„Kovariante Ableitung“ – Versionsunterschied

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Zusammenhang (Differentialgeometrie)#Zusammenhänge auf dem Tensorbündel

Wikidata: Kovariante Ableitung (Q2287715)

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+#WEITERLEITUNG [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)#Zusammenhänge auf dem Tensorbündel]]
-Die '''kovariante Ableitung''' ist ein krummliniger [[Differentialgeometrie|Differentialoperator]] zur Berechnung von Bewegungsbahnen eines freien Teilchens in einer [[Raumkrümmung|gekrümmten]] [[Raumzeit]].
+{{Wikidata-Weiterleitung|Q2287715}}
+[[Kategorie:Differentialoperator]]
-Frei heißt in diesem Zusammenhang, dass keine äußeren Kräfte auf das Teilchen einwirken, die seine Bahn beeinflussen könnten. Die Gravitation ist in diesem Sinne keine Kraft die auf das Teilchen wirkt, sie drückt sich in der Krümmung der [[Raumzeit]] aus, gibt also die Bahnen vor, entlang der sich ein Teilchen bewegen kann.
+[[zh:共变导数]]
-Die kovariante Ableitung geht im flachen Raum der [[spezielle Relativitätstheorie|Speziellen Relativitätstheorie]] in die [[partielle Ableitung]] über.
-Dieser Artikel ist sehr formal. Daher werden die Ergebnisse und ihre Interpretation kurz beschrieben.
-Es gilt <math>\frac{Du^\mu}{d\tau} = 0</math> für den kovarianten Differentialoperator ''D'' (der noch zu definieren ist).
-In der [[Isaac Newton|Newton]]schen [[Mechanik]] gilt die Bedingung <math> \frac{d u^k}{dt} = 0</math> für die [[Komponente]]n des [[Geschwindigkeit]]s-[[Vektor (Mathematik)|Vektors]] <math>\vec{u}</math> eines freien [[Teilchen]]s, d.h. das Teilchen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.
-In diesem Teil der [[Physik]] ist die [[Zeit]] ''t'' gleich der [[Zeitdilatation|Eigenzeit]] <math>\tau</math> eines Teilchens, so dass man zwischen ''dt'' und <math>d\tau</math> nicht unterscheiden muss.
-Man erkennt, dass die kovariante [[Differentialrechnung|Ableitung]], differenziert nach der Eigenzeit <math>\tau</math>, und die Newtonsche Ableitung, differenziert nach der Zeit ''t'',  angewandt auf den [[Geschwindigkeit]]s-[[Vektor (Mathematik)|Vektor]] eines freien Teilchens beide den Wert Null ergeben.
-Der Unterschied besteht darin, dass die [[Bewegung]] eines freien Teilchens in der Newtonschen Mechanik den Einfluss eines [[Gravitationsfeld]]es ausschließt, während die kovariante Ableitung die Bewegung eines freien Teilchens in einer gekrümmten [[Raumzeit]] beschreibt, deren Krümmung Gravitation hervorruft.
-Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass der Geschwindigkeitsvektor in der Newtonschen Mechanik drei Komponenten hat, während der Geschwindigkeitsvektor der Relativitätstheorie aus vier Komponenten besteht.
-(vgl. das Kapitel über [[Vierervektoren]])
-==Die Ableitung im Einzelnen==
-In die Definition der kovarianten Ableitung gehen die [[Christoffelsymbole]] ein.
-Man kann sich die kovariante Ableitung plausibel machen, wenn man von der Bewegungsgleichung eines freien Teilchens im Gravitationsfeld ausgeht, wie sie in dem Artikel über Christoffelsymbole hergeleitet wurde:
-<math>\frac{d^2 x^\kappa}{d \tau^2}=-\Gamma^\kappa{}_{\mu,\nu}* \frac{d x^\mu}{d \tau} * \frac{d x^\nu}{d \tau}</math>
-Der Ausdruck <math>\frac{d x^\kappa}{d \tau}</math> beschreibt die [[Komponente]] <math>\kappa</math> des Geschwindigkeitsvektors <math>(u^i) </math>, und
-<math>\frac{d x^\mu}{d \tau}</math> die Komponente <math>\mu</math> des Geschwindigkeitsvektors  <math>(u^i)</math>.
-Daher kann man diese Gleichung folgendermaßen schreiben:
-<math>\frac{d u^\kappa}{d \tau}=-\Gamma^\kappa{}_{\mu,\nu}* u^\mu * \frac{d x^\nu}{d \tau}</math>
-Multipliziert man diese Gleichung formal mit <math>d \tau</math> so erhält man:
-<math>d u^\kappa=-\Gamma^\kappa{}_{\mu,\nu}* u^\mu * d x^\nu </math>
-Für das weitere Vorgehen benötigt man Aussagen aus der [[Differentialgeometrie]], wie mit Ausdrücken der Form <math>du^\kappa</math> verfahren werden kann. Es handelt sich um ein '''totales Differential'''.
-Der Geschwindigkeitsvektor <math>(u^\mu)</math> hängt ab von den Koordinaten <math> x^k </math> des Ortsvektors <math>(x^\mu)</math>, d.h. an jedem [[Ort]] kann das Teilchen eine andere Geschwindigkeit haben.
-<math>d u^\kappa=\frac{\partial u^k}{\partial x^\nu} d x^\nu</math>
-Dabei wird über den [[Index]] <math>\nu</math> summiert, er kann die Werte ''0,1,2,3'' annehmen.
-Umstellen der Gleichung mit den Christoffelsymbolen liefert
-<math>0 =(\frac{\partial u^k}{\partial x^\nu} + \Gamma^\kappa{}_{\mu,\nu} * u^\mu)* d x^\nu </math>
-Der Ausdruck <math>Du^\mu=(\frac{\partial u^k}{\partial x^\nu} + \Gamma^\kappa{}_{\mu,\nu} * u^\mu) *dx^\nu</math> beschreibt das kovariante Differential ''D''.
-Aus dem vorhergehenden folgt dass <math>D u^\mu=0</math> als Bedingung für die Bewegungsbahn eines freien Teilchens im Gravitationsfeld erfüllt sein muss.
-<math>\frac{Du^\mu}{dx^\nu}=(\frac{\partial u^k}{\partial x^\nu} + \Gamma^\kappa{}_{\mu,\nu} * u^\mu) </math>
-heißt kovariante Ableitung (oder kovariantes Differential) von <math>u^\mu</math> nach <math>x^\nu</math>
-Im flachen Raum der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] verschwinden die Christoffelsymbole, und man sieht dass die kovariante Ableitung in die partielle Ableitung übergeht.
-Die vorangehende Ableitung wurde im Rahmen der [[klassisch]]en Differentialgeometrie vorgenommen, sie dient dazu, die kovariante Ableitung plausibel zu machen. Es gibt einen streng mathematischen Zugang in der Theorie der differenzierbaren [[Mannigfaltigkeit]]en, allerdings muss man sich vorher mit der dort verwendeten [[Terminologie]] vertraut machen.