„Gergonne-Punkt“ – Versionsunterschied

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Aktuelle Version vom 22. Januar 2025, 10:57 Uhr

Der Gergonne-Punkt eines Dreiecks (benannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Diez Gergonne) ist ein ausgezeichneter Punkt im Inneren eines Dreiecks. Er hat die Kimberling-Nummer $X_{7}$ .

Definition

Der Inkreis eines Dreiecks $ABC$ berühre die Seiten des Dreiecks in den Punkten $X$ , $Y$ und $Z$ . Gergonne zeigte, dass sich die drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Berührungspunkten und der jeweils gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt $G$ , schneiden.^[1] Das Dreieck $XYZ$ wird als Gergonne-Dreieck bezeichnet.

Dass sich diese drei Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus der Gleichheit von Tangentenabschnitten ( ${\overline {AZ}}={\overline {AY}}$ , ${\overline {BX}}={\overline {BZ}}$ , ${\overline {CY}}={\overline {CX}}$ ) und dem Satz von Ceva.

Eigenschaften

Der Gergonne-Punkt liegt mit dem Schwerpunkt und dem Mittenpunkt (in dieser Reihenfolge) auf einer Geraden.^[1] Dabei gilt ${\overline {GS}}:{\overline {SM}}=2:1$ .^[2]
Gergonne-Punkt und Nagel-Punkt sind isotomisch konjugiert.^[3]

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des Gergonne-Punkts ( $X_{7}$ ) sind (gleichwertig)

{\frac {bc}{b+c-a}}\,:\,{\frac {ca}{c+a-b}}\,:\,{\frac {ab}{a+b-c}}

oder

\sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\beta }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\gamma }{2}}.

^[3]

Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)

{\frac {1}{b+c-a}}\,:\,{\frac {1}{c+a-b}}\,:\,{\frac {1}{a+b-c}}

oder

\tan {\frac {\alpha }{2}}:\tan {\frac {\beta }{2}}:\tan {\frac {\gamma }{2}}.

^[3]

Dabei sind $a,b,c$ die Seitenlängen des Dreiecks und $\alpha ,\beta ,\gamma$ die Größen der Innenwinkel.

Literatur

Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, S. 230–233.
Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 78.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Gergonne Point. In: MathWorld (englisch).
Gergonne-Punkt – Visualisierung mit GeoGebra.

Einzelnachweise

↑ ^a ^b Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 82.
↑ Eric W. Weisstein: Gergonne Point. In: MathWorld (englisch).
↑ ^a ^b ^c Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(7). Abgerufen am 21. Januar 2025.

[Grundmann-Gergonnepunkt-1] Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 82.

[2] Eric W. Weisstein: Gergonne Point. In: MathWorld (englisch).

[ETC-X7-3] Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(7). Abgerufen am 21. Januar 2025.

[1]

[2]

[3]

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+[[Datei:Triangle-gergonne-point.svg|mini|hochkant=1.5|Gergonne-Punkt G]]
-Der '''Gergonne-Punkt''' eines Dreiecks (nach [[Joseph Diaz Gergonne|J. D. Gergonne]]) ist derjenige Punkt im Inneren des Dreiecks, in dem sich die Verbindungsstrecken zwischen den Ecken und den jeweils gegenüber liegenden Berührpunkten des [[Inkreis]]es schneiden.
+Der '''Gergonne-Punkt''' eines Dreiecks (benannt nach dem französischen Mathematiker [[Joseph Gergonne|Joseph Diez Gergonne]]) ist ein [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneter Punkt]] im Inneren eines [[Dreieck]]s. Er hat die [[Kimberling-Nummer]] <math>X_7</math>.
+== Definition ==
-[[Bild:GergonnePunkt.png]]
+Der [[Inkreis]] eines Dreiecks <math>ABC</math> berühre die Seiten des Dreiecks in den Punkten <math>X</math>, <math>Y</math> und <math>Z</math>. Gergonne zeigte, dass sich die drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Berührungspunkten und der jeweils gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks in einem Punkt, dem '''Gergonne-Punkt''' <math>G</math>, schneiden.<ref name="Grundmann-Gergonnepunkt">{{Literatur |Titel=Dreieckgeometrie |Autor=Wolfgang Grundmann |Verlag=AVM |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-89975-808-5 |Seiten=82}}</ref> Das Dreieck <math>XYZ</math> wird als '''Gergonne-Dreieck''' bezeichnet.
-Dass sich diese Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus <math>\overline{AZ}=\overline{AY}</math> usw. und dem [[Satz von Ceva]].
+Dass sich diese drei Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus der Gleichheit von Tangentenabschnitten (<math>\overline{AZ} = \overline{AY}</math>, <math>\overline{BX} = \overline{BZ}</math>, <math>\overline{CY} = \overline{CX}</math>) und dem [[Satz von Ceva]].
+== Eigenschaften ==
-[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]
+[[Datei:Gergonne mitten schwerpunkt.svg|mini|hochkant=1.5|Gemeinsame Gerade g von Gergonne-Punkt G, Mittenpunkt M und Schwerpunkt S]]
+* Der Gergonne-Punkt liegt mit dem [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] und dem [[Mittenpunkt]] (in dieser Reihenfolge) auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Gergonnepunkt" /> Dabei gilt <math>\overline{GS} : \overline{SM} = 2 : 1</math>.<ref>{{MathWorld |id=GergonnePoint |title=Gergonne Point}}</ref>
+* Gergonne-Punkt und [[Nagel-Punkt]] sind [[Isotomisch konjugierte Punkte|isotomisch konjugiert]].<ref name="ETC-X7">{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X7 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(7) |abruf=2025-01-21}}</ref>
+== Koordinaten ==
+Die [[Trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] des Gergonne-Punkts (<math>X_7</math>) sind (gleichwertig)
+:<math>\frac{bc}{b+c-a} \, : \, \frac{ca}{c+a-b} \, : \, \frac{ab}{a+b-c}</math> oder
+:<math>\sec^2\frac{\alpha}{2} \, : \, \sec^2\frac{\beta}{2} \, : \, \sec^2\frac{\gamma}{2}.</math><ref name="ETC-X7" />
+Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] sind (gleichwertig)
+:<math>\frac{1}{b+c-a} \, : \, \frac{1}{c+a-b} \, : \, \frac{1}{a+b-c}</math> oder
+:<math>\tan\frac{\alpha}{2} : \tan\frac{\beta}{2} : \tan\frac{\gamma}{2}.</math><ref name="ETC-X7" />
+Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.
+== Literatur ==
+* Peter Baptist: ''Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt.'' In: ''Sudhoffs Archiv,'' 71, 1987, 2, S.&nbsp;230–233.
+* Lorenz Halbeisen, [[Norbert Hungerbühler]], Juan Läuchli: ''Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie.'' Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S.&nbsp;78.
+== Weblinks ==
+* {{MathWorld |id=GergonnePoint |title=Gergonne Point}}
+* [https://thema-mathematik.at/tmwiki/doku.php?id=gergonne&s Gergonne-Punkt] – Visualisierung mit [[GeoGebra]].
+== Einzelnachweise ==
+<references />
+[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]
+[[fr:Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle#Point de Gergonne]]
+[[en:Gergonne Point]]