Annexion und CGS-Einheitensystem: Unterschied zwischen den Seiten

Inhalt gelöscht Inhalt hinzugefügt

Inline

Version vom 18. Juli 2012, 18:46 Uhr

Das CGS-Einheitensystem (auch CGS-System, cgs-System, CGS oder cgs, aus dem Englischen „Centimetre Gram Second“) ist ein metrisches, kohärentes Einheitensystem basierend auf den Einheiten Zentimeter, Gramm und Sekunde. Die CGS-Einheiten der Mechanik lassen sich eindeutig aus diesen Basiseinheiten ableiten, es existieren jedoch mehrere konkurrierende Erweiterungen des CGS-Systems für elektromagnetische Einheiten. Die vier am weitesten verbreiteten Varianten sind:

das elektrostatische CGS-Einheitensystem (ESU),
das elektromagnetische CGS-Einheitensystem (EMU),
das Gaußsche Einheitensystem und
das Heaviside-Lorentz-Einheitensystem.

Nennenswerte Bedeutung hat heute nur noch das gaußsche Einheitensystem, mit „CGS-Einheit“ ist in moderner Literatur meistens eine gaußsche CGS-Einheit gemeint.

Überblick

Das CGS-System wurde 1874 von der British Association for the Advancement of Science eingeführt und 1889 durch das MKS-Einheitensystem, basierend auf den Basiseinheiten Meter, Kilogramm und Sekunde, abgelöst. Das MKS wurde seinerseits um die elektromagnetische Basiseinheit Ampere erweitert (dann häufig als MKSA-System bezeichnet) und ging schließlich 1960 im Système International d’Unités (SI) auf, welches heute zusätzlich die Basiseinheiten Mol, Candela und Kelvin umfasst. Auf den meisten Feldern ist das SI das einzig gebräuchliche Einheitensystem, es existieren jedoch Bereiche, in denen das CGS – insbesondere dessen erweiterte Formen – noch Verwendung findet.

Da CGS und MKS (oder das SI im Bereich der Mechanik) auf dem gleichen Größensystem mit den Basisgrößen Länge, Masse und Zeit fußen, sind die Dimensionsprodukte der abgeleiteten Einheiten in beiden Systemen gleich. Eine Umrechnung zwischen Einheiten beschränkt sich auf die Multiplikation mit einem reinen Zahlenfaktor. Vereinfachend kommt hinzu, dass nur Umrechnungsfaktoren in Potenzen von 10 auftreten, wie es sich ausgehend von den Beziehungen 100 cm = 1 m und 1000 g = 1 kg ergibt. Ein Beispiel: Für die Kraft ist die abgeleitete CGS-Einheit das Dyn (entspricht 1 g·cm·s⁻²) und die abgeleitete MKS-Einheit das Newton (entspricht 1 kg·m·s⁻²). Damit lautet die Umrechnung 1 dyn = 10⁻⁵ N.

Auf der anderen Seite sind Umrechnungen zwischen elektromagnetischen Einheiten des CGS und denen des MKSA recht umständlich. Während das MKSA hierfür das Ampere als Einheit für die elektrische Stromstärke einführt, benötigt keine der Erweiterungen des CGS eine weitere Basiseinheit. Stattdessen werden die Proportionalitätskonstanten im Coulomb-Gesetz (elektrische Permittivität), im ampèreschen Gesetz und im faradayschen Induktionsgesetz per Definition festgelegt. Die verschiedenen sinnvollen Wahlmöglichkeiten bei der Festlegung haben zu den verschiedenen Ausprägungen des CGS-Systems geführt. In jedem Fall lassen sich alle elektromagnetischen Einheiten auf die drei rein mechanischen Basiseinheiten zurückführen. Allerdings ändern sich dadurch nicht nur die Dimensionsprodukte jener abgeleiteter Einheiten, sondern auch die Form von physikalischen Größengleichungen der Elektrodynamik (siehe z.B. Maxwell-Gleichungen). Es gibt damit keine Eins-zu-Eins Entsprechung zwischen den elektromagnetischen Einheiten des MKSA (bzw. des SI) und des CGS, auch nicht zwischen den verschiedenen CGS Varianten untereinander. Umrechnungen beinhalten neben einem reinen Zahlenfaktor eben auch die Größenwerte der obigen, im CGS eingesparten Konstanten.

