„Ljapunow-Funktion“ – Versionsunterschied
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'''Ljapunow-Funktionen''' sind reellwertige stetige [[Funktion]]en, die zum Stabilitätsnachweis der Ruhelagen dynamischer Systeme verwendet werden. Benannt sind die Funktionen nach dem russischen Mathematiker [[Alexander Ljapunow]], wobei die Schreibweise nicht einheitlich ist (gebräuchlich sind auch Ljapunov, Liapunov oder Lyapunov). |
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[[Kategorie:Stabilitätstheorie]] |
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Man betrachtet ein [[dynamisches System]], das durch ein [[Differentialgleichungssystem]] <math>\rm \dot{x}=f(x)</math> beschrieben wird und die Ruhelage <math>\rm x=0</math> besitzt. Die Ruhelage <math>\rm x=0</math> ist asymptotisch stabil, d.h. alle Lösungen des Differentialgleichungssystem, die in einer Anfangswerte-Umgebung der Ruhelage beginnen, streben in diese Ruhelage, wenn es eine Funktion <math>\rm v(x)</math> gibt, die folgende Bedingungen erfüllt: |
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(1) <math>\rm v(0)=0</math>, |
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(2) <math>\rm v(x)>0</math> für <math>\rm x\neq 0</math>, |
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(3) <math>\rm \dot{v}(x)=\dot{x}^T grad \;v(x)<0</math>. |
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Die Funktion <math>\rm v</math> wird Ljapunow-Funktion genannt. |
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Obige Bedingungen (1) und (2) bewirken, daß die Funktion <math>\rm v</math> einen [[konvex]]en [[Graph]]en mit einem Minimum in <math>\rm x=0</math> besitzt, d.h. anschaulich die Form einer Tasse aufweist. |
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Bedingung (3) stellt sicher, daß die Funktion <math>\rm v(x(t))</math> im zeitlichen Verlauf einer Lösung <math>\rm x(t)</math> des Differentialgleichungssystems nur abnimmt. Zwangsläufig müssen die Lösungen des Differentialgleichungssystems dann [[asymptotisch]] in die Ruhelage <math>\rm x=0</math> laufen. |
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==Literatur== |
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N. Rouche, P. Habets und M. Laloy: ''Stability Theory by Liapunov's Direct Method''. Springer, 1977. |
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W. Hahn: ''Stability of Motion''. Springer, 1967. |
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Aktuelle Version vom 9. Juli 2018, 12:07 Uhr
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