„Kugelsegment“ – Versionsunterschied

Der blaue Körper ist ein Kugelsegment; der rosa Restkörper ebenfalls

Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist ein Teil eines Kugelkörpers, der durch den Schnitt mit einer Ebene gebildet wird. Ein Kugelsegment hat die Form einer Kuppel und besitzt als Grundfläche eine Kreisscheibe. Eine Halbkugel ist ein Sonderfall eines Kugelsegments, bei der die Schnittebene den Kugelmittelpunkt enthält. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkalotte, auch Kugelkappe oder Kugelhaube genannt.

Formeln: Volumen und Oberfläche

Hat die Kugel den Radius $r$, der Basiskreis des Kugelsegments den Radius $a$ und ist $h$ die Höhe des Kugelsegments, so gelten die folgenden Formeln:

Volumen

$V={\frac {h^{2}\pi }{3}}(3r-h)={\frac {h\pi }{6}}(3a^{2}+h^{2})$

Mantelfläche (Kugelkappe)

$M=2\pi rh=\pi (a^{2}+h^{2})$

Oberfläche (incl. Basiskreis)

$O=\pi (2rh+a^{2})=\pi (2a^{2}+h^{2})$

Die Gültigkeit der jeweils zwei Formeln folgt aus der Beziehung

$2rh=a^{2}+h^{2}$

Gibt man den Winkel $\theta _{0}$ (s. Bild) des Basiskreises vor, so gilt:

$a=r\sin(\theta _{0})\ ,\ h=r(1-\cos(\theta _{0})).$

Bemerkung:

1. Für $h=r$ ist $a=r$ und das Kugelsegment eine Halbkugel.
2. Für $h=2r$ ergeben sich die Formeln für die ganze Kugel: $V={\tfrac {4\pi }{3}}r^{3},\ M=O=4\pi r^{2}\ .$

Herleitung der Formeln

Kugelkappe: Funktion für das Volumenintegral

Aufgrund des Satzes von Pythagoras gilt: $(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}$. Auflösen der Klammer liefert:

$2rh=a^{2}+h^{2}$.

Das Volumen eines Kugelsegments ergibt sich aus dem Volumenintegral für Rotationskörper für den Kreisbogen $y=f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}$:

$V=\pi \int \limits _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int \limits _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)$.

Entsprechend ergibt sich die Mantelfläche eines Kugelsegments (ohne Basiskreis) aus der Flächenformel für Rotationsflächen

$M=2\pi \int \limits _{0}^{h}f(x)\cdot {\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx=2\pi r\int \limits _{0}^{h}\,dx=2\pi rh$ .

Und mit Basiskreis: $O=\pi (2rh+a^{2})=\pi (2a^{2}+h^{2})$.

Ähnliche Geometrische Objekte

Weitere Kugelteile sind Kugelschicht, Kugelausschnitt, Kugelring und Kugelkeil. Das zweidimensionale Analogon ist das Kreissegment.

Weblinks

Commons: Spherical caps – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Spherical Cap. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri-Deutsch-Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 252.
• Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.