, so gilt die Behauptung des Fundamentalsatzes ebenfalls.''
: ''Das bedeutet:''
: ''Es ist dann''
:: <math> \inf_{x \in M}{\phi(x)} > {- \infty} </math>
: ''sowie''
:: <math> \phi(x_0) = \inf_{x \in M}{\phi(x)} = \min_{x \in M}{\phi(x)}</math>
: ''für mindestens ein <math>x_0 \in X</math> ''
: '' '''(b)''' Im Falle, dass <math>\phi \colon X \to \R</math> koerzitiv, stetig und konvex bzw. strikt konvex ist, ist die Folgerung '''(I)''' in entsprechender Weise gültig.''

=== Anmerkung zum Beweis der Folgerungen ===
# Wegen der schwachen Abgeschlossenheit von <math>M</math> ist das Funktional <math>\phi</math> genau dann schwach unterhalbstetig, wenn für jede [[reelle Zahl]] <math>a</math> die [[Urbild (Mathematik)|Urbildmenge]] <math>{\phi}^{-1}(]\infty,a])</math> des zugehörigen [[Intervall (Mathematik)#Unbeschränkte Intervalle|Intervalls]] <math>(-\infty, a]</math> schwach abgeschlossen ist.<ref name="FNS" />
# Ein stetiges und konvexes Funktional auf einer konvexen Teilmenge eines Banachraums ist stets schwach unterhalbstetig.<ref name="FNS" />

== Andere Version des Fundamentalsatzes ==
Eine etwas andere, jedoch verwandte Version des Fundamentalsatzes ist die folgende:<ref name="PB-EB-I02">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch.'' 1982 , S. 16 ff.</ref>
: ''Sei <math>M</math> ein [[Leere Menge|nichtleerer]] [[Hausdorff-Raum]] und sei weiter''
: ''<math>\phi \colon M \to \R \cup \{ + \infty \}</math> ein [[Halbstetigkeit|unterhalbstetiges]] Funktional.''
: ''Weiterhin gebe es eine [[reelle Zahl]] <math>r</math> mit:''
:: ''(i) <math>M_{\phi \; , \; r} \colon = \{x \in M \mid \phi (x) \leq r \} \neq \emptyset</math>''
:: '' (ii) <math>M_{\phi \; , \; r}</math> ist [[folgenkompakt]].''
:
: ''Dann gilt:''
: ''Es existiert ein Element <math>x_0 \in M</math> mit''
:: <math> \phi(x_0) = \inf_{x \in M}{\phi(x)} = \min_{x \in M}{\phi(x)}</math>.

== Abgrenzung: Das Fundamentallemma der Variationsrechnung ==
In der Variationsrechnung spielt auch das sogenannte ''Fundamentallemma der Variationsrechnung'' oder ''Hauptlemma der Variationsrechnung'' ({{enS|''Fundamental lemma of calculus of variations'' oder ''Dubois-Reymond lemma''}}) eine zentrale Rolle. Es wird manchmal ebenfalls mit dem hier genannten Stichwort verknüpft, fällt jedoch mit dem oben dargestellten '''Fundamentalsatz der Variationsrechnung''' nicht zusammen. Es handelt sich um ein bedeutendes Lemma, welches dem deutschen Mathematiker [[Paul Dubois-Reymond]] zugerechnet wird.<ref name="B-B-2">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch.'' 1982, S. 78 ff.</ref><ref name="Leitmann">George Leitmann: ''The Calculus of Variations and Optimal Control : An Introduction.'' Plenum Press, New York (u. a.) 1981, S. 14 ff.</ref>

In seiner einfachsten Version macht das Fundamentallemma die folgende Aussage:<ref name="B-B-2" />
: ''Sei <math>I = [a \;, \; b] \subset \R</math> ein [[Kompakte Menge|kompaktes]] [[reelles Intervall]] und sei <math>g \colon I \to \R</math> eine [[stetige Funktion]].''
: ''Es gelte für jede [[stetig differenzierbar]]e Funktion <math>h \colon I \to \R</math> mit <math>h(a)= h(b) = 0</math>:''
::<math> \int_a^b {g(t)\; h(t)} \; \mathrm dt = 0</math>
: ''Dann ist <math>g</math> die [[Nullfunktion]].''

Eine andere, aber insgesamt etwas weiter reichende Version des Fundamentallemmas, welche auch [[Integralrechnung#Mehrdimensionale Integration|mehrdimensionale Integration]] einbezieht, lautet wie folgt:<ref name="PGC">Philippe G. Ciarlet: ''Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications .'' 2013, S. 314.</ref><ref>Über weitere Versionen gibt der entsprechende Artikel [[:en:Fundamental lemma of calculus of variations|Fundamental lemma of calculus of variations]] im englischsprachigen Wikipedia Auskunft.</ref>
: ''Sei <math>\Omega</math> eine [[Offene Menge|offene]] [[Teilmenge]] des <math> \R^N \; (N \in \N) </math> und sei <math>g : \Omega \to \R</math> eine [[lokal integrierbare Funktion]].''
: ''Es gelte für jede [[Differenzierbarkeit#Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen|unendlich oft differenzierbare Funktion]] <math>h \colon \Omega \to \R</math> mit kompaktem [[Träger (Mathematik)|Träger]]:''
::<math> \int_\Omega {g(x)\; h(x)} \; \mathrm dx = 0</math>
: ''Dann ist <math>g</math> die Nullfunktion.''

== Siehe auch ==
* [[Satz vom Minimum und Maximum]]
* [[Maximumprinzip von Bauer]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Philippe Blanchard]], [[Erwin Brüning]]
|Titel=Direkte Methoden der Variationsrechnung
|TitelErg=Ein Lehrbuch
|Auflage=
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
|Ort=Wien, New York
|Datum=1982
|ISBN=3-211-81692-5
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Blanchard&s5=Br%C3%BCning&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=687073 MR0687073]}}
*{{Literatur
|Autor=Philippe Blanchard, Erwin Brüning
|Titel=Variational Methods in Mathematical Physics
|TitelErg=A unified approach. Translated from the German by Gillian M. Hayes.
|Reihe=Texts and Monographs in Physics
|BandReihe=
|Auflage=
|Verlag=Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin
|Datum=1992
|ISBN=
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Blanchard&s5=Variational&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=1230382 MR1230382]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Philippe G. Ciarlet]]
|Titel=Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications
|Auflage=
|Verlag=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]
|Ort=Philadelphia, PA
|Datum=2013
|ISBN=978-1-611972-58-0
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Ciarlet&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=16&mx-pid=3136903 MR3136903]}}
* {{Literatur
|Autor=Svatopluk Fučík, Jindřich Nečas, Vladimír Souček
|Titel=Einführung in die Variationsrechnung
|TitelErg=Erweiterte Ausgabe des Vorlesungsskripts ''Úvod do variačního počtu''
|Reihe=Teubner-Texte zur Mathematik
|BandReihe=
|Auflage=
|Verlag=[[B. G. Teubner Verlag|Teubner Verlagsgesellschaft]]
|Ort=Leipzig
|Datum=1977
|ISBN=}}

== Einzelnachweise ==
Kreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Fundamentalsatz der Variationsrechnung]]

= Satz von Minty-Browder =
Der '''Satz von Minty-Browder''' oder auch '''Satz von Browder und Minty''', {{enS|''Minty-Browder theorem''}}, ist ein [[Mathematik|mathematischer]] [[Lehrsatz]] der [[Nichtlinear]]en [[Funktionalanalysis]], welcher auf Arbeiten der beiden [[Mathematiker]] [[George Minty]] und [[Felix Browder]] aus den Jahren 1962 und 1963 zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage der Bedingungen, unter denen ein [[monotoner Operator]] auf einem [[Reflexiver Raum|reflexiven]] [[Separabler Raum|separablen]] [[Banachraum]] über dem [[Körper der reellen Zahlen]] [[surjektiv]] ist. Er wird auch als ''Hauptsatz der Theorie monotoner Operatoren'' bezeichnet und gilt als nichtlineares [[Analogon]] zum [[Satz von Lax-Milgram]]. Der Satz findet vielfache Anwendung bei der [[Lösungsmenge|Lösung]] nichtlinearer [[Randwertaufgabe]]n der [[Variationsrechnung]]. Der Beweis des Satzes lässt sich mit Hilfe der [[Galerkin-Methode]] führen.<ref name="MR">Michael Růžička: ''Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einführung.'' 2004, S. 63 ff</ref><ref name="PGC">Philippe G. Ciarlet: ''Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications .'' 2013, S. 742 ff</ref><ref name="B-B">Philippe Blanchard, Erwin Bruning: ''Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch.'' 1982 , S. 154 ff</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Darstellung von [[Michael Růžička|Růžička]] bzw. [[Philippe G. Ciarlet|Ciarlet]] folgend lässt sich der Satz von Minty-Browder angeben wie folgt:<ref name="MR" /><ref name="PGC" />
: ''Sei <math>X</math> ein separabler reflexiver Banachraum über <math>\R</math> . ''
: ''Sei dazu <math>A \colon X \to X^{'}=L(X,\R)</math> ein [[Operator (Mathematik)#Operatoren in der Funktionalanalysis|Operator]] von dem Banachraum in seinen [[Dualraum#Topologischer Dualraum eines normierten Raums|Dualraum]].''
: ''Der Operator <math>A</math> besitze folgende Eigenschaften:''
:: '' (a) <math>A</math> ist monoton.''
:: '' (b) <math>A</math> ist koerziv.''
:: '' (c) <math>A</math> ist hemistetig.''
:
: ''Dann gilt:''
: '' (1) <math>A</math> ist surjektiv.''
: '' (2) Ist <math>A</math> zudem noch strikt monoton, so ist <math>A</math> sogar eine [[Bijektion]].''

== Erläuterungen zur Terminologie ==
Hinsichtlich der oben genannten Eigenschaften des Operators <math>A \colon X \to X^{'}</math> sind folgende Termini wesentlich:

* <math>A</math> ist '''monoton''' genau dann, wenn für <math>u, v \in X</math> stets gilt:
: <math>\langle A(u) - A(v) \; , \; u - v \rangle \geq 0</math><ref>Die hier üblicherweise benutzte [[Skalarprodukt]]schreibung dient dazu, Mehrfach[[klammerung]]en zu vermeiden. Es gilt hierbei für <math>x \in X \; , \; f \in X^{'}</math> die Festsetzung, <math>\langle f \; , \; x \rangle = f(x) \in \R </math> . </ref>

* Der Operator <math>A</math> ist '''strikt monoton''' genau dann, wenn für <math>u, v \in X</math> mit <math>u \neq v </math> stets gilt:
: <math>\langle A(u) - A(v) \; , \; u - v \rangle > 0</math>

* Der Operator <math>A</math> ist '''koerziv''' genau dann, wenn gilt:
: <math>\lim_{\| x \| \to {\infty} } {\frac { \langle A(x) \; , \; x \rangle }{ \| x \| } } = {\infty} </math>.<ref>Hierbei ist <math>x \mapsto \| x \| \in \R \; (x \in X )</math> die [[Norm (Mathematik)|Normabbildung]] des Banachraums <math>X</math>. </ref>

* Der Operator <math>A</math> ist '''hemistetig''' genau dann, wenn für <math>u, v, w \in X</math> stets gilt:
: Die auf dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[0 \; , \; 1] </math> definierte [[reellwertige Funktion]] <math>t \mapsto \langle A(u + tv) \; , \; w \rangle</math> ist [[stetig]].

== Siehe auch ==
* [[Satz von Lax-Milgram]]

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Philippe Blanchard]], [[Erwin Brüning]]
|Titel=Direkte Methoden der Variationsrechnung
|TitelErg=Ein Lehrbuch
|Reihe=
|Band=
|Auflage=
|Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
|Ort=Wien, New York
|Jahr=1982
|ISBN=3-211-81692-5
|DOI=
|Online=
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Blanchard&s5=Br%C3%BCning&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=687073 MR0687073]
* {{Literatur
|Autor=Felix E. Browder
|Titel=Nonlinear elliptic boundary value problems
|Sammelwerk=[[American Mathematical Society|Bulletin of the American Mathematical Society]]
|Band=69
|Jahr=1963
|Seiten=862–874
|DOI=
|Online=[http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183525712]
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Browder&s5=elliptic&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=21&mx-pid=156116 MR0156116]
* {{Literatur
|Autor=Philippe G. Ciarlet
|Titel=Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications
|TitelErg=
|Reihe=
|Band=
|Auflage=
|Verlag=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]
|Ort=Philadelphia, PA
|Jahr=2013
|ISBN=978-1-611972-58-0
|DOI=
|Online=
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Ciarlet&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=16&mx-pid=3136903 MR3136903 ]
* {{Literatur
|Autor=George J. Minty
|Titel=On a "monotonicity" method for the solution of non-linear equations in Banach spaces
|Sammelwerk=[[National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]
|Band=50
|Jahr=1963
|Seiten=1038–1041
|DOI=
|Online=[http://www.jstor.org/stable/71840?seq=1#page_scan_tab_contents]
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Minty&s5=method&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=162159 MR0162159]
* {{Literatur
|Autor=George J. Minty
|Titel=Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space
|Sammelwerk=[[Duke Mathematical Journal]]
|Band=29
|Jahr=1962
|Seiten=341–346
|DOI=
|Online=[http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077470254]
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Minty&s5=Hilbert&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=169064 MR0169064]
* {{Literatur
|Autor=Michael Růžička
|Titel=Nichtlineare Funktionalanalysis
|TitelErg=Eine Einführung
|Reihe=
|Band=
|Auflage=
|Verlag=Springer Verlag]]
|Ort=Berlin, Heidelberg (u. a.)
|Jahr=2004
|ISBN=3-540-20066-
|DOI=
|Online=
}}
}}
{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 233
== Einzelnachweise ==
| NR_ST = 2
Kreferences />
| OT = The Retraction Reaction

| DT = Das Romulaner-Getränk

| ZF =
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
| EA = 2. Okt. 2017
KKKategorie:Variationsrechnung]]
| EAD = 15. Jan. 2018
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Minty-Browder,Satz von]]
| REG = Mark Cendrowski

| DRB = Dave Goetsch, Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo <br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
= Maximalitätssatz von Wermer =
| Feld1 = 14,06 Mio.
Der '''Maximalitätssatz von Wermer''' , auch '''Wermers Maximalitätssatz''' genannt, {{enS|''Wermer's maximality theorem''}},ist ein [[Mathematik|mathematischer]] [[Lehrsatz]], welcher zwischen [[Funktionentheorie]] und [[Funktionalanalysis]] angesiedelt ist. Der Satz geht zurück auf den [[Mathematiker]] [[John Wermer]] und behandelt [[Maximales und minimales Element|Maximalitätseigenschaften]] einer speziellen [[Banachalgebra|banachschen]] [[Funktionenraum|Funktionenalgebra]] über dem [[Körper der komplexen Zahlen]].<ref name="Landau-Gaier">Edmund Landau, Dieter Gaier: ''Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie.'' 1986, S. 174–181</ref>
}}

{{Episodenlisteneintrag2
== Formulierung des Satzes ==
| NR_GES = 234
Der Maximalitätssatz von Wermer lässt sich angeben wie folgt:<ref name="Landau-Gaier" />
| NR_ST = 3
: ''Sei <math>\mathbb{D} = \{z \in \Complex \colon |z| \leq 1 \} \subseteq \Complex</math> die [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] Einheits[[kreisscheibe]] im [[Körper der komplexen Zahlen]], deren [[Rand (Topologie)|topologischer Rand]] die [[Einheitssphäre]] <math>S^1 = \{ z \in \Complex \colon |z| = 1 \}</math> ist.<ref> <math>z \mapsto |z| </math> ist die [[komplexe Betragsfunktion]].</ref>
| OT = The Relaxation Integration
: ''Sei weiter <math>\mathcal{C} = \mathcal{C}(S^1 \; , \; \Complex ) </math> die <math>\Complex</math>-Banachalgebra der auf der Einheitssphäre [[Definitionsmenge|definierten]] [[Stetigkeit|stetigen]] [[Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]], versehen mit den üblichen punktweise definierten [[Zweistellige Verknüpfung|Operationen]] und der [[Maximumsnorm]].
| DT = Die Entspannungs-Enttäuschung
: ''Sei schließlich <math>\mathcal{A}</math> die Teilmenge derjenigen Funktionen <math> f \in \mathcal{C}</math>, welche eine [[stetige Fortsetzung]] auf <math>\mathbb{D}</math> derart besitzen, dass diese Fortsetzungsfunktion im [[Innerer Punkt|Inneren]] <math>{\mathbb{D}}^{\circ} = \{z \in \Complex \colon |z| < 1 \} </math> von <math>\mathbb{D} </math> sogar [[holomorph]] ist.
| ZF =
:
| EA = 9. Okt. 2017
: '' Dann gilt:''
| EAD = 22. Jan. 2018
: ''<math>\mathcal{A} \subset \mathcal{C}</math> bildet eine abgeschlossene [[Algebra über einem Körper#Unteralgebren und Ideale|Teilalgebra]] von <math>\mathcal{C}</math> und ist als solche [[Maximales und minimales Element|maximal]], wird also von keiner anderen in <math>\mathcal{C}</math> [[Teilmenge|enthaltenen]] abgeschlossenen Teilalgebra [[Teilmenge#Notationen und Sprechweisen|echt umfasst]] .''
| REG = Mark Cendrowski

