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Algebraisch konjugiert nennt man Elemente eines Körpers, die gemeinsame Lösungen eines Minimalpolynoms sind.

Definition

Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, $K[x]$ der Polynomring zu $K$ mit der Unbestimmten $x$. Die Elemente $a,b\in L$ seien algebraisch abhängig von $K$, das heißt es existieren $0\neq q(x),p(X)\in K[x]$ mit $p(a)=q(b)=0$. $a$ und $b$ heißen algebraisch konjugiert über $K$, wenn

${\text{Für alle }}p(x)\in K[x]{\text{ ist }}p(a)=0{\text{ gdw }}p(b)=0$

Alternativ:

${\text{a und b haben dasselbe Minimalpolynom über K.}}$

Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch kürzer nur von "konjugiert".

Beispiele

• Die komplexen Zahlen $\textstyle i$ und $\textstyle -i$ sind gemeinsame Lösungen des Minimalpolynoms $\textstyle x^{2}+1$ und als solche algebraisch konjugiert über $\mathbb {R}$. Über $\mathbb {C}$ haben sie natürlich die Minimalpolynome $x+i$ bzw. $x+i$ und sind nicht konjugiert.
• Verallgemeinerung davon: Jeweils 2 konjugiert-komplexe Zahlen $\textstyle a+bi$ und $\textstyle a-bi$ (für $b\neq 0$) sind auch algebraisch konjugiert über $\mathbb {R}$. Das Minimalpolynom ist $\textstyle x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}$
• Die Goldene Zahl $\Phi$ und ihr negativer Kehrwert sind konjugiert über dem Körper ${\mathbb {Q}}$. Sie sind Lösungen des Minimalpolynoms $\textstyle x^{2}-x-1$.