„Logarithmentafel“ – Versionsunterschied

Seite einer Logarithmischen Tafel von 1912

Logarithmentafel von 1804

Logarithmentafel nennt man eine tabellarische Darstellung der Mantissen von Logarithmen. Logarithmentafeln waren über Jahrhunderte ein wichtiges Rechenhilfsmittel, besonders im natur- und ingenieurwissenschaftlichen Bereich. Viele Berechnungen in der Schulmathematik, z. B. das Ziehen von schwierigen Wurzeln, konnten nur mit ihrer Hilfe durchgeführt werden. Die Erfindung und weite Verbreitung von Taschenrechnern und Computern hat die Verwendung von Logarithmentafeln, ähnlich wie die von Rechenschiebern, innerhalb weniger Jahre praktisch völlig überflüssig gemacht.

Häufigste Tafeln waren der dekadische Logarithmus (zur Basis 10) in der Auflösung von 1,00 bis 9,99.

Geschichte

Nicolas Chuquet hatte 1484 in seinem Hauptwerk Triparty en la science des nombres, als erster den Gedanken logarithmisch zu rechnen und drückte Logarithmen in seiner Symbolschreibweise aus.

Michael Stifel führte 1544 in Arithmetica integra negative Exponenten ein.

Stifel		Chuquet
−2	−1	0	1	2	3	4	5	6
	(↑)			↑		↑	(↑)	↓(↓)
1/4	1/2	1	2	4	8	16	32	64

Will man aus der unteren Zeile (eine geometrische Reihe mit dem Verhältnis 2)

4·16

rechnen, wählt man die zugehörigen Werte der oberen Zeile (eine arithmetische Reihe mit dem Zuwachs 1) und addiert sie

2+4=6

und sucht unter 6 die Zahl 64 auf.

Will man nach Stifel

32:1/2

rechnen sucht man (geklammert) die Werte auf und subtrahiert für die Division:

5−(−1)=5+1=6

und sucht unter der 6 das Ergebnis 64 auf.

Es ging darum Multiplikation auf Addition zurückzuführen. Stifel begann mit negativen Exponenten, und konnte damit dividieren. Bekannt war das wegen einzelner Formeln aus der Trigonometrie, den Additionstheoremen von z.B. der Differenz von cos (a+b) und cos (a−b) ist

cos(a)·cos(b)=(cos(a−b)+cos(a+b))/2.

und

ab=1/4((a+b)²−(a−b)²)= 1/4(a²+2ab+b²−a²+2ab−b²),

die Potenzen auf Produkte zurückführt.

Napiersche Rechenstäbchen

John Napier gab mit seinem Werk Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio 1614 als erster eine Logarithmentafel heraus und gilt als deren Erfinder. Napier gab schon trigonometrische Funktionen an. In einem Anhang Constructio dachte Napier daran eine feste Basis zu nehmen, was sein Freund Briggs bald tat. An Napiers Rechenstäbchen kann man sich ein Bild machen, wie man ohne feste Basis rechnet.

Jost Bürgi war an der Einführung und Entwicklung der Dezimalzahlen, die für das praktische Rechnen nötig waren, beteiligt, und berechnete unabhängig von Napier die erste Logarithmentafel 1603-11. Kepler drängte ihn mehrfach, sie zu veröffentlichen, was aber erst 1620 unter Arithmetische und geometrische Progresstabuln, nach Napier, geschah. Als Mitarbeiter von Johannes Kepler verwendete er die erstellten Logarithmentafeln für astronomischen Berechnungen. Diese Tafeln waren rein numerisch.

Henry Briggs führte 1624 eine einheitliche Basis, die zehn, ein, und konnte seine Tafel, hier waren die Logarithmen der Zahlen von 1 bis 20.000 und von 90.000 bis 100.000 auf 14 Stellen genau aufgeführt, nicht mehr selbst fertigstellen. Sie wurde vom niederländischen Verleger Adriaan Vlacq und Ezechiel de Decker 1627/28 in den Niederlanden vollständig herausgegeben. Die Vlacqschen Tafeln enthielten relativ geringe 603 Fehler. Sie verdrängten die Napierschen völlig und ließen für Keplers Chilias logarithmorum 1624 kein Interesse mehr aufkommen.

Tafeln wurden mittels Potenzieren berechnet. Erst nach Erfindung der Infinitesimalrechnung boten sich immer mehr konvergente Reihen zur Berechnung an.