Das Prinzip der Festschreibung von Naturkonstanten (statt der Einführung von Basiseinheiten) lässt sich auch auf andere Bereiche der Physik übertragen und hat Entwicklung weiterer Einheitensysteme wie dem atomaren Einheitensystem geführt. Auch das SI setzt in seinen jüngeren Inkarnationen auf diese Methode; im Gegensatz zum CGS und anderen Einheitensystemen werden die bisherigen Basiseinheiten trotzdem als solche weitergeführt.

CGS-Einheiten der Mechanik

Wie in anderen Einheitensystemen auch, umfassen die CGS-Einheiten zwei Einheitengruppen, die Basiseinheiten und die abgeleiteten Einheiten. Letztere lassen sich jeweils als Produkt von Potenzen (Potenzprodukt) der Basiseinheiten schreiben. Da das System kohärent („zusammenhängend“) ist, kommen in den Potenzprodukten keine weiteren Zahlenfaktoren vor. Für die CGS-Einheit einer beliebigen Größe G heißt das mathematisch:

[G]=\mathrm {cm} ^{\alpha }\,\mathrm {g} ^{\beta }\,\mathrm {s} ^{\gamma }

Dabei sind cm, g und s die Einheitenzeichen der Basiseinheiten Zentimeter, Gramm und Sekunde. Die Exponenten α, β und γ sind jeweils positive oder negative ganze Zahlen oder Null. Obige Einheitengleichung kann auch als entsprechende Dimensionsgleichung dargestellt werden:

\dim G=L^{\alpha }\,M^{\beta }\,T^{\gamma }

Dabei sind L, M und T die Dimensionszeichen der Basisgrößen Länge, Masse und Zeit (englisch time).

Da das MKS-Einheitensystem die gleichen Basisgrößen benutzt, ist die Dimension einer Größe in beiden Systemen gleich (gleiche Basen und gleiche Exponenten im Dimensionsprodukt). Wegen der zwei unterschiedlichen Basiseinheiten stimmen in der Einheitengleichung neben der Basis s nur die Exponenten überein. Formal lautet die Umrechnung:

[G]_{\text{MKS}}=\mathrm {m} ^{\alpha }\,\mathrm {kg} ^{\beta }\,\mathrm {s} ^{\gamma }=10^{2\alpha +3\beta }\,\mathrm {cm} ^{\alpha }\,\mathrm {g} ^{\beta }\,\mathrm {s} ^{\gamma }=10^{2\alpha +3\beta }\,[G]_{\text{CGS}}

Jeder CGS-Einheit entspricht somit eindeutig eine MKS-Einheit, sie unterscheiden sich nur um einen Zahlenfaktor.

Abgeleitete CGS-Einheiten mit besonderen Namen

Einigen abgeleitete CGS-Einheiten wurden eigene Namen und Einheitenzeichen (Symbole) zugeordnet, die selbst wieder mit allen Basis- und abgeleiteten Einheiten kombiniert werden können. So eignet sich zum Beispiel die CGS-Einheit der Kraft, das Dyn (= g·cm/s²), um die Einheit der Energie, das Erg als Dyn mal Zentimeter (dyn·cm) auszudrücken. Die folgende Tabelle listet die benannten Einheiten.

Größe	Einheit	Einheiten- zeichen	in anderen CGS-Einheiten ausgedrückt	in CGS-Basiseinheiten ausgedrückt	in SI-Einheiten ausgedrückt
Schwerebeschleunigung	Gal	Gal	cm/s²	cm·s⁻²	10⁻² m·s⁻²
Kraft	Dyn	dyn	g·cm/s²	cm·g·s⁻²	10⁻⁵ N
Druck	Barye	Ba	dyn/cm²	cm⁻¹·g·s⁻²	10⁻¹ Pa
Energie, Arbeit	Erg	erg	dyn·cm	cm²·g·s⁻²	10⁻⁷ J
Kinematische Viskosität	Stokes	St	cm²/s	cm²·s⁻¹	10⁻⁴ m²·s⁻¹
Dynamische Viskosität	Poise	P	g/(cm·s)	cm⁻¹·g·s⁻¹	10⁻¹ Pa·s
Wellenzahl	Kayser	kayser	1/cm	cm⁻¹	10² m⁻¹

