„Funktionsgraph“ – Versionsunterschied

Als Funktionsgraph oder kurz Graph (seltener: Funktionsgraf oder Graf) einer Funktion $f$ bezeichnet man in der Mathematik die Menge aller geordneten Paare $(x,f(x))$ aus den Elementen $x$ der Definitionsmenge und den zugehörigen Funktionswerten $f(x)$.

Mitunter können diese Paare als Punkte in der Zeichenebene oder im Anschauungsraum interpretiert werden, sie werden auch Kurve, Kurvenverlauf oder ebenfalls Funktionsgraph genannt.

Formale Definition

Der Graph einer Funktion $f:A\to B$ ist die Menge

$G_{f}=\{(x,y)\in A\times B\mid y=f(x)\}.$

Spezialfälle und Beispiele

Der Graph einer Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ mit $D\subseteq \mathbb {R}$ ist eine Teilmenge von $\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}$ und kann somit als Punktmenge bzw. geometrische Figur in der Ebene aufgefasst werden.

Beispielsweise gilt:

• Der Graph einer Lineare Funktion liegt auf einer Geraden.
• Der Graph einer quadratischen Funktion liegt auf einer Parabel.
• Der Graph der Kehrwertfunktion $\textstyle x\mapsto {\tfrac {1}{x}}$ (mit $\textstyle f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R}$) ist eine Hyperbel.

Die Graphen von Funktionen $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ oder $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ sind Teilmengen von $\mathbb {R} ^{3}$ und können als räumliche Figuren ebenfalls noch bildlich dargestellt werden.

Bei hinreichend glatten Funktionen $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ist der Graph eine Fläche im dreidimensionalen Raum. Beispielsweise ergibt der Graph der Funktion $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ ein elliptisches Paraboloid.

Verwendung in der Mathematik

In mengentheoretischen Definitionen von Funktionen werden diese oftmals gerade als Menge der Stelle-Wert-Paare definiert, das heißt der Graph wäre nichts anderes als die Funktion selbst. Bei mathematischen Betrachtungen, die nicht direkt im Kontext der mengentheoretischen Fundierung der mathematischen Begriffe stehen, setzt man jedoch in der Regel keine Mengenstruktur einer Funktion voraus, sondern fordert lediglich die Definiertheit des Bildes zu einer gegebenen Stelle. Mengenoperationen werden dann nicht auf Funktionen ausgeführt (etwa würde $\sin \cap \cos$ dann meist nicht als sinnvoller Ausdruck angesehen), in einigen Fällen ist es jedoch gerade praktisch eine Funktion als Menge zu betrachten mit den auf Mengen definierten Operationen und Eigenschaften; diese Betrachtung geschieht über den Graphen der Funktion. Neben der Möglichkeit, eine Funktion dadurch als geometrische Figur zu betrachten, seien hier als weitere Beispiele genannt:

• In jedem polnischen Raum ist eine Funktion genau dann Borel-messbar, wenn der Graph eine Borel-Menge ist.
• Satz vom abgeschlossenen Graphen: Ein linearer Operator zwischen Banachräumen ist genau dann stetig, wenn sein Graph abgeschlossen ist.

Graphen im Sinne der graphischen Darstellung

Die graphische Darstellung ist kein mathematisches Objekt. Sie dienen im Rahmen der Mathematik der Veranschauung und lassen Mutmaßungen über die Eigenschaften einer Funktion zu.

Graphen unstetiger Funktionen, Definitionslücken

In der Darstellung der Graphen von unstetigen Funktionen oder von Funktionen mit Definitionslücken wird häufig durch $\bullet$ angedeutet, dass ein Punkt zum Graphen gehört, und durch $\circ$, dass ein Punkt nicht Teil des Graphen ist. Ein Beispiel ist die Illustration der Signumfunktion.

Beispiele

Drei Beispiele für Funktionsgraphen:

Funktion	Graph	Anmerkung
$f(x)=\operatorname {sgn} (x)={\begin{cases}-1&{\mbox{falls }}x<0\\0&{\mbox{falls }}x=0\\1&{\mbox{falls }}x>0\end{cases}}$	Signumfunktion	Der Funktionswert der Signumfunktion an der Stelle 0 ist 0.
$f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{falls }}x=1\\8&{\mbox{falls }}x=2\\15&{\mbox{falls }}x=3\end{cases}}$	Diskrete Funktion	Da der Definitionsbereich die Menge $\{1,2,3\}$ ist, besteht der Graph nur aus den drei Punkten $(1,0)$, $(2,8)$ und $(3,15)$.
$f(x)={\frac {1}{x}}$	Kehrwertfunktion	Für $x=0$ ist diese Funktion nicht definiert. Deshalb gibt es auch keinen Punkt des Funktionsgraphen mit der x-Koordinate 0.