„Kugelzweieck“ – Versionsunterschied

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Zweiecke für einen Globus von Martin Waldseemüller (um 1470–1522)

Ein Kugelzweieck, auch sphärisches Zweieck, Kugelzweiseit, Zwickel oder nur Zweieck (Digon) genannt, ist in der sphärischen Geometrie (Kugelgeometrie) eine Punktmenge auf einer Kugel, die von zwei halben Großkreisen^[1] begrenzt wird.

Zwei beliebige Großkreise auf einer Kugel schneiden sich stets in genau zwei gegenüberliegenden Punkten. Sie teilen sich so gegenseitig in je zwei Halbkreise und zusammen die Kugeloberfläche in vier Kugelzweiecke. Bei Globen, kugelförmigen Modellen der Erdkugel, bildet zum Beispiel die von zwei Meridianen eingeschlossene Fläche ein Kugelzweieck, wobei Nord- und Südpol des Globus die Ecken sind.

Die beiden Ecken eines beliebigen Kugelzweiecks liegen auf der Kugeloberfläche genau gegenüber. Die Seitenlängen betragen jeweils den halben Umfang eines Großkreises. Die beiden Innenwinkel sind gleich groß. Das von einem Kugelzweieck eingeschlossene Volumen ist ein Kugelkeil. Ein dritter Großkreis, der nicht durch die Ecken geht, teilt das Kugelzweieck in zwei Kugeldreiecke.

Formel

Für den Flächeninhalt des Kugelzweiecks gilt ( $4\,\pi \,r^{2}$ ist die Oberfläche der gesamten Kugel):

A={\frac {\gamma }{360^{\circ }}}\cdot 4\,\pi \,r^{2}={\frac {\gamma }{90^{\circ }}}\cdot \pi \,r^{2}

Hier stehen

$\gamma$ für die Größe eines Innenwinkels (im Gradmaß)
r für den Radius der Kugel.

Ist $\,\gamma$ im Bogenmaß gegeben, lässt sich die Formel auch schreiben als:

A={\frac {\gamma }{2\,\pi }}\cdot 4\,\pi \,r^{2}=2\gamma r^{2}

Beispiel: Auf der idealisierten Erdkugel hat ein Kugelzweieck, das von zwei benachbarten Meridianen begrenzt wird (also $\,\gamma$ = 1°), die Fläche

A={\frac {1^{\circ }}{90^{\circ }}}\cdot \pi \,(6370\ \mathrm {km} )^{2}=1{,}4\ \mathrm {Mio\ km} ^{2}

Literatur

Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-2005-2, S. 167.

Weblinks

Commons: Kugelzweieck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

↑ Siehe Definition zum sphärischen Zweieck in Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 4. Springer-Verlag GmbH Deutschland, 2017, ISBN 978-3-662-53499-1.

[1] Siehe Definition zum sphärischen Zweieck in Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 4. Springer-Verlag GmbH Deutschland, 2017, ISBN 978-3-662-53499-1.

[1]