William Gardiner brachte 1773 eine Tafel mit exakten Werten heraus.

Man hatte mit Nicolaus Mercator die Möglichkeit Reihen (1668 für ln (1+x)) zur Berechnung heranzuziehen, dennoch dauerte es über 100 Jahre bis Jurij Vega 1783 seinen Thesaurus logarithmourum completus fehlerfrei herausbrachte, die die bekannteste Tafel war und für fast alle niederstelligeren die Grundlage bildete.

Carl Bremiker verbesserte die Vegaschen Tafeln.

Mit den Tafeln wurde bis in die 1970er überwiegend gerechnet.

Gebrauch von Logarithmentafeln

Logarithmentafeln erlauben es, die Multiplikation und Division von Zahlen auf die einfachere Addition und Subtraktion zurückzuführen. Bevor es mechanische oder elektrische Rechenmaschinen gab, erleichterten Logarithmentafeln das Rechnen ungemein. So waren Logarithmentafeln in der Schule unter anderem im Mathematik- und Physikunterricht der Oberstufe unverzichtbare Begleiter.

Das Produkt zweier Zahlen a und b wird aufgrund des Logarithmengesetzes

$\log _{x}(a\cdot b)=\log _{x}a+\log _{x}b$

dadurch berechnet, dass der Logarithmus der Zahl a zur Basis x und derjenige der Zahl b zur Basis x in der Tabelle nachgeschlagen wird. Die Summe der beiden Logarithmen wird gebildet und in der Tabelle gesucht. Die diese Summe als Logarithmus ergebende Zahl ist dann das Produkt von a und b.

Mit Hilfe einer Logarithmentafel lassen sich Rechenoperationen auf die nächst einfachere Operation zurückführen: Multiplikation auf Addition, Division auf Subtraktion, Potenzieren auf Multiplikation und Radizieren (Wurzelziehen) auf Division. Diese Rückführungen beruhen auf den folgenden Logarithmengesetzen:

• $\log _{x}(a\cdot b)=\log _{x}a+\log _{x}b\quad ;\quad a,b\in \mathbb {R} ^{+}$
• $\log _{x}\left({\frac {a}{b}}\right)=\log _{x}a-\log _{x}b\quad ;\quad a,b\in \mathbb {R} ^{+}$
• $\log _{x}(a^{b})=b\cdot \log _{x}a\qquad \qquad ;\quad a\in \mathbb {R} ^{+}\;\ b\in \mathbb {R}$
• $\log _{x}{\sqrt[{b}]{a}}={\frac {1}{b}}\cdot \log _{x}a\qquad \qquad ;\quad a\in \mathbb {R} ^{+}\;\ b\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$

Aufbau einer Logarithmentafel

Am verbreitetsten waren drei-, vier- und fünfstellige Logarithmentafeln. Je größer die Genauigkeit einer Tafel sein soll, desto größer wird ihr Umfang. In der Schule waren bis in die 1970er Jahre gewöhnlich vierstellige Logarithmentafeln im Gebrauch.

Einfache dreistellige Logarithmentafeln sind so aufgebaut, dass die ersten beiden Ziffern (also 10 bis 99) den linken Tabellenrand bilden, während die dritte Ziffer (0 bis 9) als Spaltenüberschrift dient.

Der Zahlenbereich von 1,00 bis 9,99 genügt bei Verwendung der Logarithmen zur Basis 10. Es lässt sich nämlich der Logarithmus des 10-fachen, 100-fachen usw. einer Zahl berechnen, indem der ganzzahlige Teil entsprechend der Anzahl Stellen modifiziert wird (Anzahl der Vorkommastellen minus 1). Siehe hierzu das Logarithmengesetz der Multiplikation: $\log _{a}(ax)=\log _{a}(a)+\log _{a}(x)=1+\log _{a}(x)$. Beispiel dazu: Der Logarithmus der 1-stelligen Zahl 2 ist etwa 0,30103; derjenige der 2-stelligen Zahl 20 ist 1,30103; der Logarithmus der 3-stelligen Zahl 200 ist 2,30103 usw. Für Zahlen kleiner 1 gilt entsprechend: $\log(0{,}2)\approx -1+0{,}30103=-0{,}69897$ und $\log(0{,}02)\approx -2+0{,}30103=-1{,}69897$.