| DRB = Maria Ferrari, Andy Gordon & Tara Hernandez <br />Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Adam Faberman
== Quellen ==
| Feld1 = 13,13 Mio.
* {{Literatur
}}
|Autor=[[Paul Cohen (Mathematiker)|Paul J. Cohen]]
{{Episodenlisteneintrag2
|Titel=A note on constructive methods in Banach algebras
| NR_GES = 235
|Sammelwerk=Proceedings of the [[American Mathematical Society]]
|Band=12
| NR_ST = 4
| OT = The Explosion Implosion
|Jahr=1961
| DT = Die Führerschein-Frage
|Seiten=159–163
| ZF =
|DOI=10.2307/2034144
| EA = 16. Okt. 2017
|Online=
| EAD = 29. Jan. 2018
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Cohen%2C%20&s5=A%20note%20on&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=28&mx-pid=124515 MR0124515]
| REG = Mark Cendrowski
* {{Literatur
| DRB = Steve Holland, Eric Kaplan & Jeremy Howe <br />Idee: Bill Prady, Maria Ferrari & Tara Hernandez
|Autor=[[Edmund Landau]], [[Dieter Gaier]]
| Feld1 = 13,07 Mio.
|Titel=Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie
}}
|TitelErg=
{{Episodenlisteneintrag2
|Reihe=
| NR_GES = 236
|Band=
| NR_ST = 5
|Auflage=3., erweiterte
| OT = The Collaboration Contamination
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| DT = Das Erziehungs-Experiment
|Ort=Berlin (u. &nbsp; a.)
| ZF =
|Jahr=1986
| EA = 23. Okt. 2017
|ISBN=3-540-16886-9
| EAD = 5. Feb. 2018
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Landau&s5=Gaier&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0869998]
| REG = Nikki Lorre
* {{Literatur
| DRB = Dave Goetsch, Maria Ferrari & Jeremy Howe <br />Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan
|Autor=[[Günter Lumer|G. Lumer]]
| Feld1 = 13,20 Mio.
|Titel=On Wermer's maximality theorem
}}
|Sammelwerk=[[Inventiones Mathematicae]]
{{Episodenlisteneintrag2
|Band=8
| NR_GES = 237
|Jahr=1969
| NR_ST = 6
|Seiten=236–237
| OT = The Proton Regeneration
|DOI=
| DT = Die Professor-Proton-Renaissance
|Online=[http://link.springer.com/article/10.1007/BF01406075]
| ZF =
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Lumer&s5=Wermer&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0251542]
| EA = 2. Nov. 2017
* {{Literatur
| EAD = 12. Feb. 2018
|Autor=[[Walter Rudin]]
| REG = Mark Cendrowski
|Titel=Analyticity, and the maximum modulus principle
| DRB = Steve Holland, Andy Gordon & Jeremy Howe <br />Idee: Steven Molaro, Dave Goetsch & Alex Yonks
|Sammelwerk=[[Duke Mathematical Journal]]
| Feld1 = 14,14 Mio.
|Band=20
}}
|Jahr=1953
{{Episodenlisteneintrag2
|Seiten=449–457
| NR_GES = 238
|DOI=10.1215/S0012-7094-53-02045-6
| NR_ST = 7
|Online=
| OT = The Geology Methodology
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Rudin&s5=Analyticity&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0056076]
| DT = Die Geologen-Peinlichkeit
* {{Literatur
| ZF =
|Autor=[[John Wermer]]
| EA = 9. Nov. 2017
|Titel=On algebras of continuous functions
| EAD = 19. Feb. 2018
|Sammelwerk=Proceedings of the American Mathematical Society
| REG = Mark Cendrowski
|Band=4
| DRB = Eric Kaplan, Maria Ferrari & Tara Hernandez <br />Idee: Steve Holland, Anthony Del Broccolo & Adam Faberman
|Jahr=1953
| Feld1 = 13,80 Mio.
|Seiten=866–869
}}
|DOI=10.2307/2031819
{{Episodenlisteneintrag2
|Online=
| NR_GES = 239
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Wermer%2C%20John&s5=On&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=25&mx-pid=58877 MR0058877]
| NR_ST = 8

| OT = The Tesla Recoil
== Einzelnachweise ==
| DT = Die Tesla-Theorie
Kreferences />
| ZF =

| EA = 16. Nov. 2017
KKKategorie:Funktionentheorie]]
| EAD = 26. Feb. 2018
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
| REG = Mark Cendrowski
KKKategorie:Algebra (Struktur)]]
| DRB = Steve Holland, Maria Ferrari & Jeremy Howe <br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Tara Hernandez
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Wermer,Maximalitätssatz von]]
| Feld1 = 13,44 Mio.

}}
= Dreikreisesatz von Hadamard =
{{Episodenlisteneintrag2
Der '''Dreikreisesatz von Hadamard''', auch '''hadamardscher Dreikreisesatz''' genannt, {{enS|''Hadamard’s three-circle theorem''}},<ref>Es gibt in deutschsprachigen Quellen auch die Schreibung "Drei-Kreise-Satz" statt "Dreikreisesatz" wie auch in englischsprachigen die Schreibung "three circles theorem" anstelle von "three-circle theorem".</ref> ist ein [[Lehrsatz]] auf dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionentheorie]]. Der Satz geht zurück auf den französischen [[Mathematiker]] [[Jacques Hadamard]] (1865 – 1963). Er kann als Folgerung aus dem [[Maximumprinzip (Mathematik)#Funktionentheorie|Maximumprinzip der Funktionentheorie]] gezogen werden und zieht insbesondere den [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] nach sich.<ref name="Burckel">Robert B. Burckel: ''An introduction to classical complex analysis. Vol.1.'' 1979, S. 147, 187</ref><ref name="Golusin">G. M. Golusin: ''Geometrische Funktionentheorie.'' 1957, S. 299–300</ref><ref name="Hurwitz-Courant">Adolf Hurwitz, Richard Courant: ''Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie.... .'' 1964, S. 429–430</ref><ref name="Nevanlinna">Rolf Nevanlinna: ''Eindeutige analytische Funktionen.'' 1974, S. 43 </ref><ref name="Rühs">Fritz Rühs: ''Funktionentheorie.'' 1976, S. 117–119, 145–146</ref><ref name="Rudin">Walter Rudin: ''Reelle und komplexe Analysis.'' 1999, S. 316</ref><ref name="Titchmarsh">E. C. Titchmarsh: ''The Theory of Functions.'' 1978, S. 172–173</ref>
| NR_GES = 240

| NR_ST = 9
== Formulierung des Satzes ==
| OT = The Bitcoin Entanglement
Der Dreikreisesatz lässt sich angeben wie folgt:
| DT = Die Bitcoin-Odyssee
: ''Gegeben seien ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \Complex</math> sowie eine darauf definierte [[holomorphe Funktion]] <math> f \colon G \to \Complex \; ; \; z \mapsto f(z) </math> , welche nicht die [[Nullfunktion]] sei.''
| ZF =
: ''Gegeben seien weiter zwei [[reell]]e Zahlen <math>a,b \; (0 < a < b)</math> und dazu ein in <math>G</math> enthaltener [[Kreisring]] <math> A = \{ z \in \Complex \colon a \leq |z| \leq b\} </math>.''
| EA = 30. Nov. 2017
:
| EAD = 5. Mär. 2018
: '' Dann gilt für die zugehörige [[reellwertige Funktion]]''
| REG = Mark Cendrowski
:: <math>M \colon [a,b] \to \R^{>0} \; ; \; r \mapsto M(r) := \max_{|z| = r} \; {|f(z)|} </math>
| DRB = Dave Goetsch, Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo <br />Idee: Steve Holland, Andy Gordon & Jeremy Howe
: '' stets die [[Ungleichung]]
| Feld1 = 13,84 Mio.
:: <math>M(r) \leq {M(a)}^{\frac {\ln (b) - \ln (r)}{\ln (b) - \ln (a)}} \cdot {M(b)}^{\frac {\ln (r) - \ln (a)}{\ln (b) - \ln (a)}} </math> .
}}
: ''Mit anderen Worten:''
{{Episodenlisteneintrag2
: ''Die reellwertige Funktion <math> r \mapsto \ln \bigl( M(r) \bigr)</math> ist eine in <math>\ln (r) </math> [[konvexe Funktion]] und erfüllt daher stets die Ungleichung
| NR_GES = 241
:: <math>\ln \bigl( (M(r) \bigr) \leq { {\frac {\ln (b) - \ln (r)}{\ln (b) - \ln (a)}} \cdot \ln \bigl( (M(a) \bigr) + {\frac {\ln (r) - \ln (a)}{\ln (b) - \ln (a)} \cdot \ln \bigl( (M(b) \bigr) } \; (a \leq r \leq b ) } </math>.
| NR_ST = 10

| OT = The Confidence Erosion
== Anwendung: Der Satz von Jentzsch ==
| DT = Das Hochzeitsplanungs-System
Wie [[Edmund Landau]] zeigte, lässt sich durch Anwendung des Dreikreisesatzes ein anderes bekanntes Resultat der Funktionentheorie herleiten, nämlich der ''Satz von Jentzsch''. Dieser geht zurück auf Inauguraldissertation von [[Robert Jentzsch]] aus dem Jahre 1914. Der Satz wurde von Jentzsch dann auch in den [[Acta Mathematica]] des Jahres 1916 veröffentlicht und gab Anlass zu vielen weiterführenden funktionentheoretischen Untersuchuchungen. Er lässt sich formulieren wie folgt:<ref name="Landau-Gaier">Edmund Landau, Dieter Gaier: ''Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie.'' 1986, S. 88–95, S. 145-148</ref>
| ZF =

| EA = 7. Dez. 2017
: ''Gegeben sei eine in <math>\Complex</math> um den Entwicklungspunkt <math>z_0 = 0 </math> entwickelte [[Potenzreihe]] <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty {a_n z^n} = a_0 + a_1 z^1 + a_2 z^2 +\ldots + a_n z^n + a_{n+1} z^{n+1} \ldots </math>
| EAD = 12. Mär. 2018
: ''mit endlichem [[Konvergenzradius]] <math>r< \infty </math> und [[Konvergenzkreis]] <math>D = \{z \in \Complex \colon |z| < r \} </math> . ''
| REG = Mark Cendrowski
: ''Die zughörige [[komplexwertige Funktion]] <math>f \colon \, D \to \Complex, \; z \mapsto f(z)</math>
| DRB = Steve Holland, Eric Kaplan & Tara Hernandez<br />Idee: Bill Prady, Maria Ferrari & Adam Faberman
: ''sei nicht [[Konstante Funktion|konstant]] und es gelte <math>a_0 \neq 0 </math> .''
| Feld1 = 14,41 Mio.
: ''Weiter seien
}}
: <math>s_k(z) = \sum_{n=0}^k {a_n z^n} = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 +\ldots + a_k z^k \; (k \in \N_0) </math>
{{Episodenlisteneintrag2
: ''die zugehörigen [[Partialsumme|Abschnittsfunktionen]] .''
| NR_GES = 242
:
| NR_ST = 11
: ''Dann gilt:''
| OT = The Celebration Reverberation
: ''In jeder beliebig kleinen [[Offene Umgebung|offenen Umgebung]] eines jeden Randpunktes des Konvergenzkreises haben stets [[unendlich viele]] Abschnittsfunktionen je mindestens eine [[Nullstelle]].''
| DT = Der Hüpfburg-Enthusiasmus

== Quellen ==
| ZF =
| EA = 14. Dez. 2017
=== Monographien ===
| EAD = 19. Mär. 2018
* {{Literatur
| REG = Mark Cendrowski
|Autor=[[Robert B. Burckel]]
| DRB = Dave Goetsch, Maria Ferrari & Jeremy Howe<br />Idee: Steve Holland, Eric Kaplan & Alex Ayers
|Titel=An introduction to classical complex analysis
| Feld1 = 13,73 Mio.
|TitelErg=Vol. 1
}}
|Reihe=
{{Episodenlisteneintrag2
|Band=
| NR_GES = 243
|Auflage=
| NR_ST = 12
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
| OT = The Matrimonial Metric
|Ort=Basel, Stuttgart
| DT = Das Trauzeugen-Testverfahren
|Jahr=1979
| ZF =
|ISBN=3-7643-0989-X
| EA = 4. Jan. 2018
}}[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Burckel&s5=An%20introduction%20to%20classical%20complex%20analysis.%20Vol.%201&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0555733]
| EAD = 26. Mär. 2018
* {{Literatur
| REG = Mark Cendrowski
|Autor=[[Gennadi Michailowitsch Golusin|G. M. Golusin]]
| DRB = Steve Holland, Eric Kaplan & Andy Gordon<br />Idee: Maria Ferrari, Tara Hernandez & Jeremy Howe
|Titel=Geometrische Funktionentheorie
| Feld1 = 16,16 Mio.
|Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
}}
|Band=31
{{Episodenlisteneintrag2
|Auflage=
| NR_GES = 244
|Verlag=[[VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
| NR_ST = 13
|Ort=Berlin
| OT = The Solo Oscillation
|Jahr=1957
| DT = Die Watkins-Wahrscheinlichkeit
|ISBN=
| ZF =
}}[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Geometrische%20Funktionentheorie&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=89896 MR0089896]
| EA = 11. Jan. 2018
* {{Literatur
| EAD = 9. Apr. 2018
|Autor=[[Adolf Hurwitz]] , [[Richard Courant]]
| REG = Mark Cendrowski
|Titel=Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen
| DRB = Eric Kaplan, Maria Ferrari & Jeremy Howe<br />Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Anthony Del Broccolo
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
| Feld1 = 15,93 Mio.
|Band=3
}}
|Auflage= 4., vermehrte und verbesserte
{{Episodenlisteneintrag2
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| NR_GES = 245
|Ort=Berlin (u. &nbsp; a.)
| NR_ST = 14
|Jahr=1964
| OT = The Separation Triangulation
|ISBN=
| DT = Die Zeitzonen-Klausel
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=ICN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hurwitz&s5=Courant&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=173749 MR0173749]
| ZF =
* {{Literatur
| EA = 18. Jan. 2018
|Autor=Edmund Landau , [[Dieter Gaier]]
| EAD = 16. Apr. 2018
|Titel=Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie
| REG = Mark Cendrowski
|TitelErg=
| DRB = Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez<br />Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Maria Ferrari
|Reihe=
| Feld1 = 14,92 Mio.
|Band=
}}
|Auflage=3., erweiterte
{{Episodenlisteneintrag2
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| NR_GES = 246
|Ort=Berlin (u. &nbsp; a.)
| NR_ST = 15
|Jahr=1986
| OT = The Novelization Correlation
|ISBN=3-540-16886-9
| DT = Die Professor-Proton-Personalie
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Landau&s5=Gaier&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0869998]
| ZF =
* {{Literatur
| EA = 1. Feb. 2018
|Autor=[[Rolf Nevanlinna]]
| EAD = 4. Sep. 2018 <!--Erstausstrahlung im Schweizer Fernsehen (3+)-->
|Titel=Eindeutige analytische Funktionen
| REG = Mark Cendrowski
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
| DRB = Eric Kaplan, Maria Ferrari & Jeremy Howe<br />Idee: Steve Holland, Andy Gordon & Adam Faberman
|Band=46
| Feld1 = 14,69 Mio.
|Verlag=Springer-Verlag
}}
|Ort=Berlin (u. a.)
{{Episodenlisteneintrag2
|ISBN=3-540-06233-5
| NR_GES = 247
| NR_ST = 16
| OT = The Neonatal Nomenclature
| DT = Das Babynamen-Theater
| ZF =
| EA = 1. Mär. 2018
| EAD = 11. Sep. 2018 <!--Erstausstrahlung im Schweizer Fernsehen (3+)-->
| REG = Gay Linvill
| DRB = Steve Holland, Tara Hernandez & Adam Faberman<br />Idee: Eric Kaplan, Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo
| Feld1 = 13,75 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 248
| NR_ST = 17
| OT = The Athenaeum Allocation
| DT = Die Athenaeum-Angelegenheit
| ZF =
| EA = 8. Mär. 2018
| EAD = 18. Sep. 2018 <!--Erstausstrahlung im Schweizer Fernsehen (3+)-->
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Dave Goetsch, Eric Kaplan & Maria Ferrari<br />Idee: Steve Holland, Steven Molaro & Tara Hernandez
| Feld1 = 13,88 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 249
| NR_ST = 18
| OT = The Gates Excitation
| DT = Die Bill-Gates-Begegnung
| ZF =
| EA = 29. Mär. 2018
| EAD = 25. Sep. 2018 <!--Erstausstrahlung im Schweizer Fernsehen (3+)-->
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Holland & Tara Hernandez & Jeremy Howe<br />Idee: Eric Kaplan & Maria Ferrari & Andy Gordon
| Feld1 = 13,26 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 250
| NR_ST = 19
| OT = The Tenant Disassociation
| DT = Das Machtwechsel-Modell
| ZF =
| EA = 5. Apr. 2018
| EAD = 2. Okt. 2018 <!--Erstausstrahlung im Schweizer Fernsehen (3+)-->
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Dave Goetsch & Eric Kaplan & Maria Ferrari<br />Idee: Steve Holland & Jeremy Howe & Trevor Alper
| Feld1 = 13,00 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 251
| NR_ST = 20
| OT = The Reclusive Potential
| DT = Der Waldmensch Wolcott
| ZF =
| EA = 12. Apr. 2018
| EAD = 9. Okt. 2018 <!--Erstausstrahlung im Schweizer Fernsehen (3+)-->
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Holland & Eric Kaplan & Adam Faberman<br />Idee: Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo & Tara Hernandez
| Feld1 = 12,77 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 252
| NR_ST = 21
| OT = The Comet Polarization
| DT = Der Kometen-Klau
| ZF =
| EA = 19. Apr. 2018
| EAD = 16. Okt. 2018 <!--Erstausstrahlung im Schweizer Fernsehen (3+)-->
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Maria Ferrari & Andy Gordon & Tara Hernandez<br />Idee: Steve Holland & Bill Prady & Eric Kaplan
| Feld1 = 12,91 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 253
| NR_ST = 22
| OT = The Monetary Insufficiency
| DT = Der Hochzeitskleid-Hype
| ZF =
| EA = 26. Apr. 2018
| EAD = 23. Okt. 2018 <!--Erstausstrahlung im Schweizer Fernsehen (3+)-->
| REG = Nikki Lorre
| DRB = Steve Holland & Eric Kaplan & Jeremy Howe<br />Idee: Dave Goetsch & Maria Ferrari & Tara Hernandez
| Feld1 = 11,79 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 254
| NR_ST = 23
| OT = The Sibling Realignment
| DT = Die Reifendoktor-Reise
| ZF =
| EA = 3. Mai 2018
| EAD = 30. Okt. 2018 <!--Erstausstrahlung im Schweizer Fernsehen (3+)-->
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Dave Goetsch & Maria Ferrari & Jeremy Howe<br />Idee: Steve Holland & Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo
| Feld1 = 12,93 Mio.
}}
{{Episodenlisteneintrag2
| NR_GES = 255
| NR_ST = 24
| OT = The Bow Tie Asymmetry
| DT = Die Hochzeitsüberraschung
| ZF =
| EA = 10. Mai 2018
| EAD = 6. Nov. 2018 <!--Erstausstrahlung im Schweizer Fernsehen (3+)-->
| REG = Mark Cendrowski
| DRB = Steve Holland & Eric Kaplan & Tara Hernandez<br />Idee: Chuck Lorre & Steven Molaro & Maria Ferrari
| Feld1 = 15,51 Mio.
}}
}}
* {{Literatur
|Autor= [[Walter Rudin]]
|Titel=Reelle und komplexe Analysis
|Auflage=2. verbesserte
|Verlag=[[Oldenbourg Wissenschaftsverlag]]
|Ort=München, Wien
|Jahr=1999
|ISBN=3-486-24789-1
|DOI=
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Rudin&s5=Reelle%20und%20komplexe%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR1736644]
* {{Literatur
|Autor=[[Fritz Rühs]]
|Titel=Funktionentheorie
|Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
|Band=56
|Auflage= 3., berichtigte
|Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
|Ort=Berlin
|Jahr=1976
|ISBN=
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=R%C3%BChs&s5=Funktionentheorie&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=486433 MR0486433]
* {{Literatur
|Autor=[[Edward Charles Titchmarsh|E. C. Titchmarsh]]
|Titel=The Theory of Functions
|Reihe=
|Band=
|Auflage=
|Verlag=[[Oxford University Press]]
|Ort=Oxford, London (u. a.)
|Jahr=1978
|ISBN=
}}
}}