CGS-Einheiten der Elektrodynamik

Allgemeine Formulierung der Elektrodynamik

Elektrodynamische Größen sind über mehrere Naturgesetze mit mechanischen Größen verknüpft. Die Elektrodynamik selbst wird vollständig durch die Maxwellsche Gleichungen beschrieben, die sich unabhängig vom Einheitensystem mit Hilfe zweier Proportionalitätskonstanten $\alpha _{1}$ und $\alpha _{2}$ formulieren lassen:

{\begin{aligned}{\mbox{div}}\,{\vec {E}}&=\alpha _{1}\,\rho \;,&{\mbox{div}}\,{\vec {B}}&=0\;,\\{\mbox{rot}}\,{\vec {E}}&=-{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}}}\,{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\;,&{\mbox{rot}}\,{\vec {B}}&={\frac {1}{c^{2}}}\alpha _{2}\,{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}}}\,{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\;,\end{aligned}}

wobei $\rho$ die Ladungsdichte und ${\vec {j}}$ die Stromdichte meint. Wie aus den obigen Gleichungen ersichtlich wird, verknüpft die Konstante $\alpha _{1}$ die elektrische Ladung $Q$ mit der elektrischen Feldstärke ${\vec {E}}$ (Coulomb-Gesetz) und die Konstante $\alpha _{2}$ den elektrischen Strom $I$ mit der magnetischen Flussdichte ${\vec {B}}$ (Ampèresches Gesetz). Das konstante Verhältnis $\alpha _{2}/\alpha _{1}$ und dessen Kehrwert beschreibt die Abhängigkeit von elektrischem und magnetischem Feld, wenn diese sich zeitlich ändern (Verschiebungsstrom und Induktionsgesetz).

Jedes Einheitensystem der Mechanik kann zur Beschreibung der Elektrodynamik erweitert werden, indem die Größenwerte von jeweils 2 der 3 Konstanten $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ und $\alpha _{2}/\alpha _{1}$ festgelegt werden. Prinzipiell stehen dazu drei Wege offen:

Einführung von zwei neuen Basiseinheiten für die elektrische Ladung $Q$ und elektrischen Strom $I$ . Hierdurch werden obige Konstanten zu Messgrößen, die mit einer Messunsicherheit behaftet sind.
Wahl von einer neuen Basiseinheit entweder für $Q$ oder für $I$ und der expliziten Definition einer Konstanten. Die verbleibenden Konstanten sind dann fehlerbehaftete Messgrößen.
Verzicht auf neue Basiseinheiten durch explizite Definition zweier Konstanten. Auch die dritte Konstante ist dadurch festgelegt und nicht fehlerbehaftet.

Im SI-System wurde der zweite Weg mit der Einführung des Amperes als Einheit von $I$ und der Definition $\alpha _{2}/\alpha _{1}=1$ beschritten. Alle Erweiterungen des CGS-Systems setzen hingegen auf den dritten Weg. Folgende Tabelle fasst die unterschiedlichen Einheitensysteme zusammen.

Einheitensystem	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	$\alpha _{2}/\alpha _{1}$
Elektrostatisches CGS-System	$4\pi$	$4\pi$	1
Elektromagnetisches CGS-System	$4\pi c^{2}$	$4\pi c^{2}$	1
Gaußsches CGS-System	$4\pi$	$4\pi c$	$c$
Heaviside-Lorentz-Einheitensystem	1	$c$	$c$
SI-System^{[E 1]}	$4\pi \cdot 10^{-7}\mathrm {\frac {N}{A^{2}}} \cdot c^{2}$	$4\pi \cdot 10^{-7}\mathrm {\frac {N}{A^{2}}} \cdot c^{2}$	1
↑ Das SI führt das Ampere (A) als eigenständige Basiseinheit ein. Die amtliche Definition des Ampere impliziert eine Festlegung von $\mu _{0}$ = 4π·10⁻⁷ N/A². Außerdem gilt: $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\mu _{0}c^{2}$ .