Logarithmen zu Zahlen mit vier geltenden Ziffern lassen sich durch lineare Interpolation ermitteln.

Da Logarithmentafeln als täglich genutzte Werkzeuge angesehen wurden, wurden sie oft um zusätzliche Informationen angereichert. Es wurden Formelsammlungen beispielsweise aus der Geometrie und Trigonometrie aufgenommen, Datensammlungen beispielsweise über die Körper, die unser Sonnensystem bilden, sowie Sterbetafeln als Beispiele demografischer Datensammlungen u. v. a. m.

Erzeugen einer Logarithmentafel

Logarithmentafeln wurden aus Wertelisten der Umkehrfunktion, der Exponenzierung, durch Interpolation ermittelt.

P.P. Täfelchen

Den Tafeln sind Interpolationstafeln beigegeben für eine lineare Interpolation. P.P. steht für partes proportionales und ist eine lineare Interpolation.

$x=\log _{b}a$

Tafelausschnitt aus dem dekadischen (die Basis (b) ist 10) Logarithmus, Numerus (der Zahlwert (a)) links und oben, Mantisse (gemeint sind hier die Nachkommastellen (x)) rechts für fünfstellige Logarithmen. Die Nachkommastellen werden in Gruppen zu Zwei und Dreien aufgeteilt, rechts stehen die letzten drei Stellen. In anderen Tafeln werden wie hier beispielsweise die 82 nicht wiederholt sondern nur einmal in die Spalte hingeschrieben und erst, wenn sie sich zu 83 erhöhen, darunter in die Spalte geschrieben:

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
661	0,82020	027	033	040	046	053	060	066	073	079
662	0,82086	092	099	105	112	119	125	132	138	145

P.P Tafel:

P.P.	6	7
1	0,6	0,7
2	1,2	1,4
3	1,8	2,1
4	2,4	2,8
5	3,0	3,5
6	3,6	4,2
7	4,2	4,9
8	4,8	5,6
9	5,4	6,3

Will man hier eine interpolierte Mantisse für den Numerus 66108 bestimmen, muss man achtmal den Zehnteil der Tafeldifferenz 7 (horizontaler Unterschied der Tafelwerte) addieren, also 5,6, oder 0,000056 und hätte dann aufgerundet m = 4,82026.

Will man noch eine Stelle hinzufügen, nimmt man Teile der Tabellendifferenz geteilt durch 100 anstatt 10. Dabei sollte nur die letzte Stelle gerundet werden. Für den sechstelligen Numerus N = 6613,78 im ersten Schritt 4,2 im zweiten 0,48 und erhält dann fünfstellig m = 82040 + 4,2 + 0,48 = 82045, also 3,82045.

Hat man für einen vierstelligen Numerus M = 82116 (3,82116) zwischen M = 82112 und M = 82119 muss N zwischen N = 6624 und N = 6625 sein. Die Tafeldiffenz ist 7, die zusätzliche 4 der Mantisse findet man am ehesten in der Tafel, bei 3,5 also ist der Numerus 6624,5, rundet man 4,2 ab hiesse sie 6624,6. 3,5 kann man noch mal um 0,49 vergrössern was in der Tafel 0,07 bedeutete, also heißt der Numerus N schließlich 6624 + 0,5 + 0,07 = 6624,57, was man auf 6624,6 aufrundet. Wie man mit dem Taschenrechner nachrechnet.

Wie man sieht sind Tafeln für die Differenzen 7 und 6 angegeben, da beide in der Tafel vorkommen, 027 bis 033 sind sechs, danach kommt wieder sieben, 033 bis 040.

Trivia

Logarithmentafeln spielten bei der Entdeckung des Benfordschen Gesetzes eine Rolle. Die Seite mit der 1 als führende Ziffer wird häufiger benötigt als die anderen Ziffern und nutzte sich daher schneller ab.

Bekannte Ausgaben

• Vega-Bremiker, 7-stellige Logarithmen und Winkelfunktionen, ab 1795
• Wilhelm Jordan (Geodät), Logarithmen und Hilfstafeln

Weblinks

Wiktionary: Logarithmentafel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Informationen über John Napier (University of St Andrews, Schottland) (engl.)
• Liste der gebräuchlichen Tafeln mit Inhaltsverzeichnis und je zwei Abbildungen vom Buchdeckel und einer Seite.
• LOCOMAT, Loria Collection of Historical Tables