=== Originalarbeiten ===
== Staffel 12 ==
{{Hauptartikel|The Big Bang Theory/Staffel 12}}
* {{Literatur
|Autor=[[Aryeh Dvoretzky]]
|Titel=On the theorem of Jentzsch
|Sammelwerk=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.]]
|Band=35
|Jahr=1949
|Seiten=246–252
|DOI=
|Online=
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=On%20the%20theorem%20of%20Jentzsch&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=29995 MR0029995]
* {{Literatur
|Autor=Robert Jentzsch
|Titel=Untersuchungen zur Theorie der Folgen analytischer Funktionen
|Sammelwerk=[[Acta Mathematica]]
|Band=41
|Jahr=1916
|Seiten=219–251
|DOI=
|Online=[http://link.springer.com/article/10.1007/BF02422945]
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Jentzsch%2C%20Robert&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=1555151 MR1555151]
* {{Literatur
|Autor=[[Raphael Robinson|Raphael M. Robinson]]
|Titel=Hadamard's three circles theorem
|Sammelwerk=[[American Mathematical Society |Bulletin of the American Mathematical Society ]]
|Band= 50
|Jahr=1944
|Seiten=795–802
|DOI=
|Online=[http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183506291]
}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Robinson%2C%20Raphael%20M.&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=83&mx-pid=11120 MR0011120]


Die Erstausstrahlung der zwölften Staffel ist seit dem 24. September 2018 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender [[Columbia Broadcasting System|CBS]] zu sehen. Es wird die letzte Staffel der Serie sein.<ref>{{cite web |url=https://deadline.com/2018/08/the-big-bang-theory-end-run-12-seasons-final-season-cbs-1202450437/ |title=‘The Big Bang Theory’ To End Run After 12 Seasons |work=Deadline.com |date=2018-08-22 |accessdate=2018-08-22 |author=Nellie Andreeva}}</ref> Die deutschsprachige Erstausstrahlung wird seit dem 1. Januar 2019 auf dem Schweizer Privatsender 3+ gesendet.
== Einzelnachweise und Fußnoten ==
Kreferences />


{{Episodenlistentabelle
KKKategorie:Funktionentheorie]]
| SORTIERBAR = nein
KKKategorie:Analytische_Funktion]]
| ERSTAUSSTRAHLUNG_LAND = USA
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Hadamardscher Dreikreisesatz]]
| ZUSAMMENFASSUNG = nein

| ERSTAUSSTRAHLUNG_DE = CH

| DEUTSCHE_PRODUKTION = nein

| REGISSEUR = ja

| DREHBUCH = ja

| Feld1 = Quoten<br /><small>(USA)</small><ref>{{cite web |url=https://tvseriesfinale.com/tv-show/big-bang-theory-season-12-ratings/ |title=The Big Bang Theory: Season 12 Ratings |work=TVSeriesFinale.com |date=2018-10-26 |accessdate=2018-11-02}}</ref>

| INHALT =
= Cantorsches Produkt =
{{Episodenlisteneintrag2
Als '''cantorsches Produkt''' bezeichnet man in der [[Analysis]] ein [[unendliches Produkt]], dessen Glieder aus [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] der Form <math>1 + \tfrac{1}{q}</math> bestehen, wobei die darin auftretenden [[Bruchrechnung|Nenner]] stets [[Natürliche Zahl|natürliche Zahlen]] sind und zudem immer so beschaffen, dass der Nenner <math>q_{n+1}</math> des <math>n+1</math>-ten Gliedes <math>(n \in \N)</math> stets mindestens so groß ist wie das [[Quadratische Funktion|Quadrat]] des zum vorangehenden <math>n</math>-ten Glied gehörigen Nenners <math>q_n</math> <ref name="Perron">{{Literatur |Autor=[[Oskar Perron]] |Titel=Irrationalzahlen |Reihe=Göschens Lehrbücherei: Gruppe 1, Reine und angewandte Mathematik |BandReihe=1 |Auflage=4. durchgesehene und ergänzte |Verlag=Walter de Gruyter Verlag |Ort=Berlin |Datum=1960 |Seiten=128 ff. |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Perron%2C%20Oskar&s5=Irrationalzahlen&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=115985 MR0115985]}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=Lexikon der Mathematik in sechs Bänden |Band=1 |Datum= |Seiten=278}}</ref>
| NR_GES = 256

| NR_ST = 1
Die cantorschen Produkte wurden von [[Georg Cantor]] in einer Arbeit aus dem Jahre 1869 eingeführt. Wie Cantor darin zeigte, lässt sich jede beliebige [[reelle Zahl]] <math>{\alpha}_0 > 1</math> in Form eines cantorschen Produkts darstellen. Grundlegend für Cantors Darlegungen ist dabei die auf [[Leonhard Euler]] zurückgehende ''eulersche Produktgleichung''
| OT = The Conjugal Configuration
: <math>\frac{1}{1-x} = \prod_{n=0}^{\infty} {(1 + x^{2^n})}</math>,
| DT = Der unzufällige Zufallssex

| ZF =
welche für alle reellen (und darüber hinaus sogar für alle [[Komplexe Zahl|komplexen]]) Zahlen <math>x</math> des [[Betragsfunktion|Betrags]] <math>|x| < 1</math> Gültigkeit hat.<ref name="Cantor">{{Literatur |Autor=Cantor |Titel=Gesammelte Abhandlungen... |Datum= |Seiten=43 ff}}</ref>
| EA = 24. Sep. 2018

| EAD = 1. Jan. 2019
== Cantors Satz ==
| REG = [[Mark Cendrowski]]
Cantors [[Lehrsatz|Satz]] über die cantorschen Produkte lässt sich zusammengefasst wie folgt darstellen:
| DRB = Steve Holland & Maria Ferrari & Jeremy Howe<br />Idee: [[Chuck Lorre]] & Eric Kaplan & Tara Hernandez
: Sei <math>{\alpha}_0 > 1</math> eine reelle Zahl. Dann gilt:<ref name="Cantor" /><ref name="Perron" />
| Feld1 = 12,92 Mio.
:: (I) Zu <math>{\alpha}_0</math> lässt sich eine und nur eine [[Zahlenfolge]] <math>(q_n)_{n \in \N_0}</math> natürlicher Zahlen so bestimmen, dass <math>{\alpha}_0</math> eine Produktdarstellung der Form
}}
::: <math>{\alpha}_0 = \prod_{n=0}^{\infty} \left(1 + \tfrac{1}{q_n}\right)</math>
{{Episodenlisteneintrag2
:: hat, wobei in dieser Zahlenfolge für jeden [[Indexmenge (Mathematik)|Index]] <math>n</math> die [[Ungleichung]] <math>q_{n+1} \geq {q_n}^2</math> erfüllt ist und zudem nur [[endlich viele]] Folgenelemente <math>q_n = 1</math> sind.
| NR_GES = 257

| NR_ST = 2
:: (II) Jedes cantorsche Produkt, also jedes unendliche Produkt der in (I) beschriebenen Form, ist [[Grenzwert (Folge)#Konvergenzkriterien|konvergent]].
| OT = The Wedding Gift Wormhole

| DT = Das Dankeskarten-Mysterium
:: (III) <math>{\alpha}_0</math> ist genau dann eine [[rationale Zahl]], wenn in der cantorschen Produktdarstellung gemäß (I) ab einem Index <math>N</math> für alle nachfolgenden Indizes <math>n \geq N </math> stets die [[Identitätsgleichung|Identität]] <math>q_{n+1} = {q_n}^2</math> besteht.
| ZF =

| EA = 27. Sep. 2018
== Algorithmus zur Bestimmung der cantorschen Produktdarstellung ==
| EAD = —<!-- 8. Jan. 2019 -->
Die Zahlenfolge <math>(q_n)_{n \in \N_0}</math> lässt sich ausgehend von <math>{\alpha}_0 > 1</math> wie folgt [[Definition#Rekursive Definition|induktiv festlegen]]:<ref name="Perron" />
| REG = Mark Cendrowski

| DRB = Dave Goetsch & Eric Kaplan & Andy Gordon<br />Idee: Steve Holland & Steven Molaro & Maria Ferrari
:: <math>q_0 = \left\lfloor \frac{{\alpha}_0}{{\alpha}_0 - 1} \right\rfloor </math> <ref><math>x\mapsto \lfloor x \rfloor </math> ist die [[Gaußklammer]]funktion.</ref> und <math>{\alpha}_n = \frac{{\alpha}_{n-1}}{1 + \frac{1}{q_{n-1}}} \;\; \; q_n = \left\lfloor \frac{{\alpha}_n}{{\alpha}_n - 1} \right\rfloor </math> für <math>n \in \N</math>
| Feld1 = 12,04 Mio.

}}
== Beispiele ==
{{Episodenlisteneintrag2
* Formel von [[Friedrich Engel (Mathematiker)|Engel]]:<ref name="Perron" />
| NR_GES = 258
: Für <math>q \in \N</math> gilt stets
| NR_ST = 3
: <math>\sqrt {\frac{q+1}{q-1}} = \prod_{n=0}^{\infty} {(1 + \frac{1}{q_n})}</math>
| OT = The Procreation Calculation
: mit <math>q_0 = q \in \N</math> und <math>q_{n+1} = 2 \cdot {{q_n}^2} -1 </math> <math>(n =0,1,2,3 \ldots) </math>.
| DT = Der indische Heirats-Fragebogen
:
| ZF =
: Insbesondere gilt für <math>q = 3 </math>:
| EA = 4. Okt. 2018
: <math>\sqrt {2} = {(1 + \frac{1}{3})} \cdot {(1 + \frac{1}{17})} \cdot {(1 + \frac{1}{577})} \cdot {(1 + \frac{1}{665857})} \cdot \cdots</math> <ref>Diese Produktdarstellung von <math>\sqrt {2} </math> taucht auch in der Arbeit von Cantor auf. Dabei unterlief Cantor ein Rechenfehler und anstelle des korrekten Wertes <math>q_3 = 665857 = 2* 577^2 - 1 </math> fälschlich <math>q_3 = 667967</math> angegeben. Perron nennt in den ''Irrationalzahlen'' hierfür den korrekten Wert.</ref>
| EAD = —<!-- 15. Jan. 2019 -->

| REG = Mark Cendrowski
* Weitere Beispiele von Cantor:<ref name="Cantor" />
| DRB = Steve Holland & Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo<br />Idee: Chuck Lorre & Tara Hernandez & Adam Faberman
: <math>\sqrt {3} = {(1 + \frac{1}{2})} \cdot {(1 + \frac{1}{7})} \cdot {(1 + \frac{1}{97})} \cdot {(1 + \frac{1}{18817})} \cdot \cdots</math><ref>Auch bei <math>\sqrt {3} </math> war Cantor ein Rechenfehler unterlaufen, denn er nannte anstelle des korrekten Wertes <math>q_3 = 18817</math> fälschlich <math>q_3 = 17617</math> .</ref>
| Feld1 = 12,29 Mio.
: <math>\sqrt {5} = {(1 + \frac{1}{1})} \cdot {(1 + \frac{1}{9})} \cdot {(1 + \frac{1}{161})} \cdot {(1 + \frac{1}{51841})} \cdot \cdots</math>
}}
: <math>\sqrt {15} = {(1 + \frac{1}{1})} \cdot {(1 + \frac{1}{2})} \cdot {(1 + \frac{1}{4})} \cdot {(1 + \frac{1}{31})} \cdot {(1 + \frac{1}{1921})} \cdot \cdots</math>
{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 259
== Anmerkung ==
| NR_ST = 4
* Im ersten Band des ''Lexikons der Mathematik'' werden auch endliche Produkte, welche ansonsten die beiden oben genannten Nebenbedingungen erfüllen, als cantorsche Produkte behandelt. Zudem wird für alle <math>n</math> <math>q_n \geq 2</math> gefordert.
| OT = The Tam Turbulence
* Perron erwähnt zu den cantorschen Produkten in den ''Irrationalzahlen'', dass diese sehr rasch konvergieren.<ref name="Perron" /> Aus ihnen kann man daher mit nur wenigen Rechenschritten sehr gute ''Näherungsbrüche'' für alle reellen Zahlen > 1 gewinnen.
| DT = Die Tam-Turbulenzen
* Auf Euler gehen zwei weitere bemerkenswerte ''eulersche Produktdarstellungen'' zurück, nämlich die folgenden beiden, die in der modernen [[Funktionentheorie]] auf dem Wege über [[Thetafunktion]]en hergeleitet werden:<ref>{{Literatur |Autor=Hurwitz-Courant |Titel=Funktionentheorie ( § 11) |Datum= |Seiten=207}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Borwein-Borwein |Titel=Pi ...( Ch. 3.1) |Datum= |Seiten=64–65}}</ref>
| ZF =
: Für jede [[komplexe Zahl]] <math> z </math> des [[Komplexe Zahl#Betrag|Betrages]] <math> |z| < 1</math> gilt:
| EA = 11. Okt. 2018
: <math> \prod_{n=1}^{\infty} {(1 - z^n)} = \sum_{n={ - \infty}}^{ + \infty} {(-1)^n \cdot z^{\frac{3 n^2 + n}{2} } } </math><ref>Laut Borwein-Borwein ist dies der eulersche [[Pentagonalzahl]]satz.</ref>
| EAD = —<!-- 22. Jan. 2019 -->
: sowie
| REG = Mark Cendrowski
: <math> \prod_{n=1}^{\infty} {(1 - z^n)^3} = \sum_{n={1}}^{ \infty} {(-1)^{n-1} \cdot (2n-1) \cdot z^{\frac{n^2 - n}{2} } } </math> .
| DRB = Dave Goetsch & Eric Kaplan & Jeremy Howe<br />Idee: Steve Holland & Steven Molaro & Maria Ferrari