Elektromagnetische Einheiten in verschiedenen CGS-Systemen

Umrechnung elektromagnetischer SI-Einheiten in CGS-ESU, CGS-EMU und CGS-Gauß Einheiten.
c = 29 979 245 800 cm·s⁻¹ ≈ 3·10^{10 cm·s⁻¹}
elektromagnetische Größe	Zeichen	SI-Einheit	ESU-Einheit	EMU-Einheit	Gauß-Einheit	Gauß-Einheit in CGS-Basiseinheiten
Ladung	Q	1 C	= (10⁻¹ c) statC	= (10⁻¹) abC	= (10⁻¹ c) Fr	g^1/2·cm^3/2·s⁻¹
Stromstärke	I	1 A	= (10⁻¹ c) statA	= (10⁻¹) abA	= (10⁻¹ c) Fr·s⁻¹	g^1/2·cm^3/2·s⁻²
Spannung	U	1 V	= (10⁸ c⁻¹) statV	= (10⁸) abV	= (10⁸ c⁻¹) statV	g^1/2·cm^1/2·s⁻¹
elektrische Feldstärke	E	1 V/m	= (10⁶ c⁻¹) statV/cm	= (10⁶) abV/cm	= (10⁶ c⁻¹) statV/cm	g^1/2·cm^−1/2·s⁻¹
elektrisches Dipolmoment	p	1 C·m	= (10¹ c) statC·cm	= (10¹) abC·cm	= (10¹⁹ c) D	g^1/2·cm^5/2·s⁻¹
magnetische Flussdichte	B	1 T	= (10⁴ c⁻¹) statT	= (10⁴) G	= (10⁴) G	g^1/2·cm^−1/2·s⁻¹
magnetische Feldstärke	H	1 A/m	= (4π·10⁻³ c) statA/cm	= (4π·10⁻³) Oe	= (4π·10⁻³) Oe	g^1/2·cm^−1/2·s⁻¹
magnetisches Dipolmoment	μ	1 A·m²	= (10³ c) statA·cm²	= (10³) abA·cm²	= (10³) erg/G	g^1/2·cm^5/2·s⁻¹
magnetische Durchflutung	Θ	1 A	= (4π·10⁻¹ c) statA	= (4π·10⁻¹) abA	= (4π·10⁻¹) Gb	g^1/2·cm^1/2·s⁻¹
magnetischer Fluss	Φ_m	1 Wb	= (10⁸ c⁻¹) statT·cm²	= (10⁸) G·cm²	= (10⁸) Mx	g^1/2·cm^3/2·s⁻¹
Widerstand	R	1 Ω	= (10⁹ c⁻²) s/cm	= (10⁹) abΩ	= (10⁹ c⁻²) s/cm	cm⁻¹·s
spezifischer Widerstand	ρ	1 Ω·m	= (10¹¹ c⁻²) s	= (10¹¹) abΩ·cm	= (10¹¹ c⁻²) s	s
Kapazität	C	1 F	= (10⁻⁹ c²) cm	= (10⁻⁹) abF	= (10⁻⁹ c²) cm	cm
Induktivität	L	1 H	= (10⁹ c⁻²) cm⁻¹·s²	= (10⁹) abH	= (10⁹ c⁻²) cm⁻¹·s²	cm⁻¹·s²
elektrische Leistung	P	1 V·A	= (10⁷) erg/s	= (10⁷) erg/s	= (10⁷) erg/s	g·cm²·s⁻³ = dyn·cm·s⁻¹

In der Tabelle werden die folgenden Abkürzungen für elektromagnetische CGS-Einheiten mit besonderen Namen verwendet:

Fr = Franklin,
G = Gauß,
Gb = Gilbert,
Oe = Oersted
Mx = Maxwell
D = Debye

[1] Das SI führt das Ampere (A) als eigenständige Basiseinheit ein. Die amtliche Definition des Ampere impliziert eine Festlegung von $\mu _{0}$ = 4π·10⁻⁷ N/A². Außerdem gilt: $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\mu _{0}c^{2}$ .

[E 1]