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+[[Datei:spherical zone 3d.png|mini|Kugelzweieck]]
-Ein '''Kugelzweieck''' oder '''sphärisches Zweieck''' ist in der [[Sphärische Geometrie|sphärischen Geometrie]] (Kugelgeometrie) eine Punktmenge, die von zwei [[Großkreis]]en begrenzt wird. Auf der Erdkugel bildet zum Beispiel die von zwei [[Meridian (Geographie)|Meridianen]] eingeschlossene Fläche ein Kugelzweieck, wobei Nord- und Südpol der Erde die Ecken sind.
+[[Datei:Waldseemüller-Globus.jpg|mini|Zweiecke für einen [[Globus]] von [[Martin Waldseemüller]] (um 1470–1522)]]
+Ein '''Kugelzweieck''', auch '''sphärisches Zweieck''', '''Kugelzweiseit''', '''Zwickel''' oder nur '''Zweieck''' ('''Digon''') genannt, ist in der [[Sphärische Geometrie|sphärischen Geometrie]] (Kugelgeometrie) eine Punktmenge auf einer [[Kugel]], die von zwei halben [[Großkreis]]en<ref>Siehe Definition zum sphärischen Zweieck in {{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=4 |Datum=2017 |Verlag=Springer-Verlag GmbH Deutschland |ISBN=978-3-662-53499-1}}</ref> begrenzt wird.
+Zwei beliebige Großkreise auf einer Kugel schneiden sich stets in genau zwei gegenüberliegenden Punkten. Sie teilen sich so gegenseitig in je zwei Halbkreise und zusammen die Kugeloberfläche in vier Kugelzweiecke. Bei [[Globus|Globen]], kugelförmigen Modellen der [[Erdfigur|Erdkugel]], bildet zum Beispiel die von zwei [[Meridian (Geographie)|Meridianen]] eingeschlossene Fläche ein Kugelzweieck, wobei Nord- und Südpol des Globus die Ecken sind.
-[[Bild:Kugelzweieck.png|center]]
-Die beiden Ecken eines beliebigen Kugelzweiecks liegen auf der Kugeloberfläche genau gegenüber. Die Seitenlängen betragen jeweils 180°. Die beiden Innenwinkel sind gleich groß.
+Die beiden Ecken eines beliebigen Kugelzweiecks liegen auf der Kugeloberfläche genau gegenüber. Die Seitenlängen betragen jeweils den halben Umfang eines Großkreises. Die beiden [[Innenwinkel]] sind gleich groß. Das von einem Kugelzweieck eingeschlossene Volumen ist ein [[Kugelkeil]]. Ein dritter Großkreis, der nicht durch die Ecken geht, teilt das Kugelzweieck in zwei [[Kugeldreieck]]e.
+== Formel ==
-Für den [[Fläche|Flächeninhalt]] des Kugelzweiecks gilt:
+Für den [[Flächeninhalt]] des Kugelzweiecks gilt (<math>4 \, \pi \, r^2</math> ist die Oberfläche der gesamten Kugel):
-:<math>A \, = \, \frac{\alpha}{90^\circ} \cdot r^2 \cdot \pi</math>
+:<math>A = \frac{\gamma}{360^\circ} \cdot 4 \, \pi \, r^2 = \frac{\gamma}{90^\circ} \cdot \pi \, r^2</math>
+Hier stehen
-Hier stehen <math>\alpha</math> für die Größe eines Innenwinkels (im [[Winkel (Geometrie)|Gradmaß]]) und ''r'' für den [[Radius]] der [[Kugel]]. <math>\pi = 3{,}1415926535\ldots</math> ist die [[Kreiszahl]].
+* <math>\gamma</math> für die Größe eines Innenwinkels (im [[Winkel|Gradmaß]])
+* ''r'' für den [[Radius]] der Kugel.
+Ist <math>\,\gamma</math> im [[Bogenmaß]] gegeben, lässt sich die Formel auch schreiben als:
-Siehe auch: [[Kugeldreieck]]
+:<math>A = \frac{\gamma}{2 \, \pi} \cdot 4 \, \pi \, r^2 = 2 \gamma r^2</math>
-[[Kategorie: Geometrie]]
+Beispiel: Auf der idealisierten Erdkugel hat ein Kugelzweieck, das von zwei benachbarten Meridianen begrenzt wird (also <math>\,\gamma</math>&nbsp;=&nbsp;1°), die Fläche
+:<math>A = \frac{1^\circ}{90^\circ} \cdot \pi \, (6370\ \mathrm{km})^2 = 1{,}4\ \mathrm{Mio\ km}^2</math>
+== Literatur ==
+* Bronstein-Semendjajew: ''[[Taschenbuch der Mathematik]].'' Verlag Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-2005-2, S. 167.
+== Weblinks ==
+{{Commonscat|Digons|Kugelzweieck}}
+== Einzelnachweise ==
+<references />
+[[Kategorie:Geometrische Figur]]
+[[Kategorie:Sphärische Astronomie]]
+[[Kategorie:Mathematische Geographie]]