| Feld1 = 12,94 Mio.
== Literatur ==
}}
* {{Literatur
{{Episodenlisteneintrag2
|Autor=[[Jonathan M. Borwein]], [[Peter Borwein|Peter B. Borwein]]
| NR_GES = 260
|Titel=Pi and the AGM
| NR_ST = 5
|TitelErg=A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity
| OT = The Planetarium Collision
|Reihe=Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts
| DT = Die Planetariums-Bromanze
|BandReihe=4
| ZF =
|Verlag=John Wiley & Sons
| EA = 18. Okt. 2018
|Ort=New York
| EAD = —<!-- 29. Jan. 2019 -->
|Datum=1987
| REG = Mark Cendrowski
|ISBN=0-471-83138-7}}
| DRB = Steve Holland & Maria Ferrari & Tara Hernandez<br />Idee: Eric Kaplan & Andy Gordon & Alex Ayers
* {{Literatur
| Feld1 = 12,22 Mio.
|Autor=Georg Cantor
}}
|Titel=Zwei Sätze über eine gewisse Zerlegung der Zahlen in unendliche Producte
{{Episodenlisteneintrag2
|Sammelwerk=[[Zeitschrift für Mathematik und Physik]]
| NR_GES = 261
|Band=14
| NR_ST = 6
|Datum=1869
| OT = The Imitation Perturbation
|Seiten=152–158
| DT = Die Imitations-Irritation
|Online=[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN599415665_0014&DMDID=DMDLOG_0010&LOGID=LOG_0013&PHYSID=PHYS_0156 gdz.sub.uni-goettingen.de]}}
| ZF =
* {{Literatur
| EA = 25. Okt. 2018
|Autor=Georg Cantor
| EAD = —<!-- 5. Feb. 2019 -->
|Titel=Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts
| REG = Mark Cendrowski
|TitelErg=Nachdruck der Ausgabe Berlin 1932
| DRB = Eric Kaplan & Jeremy Howe & Adam Faberman<br />Idee: Steve Holland & Maria Ferrari & Tara Hernandez
|Verlag=Springer Verlag
| Feld1 = 12,99 Mio.
|Ort=Berlin / New York
}}
|Datum=1980
{{Episodenlisteneintrag2
|ISBN=3-540-09849-6
| NR_GES = 262
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Cantor%2C%20Georg&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=616083 MR0616083]}}
| NR_ST = 7
* {{Literatur
| OT = The Grant Allocation Derivation
|Autor=[[Oskar Perron]]
| DT = —
|Titel=Irrationalzahlen
| ZF =
|Reihe=Göschens Lehrbücherei: Gruppe 1, Reine und angewandte Mathematik
| EA = 1. Nov. 2018
|BandReihe=1
| EAD = —<!-- 12. Feb. 2019 -->
|Auflage=4. durchgesehene und ergänzte
| REG = Mark Cendrowski
|Verlag=Walter de Gruyter Verlag
| DRB = Steve Holland & Dave Goetsch & Maria Ferrari<br />Idee: Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo & Alex Yonks
|Ort=Berlin
| Feld1 = 12,64 Mio.
|Datum=1960
}}
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Perron%2C%20Oskar&s5=Irrationalzahlen&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=115985 MR0115985]}}
{{Episodenlisteneintrag2
* {{Literatur
| NR_GES = 263
|Autor=[[Adolf Hurwitz]]
| NR_ST = 8
|Titel=Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktion
| OT = The Consummation Deviation
|TitelErg=Herausgegeben und ergänzt durch einen Abschnitt über Geometrische Funktionentheorie von [[Richard Courant|R. Courant]]. Mit einem Anhang von [[Helmut Röhrl|H. Röhrl]]
| DT = —
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
| ZF =
|BandReihe=3
| EA = 8. Nov. 2018
|Auflage=4., vermehrte und verbesserte
| EAD = —
|Verlag=Springer Verlag
| REG = Mark Cendrowski
|Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
| DRB = Eric Kaplan & Andy Gordon & Adam Faberman<br />Idee: Chuck Lorre & Steve Holland & Maria Ferrari
|Datum=1964}}
| Feld1 = 12,85 Mio.
* {{Literatur
}}
|Autor=Guido Walz [Red.]
{{Episodenlisteneintrag2
|Titel=Lexikon der Mathematik in sechs Bänden
| NR_GES = 264
|Band=1
| NR_ST = 9
|Verlag=Spektrum Akademischer Verlag
| OT = The Citation Negation
|Ort=Heidelberg / Berlin
| DT = —
|Datum=2002
| ZF =
|ISBN=3-8274-0303-0}}
| EA = 15. Nov. 2018

| EAD = —
== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
| REG = Kristy Cecil
rreferences />
| DRB = Steve Holland & Dave Goetsch & Maria Ferrari<br />Idee: Eric Kaplan & Tara Hernandez & Jeremy Howe

| Feld1 = 12,56 Mio.
KKKategorie:Analysis]]
}}

{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 265

| NR_ST = 10
= Satz von Olivier =
| OT = The VCR Illumination
Der '''Satz von Olivier''' ist ein [[Mathematik|mathematischer]] [[Lehrsatz]] der [[Analysis]], welcher auf eine Arbeit des Mathematikers [[Louis Olivier]] im zweiten Band des [[Journal für die reine und angewandte Mathematik|crelleschen Journals]] aus dem Jahre 1827 zurückgeht. Der Satz gibt eine [[notwendige Bedingung]] für die [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] von [[Reihe (Mathematik)|Reihen]], deren Glieder eine [[monoton fallende Folge|monoton fallend]]e [[Folge (Mathematik)|Folge]] [[Positive Zahl|positiver]] [[Reelle Zahl|reeller Zahlen]] bilden, und liefert dabei eine Verschärfung des bekannten [[Nullfolgenkriterium]]s. Als direkte Anwendung des Satzes ergibt sich unter anderem die [[Grenzwert (Folge)#Bestimmte Divergenz|Divergenz]] der [[Harmonische Reihe|harmonischen Reihe]].<ref>{{Literatur|Autor=Knopp|Seiten=125–126}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Meschkowski|Seiten=28–29}}</ref>
| DT = —

| ZF =
== Formulierung ==
| EA = 6. Dez. 2018
Der Satz von Olivier lässt sich wie folgt formulieren:
| EAD = —
: ''Sei <math>(a_n)_{n\in \N}</math> eine [[monoton fallende Folge]] nichtnegativer [[Reelle Zahl|reeller Zahlen]] und die zugehörige [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] <math>a_1 + a_2 + \ldots</math> sei [[Reihe (Mathematik)#Absolute und unbedingte Konvergenz|konvergent]], also''
| REG = Mark Cendrowski
:: <math> \sum_{n=1}^\infty { a_n } < \infty </math>.
| DRB = Maria Ferrari, Andy Gordon & Jeremy Howe<br />Idee: Steve Holland, Steven Molaro & Bill Prady
: ''Dann gilt''
| Feld1 = 12,52 Mio.
:: <math>\lim_{n \to \infty} {n \cdot a_n} = 0</math>,
}}
: ''das heißt, die Zahlenfolge <math>(n \cdot a_n)_{n\in \N}</math> ist eine [[Nullfolge]].''<ref>Collected Mathematical Papers, Vol. 5 XIII Complex Function Theory von A. Ostrowski, Birkhäuser-Verlag 1984, ISBN 3-7643-1510-5, Auf Seite 163 wird diese Aussage als Satz von Olivier bezeichnet</ref>
{{Episodenlisteneintrag2

| NR_GES = 266
== Beweis nach Konrad Knopp ==
| NR_ST = 11
Der Ansatz zum Beweis des Satzes von Olivier ergibt sich aus dem [[Cauchy-Kriterium#Cauchy-Kriterium für Reihen|Cauchy-Kriterium für Reihen]].
| OT = The Paintball Scattering

| DT = —
Ist nämlich ein beliebiges <math> \varepsilon > 0 </math> vorgegeben, so setzt man zunächst <math>{\varepsilon}_0 = \frac{\varepsilon}{2} </math> und findet dazu eine [[Beschränktheit#Analysis|untere Schranke]] <math>N=N({\varepsilon}_0) </math> , so dass für beliebige <math>n \; , \; p \in \N</math> mit <math>n \; , \; p \geq N </math> stets die [[Ungleichung]]
| ZF =
:<math>a_{p+1} + a_{p+2} + \ldots + a_{p+n} < {\varepsilon}_0</math>
| EA = 3. Jan. 2019

| EAD = —
gilt.
| REG = Mark Cendrowski

| DRB = Steve Holland, Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo<br />Idee: Maria Ferrari, Tara Hernandez & Adam Faberman
Damit ist wegen der vorausgesetzten Monotonieeigenschaft der Zahlenfolge zunächst
| Feld1 = 12,55 Mio.
:<math>n \cdot a_{p+n} < {\varepsilon}_0</math>
}}

{{Episodenlisteneintrag2
und folglich
| NR_GES = 267
:<math>2n \cdot a_{p+n} < \varepsilon</math>
| NR_ST = 12

| OT = The Propagation Proposition
gegeben.
| DT = —

| ZF =
Das aber bedeutet insbesondere, dass man für <math>n \in \N</math> mit <math>n \geq N </math> stets
| EA = —<!--10. Jan. 2019-->
:<math>2n \cdot a_{N+n} < \varepsilon</math>
| EAD = —

| REG = Mark Cendrowski
und damit
| DRB = Maria Ferrari & Dave Goetsch & Eric Kaplan<br />Idee: Chuck Lorre & Steve Holland & Jeremy Howe
:<math>(N+n)\cdot a_{N+n} < \varepsilon</math>
| Feld1 = —

hat.

Als untere Schranke zu <math> \varepsilon </math> wählt man nun <math> N(\varepsilon) = 2N</math> &nbsp; .

Damit ergibt sich nämlich für alle <math>n \in \N</math> mit <math>n \geq 2N </math> wegen <math>n-N \geq N </math> und <math>n = N + (n-N) </math> die Ungleichung
:<math>n\cdot a_n = (N+(n-N)) \cdot a_{N+(n-N)} < \varepsilon</math> &nbsp; .

Folglich ist <math>(n \cdot a_n)_{n\in \N}</math> eine Nullfolge.

== Anmerkung ==
* Für
:: <math>a_n = \frac{1}{n} \; \; (n \in \N)</math>
: hat man
:: <math>\lim_{n \to \infty} {n \cdot a_n} = 1</math> &nbsp; ,
: was mit dem Satz von Olivier die ''Divergenz der harmonischen Reihe'' impliziert.
* Anhand der ''abelschen Reihe'', welche
:: <math>a_n = \frac{1}{n \cdot \ln (n)} \; \; (n \in \N \; , \; n \geq 2)</math>
: als allgemeines Glied hat<ref>bei formaler Setzung von <math>a_1 = 0</math></ref> , sieht man, dass der Satz von Olivier lediglich eine notwendige, jedoch keine [[hinreichende Bedingung]] formuliert. Denn der ''abelschen Reihe'' liegt zwar eine monoton fallende Gliederfolge zugrunde und dabei ist
:: <math>\lim_{n \to \infty} {n \cdot a_n} = \lim_{n \to \infty} { \frac{1}{ \ln (n)} } = 0</math> &nbsp; ,
: aber dennoch folgt mit dem [[Cauchysches Verdichtungskriterium|Verdichtungskriterium von Cauchy]]
:: <math>\sum_{n=2}^\infty { \frac {1} {n \cdot \ln (n)}} = \infty</math> &nbsp; .<ref>{{Literatur|Autor=Knopp|Seiten=121, 124}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Meschkowski|Seiten=26–27}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Konrad Knopp]]
|Titel=Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
|Reihe=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
|BandReihe=2
|Auflage=5., berichtigte
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York
|Datum=1964
|ISBN=3-540-03138-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Knopp&s5=Reihen&s6=Theorie&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=183997 MR0183997]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Herbert Meschkowski]]
|Titel=Unendliche Reihen
|Auflage=2., verbesserte und erweiterte
|Verlag=BI Wissenschaftsverlag
|Ort=Mannheim u.&nbsp;a.
|Datum=1982
|ISBN=3-411-01613-2
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Meschkowski%2C%20Herbert%20&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=671586 MR0671586]}}
* {{Literatur
|Autor=Louis Olivier
|Titel=Remarques sur les séries infinies et leur convergence
|Sammelwerk=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
|Band=2
|Datum=1827
|Seiten=31–44
|Online=[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0002&DMDID=DMDLOG_0008 uni-goettingen.de]}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
Kreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Folgen und Reihen]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Olivier, Satz von]]

= Zum Vollständigkeitsaxiom bzw. zum Supremumsaxiom bzw. zum Intervallschachtelungsaxiom gleichwertige Axiome (wurde mal unter [[Reelle Zahl]] gelöscht) =
Anstelle der drei genannten Axiome kann man auch verschiedene andere Axiome setzen <ref>Nach: {{Literatur|Titel=Der kleine Duden "Mathematik" |Seiten=449}}</ref> und {{Literatur
|Autor=Olmsted |Seiten=194-195}}</ref>:

* das ''Intervallschachtelungsaxiom (zweite Version)'':
*: Jede Intervallschachtelung in <math>\R</math> besitzt einen Kern.

* das ''Infimumsaxiom'':
*: Jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge von <math>\R</math> besitzt ein Infimum.

* das ''Heine-Borel-Axiom'':
*: Wird ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall von <math>\R</math> durch beliebige viele offene Mengen von <math>\R</math> überdeckt, so gibt es unter diesen offenen Mengen stets endlich viele, welche das Intervall überdecken.

* das ''Bolzano-Weierstraß-Axiom'':
*: Jede unendliche, beschränkte Teilmenge von <math>\R</math> besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

* das ''Monotonieaxiom'':
*: Jede monotone, beschränkte Folge in <math>\R</math> konvergiert.

* das ''Zusammenhangsaxiom'':
*: Die reellen Zahlen bilden in der üblichen Topologie einen zusammenhängenden topologischen Raum.

* das ''Zwischenwertaxiom'':
*: Eine auf einem Intervall von <math>\R</math> definierte stetige reelle Funktion nimmt in ihrem Wertebereich stets jeden Zwischenwert an.

* das ''Beschränktheitsaxiom'':
*: Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von <math>\R</math> definierte stetige reelle Funktion hat stets einen nach oben beschränkten Wertebereich.

* das ''Maximumsaxiom'':
*: Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von <math>\R</math> definierte stetige reelle Funktion besitzt stets eine Maximumsstelle.

Durch die so gewonnenen äquivalenten Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen jeweils (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt, denn je zwei vollständige angeordnete Körper sind isomorph <ref>{{Literatur| Autor= Olmstedt| Seiten=129}} </ref>.

= Quellen =
* {{Literatur
|Autor=John M. H. Olmsted
|Titel=The Real Number System
|Verlag=Appleton-Century-Crofts
|Ort=New York
|Jahr=1962
|ISBN=
}}
}}
* {{Literatur
|Autor=
|Titel=Der kleine Duden "Mathematik"
|Auflage=2.
|Verlag=Dudenverlag
|Ort=Mannheim [u.&nbsp;a.]
|Jahr=1996
|ISBN=3-411-05352-6
}}
}}


== Weblinks ==
* {{IMDb|tt0898266|typ=episodenliste}}
* {{TheFutonCritic|big-bang-theory}}
* {{Fernsehserien.de|the-big-bang-theory}}


== Einzelnachweise und Fußnoten ==
== Einzelnachweise ==
K references />
<references responsive />

KK Kategorie:Geometrie]]
KK Kategorie:Satz (Mathematik)|Außenwinkelsatz]]




{{Navigationsleiste The-Big-Bang-Theory-Staffeln}}


[[Kategorie:Episodenliste|Big Bang Theory #The]]
[[Kategorie:The Big Bang Theory|Episodenliste]]


[[it:Big Bang Theory#Episodi]]
= Einzelnachweise und Fußnoten =
<references />

Version vom 7. Januar 2019, 21:27 Uhr

Logo zur Serie

Diese Episodenliste enthält alle Episoden der US-amerikanischen Sitcom The Big Bang Theory, sortiert nach der US-amerikanischen Erstausstrahlung. Die Fernsehserie umfasst derzeit zwölf Staffeln mit 266 Episoden. Mark Cendrowski ist der Hauptregisseur der Serie und hat mehr als 190 Folgen inszeniert.

Übersicht

Staffel Episodenanzahl Erstausstrahlung USA Deutschsprachige Erstausstrahlung
Staffelpremiere Staffelfinale Staffelpremiere Staffelfinale
1 17 24. September 2007 19. Mai 2008 11. Juli 2009 26. September 2009
2 23 22. September 2008 11. Mai 2009 10. Oktober 2009 19. Dezember 2009
3 23 21. September 2009 24. Mai 2010 7. Februar 2011 22. Februar 2011
4 24 23. September 2010 19. Mai 2011 6. September 2011 26. November 2011
5 24 22. September 2011 10. Mai 2012 13. März 2012 13. November 2012
6 24 27. September 2012 16. Mai 2013 28. Januar 2013 25. November 2013
7 24 26. September 2013 15. Mai 2014 6. Januar 2014 17. November 2014
8 24 22. September 2014 7. Mai 2015 5. Januar 2015 30. November 2015
9 24 21. September 2015 12. Mai 2016 4. Januar 2016 21. November 2016
10 24 19. September 2016 11. Mai 2017 2. Januar 2017 30. Oktober 2017
11 24 25. September 2017 10. Mai 2018 8. Januar 2018 6. November 2018
12 24 24. September 2018 1. Januar 2019

Staffel 1

Die Erstausstrahlung der ersten Staffel war vom 24. September 2007 bis zum 19. Mai 2008 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender CBS zu sehen. Die deutschsprachige Erstausstrahlung sendete der deutsche Free-TV-Sender ProSieben vom 11. Juli bis zum 26. September 2009.

Nr.
(ges.) 		Nr.
(St.) 		Deutscher Titel Original­titel Erstaus­strahlung USA Deutsch­sprachige Erstaus­strahlung (D) Regie Drehbuch
1 1 Penny und die Physiker Pilot 24. Sep. 2007 11. Juli 2009 James Burrows Chuck Lorre & Bill Prady
2 2 Chaos-Theorie The Big Bran Hypothesis 1. Okt. 2007 18. Juli 2009 Mark Cendrowski Robert Cohen & Dave Goetsch
Idee: Chuck Lorre & Bill Prady
3 3 Erregungsfaktor: Null The Fuzzy Boots Corollary 8. Okt. 2007 25. Juli 2009 Mark Cendrowski Bill Prady & Steven Molaro
Idee: Chuck Lorre
4 4 Die Leuchtfisch-Idee The Luminous Fish Effect 15. Okt. 2007 1. Aug. 2009 Mark Cendrowski David Litt & Lee Aronsohn
Idee: Chuck Lorre & Bill Prady
5 5 Die andere Seite der Krawatte The Hamburger Postulate 22. Okt. 2007 8. Aug. 2009 Andrew D. Weyman Dave Goetsch & Steven Molaro
Idee: Jennifer Glickman
6 6 Das Mittelerde-Paradigma The Middle Earth Paradigm 29. Okt. 2007 15. Aug. 2009 Mark Cendrowski David Litt & Robert Cohen
Idee: Dave Goetsch
7 7 Das Vorspeisen-Dilemma The Dumpling Paradox 5. Nov. 2007 22. Aug. 2009 Mark Cendrowski Lee Aronsohn & Jennifer Glickman
Idee: Chuck Lorre & Bill Prady
8 8 Das Lalita-Problem The Grasshopper Experiment 12. Nov. 2007 29. Aug. 2009 Ted Wass Lee Aronsohn & Robert Cohen
Idee: Dave Goetsch & Steven Molaro
9 9 Der Cooper-Hofstadter-Antagonismus The Cooper-Hofstadter Polarization 17. März 2008 29. Aug. 2009 Joel Murray Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Dave Goetsch
Idee: Bill Prady & Stephen Engel
10 10 Loobenfelds Netz der Lügen The Loobenfeld Decay 24. März 2008 5. Sep. 2009 Mark Cendrowski Bill Prady & Lee Aronsohn
Idee: Chuck Lorre
11 11 Alles fließt The Pancake Batter Anomaly 31. März 2008 5. Sep. 2009 Mark Cendrowski Bill Prady & Stephen Engel
Idee: Chuck Lorre & Lee Aronsohn
12 12 Das Jerusalem-Projekt The Jerusalem Duality 14. Apr. 2008 12. Sep. 2009 Mark Cendrowski Dave Goetsch & Steven Molaro
Idee: Jennifer Glickman & Stephen Engel
13 13 Superbowl für Physiker The Bat Jar Conjecture 21. Apr. 2008 12. Sep. 2009 Mark Cendrowski Bill Prady & Robert Cohen
Idee: Stephen Engel & Jennifer Glickman
14 14 Die Zeitmaschine The Nerdvana Annihilation 28. Apr. 2008 19. Sep. 2009 Mark Cendrowski Stephen Engel & Steven Molaro
Idee: Bill Prady
15 15 Sheldon 2.0 The Pork Chop Indeterminacy 5. Mai 2008 19. Sep. 2009 Mark Cendrowski Lee Aronsohn & Bill Prady
Idee: Chuck Lorre
16 16 Die Erdnuss-Reaktion The Peanut Reaction 12. Mai 2008 26. Sep. 2009 Mark Cendrowski Dave Goetsch & Steven Molaro
Idee: Bill Prady & Lee Aronsohn
17 17 Schrödingers Katze The Tangerine Factor 19. Mai 2008 26. Sep. 2009 Mark Cendrowski Lee Aronsohn & Steven Molaro
Idee: Chuck Lorre & Bill Prady

Staffel 2

Die Erstausstrahlung der zweiten Staffel war vom 22. September 2008 bis zum 11. Mai 2009 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender CBS zu sehen. Die deutschsprachige Erstausstrahlung sendete der deutsche Free-TV-Sender ProSieben vom 10. Oktober bis zum 19. Dezember 2009.

Nr.
(ges.) 		Nr.
(St.) 		Deutscher Titel Original­titel Erstaus­strahlung USA Deutsch­sprachige Erstaus­strahlung (D) Regie Drehbuch
18 1 Milch mit Valium The Bad Fish Paradigm 22. Sep. 2008 10. Okt. 2009 Mark Cendrowski Steven Molaro & David Goetsch
Idee: Bill Prady
19 2 Sex mit der Erzfeindin The Codpiece Topology 29. Sep. 2008 10. Okt. 2009 Mark Cendrowski Bill Prady & Lee Aronsohn
Idee: Chuck Lorre
20 3 Das Conan-Spiel The Barbarian Sublimation 6. Okt. 2008 17. Okt. 2009 Mark Cendrowski Steven Molaro & Eric Kaplan
Idee: Nicole Lorre
21 4 Planet Bollywood The Griffin Equivalency 13. Okt. 2008 17. Okt. 2009 Mark Cendrowski Stephen Engel & Tim Doyle
Idee: Chuck Lorre & Bill Prady
22 5 Homo Novus Automobilis The Euclid Alternative 20. Okt. 2008 24. Okt. 2009 Mark Cendrowski Steven Molaro & Bill Prady
Idee: Lee Aronsohn & David Goetsch
23 6 Das Cooper-Nowitzki-Theorem The Cooper-Nowitzki Theorem 3. Nov. 2008 24. Okt. 2009 Mark Cendrowski Tim Doyle & Richard Rosenstock
Idee: Stephen Engel & Daley Haggar
24 7 Dessous auf der Oberleitung The Panty Pinata Polarization 10. Nov. 2008 31. Okt. 2009 Mark Cendrowski Jennifer Glickman & Steven Molaro
Idee: Bill Prady & Tim Doyle
25 8 Stein, Schere, Spock The Lizard-Spock Expansion 17. Nov. 2008 31. Okt. 2009 Mark Cendrowski Jennifer Glickman & David Goetsch
Idee: Bill Prady
26 9 Unflotter Dreier The White Asparagus Triangulation 24. Nov. 2008 7. Nov. 2009 Mark Cendrowski Stephen Engel & Richard Rosenstock
Idee: David Goetsch & Steven Molaro
27 10 Kleines Gesäß mit Honig The Vartabedian Conundrum 8. Dez. 2008 7. Nov. 2009 Mark Cendrowski Richard Rosenstock & Bill Prady
Idee: Steven Molaro & Chuck Lorre
28 11 Die Geschenk-Hypothese The Bath Item Gift Hypothesis 15. Dez. 2008 14. Nov. 2009 Mark Cendrowski Eric Kaplan & Stephen Engel
Idee: Richard Rosenstock & Bill Prady
29 12 Monte, der Roboter The Killer Robot Instability 12. Jan. 2009 14. Nov. 2009 Mark Cendrowski Daley Haggar & Steven Molaro
Idee: Richard Rosenstock & Bill Prady
30 13 Der Freundschafts-Algorithmus The Friendship Algorithm 19. Jan. 2009 21. Nov. 2009 Mark Cendrowski Chuck Lorre & Steven Molaro
Idee: Bill Prady & Richard Rosenstock
31 14 In der Kreditklemme The Financial Permeability 2. Feb. 2009 21. Nov. 2009 Mark Cendrowski Richard Rosenstock & Eric Kaplan
Idee: Chuck Lorre & Steven Molaro
32 15 Die Streichelmaschine The Maternal Capacitance 9. Feb. 2009 28. Nov. 2009 Mark Cendrowski Richard Rosenstock & Steven Molaro
Idee: Chuck Lorre & Bill Prady
33 16 Die Kissen-Katastrophe The Cushion Saturation 2. März 2009 28. Nov. 2009 Mark Cendrowski Bill Prady & Lee Aronsohn
Idee: Chuck Lorre
34 17 Das Placebo-Bier The Terminator Decoupling 9. März 2009 5. Dez. 2009 Mark Cendrowski Tim Doyle & Stephen Engel
Idee: Bill Prady & Dave Goetsch
35 18 Business im Wohnzimmer The Work Song Nanocluster 16. März 2009 5. Dez. 2009 Mark Cendrowski Dave Goetsch & Richard Rosenstock
Idee: Bill Prady & Lee Aronsohn
36 19 Der Kampf der Bienenköniginnen The Dead Hooker Juxtaposition 30. März 2009 12. Dez. 2009 Peter Chakos Steven Molaro
37 20 Der Wolowitz-Koeffizient The Hofstadter Isotope 13. Apr. 2009 12. Dez. 2009 Mark Cendrowski David Goetsch
38 21 Die Las-Vegas-Kur The Vegas Renormalization 27. Apr. 2009 19. Dez. 2009 Mark Cendrowski Steven Molaro
Idee: Jessica Ambrosetti, Nicole Lorre & Andrew Roth
39 22 Die Weltraumtoilette The Classified Materials Turbulence 4. Mai 2009 19. Dez. 2009 Mark Cendrowski Bill Prady & Steven Molaro
Idee: Chuck Lorre & Lee Aronsohn
40 23 Drei Monate im Eis The Monopolar Expedition 11. Mai 2009 19. Dez. 2009 Mark Cendrowski Eric Kaplan & Richard Rosenstock

Staffel 3

Die Erstausstrahlung der dritten Staffel war vom 21. September 2009 bis zum 24. Mai 2010 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender CBS zu sehen. Die deutschsprachige Erstausstrahlung sendete der deutsche Free-TV-Sender ProSieben vom 7. bis zum 22. Februar 2011.

Nr.
(ges.) 		Nr.
(St.) 		Deutscher Titel Original­titel Erstaus­strahlung USA Deutsch­sprachige Erstaus­strahlung (D) Regie Drehbuch
41 1 Der Nordpol-Plan The Electric Can Opener Fluctuation 21. Sep. 2009 7. Feb. 2011 Mark Cendrowski Steven Molaro
42 2 Die Grillenwette The Jiminy Conjecture 28. Sep. 2009 7. Feb. 2011 Mark Cendrowski Jim Reynolds
43 3 Sex oder Pralinen The Gothowitz Deviation 5. Okt. 2009 8. Feb. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady & Maria Ferrari
Idee: Lee Aronsohn & Richard Rosenstock
44 4 Für ihn oder mit ihm The Pirate Solution 12. Okt. 2009 8. Feb. 2011 Mark Cendrowski Steve Holland
45 5 Der Mann, der seine Omi liebte The Creepy Candy Coating Corollary 19. Okt. 2009 9. Feb. 2011 Mark Cendrowski Chuck Lorre & Bill Prady
46 6 Football für Nerds The Cornhusker Vortex 2. Nov. 2009 9. Feb. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady & Maria Ferrari
47 7 Der Gitarrist auf der Couch The Guitarist Amplification 9. Nov. 2009 10. Feb. 2011 Mark Cendrowski Chuck Lorre & Lee Aronsohn
48 8 Das Suppentattoo The Adhesive Duck Deficiency 16. Nov. 2009 10. Feb. 2011 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & David Goetsch
49 9 Die Racheformel The Vengeance Formulation 23. Nov. 2009 11. Feb. 2011 Mark Cendrowski Richard Rosenstock, Jim Reynolds & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre & Maria Ferrari
50 10 Das Gorilla-Projekt The Gorilla Experiment 7. Dez. 2009 11. Feb. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Richard Rosenstock & Steve Holland
51 11 Mädels an der Bar The Maternal Congruence 14. Dez. 2009 14. Feb. 2011 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Bill Prady & David Goetsch
Idee: Steven Molaro, Richard Rosenstock & Maria Ferrari
52 12 Howards Phasen The Psychic Vortex 11. Jan. 2010 14. Feb. 2011 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds
Idee: Lee Aronsohn & Steven Molaro
53 13 Terror in der Stadt der Rosen The Bozeman Reaction 18. Jan. 2010 15. Feb. 2011 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Steven Molaro & Steve Holland
Idee: Bill Prady, Lee Aronsohn & Jim Reynolds
54 14 Fast wie Einstein The Einstein Approximation 1. Feb. 2010 15. Feb. 2011 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan
Idee: Lee Aronsohn, Dave Goetsch & Steve Holland
55 15 Freiflug nach Genf The Large Hadron Collision 8. Feb. 2010 16. Feb. 2011 Mark Cendrowski Lee Aronsohn, Richard Rosenstock & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Jim Reynolds
56 16 Sheldon pro se The Excelsior Acquisition 1. März 2010 16. Feb. 2011 Peter Chakos Bill Prady, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Steven Molaro
57 17 Die Herren des Rings The Precious Fragmentation 8. März 2010 17. Feb. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Richard Rosenstock
Idee: Lee Aronsohn, Eric Kaplan & Maria Ferrari
58 18 Die dunkle Seite des Mondes The Pants Alternative 22. März 2010 17. Feb. 2011 Mark Cendrowski Eric Kaplan, Richard Rosenstock & Jim Reynolds
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Steve Holland
59 19 Das L-Wort The Wheaton Recurrence 12. Apr. 2010 18. Feb. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, David Goetsch, Jim Reynolds & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro, Nichole Lorre & Jessica Ambrosetto
60 20 Spaghetti mit Würstchen The Spaghetti Catalyst 3. Mai 2010 18. Feb. 2011 Anthony Rich Chuck Lorre, Bill Prady, Lee Aronsohn & Steven Molaro
61 21 Vierer ohne Sheldon The Plimpton Stimulation 10. Mai 2010 21. Feb. 2011 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Lee Aronsohn
62 22 Die Wahrheit über den Fahrstuhl The Staircase Implementation 17. Mai 2010 21. Feb. 2011 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Dave Goetsch & Maria Ferrari
Idee: Lee Aronsohn, Steven Molaro & Steve Holland
63 23 Nie mehr dumme Typen The Lunar Excitation 24. Mai 2010 22. Feb. 2011 Peter Chakos Lee Aronsohn, Steven Molaro & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Maria Ferrari

Staffel 4

Die Erstausstrahlung der vierten Staffel war vom 23. September 2010 bis zum 19. Mai 2011 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender CBS zu sehen. Die deutschsprachige Erstausstrahlung der ersten zwölf sowie der fünfzehnten Episode wurde vom 6. September bis zum 25. Oktober 2011 in Doppelfolgen auf ProSieben ausgestrahlt. Die deutschsprachige Erstausstrahlung der restlichen Episoden war vom 22. Oktober bis zum 26. November 2011 auf dem Schweizer Free-TV-Sender 3+ zu sehen.

Nr.
(ges.) 		Nr.
(St.) 		Deutscher Titel Original­titel Erstaus­strahlung USA Deutsch­sprachige Erstaus­strahlung (D/CH) Regie Drehbuch Quoten
(Deutschland)
64 1 31 Liebhaber, aufgerundet The Robotic Manipulation 23. Sep. 2010 6. Sep. 2011 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Dave Goetsch		 1,54 Mio.[1]
65 2 Der sicherste Ort der Welt The Cruciferous Vegetable Amplification 30. Sep. 2010 6. Sep. 2011 Mark Cendrowski Steven Molaro, Chuck Lorre & Jim Reynolds
Idee: Bill Prady, Lee Aronsohn & Steve Holland		 1,40 Mio.[1]
66 3 Paradoxe Psychologie The Zazzy Substitution 7. Okt. 2010 13. Sep. 2011 Mark Cendrowski Lee Aronsohn, Steven Molaro & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Jim Reynolds		 1,51 Mio.[2]
67 4 Und jetzt mit Zunge The Hot Troll Deviation 14. Okt. 2010 13. Sep. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, Lee Aronsohn & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Adam Faberman		 1,46 Mio.[2]
68 5 Der Gestank der Verzweiflung The Desperation Emanation 21. Okt. 2010 20. Sep. 2011 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Steven Molaro & Steve Holland
Idee: Bill Prady, Lee Aronsohn & Dave Goetsch		 1,89 Mio.[3]
69 6 Finger weg von meiner Schwester The Irish Pub Formulation 28. Okt. 2010 20. Sep. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, Eric Kaplan & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Steven Molaro		 1,67 Mio.[3]
70 7 Besuch vom FBI The Apology Insufficiency 4. Nov. 2010 27. Sep. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Maria Ferrari		 1,56 Mio.[4]
71 8 21 Sekunden The 21 Second Excitation 11. Nov. 2010 27. Sep. 2011 Mark Cendrowski Lee Aronsohn, Steven Molaro & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Jim Reynolds		 1,47 Mio.[4]
72 9 Der falsche richtige Freund The Boyfriend Complexity 18. Nov. 2010 4. Okt. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & David Goetsch
Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Jim Reynolds		 1,77 Mio.[5]
73 10 Die animalische Amy The Alien Parasite Hypothesis 9. Dez. 2010 4. Okt. 2011 Mark Cendrowski Lee Aronsohn, Jim Reynolds & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Steve Holland		 1,75 Mio.[5]
74 11 Der peinliche Kuss The Justice League Recombination 16. Dez. 2010 11. Okt. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Maria Ferrari		 1,92 Mio.[6]
75 12 Die Bushose The Bus Pants Utilization 6. Jan. 2011 11. Okt. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Eric Kaplan
Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Maria Ferrari		 1,83 Mio.[6]
76 13 Die neutrale Zone The Love Car Displacement 20. Jan. 2011 22. Okt. 2011 Anthony Rich Lee Aronsohn, Steven Molaro & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Dave Goetsch		 —
77 14 Ein Traum von Bollywood The Thespian Catalyst 3. Feb. 2011 22. Okt. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Jim Reynolds		 —
78 15 Der Mann der Stunde The Benefactor Factor 10. Feb. 2011 25. Okt. 2011 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Eric Kaplan & Steve Holland
Idee: Bill Prady, Lee Aronsohn & Dave Goetsch		 1,25 Mio.[7]
79 16 Ich bin nicht deine Mutter! The Cohabitation Formulation 17. Feb. 2011 29. Okt. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Jim Reynolds
Idee: Chuck Lorre, Lee Aronsohn & Dave Goetsch		 —
80 17 Das Juwel von Mumbai The Toast Derivation 24. Feb. 2011 1. Nov. 2011 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Steven Molaro & Jim Reynolds
Idee: Bill Prady, Dave Goetsch & Maria Ferrari		 —
81 18 Herz zwei The Prestidigitation Approximation 10. März 2011 1. Nov. 2011 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan
Idee: Bill Prady, Steve Holland & Eddie Gorodetsky		 —
82 19 Der Zarnecki-Feldzug The Zarnecki Incursion 31. März 2011 12. Nov. 2011 Peter Chakos Bill Prady, Dave Goetsch & Jim Reynolds
Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Maria Ferrari		 —
83 20 Sag’s nicht weiter! The Herb Garden Germination 7. Apr. 2011 12. Nov. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Eddie Gorodetsky		 —
84 21 Souvlaki statt Pizza The Agreement Dissection 28. Apr. 2011 19. Nov. 2011 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan
Idee: Bill Prady, Dave Goetsch & Eddie Gorodetsky		 —
85 22 Die Antilope im Curry The Wildebeest Implementation 5. Mai 2011 19. Nov. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, Eddie Gorodetsky & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan		 —
86 23 Hochzeit und Herzinfarkt The Engagement Reaction 12. Mai 2011 26. Nov. 2011 Howard Murray Chuck Lorre, Steven Molaro & Steve Holland
Idee: Bill Prady, Eric Kaplan & Jim Reynolds		 —
87 24 Männertausch The Roommate Transmogrification 19. Mai 2011 26. Nov. 2011 Mark Cendrowski Bill Prady, Eric Kaplan & Jim Reynolds
Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Eddie Gorodetsky		 —

Staffel 5

Die Erstausstrahlung der fünften Staffel war vom 22. September 2011 bis zum 10. Mai 2012 auf dem US-amerikanischen Sender CBS zu sehen.[8] Die deutschsprachige Erstausstrahlung der ersten zwölf Folgen war seit dem 13. März 2012 auf ProSieben zu sehen. Die verbleibenden zwölf Folgen dieser Staffel wurden vom 28. August 2012 bis zum 13. November 2012 ebenfalls bei ProSieben ausgestrahlt.[9]

Nr.
(ges.) 		Nr.
(St.) 		Deutscher Titel Original­titel Erstaus­strahlung USA Deutsch­sprachige Erstaus­strahlung (D) Regie Drehbuch Quoten
(USA)[10]
88 1 Der Schlampen-Reflex The Skank Reflex Analysis 22. Sep. 2011 13. März 2012 Mark Cendrowski Chuck Lorre & Bill Prady & Steven Molaro
Idee: Eric Kaplan, Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo		 14,30 Mio.
89 2 Der Seuchensessel The Infestation Hypothesis 22. Sep. 2011 20. März 2012 Mark Cendrowski Chuck Lorre & Jim Reynolds & Steve Holland
Idee: Bill Prady, Steven Molaro & Maria Ferrari		 14,94 Mio.
90 3 Probewohnen bei Mutter The Pulled Groin Extrapolation 29. Sep. 2011 27. März 2012 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds
Idee: Bill Prady, Steven Molaro & Dave Goetsch		 14,74 Mio.
91 4 Such Dir eine Inderin! The Wiggly Finger Catalyst 6. Okt. 2011 3. Apr. 2012 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, David Goetsch & Anthony Del Broccolo		 13,92 Mio.
92 5 Ab nach Baikonur! The Russian Rocket Reaction 13. Okt. 2011 10. Apr. 2012 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Eric Kaplan & Maria Ferrari
Idee: Bill Prady, Steven Molaro & Jim Reynolds		 13,58 Mio.
93 6 Mamis Liebling The Rhinitis Revelation 20. Okt. 2011 17. Apr. 2012 Howard Murray Bill Prady, Steven Molaro & Jim Reynolds
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Steve Holland		 14,93 Mio.
94 7 Ein guter Kerl The Good Guy Fluctuation 27. Okt. 2011 24. Apr. 2012 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Jim Reynolds
Idee: Chuck Lorre, Dave Goetsch & Maria Ferrari		 14,54 Mio.
95 8 Leichtes Fummeln The Isolation Permutation 3. Nov. 2011 1. Mai 2012 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Tara Hernandez		 15,98 Mio.
96 9 Zwei komische Vögel The Ornithophobia Diffusion 10. Nov. 2011 8. Mai 2012 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Eric Kaplan
Idee: Chuck Lorre, Dave Goetsch & Anthony Del Broccolo		 15,89 Mio.
97 10 Die Beziehungsrahmen-
vereinbarung		 The Flaming Spittoon Acquisition 17. Nov. 2011 15. Mai 2012 Mark Cendrowski Bill Prady, Jim Reynolds & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Dave Goetsch		 15,05 Mio.
98 11 Das Speckerman-Trauma The Speckerman Recurrence 8. Dez. 2011 22. Mai 2012 Anthony Rich Steven Molaro, Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Steve Holland		 14,02 Mio.
99 12 Kinder? Nein danke! The Shiny Trinket Maneuver 12. Jan. 2012 29. Mai 2012 Mark Cendrowski Bill Prady, Jim Reynolds & Steven Molaro
Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Tara Hernandez		 16,13 Mio.
100 13 Penny und Leonard 2.0 The Recombination Hypothesis 19. Jan. 2012 28. Aug. 2012 Mark Cendrowski Bill Prady & Steven Molaro
Idee: Chuck Lorre		 15,83 Mio.
101 14 Spaß mit Flaggen The Beta Test Initiation 26. Jan. 2012 4. Sep. 2012 Mark Cendrowski Bill Prady, Dave Goetsch & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan		 16,13 Mio.
102 15 Die Mitbewohnervereinbarung The Friendship Contraction 2. Feb. 2012 11. Sep. 2012 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds		 16,54 Mio.
103 16 Die Urlaubs-Diktatur The Vacation Solution 9. Feb. 2012 18. Sep. 2012 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Anthony Del Broccolo & Tara Hernandez		 16,21 Mio.
104 17 Antisportler The Rothman Disintegration 16. Feb. 2012 25. Sep. 2012 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Steve Holland		 15,65 Mio.
105 18 Kuscheln mit dem Gürteltier The Werewolf Transformation 23. Feb. 2012 2. Okt. 2012 Mark Cendrowski Bill Prady, Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Todd Craig & Gary Torvinen		 16,20 Mio.
106 19 Wochenendkrieger The Weekend Vortex 8. März 2012 9. Okt. 2012 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Tara Hernandez		 15,04 Mio.
107 20 Traum mit Spock The Transporter Malfunction 29. März 2012 16. Okt. 2012 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Maria Ferrari		 13,96 Mio.
108 21 Noch so ein Weichei The Hawking Excitation 5. Apr. 2012 23. Okt. 2012 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Eric Kaplan & Maria Ferrari
Idee: Bill Prady, Steven Molaro & Steve Holland		 13,29 Mio.
109 22 Sex auf der Waschmaschine? The Stag Convergence 26. Apr. 2012 30. Okt. 2012 Peter Chakos Chuck Lorre, Steven Molaro & Jim Reynolds
Idee: Billy Prady, Steve Holland & Eric Kaplan		 12,65 Mio.
110 23 Falscher Ort, falsche Frage The Launch Acceleration 3. Mai 2012 6. Nov. 2012 Mark Cendrowski Bill Prady, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Jim Reynolds		 13,91 Mio.
111 24 Fruchtzwerg fliegt ins All The Countdown Reflection 10. Mai 2012 13. Nov. 2012 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Steven Molaro & Jim Reynolds
Idee: Bill Prady, Eric Kaplan & Steve Holland		 13,72 Mio.

Staffel 6

Die Erstausstrahlung der sechsten Staffel war vom 27. September 2012 bis zum 16. Mai 2013 auf dem US-amerikanischen Sender CBS zu sehen.[11] Die deutschsprachige Erstausstrahlung sendete der deutsche Free-TV-Sender ProSieben vom 28. Januar bis zum 25. November 2013.[12]

Nr.
(ges.) 		Nr.
(St.) 		Deutscher Titel Original­titel Erstaus­strahlung USA Deutsch­sprachige Erstaus­strahlung (D) Regie Drehbuch Quoten
(USA)[13]
112 1 Die Date-Variable The Date Night Variable 27. Sep. 2012 28. Jan. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Steve Holland		 15,66 Mio.
113 2 Händchen halten, bitte! The Decoupling Fluctuation 4. Okt. 2012 4. Feb. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari		 15,18 Mio.
114 3 Ein blondes Äffchen The Higgs Boson Observation 11. Okt. 2012 11. Feb. 2013 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari
Idee: Steven Molaro, Dave Goetsch & Steve Holland		 14,23 Mio.
115 4 Armer Astronaut The Re-Entry Minimization 18. Okt. 2012 18. Feb. 2013 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan
Idee: Bill Prady, Jim Reynolds & Anthony Del Broccolo		 15,73 Mio.
116 5 Holographisch erregt The Holographic Excitation 25. Okt. 2012 25. Feb. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jeremy Howe		 15,82 Mio.
117 6 Akt und Extrakt The Extract Obliteration 1. Nov. 2012 25. Feb. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Eric Kaplan
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Steve Holland		 15,90 Mio.
118 7 Spaß mit Flaggen (2) The Habitation Configuration 8. Nov. 2012 4. März 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds		 16,68 Mio.
119 8 Das Rätsel der 43 The 43 Peculiarity 15. Nov. 2012 11. März 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Dave Goetsch & Anthony Del Broccolo		 17,63 Mio.
120 9 Die Parkplatz-Eskalation The Parking Spot Escalation 29. Nov. 2012 18. März 2013 Peter Chakos Steven Molaro, Steve Holland & Mike Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Adam Faberman		 17,25 Mio.
121 10 Strafe muss sein The Fish Guts Displacement 6. Dez. 2012 25. März 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Tara Hernandez		 16,94 Mio.
122 11 Mädelsabend mit Kerl The Santa Simulation 13. Dez. 2012 8. Apr. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Steve Holland		 16,77 Mio.
123 12 Das Eiersalat-Äquivalent The Egg Salad Equivalency 3. Jan. 2013 15. Apr. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Bill Prady & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds		 19,25 Mio.
124 13 Man lernt nie aus The Bakersfield Expedition 10. Jan. 2013 26. Aug. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Steve Holland		 20,00 Mio.
125 14 Willkommen in der Donnerkuppel The Cooper/Kripke Inversion 31. Jan. 2013 26. Aug. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo		 17,76 Mio.
126 15 Spoileralarm! The Spoiler Alert Segmentation 7. Feb. 2013 2. Sep. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Maria Ferrari & Adam Faberman
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Steve Holland		 18,98 Mio.
127 16 Der Romantik-Ninja The Tangible Affection Proof 14. Feb. 2013 9. Sep. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Tara Hernandez
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Steve Holland		 17,89 Mio.
128 17 Keiner ist so kaputt wie ich The Monster Isolation 21. Feb. 2013 16. Sep. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Dave Goetsch & Maria Ferrari		 17,62 Mio.
129 18 Prinzessinnen der Wissenschaft The Contractual Obligation Implementation 7. März 2013 23. Sep. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Steve Holland		 17,63 Mio.
130 19 Ordnung in der Abstellkammer The Closet Reconfiguration 14. März 2013 30. Sep. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan
Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari		 15,90 Mio.
131 20 Kein Job fürs Leben The Tenure Turbulence 4. Apr. 2013 14. Okt. 2013 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Steve Holland & Jim Reynolds
Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari		 17,24 Mio.
132 21 Abschluss-Probleme The Closure Alternative 25. Apr. 2013 28. Okt. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Bill Prady & Tara Hernandez		 15,05 Mio.
133 22 Professor Proton The Proton Resurgence 2. Mai 2013 11. Nov. 2013 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Steve Holland		 16,29 Mio.
134 23 Würfeln und küssen The Love Spell Potential 9. Mai 2013 18. Nov. 2013 Anthony Rich Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari		 16,30 Mio.
135 24 Wie ein Wasserfall The Bon Voyage Reaction 16. Mai 2013 25. Nov. 2013 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez		 15,48 Mio.

Staffel 7

Die Erstausstrahlung der siebten Staffel war vom 26. September 2013 bis zum 15. Mai 2014 auf dem US-amerikanischen Sender CBS zu sehen.[14] Die deutschsprachige Erstausstrahlung sendete der deutsche Free-TV-Sender ProSieben vom 6. Januar bis zum 17. November 2014.

Nr.
(ges.) 		Nr.
(St.) 		Deutscher Titel Original­titel Erstaus­strahlung USA Deutsch­sprachige Erstaus­strahlung (D) Regie Drehbuch Quoten
(USA)[15]
136 1 Drinks von Fremden The Hofstadter Insufficiency 26. Sep. 2013 6. Jan. 2014 Mark Cendrowski Eric Kaplan, Jim Reynolds & Steve Holland
Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Tara Hernandez		 18,99 Mio.
137 2 Eine Körbchengröße mehr The Deception Verification 26. Sep. 2013 13. Jan. 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds		 20,44 Mio.
138 3 Schnitzeljagd mit Nerds The Scavenger Vortex 3. Okt. 2013 20. Jan. 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari
Idee: Dave Goetsch, Eric Kaplan & Steve Holland		 18,22 Mio.
139 4 Ostereier im Juni The Raiders Minimization 10. Okt. 2013 27. Jan. 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Tara Hernandez		 17,64 Mio.
140 5 Tritte unter dem Tisch The Workplace Proximity 17. Okt. 2013 3. Feb. 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Tara Hernandez		 17,80 Mio.
141 6 Ein erfreulicher Fehler The Romance Resonance 24. Okt. 2013 10. Feb. 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Eric Kaplan, Jim Reynolds & Tara Hernandez		 16,98 Mio.
142 7 Der Proton-Ersatz The Proton Displacement 7. Nov. 2013 17. Feb. 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds
Idee: Chuck Lorre, Maria Ferrari & Anthony del Broccolo		 16,89 Mio.
143 8 Juckreiz im Gehirn The Itchy Brain Simulation 14. Nov. 2013 24. Feb. 2014 Mark Cendrowski Eric Kaplan, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Steven Molaro, Bill Prady & Jim Reynolds		 18,30 Mio.
144 9 Bier und Football The Thanksgiving Decoupling 21. Nov. 2013 3. März 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Jeremy Howe
Idee: Eric Kaplan, Steve Holland & Maria Ferrari		 18,94 Mio.
145 10 Jodeln für Nerds The Discovery Dissipation 5. Dez. 2013 10. März 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Adam Faberman
Idee: Eric Kaplan, Jim Reynolds & Maria Ferrari		 15,63 Mio.
146 11 Onkel Doktor Cooper The Cooper Extraction 12. Dez. 2013 17. März 2014 Mark Cendrowski Jim Reynolds, Steve Holland & Tara Hernandez
Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari		 17,68 Mio.
147 12 Keine hübschen Frauen! The Hesitation Ramification 2. Jan. 2014 24. März 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Dave Goetsch, Jim Reynolds & Tara Hernandez		 19,20 Mio.
148 13 Für immer zu dritt The Occupation Recalibration 9. Jan. 2014 8. Sep. 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Steve Holland
Idee: Eric Kaplan, Maria Ferrari & Tara Hernandez		 20,35 Mio.
149 14 Ein Abend mit Darth Vader The Convention Conundrum 30. Jan. 2014 8. Sep. 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Dave Goetsch & Steve Holland
Idee: Eric Kaplan, Jim Reynolds & Adam Faberman		 19,05 Mio.
150 15 Eisenbahnromantik The Locomotive Manipulation 6. Feb. 2014 15. Sep. 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari
Idee: Jim Reynolds, Steve Holland & Tara Hernandez		 17,53 Mio.
151 16 Die Spaßbremse The Table Polarization 27. Feb. 2014 22. Sep. 2014 Gay Linvill Chuck Lorre, Jim Reynolds & Steve Holland
Idee: Steven Molaro, Maria Ferrari & Tara Hernandez		 17,73 Mio.
152 17 Wenn Männer Händchen halten… The Friendship Turbulence 6. März 2014 29. Sep. 2014 Mark Cendrowski Jim Reynolds, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Tara Hernandez		 18,09 Mio.
153 18 Mein Gespräch mit Mutter The Mommy Observation 13. März 2014 6. Okt. 2014 Mark Cendrowski Jim Reynolds, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Tara Hernandez		 17,34 Mio.
154 19 Reife Leistung, Playboy! The Indecision Amalgamation 3. Apr. 2014 13. Okt. 2014 Anthony Rich Steven Molaro, Dave Goetsch & Steve Holland
Idee: Bill Prady, Eric Kaplan & Jim Reynolds		 17,73 Mio.
155 20 Klozilla The Relationship Diremption 10. Apr. 2014 20. Okt. 2014 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Eric Kaplan & Steve Holland
Idee: Steven Molaro, Bill Prady & Jim Reynolds		 16,29 Mio.
156 21 Schulmädchenreport The Anything Can Happen Recurrence 24. Apr. 2014 27. Okt. 2014 Mark Cendrowski Jim Reynolds, Steve Holland & Tara Hernandez
Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Adam Faberman		 16,44 Mio.
157 22 Das Heirate-mich-Gesicht The Proton Transmogrification 1. Mai 2014 3. Nov. 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland
Idee: Jim Reynolds, Maria Ferrari & Jeremy Howe		 16,07 Mio.
158 23 Irgendwie verlobt The Gorilla Dissolution 8. Mai 2014 10. Nov. 2014 Peter Chakos Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan
Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Jeremy Howe		 14,42 Mio.
159 24 Sei vorsichtig und ruf an! The Status Quo Combustion 15. Mai 2014 17. Nov. 2014 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez
Idee: Eric Kaplan, Jim Reynolds & Jeremy Howe		 16,73 Mio.

Staffel 8

Die Erstausstrahlung der achten Staffel war ab dem 22. September 2014 bis zum 7. Mai 2015 auf dem US-amerikanischen Sender CBS zu sehen.[16] Die deutschsprachige Erstausstrahlung der ersten zwölf Folgen sendete der deutsche Free-TV-Sender ProSieben vom 5. Januar bis zum 23. März 2015, die restlichen zwölf Folgen strahlte ProSieben vom 14. September bis zum 30. November 2015 aus.

Nr.
(ges.) 		Nr.
(St.) 		Deutscher Titel Original­titel Erstaus­strahlung USA Deutsch­sprachige Erstaus­strahlung (D) Regie Drehbuch Quoten
(USA)[17]
160 1 Halbnackt in Arizona The Locomotion Interruption 22. Sep. 2014 5. Jan. 2015 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan
Idee: Jim Reynolds, Maria Ferrari & Tara Hernandez		 18,08 Mio.
161 2 Dunkle Materie The Junior Professor Solution 22. Sep. 2014 12. Jan. 2015 Mark Cendrowski Jim Reynolds, Maria Ferrari & Tara Hernandez
Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland		 18,30 Mio.
162 3 Werfen wie ein Mädchen The First Pitch Insufficiency 29. Sep. 2014 19. Jan. 2015 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Anthony Del Broccolo		 16,44 Mio.
163 4 Der Mann, der beide im Bett hatte The Hook-Up Reverberation 6. Okt. 2014 26. Jan. 2015 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds
Idee: Steve Holland, Maria Ferrari & Tara Hernandez		 15,94 Mio.
164 5 Das Vegas-Weekend The Focus Attenuation 13. Okt. 2014 2. Feb. 2015 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland
Idee: Jim Reynolds, Maria Ferrari & Adam Faberman		 15,32 Mio.
165 6 Festgehalt statt Taschengeld The Expedition Approximation 20. Okt. 2014 9. Feb. 2015 Mark Cendrowski Jim Reynolds, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Steven Molaro, Dave Goetsch & Tara Hernandez		 16,02 Mio.
166 7 Das Mississippi-Missverständnis The Misinterpretation Agitation 30. Okt. 2014 16. Feb. 2015 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds		 16,25 Mio.
167 8 Es muss Liebe sein The Prom Equivalency 6. Nov. 2014 23. Feb. 2015 Mark Cendrowski Steve Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari
Idee: Jim Reynolds, Steve Holland & Jeremy Howe		 16,56 Mio.
168 9 Eine Urne für Leonard The Septum Deviation 13. Nov. 2014 2. März 2015 Anthony Rich Eric Kaplan, Steve Holland & Tara Hernandez
Idee: Steven Molaro, Bill Prady & Maria Ferrari		 16,90 Mio.
169 10 Der Champagnerpakt The Champagne Reflection 20. Nov. 2014 9. März 2015 Mark Cendrowski Jim Reynolds, Steve Holland & Dave Goetsch
Idee: Steven Molaro, Tara Hernandez & Dr. David Saltzberg		 14,61 Mio.
170 11 Weihnachtswunder mit Taube The Clean Room Infiltration 11. Dez. 2014 16. März 2015 Mark Cendrowski Eric Kaplan, Jim Reynolds & Steve Holland
Idee: Maria Ferrari, Tara Hernandez & Jeremy Howe		 15,49 Mio.[18]
171 12 Eine Nacht pro Woche The Space Probe Disintegration 8. Jan. 2015 23. März 2015 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Bill Prady, Eric Kaplan & Jim Reynolds		 18,11 Mio.
172 13 Der optimale Angstbereich The Anxiety Optimization 29. Jan. 2015 14. Sep. 2015 Mark Cendrowski Jim Reynolds, Steve Holland & Tara Hernandez
Idee: Eric Kaplan, Maria Ferrari & Adam Faberman		 17,25 Mio.
173 14 Sheldon und der Troll The Troll Manifestation 5. Feb. 2015 21. Sep. 2015 Mark Cendrowski Jim Reynolds, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Tara Hernandez		 17,09 Mio.
174 15 Ein Prosit auf Mrs. Wolowitz The Comic Book Store Regeneration 19. Feb. 2015 28. Sep. 2015 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Steve Holland
Idee: Jim Reynolds, Maria Ferrari & Jeremy Howe		 17,49 Mio.
175 16 Die Intimitäts-Beschleunigung The Intimacy Acceleration 26. Feb. 2015 5. Okt. 2015 Mark Cendrowski Steve Molaro, Jim Reynolds & Steve Holland
Idee: Dave Goetsch, Eric Kaplan & Tara Hernandez		 16,67 Mio.
176 17 Die Mars-Bewerbung The Colonization Application 5. März 2015 12. Okt. 2015 Mark Cendrowski Steve Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari
Idee: Dave Goetsch, Jim Reynolds & Tara Hernandez		 18,17 Mio.
177 18 Das große Reste-Essen The Leftover Thermalization 12. März 2015 19. Okt. 2015 Mark Cendrowski Eric Kaplan, Jim Reynolds & Steve Holland
Idee: Steven Molaro, Maria Ferrari & Jeremy Howe		 16,13 Mio.
178 19 Die Skywalker-Attacke The Skywalker Incursion 2. Apr. 2015 26. Okt. 2015 Mark Cendrowski Steve Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Jim Reynolds, Tara Hernandez & Jeremy Howe		 13,89 Mio.
179 20 Über Nacht im Fort The Fortification Implementation 9. Apr. 2015 2. Nov. 2015 Mark Cendrowski Jim Reynolds, Saladin Patterson & Tara Hernandez
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari		 14,78 Mio.
180 21 Wir sind alle Chef The Communication Deterioration 16. Apr. 2015 9. Nov. 2015 Mark Cendrowski Dave Goetsch, Steve Holland, Jeremy Howe & Tara Hernandez
Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds		 14,82 Mio.
181 22 Angriff der Killerdrohne The Graduation Transmission 23. Apr. 2015 16. Nov. 2015 Anthony Rich Chuck Lorre, Dave Goetsch & Anthony Del Broccolo
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan		 14,63 Mio.
182 23 Mütter in Aufruhr The Maternal Combustion 30. Apr. 2015 23. Nov. 2015 Anthony Rich Chuck Lorre, Peter Chakos, Kristy Cecil & Anthony Del Broccolo
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan		 13,85 Mio.
183 24 Es waren doch nur Küsse The Commitment Determination 7. Mai 2015 30. Nov. 2015 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan
Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari		 14,64 Mio.

Staffel 9

Die Erstausstrahlung der neunten Staffel war vom 21. September 2015 bis zum 12. Mai 2016 auf dem US-amerikanischen Sender CBS zu sehen.[19] Die deutschsprachige Erstausstrahlung sendete der deutsche Free-TV-Sender ProSieben vom 4. Januar bis zum 21. November 2016.[20]

Nr.
(ges.) 		Nr.
(St.) 		Deutscher Titel Original­titel Erstaus­strahlung USA Deutsch­sprachige Erstaus­strahlung (D) Regie Drehbuch Quoten
(USA)[21]
184 1 Hochzeitsnacht mit Sheldon The Matrimonial Momentum 21. Sep. 2015 4. Jan. 2016 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan
Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari		 18,20 Mio.
185 2 Ehevollzug! The Separation Oscillation 28. Sep. 2015 11. Jan. 2016 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez		 15,23 Mio.
186 3 Feynmans Van The Bachelor Party Corrosion 5. Okt. 2015 18. Jan. 2016 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan
Idee: Dave Goetsch, Jim Reynolds & Jeremy Howe		 15,40 Mio.
187 4 Zurück nach 2003 The 2003 Approximation 12. Okt. 2015 25. Jan. 2016 Mark Cendrowski Steven Molaro, Maria Ferrari & Tara Hernandez
Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Eric Kaplan		 14,96 Mio.
188 5 Duell in drei Jahren The Perspiration Implementation 19. Okt. 2015 1. Feb. 2016 Mark Cendrowski Steve Holland, Jim Reynolds & Saladin Patterson
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Maria Ferrari		 14,68 Mio.
189 6 Die Helium-Krise The Helium Insufficiency 26. Okt. 2015 8. Feb. 2016 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds
Idee: Steve Holland, Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo		 16,23 Mio.
190 7 Die Spockumentation The Spock Resonance 5. Nov. 2015 15. Feb. 2016 Nikki Lorre Steven Molaro, Steve Holland & Jeremy Howe
Idee: Chuck Lorre, Jim Reynolds & Tara Hernandez		 14,81 Mio.
191 8 Spione wie wir The Mystery Date Observation 12. Nov. 2015 22. Feb. 2016 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds
Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Tara Hernandez		 14,91 Mio.
192 9 Karotte in Dessous The Platonic Permutation 19. Nov. 2015 29. Feb. 2016 Mark Cendrowski Jim Reynolds, Jeremy Howe & Tara Hernandez
Idee: Steve Holland, Maria Ferrari & Adam Faberman		 15,19 Mio.
193 10 Der Ohrwurm The Earworm Reverberation 10. Dez. 2015 7. März 2016 Mark Cendrowski Eric Kaplan, Jim Reynolds & Saladin Patterson
Idee: Steve Molaro, Steve Holland & Jeremy Howe		 15,27 Mio.
194 11 Premierenfieber The Opening Night Excitation 17. Dez. 2015 14. März 2016 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Tara Hernandez
Idee: Steve Holland, Jim Reynolds & Maria Ferrari		 17,22 Mio.
195 12 Der romantische Asteroid The Sales Call Sublimation 7. Jan. 2016 21. März 2016 Mark Cendrowski Steve Holland, Jim Reynolds & Saladin Patterson
Idee: Steven Molaro, Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo		 15,85 Mio.
196 13 Die Sheldon-Cooper-Entschuldigungstour The Empathy Optimization 14. Jan. 2016 29. Aug. 2016 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Eric Kaplan & Dave Goetsch
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Saladin K. Patterson		 15,75 Mio.
197 14 Der Besuch der alten Dame The Meemaw Materialization 4. Feb. 2016 5. Sept. 2016 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Jim Reynolds & Maria Ferrari
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez		 15,29 Mio.
198 15 Tränen am Valentinstag The Valentino Submergence 11. Feb. 2016 12. Sept. 2016 Mark Cendrowski Steven Molaro, Jim Reynolds & Tara Hernandez
Idee: Steve Holland, Eric Kaplan & Jeremy Howe		 16,25 Mio.
199 16 Die positive Negativreaktion The Positive Negative Reaction 18. Feb. 2016 19. Sept. 2016 Mark Cendrowski Eric Kaplan, Jim Reynolds & Saladin Patterson
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari		 15,24 Mio.
200 17 Lebe lang und in Frieden The Celebration Experimentation 25. Feb. 2016 26. Sept. 2016 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jeremy Howe
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez		 15,94 Mio.
201 18 Zwischen zwei Frauen The Application Deterioration 10. März 2016 10. Okt. 2016 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Adam Faberman
Idee: Steve Holland, Jim Reynolds & Maria Ferrari		 14,68 Mio.
202 19 Das emotionale Außenklo The Solder Excursion Diversion 31. März 2016 17. Okt. 2016 Mark Cendrowski Bill Prady, Eric Kaplan & Maria Ferrari
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Saladin K. Patterson		 14,24 Mio.
203 20 Die Hütte im Wald The Big Bear Precipitation 7. Apr. 2016 24. Okt. 2016 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Dave Goetsch & Tara Hernandez
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Jim Reynolds		 13,50 Mio.
204 21 Die tödliche Mortadella The Viewing Party Combustion 21. Apr. 2016 31. Okt. 2016 Mark Cendrowski Eric Kaplan, Maria Ferrari & Jeremy Howe
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez		 14,15 Mio.
205 22 Freunde sind wie Toilettenpapier The Fermentation Bifurcation 28. Apr. 2016 7. Nov. 2016 Nikki Lorre Steven Molaro, Jim Reynolds & Anthony Del Broccolo
Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Tara Hernandez		 14,13 Mio.
206 23 Das Warteschlangen-Problem The Line Substitution Solution 5. Mai 2016 14. Nov. 2016 Anthony Rich Steve Holland, Saladin K. Patterson & Maria Ferrari
Idee: Steve Holland, Saladin K. Patterson & Tara Hernandez		 13,22 Mio.
207 24 Die Annäherungs-Versuchung The Convergence Convergence 12. Mai 2016 21. Nov. 2016 Mark Cendrowski Steven Molaro, Tara Hernandez & Adam Faberman
Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Jeremy Howe		 14,73 Mio.

Staffel 10

Die Erstausstrahlung der zehnten Staffel war vom 19. September 2016 bis zum 11. Mai 2017 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender CBS zu sehen.[22] Die deutschsprachige Erstausstrahlung wurde vom 2. Januar bis 30. Oktober 2017 auf dem deutschen Free-TV-Sender ProSieben gesendet.[23]

Nr.
(ges.) 		Nr.
(St.) 		Deutscher Titel Original­titel Erstaus­strahlung USA Deutsch­sprachige Erstaus­strahlung (D) Regie Drehbuch Quoten
(USA)[24]
208 1 Die Beischlaf-Vermutung The Conjugal Conjecture 19. Sep. 2016 2. Jan. 2017 Mark Cendrowski Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds
Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Tara Hernandez		 15,82 Mio.
209 2 Die Schweige-Verpflichtung The Military Miniaturization 26. Sept. 2016 9. Jan. 2017 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jim Reynolds		 14,24 Mio.
210 3 Das künstliche Koffein-Problem The Dependence Transcendence 3. Okt. 2016 16. Jan. 2017 Mark Cendrowski Steve Holland, Maria Ferrari & Jeremy Howe
Idee: Steven Molaro, Saladin K. Patterson & Tara Hernandez		 14,32 Mio.
211 4 Das Kohabitations-Experiment The Cohabitation Experimentation 10. Okt. 2016 23. Jan. 2017 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez
Idee: Chuck Lorre, Dave Goetsch & Maria Ferrari		 14,41 Mio.
212 5 Die Whirlpool-Kontamination The Hot Tub Contamination 17. Okt. 2016 30. Jan. 2017 Mark Cendrowski Steve Holland, Eric Kaplan & Jim Reynolds
Idee: Chuck Lorre, Maria Ferrari & Tara Hernandez		 14,20 Mio.
213 6 Kick it like Baby The Fetal Kick Catalyst 27. Okt. 2016 6. Feb. 2017 Mark Cendrowski Steven Molaro, Saladin K. Patterson & Anthony Del Broccolo
Idee: Steve Holland, Tara Hernandez & Jeremy Howe		 14,31 Mio.
214 7 Die Verzögerungstaktik The Veracity Elasticity 3. Nov. 2016 13. Feb. 2017 Mark Cendrowski Steve Holland, Jim Reynolds & Adam Faberman
Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Maria Ferrari		 14,18 Mio.
215 8 Der Verführungskünstler The Brain Bowl Incubation 10. Nov. 2016 20. Feb. 2017 Mark Cendrowski Steven Molaro, Maria Ferrari & Tara Hernandez
Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Saladin K. Patterson		 14,47 Mio.
216 9 Das Freund-Feind-Dilemma The Geology Elevation 17. Nov. 2016 27. Feb. 2017 Mark Cendrowski Steve Holland, Jim Reynolds & Jeremy Howe
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Maria Ferrari		 14,34 Mio.
217 10 Die Eigentums-Verteilungs-Problematik The Property Division Collision 1. Dez. 2016 6. März 2017 Mark Cendrowski Steven Molaro, Maria Ferrari & Tara Hernandez
Idee: Steve Holland, Bill Prady & Dave Goetsch		 14,54 Mio.
218 11 Immer zum Geburtstag The Birthday Synchronicity 15. Dez. 2016 13. März 2017 Nikki Lorre Steven Molaro, Eric Kaplan & Tara Hernandez
Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Maria Ferrari		 15,96 Mio.
219 12 Die Feiertags-Zusammenfassung The Holiday Summation 5. Jan. 2017 20. März 2017 Mark Cendrowski Steve Holland, Maria Ferrari & Jeremy Howe
Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Tara Hernandez		 16,80 Mio.
220 13 Die Neuvermessung der Liebe The Romance Recalibration 19. Jan. 2017 27. März 2017 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Saladin K. Patterson
Idee: Chuck Lorre, Dave Goetsch & Anthony Del Broccolo		 15,15 Mio.
221 14 Der Emotionen-Detektor The Emotion Detection Automation 2. Feb. 2017 3. Apr. 2017 Mark Cendrowski Steve Holland, Jim Reynolds & Saladin K. Patterson
Idee: Chuck Lorre, Steven Molaro & Eric Kaplan		 14,66 Mio.
222 15 Die Charlie-Brown-Gleichung The Locomotion Reverberation 9. Feb. 2017 21. Aug. 2017 Mark Cendrowski Steven Molaro, Maria Ferrari & Tara Hernandez
Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Jim Reynolds		 14,15 Mio.
223 16 Die Zonen der Privatsphäre The Allowance Evaporation 16. Feb. 2017 28. Aug. 2017 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Jim Reynolds
Idee: Eric Kaplan, Maria Ferrari & Jeremy Howe		 13,51 Mio.
224 17 Die Comic-Con-Konfusion The Comic-Con Conundrum 23. Feb. 2017 11. Sep. 2017 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Eric Kaplan, Saladin K. Patterson & Tara Hernandez		 13,38 Mio.
225 18 Die Notausstiegs-Hypothese The Escape Hatch Identification 9. März 2017 18. Sep. 2017 Mark Cendrowski Steve Holland, Jim Reynolds & Tara Hernandez
Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo		 13,08 Mio.
226 19 Die Beschimpfungs-Theorie The Collaboration Fluctuation 30. März 2017 25. Sep. 2017 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Dave Goetsch
Idee: Chuck Lorre, Tara Hernandez & Giuseppe Graziano		 12,78 Mio.
227 20 Der Zeitspar-Modus The Recollection Dissipation 6. Apr. 2017 2. Okt. 2017 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari
Idee: Eric Kaplan, Tara Hernandez & Jeremy Howe		 12,59 Mio.
228 21 Die retrospektive Retrospektive The Separation Agitation 13. Apr. 2017 9. Okt. 2017 Mark Cendrowski Steve Holland, Tara Hernandez & Jeremy Howe
Idee: Steven Molaro, Jim Reynolds & Maria Ferrari		 11,89 Mio.
229 22 Der Stelzen-Traum The Cognition Regeneration 27. Apr. 2017 16. Okt. 2017 Mark Cendrowski Dave Goetsch, Eric Kaplan & Jim Reynolds
Idee: Steve Holland, Tara Hernandez & Jeremy Howe		 12,52 Mio.
230 23 Das Princeton-Problem The Gyroscopic Collapse 4. Mai 2017 23. Okt. 2017 Anthony Rich Steven Molaro, Jim Reynolds & Saladin K. Patterson
Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Alex Ayers		 12,39 Mio.
231 24 Die Nowitzki-Provokation The Long Distance Dissonance 11. Mai 2017 30. Okt. 2017 Mark Cendrowski Chuck Lorre, Steve Holland & Tara Hernandez
Idee: Steven Molaro, Eric Kaplan & Jim Reynolds		 12,99 Mio.

Staffel 11

Die Erstausstrahlung der elften Staffel war vom 25. September 2017 bis zum 10. Mai 2018 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender CBS zu sehen.[25] Die deutschsprachige Erstausstrahlung wurde vom 8. Januar bis 6. November 2018 auf dem deutschen Free-TV-Sender ProSieben und dem Schweizer Privatsender 3+ gesendet.[26]

Nr.
(ges.) 		Nr.
(St.) 		Deutscher Titel Original­titel Erstaus­strahlung USA Deutsch­sprachige Erstaus­strahlung (D/CH) Regie Drehbuch Quoten
(USA)[27]
232 1 Das Doktor-Ramona-Dankeschön The Proposal Proposal 25. Sep. 2017 8. Jan. 2018 Mark Cendrowski Steve Holland, Maria Ferrari & Tara Hernandez
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Jeremy Howe		 17,65 Mio.
233 2 Das Romulaner-Getränk The Retraction Reaction 2. Okt. 2017 15. Jan. 2018 Mark Cendrowski Dave Goetsch, Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Maria Ferrari		 14,06 Mio.
234 3 Die Entspannungs-Enttäuschung The Relaxation Integration 9. Okt. 2017 22. Jan. 2018 Mark Cendrowski Maria Ferrari, Andy Gordon & Tara Hernandez
Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Adam Faberman		 13,13 Mio.
235 4 Die Führerschein-Frage The Explosion Implosion 16. Okt. 2017 29. Jan. 2018 Mark Cendrowski Steve Holland, Eric Kaplan & Jeremy Howe
Idee: Bill Prady, Maria Ferrari & Tara Hernandez		 13,07 Mio.
236 5 Das Erziehungs-Experiment The Collaboration Contamination 23. Okt. 2017 5. Feb. 2018 Nikki Lorre Dave Goetsch, Maria Ferrari & Jeremy Howe
Idee: Steven Molaro, Steve Holland & Eric Kaplan		 13,20 Mio.
237 6 Die Professor-Proton-Renaissance The Proton Regeneration 2. Nov. 2017 12. Feb. 2018 Mark Cendrowski Steve Holland, Andy Gordon & Jeremy Howe
Idee: Steven Molaro, Dave Goetsch & Alex Yonks		 14,14 Mio.
238 7 Die Geologen-Peinlichkeit The Geology Methodology 9. Nov. 2017 19. Feb. 2018 Mark Cendrowski Eric Kaplan, Maria Ferrari & Tara Hernandez
Idee: Steve Holland, Anthony Del Broccolo & Adam Faberman		 13,80 Mio.
239 8 Die Tesla-Theorie The Tesla Recoil 16. Nov. 2017 26. Feb. 2018 Mark Cendrowski Steve Holland, Maria Ferrari & Jeremy Howe
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Tara Hernandez		 13,44 Mio.
240 9 Die Bitcoin-Odyssee The Bitcoin Entanglement 30. Nov. 2017 5. März 2018 Mark Cendrowski Dave Goetsch, Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo
Idee: Steve Holland, Andy Gordon & Jeremy Howe		 13,84 Mio.
241 10 Das Hochzeitsplanungs-System The Confidence Erosion 7. Dez. 2017 12. März 2018 Mark Cendrowski Steve Holland, Eric Kaplan & Tara Hernandez
Idee: Bill Prady, Maria Ferrari & Adam Faberman		 14,41 Mio.
242 11 Der Hüpfburg-Enthusiasmus The Celebration Reverberation 14. Dez. 2017 19. März 2018 Mark Cendrowski Dave Goetsch, Maria Ferrari & Jeremy Howe
Idee: Steve Holland, Eric Kaplan & Alex Ayers		 13,73 Mio.
243 12 Das Trauzeugen-Testverfahren The Matrimonial Metric 4. Jan. 2018 26. März 2018 Mark Cendrowski Steve Holland, Eric Kaplan & Andy Gordon
Idee: Maria Ferrari, Tara Hernandez & Jeremy Howe		 16,16 Mio.
244 13 Die Watkins-Wahrscheinlichkeit The Solo Oscillation 11. Jan. 2018 9. Apr. 2018 Mark Cendrowski Eric Kaplan, Maria Ferrari & Jeremy Howe
Idee: Chuck Lorre, Steve Holland & Anthony Del Broccolo		 15,93 Mio.
245 14 Die Zeitzonen-Klausel The Separation Triangulation 18. Jan. 2018 16. Apr. 2018 Mark Cendrowski Steven Molaro, Steve Holland & Tara Hernandez
Idee: Chuck Lorre, Eric Kaplan & Maria Ferrari		 14,92 Mio.
246 15 Die Professor-Proton-Personalie The Novelization Correlation 1. Feb. 2018 4. Sep. 2018 Mark Cendrowski Eric Kaplan, Maria Ferrari & Jeremy Howe
Idee: Steve Holland, Andy Gordon & Adam Faberman		 14,69 Mio.
247 16 Das Babynamen-Theater The Neonatal Nomenclature 1. März 2018 11. Sep. 2018 Gay Linvill Steve Holland, Tara Hernandez & Adam Faberman
Idee: Eric Kaplan, Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo		 13,75 Mio.
248 17 Die Athenaeum-Angelegenheit The Athenaeum Allocation 8. März 2018 18. Sep. 2018 Mark Cendrowski Dave Goetsch, Eric Kaplan & Maria Ferrari
Idee: Steve Holland, Steven Molaro & Tara Hernandez		 13,88 Mio.
249 18 Die Bill-Gates-Begegnung The Gates Excitation 29. März 2018 25. Sep. 2018 Mark Cendrowski Steve Holland & Tara Hernandez & Jeremy Howe
Idee: Eric Kaplan & Maria Ferrari & Andy Gordon		 13,26 Mio.
250 19 Das Machtwechsel-Modell The Tenant Disassociation 5. Apr. 2018 2. Okt. 2018 Mark Cendrowski Dave Goetsch & Eric Kaplan & Maria Ferrari
Idee: Steve Holland & Jeremy Howe & Trevor Alper		 13,00 Mio.
251 20 Der Waldmensch Wolcott The Reclusive Potential 12. Apr. 2018 9. Okt. 2018 Mark Cendrowski Steve Holland & Eric Kaplan & Adam Faberman
Idee: Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo & Tara Hernandez		 12,77 Mio.
252 21 Der Kometen-Klau The Comet Polarization 19. Apr. 2018 16. Okt. 2018 Mark Cendrowski Maria Ferrari & Andy Gordon & Tara Hernandez
Idee: Steve Holland & Bill Prady & Eric Kaplan		 12,91 Mio.
253 22 Der Hochzeitskleid-Hype The Monetary Insufficiency 26. Apr. 2018 23. Okt. 2018 Nikki Lorre Steve Holland & Eric Kaplan & Jeremy Howe
Idee: Dave Goetsch & Maria Ferrari & Tara Hernandez		 11,79 Mio.
254 23 Die Reifendoktor-Reise The Sibling Realignment 3. Mai 2018 30. Okt. 2018 Mark Cendrowski Dave Goetsch & Maria Ferrari & Jeremy Howe
Idee: Steve Holland & Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo		 12,93 Mio.
255 24 Die Hochzeitsüberraschung The Bow Tie Asymmetry 10. Mai 2018 6. Nov. 2018 Mark Cendrowski Steve Holland & Eric Kaplan & Tara Hernandez
Idee: Chuck Lorre & Steven Molaro & Maria Ferrari		 15,51 Mio.

Staffel 12

Die Erstausstrahlung der zwölften Staffel ist seit dem 24. September 2018 auf dem US-amerikanischen Fernsehsender CBS zu sehen. Es wird die letzte Staffel der Serie sein.[28] Die deutschsprachige Erstausstrahlung wird seit dem 1. Januar 2019 auf dem Schweizer Privatsender 3+ gesendet.

Nr.
(ges.) 		Nr.
(St.) 		Deutscher Titel Original­titel Erstaus­strahlung USA Deutsch­sprachige Erstaus­strahlung (CH) Regie Drehbuch Quoten
(USA)[29]
256 1 Der unzufällige Zufallssex The Conjugal Configuration 24. Sep. 2018 1. Jan. 2019 Mark Cendrowski Steve Holland & Maria Ferrari & Jeremy Howe
Idee: Chuck Lorre & Eric Kaplan & Tara Hernandez		 12,92 Mio.
257 2 Das Dankeskarten-Mysterium The Wedding Gift Wormhole 27. Sep. 2018 — Mark Cendrowski Dave Goetsch & Eric Kaplan & Andy Gordon
Idee: Steve Holland & Steven Molaro & Maria Ferrari		 12,04 Mio.
258 3 Der indische Heirats-Fragebogen The Procreation Calculation 4. Okt. 2018 — Mark Cendrowski Steve Holland & Maria Ferrari & Anthony Del Broccolo
Idee: Chuck Lorre & Tara Hernandez & Adam Faberman		 12,29 Mio.
259 4 Die Tam-Turbulenzen The Tam Turbulence 11. Okt. 2018 — Mark Cendrowski Dave Goetsch & Eric Kaplan & Jeremy Howe
Idee: Steve Holland & Steven Molaro & Maria Ferrari		 12,94 Mio.
260 5 Die Planetariums-Bromanze The Planetarium Collision 18. Okt. 2018 — Mark Cendrowski Steve Holland & Maria Ferrari & Tara Hernandez
Idee: Eric Kaplan & Andy Gordon & Alex Ayers		 12,22 Mio.
261 6 Die Imitations-Irritation The Imitation Perturbation 25. Okt. 2018 — Mark Cendrowski Eric Kaplan & Jeremy Howe & Adam Faberman
Idee: Steve Holland & Maria Ferrari & Tara Hernandez		 12,99 Mio.
262 7 — The Grant Allocation Derivation 1. Nov. 2018 — Mark Cendrowski Steve Holland & Dave Goetsch & Maria Ferrari
Idee: Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo & Alex Yonks		 12,64 Mio.
263 8 — The Consummation Deviation 8. Nov. 2018 — Mark Cendrowski Eric Kaplan & Andy Gordon & Adam Faberman
Idee: Chuck Lorre & Steve Holland & Maria Ferrari		 12,85 Mio.
264 9 — The Citation Negation 15. Nov. 2018 — Kristy Cecil Steve Holland & Dave Goetsch & Maria Ferrari
Idee: Eric Kaplan & Tara Hernandez & Jeremy Howe		 12,56 Mio.
265 10 — The VCR Illumination 6. Dez. 2018 — Mark Cendrowski Maria Ferrari, Andy Gordon & Jeremy Howe
Idee: Steve Holland, Steven Molaro & Bill Prady		 12,52 Mio.
266 11 — The Paintball Scattering 3. Jan. 2019 — Mark Cendrowski Steve Holland, Eric Kaplan & Anthony Del Broccolo
Idee: Maria Ferrari, Tara Hernandez & Adam Faberman		 12,55 Mio.
267 12 — The Propagation Proposition — — Mark Cendrowski Maria Ferrari & Dave Goetsch & Eric Kaplan
Idee: Chuck Lorre & Steve Holland & Jeremy Howe		 —

Einzelnachweise

  1. ↑ a b Guter Start für «The Big Bang Theory» – Quotenmeter.de. In: quotenmeter.de. Abgerufen am 7. September 2011.
  2. ↑ a b Primetime-Check: Dienstag, 13. September 2011 – Quotenmeter.de. In: quotenmeter.de. Abgerufen am 15. September 2011.
  3. ↑ a b «Two and a Half Men» zieht auch hierzulande an – Quotenmeter.de. In: quotenmeter.de. Abgerufen am 21. September 2011.
  4. ↑ a b Primetime-Check: Dienstag, 27. September 2011 – Quotenmeter.de. In: quotenmeter.de. Abgerufen am 4. Oktober 2011.
  5. ↑ a b «Half Men» stark, «Big Bang» brilliant – Quotenmeter.de. In: quotenmeter.de. Abgerufen am 6. Oktober 2011.
  6. ↑ a b meedia.de Meedia: TV-Quoten vom 11. Oktober 2011
  7. ↑ «Big Bang Theory» läuft «Half Men» den Rang ab. Quotenmeter.de, abgerufen am 6. Januar 2012.
  8. ↑ The Big Bang Theory: Season 5. In: Zap2it.com. Abgerufen am 26. August 2015.
  9. ↑ Adam Arndt: The Big Bang Theory: Fortsetzung der 5. Staffel ab August bei ProSieben. Serienjunkies.de, 21. Juni 2012, abgerufen am 21. Juni 2012.
  10. ↑ The Big Bang Theory: 2011-12 TV Season Ratings. In: TVSeriesFinale.com. 12. Mai 2012, abgerufen am 30. Juni 2014.
  11. ↑ The Big Bang Theory: Season 6. In: Zap2it.com. Abgerufen am 26. August 2015.
  12. ↑ Lenka Hladikova: Big Bang Theory: Staffel 6 ab Ende Januar bei ProSieben. In: Serienjunkies.de. 13. Dezember 2012, abgerufen am 13. Dezember 2012.
  13. ↑ The Big Bang Theory: Season Six Rating. In: TVSeriesFinale.com. 18. Mai 2013, abgerufen am 30. Juni 2014.
  14. ↑ The Big Bang Theory: Season 7. In: Zap2it.com. Abgerufen am 26. August 2015.
  15. ↑ The Big Bang Theory: Season Seven Ratings. In: TVSeriesFinale.com. 16. Mai 2014, abgerufen am 30. Juni 2014.
  16. ↑ The Big Bang Theory: Season 8. In: Zap2it.com. Abgerufen am 26. August 2015.
  17. ↑ The Big Bang Theory: Season Eight Ratings. In: TVSeriesFinale.com. 21. November 2014, abgerufen am 22. November 2014.
  18. ↑ Thursday Final Ratings: 'The Vampire Diaries’ Adjusted Up; 'The Big Bang Theory', 'Mom', 'Two and a Half Men', 'The McCarthys’ & 'Elementary' Adjusted Down. In: Zap2it.com. 12. Dezember 2014, abgerufen am 16. Dezember 2014.
  19. ↑ The Big Bang Theory: Season 9. In: Zap2it.com. Abgerufen am 26. August 2015.
  20. ↑ Adam Arndt: The Big Bang Theory: 9. Staffel ab Januar bei ProSieben. In: Serienjunkies.de. 23. November 2015, abgerufen am 23. November 2015.
  21. ↑ The Big Bang Theory: Season Nine Ratings. In: TVSeriesFinale.com. 23. September 2015, abgerufen am 23. September 2015.
  22. ↑ Nellie Andreeva: CBS Sets Fall 2016 Premiere Dates, Slates JonBenet Ramsey Limited Series. In: Deadline.com. 21. Juni 2016, abgerufen am 21. Juni 2016.
  23. ↑ Adam Arndt: The Big Bang Theory: Premiere der 10. Staffel ab Januar bei ProSieben. In: Serienjunkies.de. 21. November 2016, abgerufen am 21. November 2016.
  24. ↑ The Big Bang Theory: Season 10 Ratings. In: TVSeriesFinale.com. 20. September 2016, abgerufen am 20. September 2016.
  25. ↑ Nellie Andreeva: CBS Sets Fall 2017 Premiere Dates For ‘Young Sheldon’, ‘9 JKL’ & Returning Series. In: Deadline.com. 1. Juni 2017, abgerufen am 3. Oktober 2017.
  26. ↑ 11. Staffel Big Bang Theory und Young Sheldon im Januar bei Pro7. In: serienjunkies.de. 13. November 2017, abgerufen am 13. November 2017.
  27. ↑ The Big Bang Theory: Season 11 Ratings. In: TVSeriesFinale.com. 10. November 2017, abgerufen am 13. November 2017.
  28. ↑ Nellie Andreeva: ‘The Big Bang Theory’ To End Run After 12 Seasons. In: Deadline.com. 22. August 2018, abgerufen am 22. August 2018.
  29. ↑ The Big Bang Theory: Season 12 Ratings. In: TVSeriesFinale.com. 26. Oktober 2018, abgerufen am 2. November 2018.
The Big Bang Theory
The Big Bang Theory

Episodenliste
Staffel 1 | Staffel 2 | Staffel 3 | Staffel 4 | Staffel 5 | Staffel 6 | Staffel 7 | Staffel 8 | Staffel 9 | Staffel 10 | Staffel 11 | Staffel 12

Young Sheldon

Episodenliste

Georgie & Mandy

Episodenliste

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